Контрольная работа № 4 по алгебре в 7 классе с ответами «Формулы сокращённого умножения» (варианты 1, 2) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 4 В12.
№ 5. Представьте в виде произведения выражение:
(2a + 1)2 – (a – 9)2.
ОТВЕТ: (а+10)(3а–8).
Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 5 в тетради
№ 6. Упростите выражение (b – 5)(b + 5)(b2 + 25) – (b2 – 9)2 и найдите его значение при b = –1/3.
ОТВЕТ: –704.
Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 6 в тетради
№ 7. Докажите, что выражение x2 – 12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях x.
ОТВЕТ: x2 – 12x + 38 = x2 – 12x + 36 + 2 = (х – 6)2 + 2 > 0 при любом х, так как
(х – 6)2 ≥ 0; 2 > 0.
Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 4 В12 (варианты 1, 2). Контрольная работа по алгебре в 7 классе «Формулы сокращённого умножения» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.
Итоговая контрольная работа по алгебре за 10 класс «Обобщение и систематизация знаний учащихся» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-9.
Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Итоговая контрольная работа.
Обобщение и систематизация знаний учащихся.
КР-9. Вариант 1.
1. Сравните 3√2[√3] и 6√5[√6].
2. Найдите область определения функции f(x) = √[(9 – x2)/(x2 – 6x + 8)].
3. Решите уравнение: 1) √[2x – 1] = х – 2; 2) 8 sin (x/3) + cos (x/3) = 0; 3) cos 6x – 5 cos 3x + 4 = 0.
4. Докажите тождество (sin 8а / sin 5a – cos 8a / cos 5a) • ((sin 6а + sin 14а) / sin За) = 4 cos 4а.
5. Решите неравенство √[1 – 5х] < х + 1.
6. Исследуйте функцию f(x) = х3 – 6х2 и постройте её график.
КР-9. Вариант 2.
Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре «Обобщение и систематизация знаний учащихся» за курс 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-9.
Контрольная работа № 8 по алгебре для 10 класса «Применение производной» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-8.
Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 8.
Применение производной.
КР-8. Вариант 1.
1. Докажите, что функция f(х) = –х3/3 + х2/2 – 2х + 12 убывает на множестве действительных чисел.
2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции: 1) f(x) = х3 – х2 – 5х – 3; 2) f(х) = х√[9 – х]; 3) f(x) = √3х – 2 cos x.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = (x2 + 7x)/(х – 9) на промежутке [–4; 1].
4. Исследуйте функцию f(x) = х3 – 3х2 и постройте её график.
КР-8. Вариант 2.
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре «Применение производной» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-8.
Контрольная работа № 7 по алгебре для 10 класса «Производная. Уравнение касательной» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-7.
Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 7.
2. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = х4 – 2х в точке с абсциссой х0 = –1.
3. Найдите производную данной функции и вычислите её значение в данной точке х0: 1) f(x) = √[3х + 1], х0 = 5; 2) f(х) = sin5 х, х0 = π/3.
4. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = –t3/3 + 2,5t2 + 24t + 7 (время t измеряется в секундах, перемещение s – в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени t0 = 3.
5. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = х2 + 3х – 8, если эта касательная параллельна прямой у = 9х – 1.
КР-7. Вариант 2.
Вы смотрели: Контрольная работа № 7 по алгебре «Производная. Уравнение касательной» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-7.
Контрольная работа № 6 по алгебре для 10 класса «Тригонометрические уравнения и неравенства» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-6.
Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 6.
3. Решите уравнение: 1) 4cos2 x + 4sin x – 1 = 0; 2) 3sin2 3x – 2,5sin 6x + 1 = 0; 3) sin 9х + sin 8x + sin 7x = 0.
4. Вычислите: 1) sin (arcsin 5/8); 2) cos (arcsin 5/13).
5. Решите уравнение sin 6x + √3 cos 6x = –2 cos 8x.
Смотреть РЕШЕНИЕ задания № 5
КР-6. Вариант 2.
Вы смотрели: Контрольная работа № 6 по алгебре «Тригонометрические уравнения и неравенства» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-6.
Контрольная работа № 5 по алгебре с ответами для 10 класса «Соотношение между тригонометрическими функциями. Формулы сложения и их следствия» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир) Цитаты использованы в учебных целях. Алгебра 10 Мерзляк КР-5 + ОТВЕТЫ.
Доказательство:
1) ctg 2b – ctg 4b = ctg 2b – (ctg2 2b – 1)/(2ctg2 b) =
= (2ctg2 2b – ctg2 2b + 1)/(2ctg2 b) = (ctg2 2b + 1)/(2ctg2 b) =
= 1/(2sin2 2b • (cos 2b)/(sin 2b)) =
= 1/(2sin2 b • cos2 b) = 1/(sin 4b). Тождество доказано.
2) ((cos (π/2 – 5a) – sin (π + 3a)) • (sin (π/2 + 3a) – cos (π + 5a))) / (1 + cos (2π – 2a)) =
= ((sin 5a + sin 3a) • (cos 3a + cos 5a)) / (1 + cos 2a) =
= (2sin 4a • cos a • 2cos 4a • cos a) / (2cos2 a) =
= 2sin 4a cos 4a = sin 8a. Тождество доказано.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ в тетради
№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 4 sin 2a ctg a – 1. ОТВЕТ: унаим = –1; унаиб = 7.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Упростите выражение: 1) (1 – sin2 8а)/(cos2 8а –1) – tg 11а • ctg 11а; 2) cos Зb • cos 5b – sin Зb • sin 5b; 3) (6sin2 10а)/(sin 20а); 4) (sin 12а + sin 8а)/(cos 11а + cos 7а); 5) sin2 (π + 2а) – sin2 (3π/2 + 2а); 6) 2sin 11а • cos 5а – sin 6а.
ОТВЕТЫ: 1) (1 – sin2 8а)/(cos2 8а –1) – tg 11а • ctg 11а = 1/( sin2 8а);
2) cos Зb • cos 5b – sin Зb • sin 5b = cos 8b;
3) (6sin2 10а)/(sin 20а) = 3tg 10a;
4) (sin 12а + sin 8а)/(cos 11а + cos 7а) = (sin 10a)/(cos 9a);
5) sin2 (π + 2а) – sin2 (3π/2 + 2а) = cos2 2a – cos2 2a = 0 (это правильно?);
6) 2sin 11а • cos 5а – sin 6а = sin 16a.
№ 2. Дано: tg a = 1,25, tg b = 9, 0 < a < π/2, 0 < b < π/2. Найдите a + b. ОТВЕТ: a + b = 3π/4.
№ 3. Докажите тождество:
1) 1 + tg 5b • tg 10b = 1/(cos 10b);
2) ((cos (2π + 6a) – sin (π/2 – 8a)) • (cos (3π/2 + 8a) – sin (π – 6a)) / (1 + sin (3π/2 – 2a)) = sin 14a. Доказательство: 1) Используем формулу сложения tg(a–b):
1 + tg 5b • tg 10b = (tg 5b – tg 10b) : tg (5b – 10b) =
= (sin 10b / cos 10b – sin 5b / cos 5b) • ctg 5b =
= (sin 10b • cos 5b – cos 10b • sin 5b)/(cos 10b •cos 5b) • (cos 5b/sin 5b) =
= sin 5b / (cos 10b • cos 5b) • (cos 5b/sin 5b) = 1/(cos 10b). Тождество доказано. 2) Упростим левую часть, применяя формулы приведения
((cos 6a – cos 8a) • (sin 8a – sin 6a) / (1 – cos 2a) = sin 14a
Далее в числителе применим формулы суммы и разности синусов (косинусов), а в знаменателе – формулу понижения степени
(2sin (6a + 8а)/2 • sin (8а – 6a)/2) • (2sin (8a – 6a)/2 • cos (8a + 6a)/2) / (2 sin2 a) =
= (2sin 7a • sin а) • (2sin a • cos 7a) / (2 sin2 a) =
= (4 • sin 7a • sin а • sin a • cos 7a) / (2 sin2 a) =
= (2 • sin 7a • sin2 а • cos 7a) / (sin2 a) =
= 2 • sin 7a • cos 7a = sin 14a. Тождество доказано.
№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 3sin 2a • tg a – 2.
ОТВЕТ: унаим = 2, унаиб = 4.
Вы смотрели: Контрольная работа № 5 по алгебре «Соотношение между тригонометрическими функциями. Формулы сложения и их следствия» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Алгебра 10 Мерзляк КР-5 + ответы.
Контрольная работа № 4 по алгебре для 10 класса «Тригонометрические функции и их свойства» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-4.
№ 5. Сравните значения выражений: 1) sin(16π/15) и sin(17π/16); 2) ctg(–4π/7) и ctg(–5π/9).
ОТВЕТ: 1) sin(16π/15) < sin(17π/16); 2) ctg(–4π/7) > ctg(–5π/9).
№ 6. Постройте график функции f(x) = cos (x – π/6), укажите промежутки её возрастания и убывания.
ОТВЕТ: возрастает при –5π/6 + 2πn ≤ x ≤ π/6 + 2πn;
убывает при π/3 + 2πn ≤ x ≤ 1π/6 + 2πn.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ГРАФИК
№ 7. Постройте график функции у = √[sin2x – 1] – 1.
ОТВЕТ: функция определена только в точках, когда sin 2x = 1 => x = π/4 + πn. Когда x = π/4 + πn, y = –1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ГРАФИК
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Найдите значение выражения 4 sin (–π/6) cos π/3 + cos 3π/2 – √2 cos π/4.
ОТВЕТ: –2.
Решение: 4 • (–1/2) • 1/2 + 0 – √2 • √2/2 = –1 – 1 = –2.
№ 2. Определите знак выражения: 1) cos 156° sin (–350°) ctg 230°; 2) sin 9π/5 ctg (–8π/7).
ОТВЕТ: 1) минус, 2) плюс.
Решение: 1) cos 156° < 0; sin (–350°) > 0; ctg 230° > 0 => «–»;
2) sin 9π/5 < 0; ctg (–8π/7) < 0 => «+».
№ 3. Исследуйте на чётность функцию:
1) f(x) = х5 – 3 sin3 3x cos x; 2) f(x) = (tg x + ctg x) / sin x.
ОТВЕТ: 1) нечетная, так как f(–x) = –f(x); 2) чётная, так как f(–x) = f(x).
№ 4. Найдите значение выражения: 1) sin 19π/3; 2) ctg (–765°).
ОТВЕТ: 1) √3/2; 2) –1.
№ 5. Сравните значения выражений:
1) tg 20π/19 и tg 21π/20; 2) cos (–16π/33) и cos (–17π/35).
ОТВЕТ: 1) tg 20π/19 > tg 21π/20; 2) cos (–16π/33) > cos (–17π/35).
№ 6. Постройте график функции f(x) = sin (x + π/6), укажите промежутки её возрастания и убывания.
ОТВЕТ: возрастает при –2π/3 + 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn;
убывает при π/3 + 2πn ≤ x ≤ 4π/3 + 2πn.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ГРАФИК
№ 7. Постройте график функции у = √[cos x/2 – 1] + 1.
ОТВЕТ: функция определена только в точках, когда cos x/2 = 1 => x = 4πn. Когда x = 4πn, y = 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ГРАФИК
Вы смотрели: Контрольная работа № 4 по алгебре «Тригонометрические функции и их свойства» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-4.
Контрольная работа № 3 по алгебре для 10 класса «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-3.
Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 3.
Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства.
№ 7. Решите неравенство √[5x – 6] > x.
ОТВЕТ: (ОДЗ: x>= 1,2) x принадлежит (2; 3).
Вы смотрели: Контрольная работа № 3 по алгебре «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-3.
Контрольная работа № 2 по алгебре для 10 класса «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях(пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-2.
Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 2.
Тема: Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства.
КР-2. Вариант 1 (задания)
При каких значениях а график функции у = ах–3 + 2 проходит через точку А (–2; 1/8) ?
Вы смотрели: Контрольная работа № 2 по алгебре «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-2.
Геометрия 9 Контрольная 2 (Мерзляк) с ответами. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Правильные многоугольники» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир из 4-х вариантов. Методическое пособие для учителей и родителей.
Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2
Тема: Правильные многоугольники
К-2 Вариант 1 (задания)
К-2 Вариант 2 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
К-2 Вариант 3 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
К-2 Вариант 4 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
Справочная информация
для решения задач
Решения и ОТВЕТЫ на контрольную № 2
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Найдите углы правильного сорокаугольника. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 40 угол равен 180° × 38/40 = 171°.
ОТВЕТ: 171°.
№ 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см.
ОТВЕТ: 4π√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник: r = S/ p, где S – площадь треугольника, p – полупериметр треугольника
Формула площади правильного треугольника: S = (a2 • √3) / 4, где a – сторона треугольника, S = (122 • √3) / 4 = 36√3 (см) Найдем периметр треугольника: Р = 12+12+12 = 36 (см),
соответственно полупериметр р = Р/2 = 36/2 = 18 (см).
Теперь можем найти радиус окружности, вписанной в треугольник: r = 36√3 / 18 = 2√3 (см).
Подставляем в формулу длины окружности: С = 2πr = 2π • 2√3 = 4π√3 (см).
№ 3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.
ОТВЕТ: (8√6)/3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1) Квадрат вписан в окружность, следовательно диагональ квадрата DC – это диаметр окружности d (2R). Подробней: поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой DС (диагональ квадрата). 2) сторона квадрата a = 8 см, значит диагональ квадрата DC = 8√2 см => диаметр d = 8√2 см => радиус окружности R = (8√2)/2 = 4√2 см. Подробней: по условию а = 8см, подставляете в формулу т.Пифагора (d = √[a2 + a2] = √[2a2] = a√2) и получите d = 8√2 см. 3) Дан правильный шестиугольник => △АОВ – равносторонний. Правильный шестиугольник описан около окружности => высота ОН (h) = радиусу окружности (R) = 4√2 см. Далее:
№ 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника – 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.
ОТВЕТ: 1) 2 см; 2) 3 стороны.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Сторона треугольника равна 6√3 см, а прилежащие к ней углы равны 40° и 80°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
ОТВЕТ: 8π/3 см, 16π/3 см, 4π см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Третий угол = 180 – 40 – 80 = 60⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 80⁰, 160⁰ и 120⁰.
Радиус описанной окр. R = (6√3) / (2 sin 60°) = (6√3) / (√3) = 6 см. Длина всей окружности l = 2πR = 12π (см) Дуги:
1) (80/360)*12π = 8π/3 (см)
2) (160/360)*12π = 16π/3 (см)
3) (120/360)*12π = 4π (см)
№ 6. Углы правильного треугольника со стороной 6 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдите сторону образовавшегося шестиугольника. ОТВЕТ: 2 см.
Подсказка: Так как отрезанные части углов — это тоже правильные треугольники, то их боковые стороны равны стороне правильного шестиугольника. Отсюда получаем, что сторона исходного треугольника разделена на 3 части. Следовательно, сторона образовавшегося шестиугольника равна 6/3 = 2 (см).
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Найдите углы правильного сорокапятиугольника. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 45 угол равен 180°×43/45 = 172°.
ОТВЕТ: 172°.
№ 2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.
ОТВЕТ: 75π см2.
№ 3. Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Решение: радиус окружности, около которой описан правильный треугольник, равен:
R = a/(2√3) = 18/(2√3) = 9/√3 = 3√3 (см).
Сторона квадрата, вписанного в эту окружность, равна:
а = R√2 = 3√3 * √2 = 3√6 ≈ 7,348469 (см).
ОТВЕТ: 3√6 см.
№ 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника – 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. Дано: r = 5 см; an = 10 см; Найти: 1) R; 2) n – ? Решение: 1) an = 2r tg (180°/n)
10 = 2 • 5 • tg (180°/n) ⇒ 1 = tg (180°/n).
По таблице находим 1 = tg 45°
==> 180°/n = 45° ⇒ n = 4 (квадрат).
2) an = 2R sin (180°/n)
10 = 2R sin 45° ⇒ R = 5/sin45° = 5•2/√2 = 5√2 (см).
ОТВЕТ: 1) 5√2 см; 2) 4 стороны.
№ 5. Сторона треугольника равна 8√2 см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 100°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
Решение: Третий угол = 180 – 100 – 35 = 45⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 90⁰, 70⁰ и 200⁰.
Радиус описанной окр. R = (8√2)/(2sin45⁰) = (8√2)/√2 = 8 (см)
Длина всей окружности l = 2πR = 16π (см)
Дуги: (90/360)*16π = 4π (см)
(70/360)*16π = 28π/9 (см)
(200/360)*16π = 80π/9 (см). ОТВЕТ: 80π/9 см; 28π/9 см; 4π см.
№ 6. Углы квадрата со стороной 8 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону образовавшегося восьмиугольника.
ОТВЕТ: ≈ 3,3137 см.
Возможный вариант решения: Радиус вписанной окружности и для квадрата и для восьмиугольника = 4 см. Диагональ квадрата = 8√2 см. Половина диагонали квадрата (расстояние из центра вписанной окружности до угла квадрата) = 4√2 см. Срезанный уголок — это равнобедренный прямоугольный треугольник, высота которого = 4√2 — 4 (половина диагонали квадрата минус радиус окружности). Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна удвоенной высоте к гипотенузе, это и есть сторона образовавшегося восьмиугольника
х = 2 * (4√2 — 4) = 8√2 — 8 = 3,3137 (см)
Другой вариант решения: х = 8 / (√2 + 1) = 3,3137 (см) Смотри рисунок ниже.
ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. Найдите углы правильного тридцатишестиугольника. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 36 угол равен 180°×34/36 = 170°.
ОТВЕТ: 170°.
№ 2. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см.
ОТВЕТ: 6π√3 см.
№ 3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
ОТВЕТ: 18√3 см.
№ 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. Дано: R = 8√2 см; r = 8 см; Найти: 1) an; 2) n – ? Решение: 1) r = R cos (180°/n)
8 = 8√2 cos (180°/n) ⇒ cos (180°/n) = 8/8√2 = √2/2.
По таблице находим √2/2 = cos 45°
⇒ 180°/n = 45° ⇒ n = 4 (квадрат).
2) an = 2R sin (180°/n) = 2 • 8√2 • sin 45° = 16√2 • √2/2 = 16 (см).
ОТВЕТ: 1) 16 см; 2) 4 стороны.
№ 5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
Решение: Третий угол = 180 – 45 – 105 = 30⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 90⁰, 210⁰ и 60⁰.
Радиус описанной окр. R = 5 / (2 sin 30°) = 5 / (2 • 1/2) = 5 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 10π (см)
Дуги: (90/360)*10π = 2,5π (см)
(210/360)*10π = 35π/6 (см) (60/360)*10π = 5π/3 (см)
ОТВЕТ: 2,5π см; 35π/6 см; 5π/3 см.
№ 6. Углы правильного треугольника срезали так, что получили правильный шестиугольник со стороной 8 см. Найдите сторону данного треугольника.
ОТВЕТ: 24 см.
Указание к решению: Проведем диагонали правильного шестиугольника ABCDEF, получим шесть РАВНОСТОРОННИХ треугольников (на чертеже отмечено). Диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны, т.е. 16 см. Срезанные углы треугольника тоже равносторонние треугольники. Следовательно сторона первоначального правильного треугольника равна 8 * 3 = 24 (см).
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Найдите углы правильного тридцатиугольника. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 30 угол равен 180°×28/30 = 168°.
ОТВЕТ: 168°.
№ 2. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 16 см. Решение: S = R2π. R = d/2 = a√2/2.
S = (16√2/2)2π = (8√2)2π = 82*2π = 2*64π = 128π (см2)
ОТВЕТ: 128π см2.
№ 3. Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Решение: Радиус вписанной в квадрат окружности R = 36 : 2 = 18(см). Это же радиус описанной окружности около треугольника. Сторону правильного треугольника находим по формуле а = R√3 = 18√3 (см).
ОТВЕТ: 18√3 см.
№ 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника – 8√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. Решение: Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе.
Окружности, вписанной в правильный многоугольник — в точке пересечения биссектрис его углов. На рисунке АВ — сторона, АО = ВО — биссектрисы углов правильного многоугольника. ОН — радиус вписанной окружности,
tg∠ОВН = ОН : ВН = √3.
Следовательно, ∠ОВН = 60°, угол многоугольника 120°, смежный с ним внешний угол равен 60°. Сумма внешних углов многоугольника 360°. Количество внешних углов, взятых по одному при вершинах, равно числу сторон многоугольника.
Число сторон 360° : 60° = 6.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен его стороне R6 = a6 = 8√3.
ОТВЕТ: 1) 8√3 см; 2) 6 сторон.
№ 5. Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. Решение: Третий угол = 180 – 10 – 50 = 120⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 20⁰, 100⁰ и 240⁰.
Радиус описанной окр. R = 10√3 / (2 sin 120°) = 10√3 / √3 = 10 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 20π (см)
Дуги: (20/360) • 20π = 10π/9 (см)
(100/360) • 20π = 50π/9 (см)
(240/360) • 20π = 40π/3 (см).
ОТВЕТ: 10π/9 см; 50π/9 см; 40π/3 см.
№ 6. Углы квадрата срезали так, что получили правильный восьмиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону данного квадрата.
ОТВЕТ: 4 (√2 + 1) ≈ 9,67 см.
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 2 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Методическое пособие.
