Рубрика: Задания

Мерзляк 6 класс Контрольная 1 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 6 классе «Делимость натуральных чисел» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 6 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях. Ответы только на Вариант 1.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Математика 6 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 1

Делимость натуральных чисел

Вариант 1

1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
2. Разложите число 756 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 54; 2) 72 и 264.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12.
5. Докажите, что числа 272 и 1 365 — взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 1 52* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

Вариант 2

1. Из чисел 405, 972, 865, 2 394 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9.
2. Разложите число 1 176 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 27 и 36; 2) 168 и 252.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12.
5. Докажите, что числа 297 и 304 — взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 1 99* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?

Вариант 3

1. Из чисел 703, 492, 675, 3 258 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
2. Разложите число 1 848 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 32 и 56; 2) 378 и 450.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 17 и 34; 2) 8 и 25; 3) 15 и 12.
5. Докажите, что числа 325 и 792 — взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 2 00* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Учеников шестых классов, которых больше 120, но меньше 150, можно отвезти на экскурсию или микроавтобусами по 12 человек, или микроавтобусами по 16 человек, при этом в обоих случаях пустых мест в микроавтобусах не будет. Сколько шестиклассников едет на экскурсию?

Вариант 4

1. Из чисел 584, 810, 729, 4 635 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9.
2. Разложите число 1 890 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 40 и 64; 2) 162 и 270.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 18 и 36; 2) 12 и 35; 3) 16 и 24.
5. Докажите, что числа 308 и 585 — взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 1 43* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Туристы, отправляясь в поход, планировали пройти весь маршрут за 12 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Однако им удалось пройти весь маршрут за 9 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Какова длина всего маршрута, если известно, что она больше 100 км, но меньше 120 км?

---

 

Мерзляк 6 класс Контрольная 1

ОТВЕТЫ только на Вариант 1

№ 1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
ОТВЕТ: 1) 756; 2148.  2) 387; 756.

№ 2. Разложите число 756 на простые множители.
ОТВЕТ:

№ 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 54; 2) 72 и 264.
ОТВЕТ: 1) НОД (24; 54) = 2 • 3 = 6.  2) НОД (72; 264) = 2 • 2 • 2 • 3 = 24.

№ 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12.
ОТВЕТ: 1) НОК (16; 32) = 32.  2) НОК (15; 8) = 15 • 8 = 120.  3) НОК (16; 12) = 4 • 4 • 3 = 48.

№ 5. Докажите, что числа 272 и 1 365 – взаимно простые.
Доказательство:
Взаимно простые числа — целые числа, не имеющие никаких общих делителей, кроме 1.
1365 = 3 • 5 • 7 • 13;  272 = 2 • 2 • 2 • 2 • 17.
Имеют только одни общий делитель, равный 1.
Что и требовалось доказать.

№ 6. Вместо звёздочки в записи 1 52* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
Решение: 1 + 5 + 2 = 8, следовательно походят числа:
1 521, так как 1 + 5 + 2 + 1 = 9 (9 : 3 = 3);
1 524, так как 1 + 5 + 2 + 4 = 12 (12 : 3 = 4);
1 527, так как 1 + 5 + 2 + 7 = 15 (15 : 3 = 5).
ОТВЕТ: * = 1; 4; 7.

№ 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?
Решение: Число книг должно быть кратно:
НОК (12; 8) = 4 • 3 • 2 = 24.
100 : 24 = 4 (ост. 4)
100 < 24 • 5 < 140
100 < 120 < 140.
Значит, у Пети было 120 книг (24 • 5)
ОТВЕТ: 120 книг.

 

Вернуться к Списку контрольных из Методички (по 4 варианта)

Вы смотрели: Мерзляк 6 класс Контрольная 1 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 6 классе «Делимость натуральных чисел» УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 6 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Смотреть аналогичную контрольную работу из Дидактических (по 2 варианта, с решениями)

Контрольная работа по математике в 5 классе с ответами «Обыкновенные дроби» (4 варианта) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях. Мерзляк 5 класс Контрольная № 6 + Ответы.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Математика 5 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 6

Тема: Обыкновенные дроби

Вариант 1

Вариант 2

1. Сравните числа: 1) 9/17 и 14/17; 2) 31/32 и 1; 3) 23/31 и 1.
2. Выполните действия: 1) ⁵/₂₆ + ¹¹/₂₆ – ⁷/₂₆; 2) 5 ⁸/₂₁ – 2 ³/₂₁ + 1 ⁵/₂₁; 3) 1 – ¹⁵/₁₇; 4) 6 ⁴/₁₁ – 3 ⁷/₁₁.
3. В гараже стоят 63 машины, из них 5/7 составляют легковые. Сколько легковых машин стоит в гараже?
4. В классе 12 учеников изучают французский язык, что составляет 2/5 всех учеников класса. Сколько учеников в классе?
5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 12/5; 2) 25/9.
6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 1 ²/₅ < ^х/₅ < 2 ¹/₅.
7. Каково наименьшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n > 100/17 ?
8. Найдите все натуральные значения а, при которых одновременно дробь a/11 будет правильной, а дробь a/6 – неправильной.

Вариант 3

1. Сравните числа: 1) 16/31 и 11/31; 2) 21/23 и 1; 3) 37/33 и 1.
2. Выполните действия: 1) ⁷/₂₇ + ¹⁶/₂₇ – ¹⁹/₂₇; 2) 4 ⁵/₁₉ – 2 ²/₁₉ + 7 ⁹/₁₉; 3) 1 – ¹⁸/₂₇; 4) 6 ²/₉ – 4 ⁵/₉.
3. В классе 36 учеников, из них 11/12 занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?
4. Ваня собрал 16 вёдер картофеля, что составляет 8/19 всего урожая. Сколько вёдер картофеля составляет урожай?
5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 11/4; 2) 43/8.
6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 2 ⁴/₉ < ^х/₉ < 3 ¹/₉.
7. Каково наибольшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n < 100/23 ?
8. Найдите все натуральные значения a, при которых обе дроби a/5 и 9/a одновременно будут неправильными.

Вариант 4

1. Сравните числа: 1) 12/19 и 14/19; 2) 28/35 и 1; 3) 43/39 и 1.
2. Выполните действия: 1) 8/29 + 14/29 – 17/29; 2) 7 5/31 – 4 2/31 + 2 11/31; 3) 1 – 14/19;   4) 7 3/7 – 2 6/7.
3. В пятых классах 64 ученика, из них 3/16 составляют отличники. Сколько отличников в пятых классах?
4. Мама приготовила вареники с творогом, а Коля съел 9 штук, что составляет 3/17 всех вареников. Сколько вареников приготовила мама?
5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 15/6; 2) 39/12.
6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 2 5/8 < х/8 < 3 3/8.
7. Каково наименьшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n > 100/29 ?
8. Найдите все натуральные значения а, при которых одновременно дробь a/4 будет неправильной, а дробь a/9 – правильной.

---

 

ОТВЕТЫ на контрольную работу № 6:

Ответы на КР-6 Вариант 1

№ 1. Сравните числа: 1) 17/24 и 13/24; 2) 16/19 и 1; 3) 47/35 и 1.
ОТВЕТ: 1) 17/24 > 13/24; 2) 16/19 < 1; 3) 47/35 > 1.

№ 2. Выполните действия: 1) ³/₂₈ + ¹⁵/₂₈ – ¹¹/₂₈; 2) 3 ⁷/₂₃ – 1 ⁴/₂₃ + 5 ⁹/₂₃; 3) 1 – ¹⁷/₂₀; 4) 5 ³/₈ – 3 ⁵/₈.
ОТВЕТ: 1) ⁷/₂₈; 2) 7 ¹²/₂₃; 3) ³/₂₀; 4) 1 ⁶/₈.

№ 3. В саду растёт 72 дерева, из них 3/8 составляют яблони. Сколько яблонь растёт в саду?
ОТВЕТ: 27 яблонь.

№ 4. Кирилл прочёл 56 страниц, что составляло 7/12 книги. Сколько страниц было в книге?
ОТВЕТ: 96 страниц.

№ 5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 7/3; 2) 30/7.
ОТВЕТ: 1) 2 ¹/₃; 2) 4 ²/₇.

№ 6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 2 ³/₇ < ^х/₇ < 3 ¹/₇.
ОТВЕТ: 17 < x < 22  =>  x = 18, 19, 20, 21.

№ 7. Каково наибольшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n < 100/19 ?
ОТВЕТ: n < 5 ⁵/₁₉  =>  n = 5.

№ 8. Найдите все натуральные значения а, при которых одновременно выполняются условия: дробь 4/а правильная, а дробь 7/а неправильная.
ОТВЕТ: a = 5; 6, 7.

 

Ответы на КР-6 Вариант 2

№ 1. Сравните числа: 1) 9/17 и 14/17;   2) 31/32 и 1;   3) 23/21 и 1.
ОТВЕТ: 1) 9/17 < 14/17;   2) 31/32 < 1;   3) 23/21 > 1.

№ 2. Выполните действия: 1) ⁵/₂₆ + ¹¹/₂₆ – ⁷/₂₆; 2) 5 ⁸/₂₁ – 2 ³/₂₁ + 1 ⁵/₂₁; 3) 1 – ¹⁵/₁₇; 4) 6 ⁴/₁₁ – 3 ⁷/₁₁.
ОТВЕТ: 1) ⁹/₂₆; 2) 4 ¹⁰/₂₁; 3) ²/₁₇; 4) 2 ⁸/₁₁.

№ 3. В гараже стоят 63 машины, из них 5/7 составляют легковые. Сколько легковых машин стоит в гараже?
ОТВЕТ: 45 легковых машин.

№ 4. В классе 12 учеников изучают французский язык, что составляет 2/5 всех учеников класса. Сколько учеников в классе?
ОТВЕТ: 30 учеников.

№ 5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 12/5; 2) 25/9.
ОТВЕТ: 1) 2 ²/₅;  2) 2 ⁷/₉.

№ 6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 1 ²/₅ < ^х/₅ < 2 ¹/₅.
ОТВЕТ: 7 < x < 11.

№ 7. Каково наименьшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n > 100/17 ?
ОТВЕТ: n = 6, так как n > 5 ¹⁵/₁₇.

№ 8. Найдите все натуральные значения а, при которых одновременно дробь a/11 будет правильной, а дробь a/6 – неправильной.
ОТВЕТ: a = 6, 7, 8, 9, 10.

 

Ответы на КР-6 Вариант 3

№ 1. Сравните числа: 1) 16/31 и 11/31; 2) 21/23 и 1; 3) 37/33 и 1.
ОТВЕТ: 1) 16/31 > 11/31; 2) 21/23 < 1; 3) 37/33 > 1.

№ 2. Выполните действия: 1) ⁷/₂₇ + ¹⁶/₂₇ – ¹⁹/₂₇; 2) 4 ⁵/₁₉ – 2 ²/₁₉ + 7 ⁹/₁₉; 3) 1 – ¹⁸/₂₇; 4) 6 ²/₉ – 4 ⁵/₉.
ОТВЕТ: 1) ⁴/₂₇; 2) 4 ⁵/₁₉ – 2 ²/₁₉ + 7 ⁹/₁₉; 3) 1 – ¹⁸/₂₇; 4) 6 ²/₉ – 4 ⁵/₉.

№ 3. В классе 36 учеников, из них 11/12 занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?
ОТВЕТ: 33 ученика.

№ 4. Ваня собрал 16 вёдер картофеля, что составляет 8/19 всего урожая. Сколько вёдер картофеля составляет урожай?
ОТВЕТ: 38 вёдер.

№ 5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 11/4; 2) 43/8.
ОТВЕТ: 1) 2 ³/₄; 2) 5 ³/₈.

№ 6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 2 ⁴/₉ < ^х/₉ < 3 ¹/₉.
ОТВЕТ: 22 < x < 28  =>  x = 23, 24, 25, 26, 27.

№ 7. Каково наибольшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n < 100/23 ?
ОТВЕТ: n = 4, потому что n < 4 ⁸/₂₃.

№ 8. Найдите все натуральные значения a, при которых обе дроби a/5 и 9/a одновременно будут неправильными.
ОТВЕТ: a = 5, 6, 7, 8, 9.

 

Ответы на КР-6 Вариант 4

№ 1. Сравните числа: 1) 12/19 и 14/19; 2) 28/35 и 1; 3) 43/39 и 1.
ОТВЕТ: 1) 12/19 < 14/19; 2) 28/35 < 1; 3) 43/39 > 1.

№ 2. Выполните действия: 1) 8/29 + 14/29 – 17/29;   2) 7 ⁵/₃₁ – 4 ²/₃₁ + 2 ¹¹/₃₁;   3) 1 – 14/19;   4) 7 ³/₇ – 2 ⁶/₇.
ОТВЕТ: 1) 5/29;   2) 5 ¹⁴/₃₁;   3) 5/19;   4) 4 ⁴/₇.

№ 3. В пятых классах 64 ученика, из них 3/16 составляют отличники. Сколько отличников в пятых классах?
ОТВЕТ: 12 учеников.

№ 4. Мама приготовила вареники с творогом, а Коля съел 9 штук, что составляет 3/17 всех вареников. Сколько вареников приготовила мама?
ОТВЕТ: 51 вареник.

№ 5. Преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 15/6; 2) 39/12.
ОТВЕТ: 1) 2 ³/₆;  2) 3 ³/₁₂.

№ 6. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 2 ⁵/₈ < х/8 < 3 ³/₈.
ОТВЕТ: 21 < x < 27  =>  x = 22, 23, 24, 25, 26.

№ 7. Каково наименьшее натуральное значение n, при котором верно неравенство n > 100/29 ?
ОТВЕТ: n = 4, так как n > 3 ¹³/₂₉.

№ 8. Найдите все натуральные значения а, при которых одновременно дробь a/4 будет неправильной, а дробь a/9 – правильной.
ОТВЕТ: a = 4, 5, 6, 7, 8.

---

 

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Вы смотрели: Мерзляк 5 класс Контрольная № 6 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 5 классе «Обыкновенные дроби» УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Мерзляк 5 класс Контрольная № 4 + Ответы в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 5 классе с ответами «Умножение и деление натуральных чисел. Свойства умножения» УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Вернуться к Списку контрольных из Методического пособия (4 варианта)

Математика 5 класс (Мерзляк)
Контрольная № 4

Умножение и деление натуральных чисел. Свойства умножения

К-4 Вариант 1 (задания)

К-4 Вариант 2 (задания)

К-4 Вариант 3 (задания)

К-4 Вариант 4 (задания)

Мерзляк 5 класс Контрольная № 4

Ответы на контрольную работу № 4

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Вычислите: 1) 36 • 2418; 2) 175 • 204; 3) 1456 : 28; 4) 177 000 : 120.
ОТВЕТ: 1) 87 048; 2) 35 700; 3) 52; 4) 1475.

№ 2. Найдите значение выражения: (326 • 48 – 9 587) : 29.
ОТВЕТ: 209.

№ 3. Решите уравнение: 1) х • 14 = 364; 2) 324 : х = 9; 3) 19х – 12х = 126.
ОТВЕТ: 1) x = 26; 2) x = 36; 3) x = 18.

№ 4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом: 1) 25 • 79 • 4; 2) 43 • 89 + 89 • 57.
ОТВЕТ: 1) 7900; 2) 8900.

№ 5. Купили 7 кг конфет и 9 кг печенья, заплатив за всю покупку 1 200 р. Сколько стоит 1 кг печенья, если 1 кг конфет стоит 120 р.?
ОТВЕТ: 40 р.

№ 6. С одной станции одновременно в одном направлении отправились два поезда. Один из поездов двигался со скоростью 56 км/ч, а второй – 64 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 6 ч после начала движения?
ОТВЕТ: 48 км.

№ 7. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 19 до 35 включительно?
Решение: Ноль получается при умножении 5 на чётное число. Значит нужно определить количество «пятерок» в заданных числах. Среди простых множителей от 19 до 35 только 4 числа делятся на 5 без остатка (20, 25, 30, 35). Итого 4 «пятерки». Кроме того, среди этих чисел есть число 25, которое делится на 5 дважды. Тогда 4+1=5 «пятерок», так как четных чисел гораздо больше, то произведение всех натуральных чисел от 19 до 35 заканчивается 5 нулями.
ОТВЕТ: 5 нулей.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Вычислите: 1) 24 • 1 246; 2) 235 • 108; 3) 1 856 : 32; 4) 175 700 : 140.
ОТВЕТ: 1) 29 904;   2) 25 380;   3) 58;   4) 1255.

№ 2. Найдите значение выражения: (625 • 25 – 8 114) : 37.
ОТВЕТ: 203.

№ 3. Решите уравнение: 1) х • 28 = 336; 2) 312 : х = 8; 3) 16х – 11х = 225.
ОТВЕТ: 1) x = 12;   2) x = 39;   3) x = 45.

№ 4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом: 1) 2 • 83 • 50; 2) 54 • 73 + 73 • 46.
ОТВЕТ: 1) 8300;   2) 7300.

№ 5. Для проведения ремонта электрической проводки купили 16 одинаковых мотков алюминиевого и 11 одинаковых мотков медного провода. Общая длина купленного провода составляла 650 м. Сколько метров алюминиевого провода было в одном мотке, если медного провода в одном мотке было 30 м?
ОТВЕТ: 20 м.

№ 6. Из одного города одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Один из них двигался со скоростью 74 км/ч, а второй – 68 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 ч после начала движения?
ОТВЕТ: 24 км.

№ 7. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 23 до 42 включительно?
ОТВЕТ: 5 нулей.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Вычислите: 1) 32 • 1 368; 2) 145 • 306; 3) 1 664 : 26; 4) 216 800 : 160.
ОТВЕТ: 1) 43 776;   2) 44 370;   3) 64;   4) 1355.

№ 2. Найдите значение выражения: (546 • 31 – 8 154) : 43.
ОТВЕТ: 204.

№ 3. Решите уравнение: 1) х • 22 = 396; 2) 318 : х = 6; 3) 19х – 7х = 144.
ОТВЕТ: 1) 18;   2) 53;   3) 12.

№ 4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом: 1) 5 • 97 • 20; 2) 68 • 78 – 78 • 58.
ОТВЕТ: 1) 9700;   2) 780.

№ 5. В автомобиль погрузили 5 одинаковых мешков сахара и 3 одинаковых мешка муки. Оказалось, что общая масса груза равна 370 кг. Какова масса одного мешка муки, если масса одного мешка сахара равна 50 кг?
ОТВЕТ: 40 кг.

№ 6. Из одного села одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Пешеход двигался со скоростью 3 км/ч, а велосипедист – 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после начала движения?
ОТВЕТ: 27 км.

№ 7. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 34 до 53 включительно?
ОТВЕТ: 5 нулей.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Вычислите: 1) 28 • 2 346; 2) 185 • 302; 3) 1 768 : 34; 4) 220 500 : 180.
ОТВЕТ: 1) 65 688;   2) 55 870;   3) 52;   4) 1225.

№ 2. Найдите значение выражения: (224 • 46 – 3 232) : 34.
ОТВЕТ: 208.

№ 3. Решите уравнение: 1) х • 16 = 384; 2) 371 : х = 7; 3) 22х – 14х = 112.
ОТВЕТ: 1) 24;   2) 53;   3) 14.

№ 4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом: 1) 2 • 87 • 50; 2) 167 • 92 – 92 • 67.
ОТВЕТ: 1) 8700;   2) 9200.

№ 5. В школьную столовую завезли 8 одинаковых ящиков яблок и 6 одинаковых ящиков апельсинов. Сколько килограммов апельсинов было в одном ящике, если всего было 114 кг яблок и апельсинов, а яблок в каждом ящике было 9 кг?
ОТВЕТ: 7 кг.

№ 6. От одной пристани одновременно в одном направлении отплыли лодка и катер. Лодка плыла со скоростью 14 км/ч, а катер – 21 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 5 ч после начала движения?
ОТВЕТ: 35 км.

№ 7. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 64 включительно?
ОТВЕТ: 5 нулей.

---

 

Вернуться к Списку контрольных из Методического пособия (4 варианта)

Перейти к аналогичной Контрольной № 4 из Дидактических материалов (2 варианта)

Вы смотрели: Мерзляк 5 класс Контрольная № 4 с ответами в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 5 классе «Умножение и деление натуральных чисел. Свойства умножения» УМК Мерзляк, Полонский, Якир + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.

Мерзляк 5 класс Контрольная № 3 в 4-х вариантах с ОТВЕТАМИ. Контрольная работа по математике в 5 классе «Уравнение. Угол. Многоугольники» УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Вернуться Списку контрольных из Методички (Оглавление)

Математика 5 класс (Мерзляк)
Контрольная № 3

Уравнение. Угол. Многоугольники

К-3 Вариант 1 (задания)

1. Постройте угол МКА, величина которого равна 74°. Проведите произвольный луч КС между сторонами угла МКА. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
2. Решите уравнение: 1) х + 37 = 81; 2) 150 – х = 98.
3. Одна из сторон треугольника равна 24 см, вторая – в 4 раза короче первой, а третья – на 16 см длиннее второй. Вычислите периметр треугольника.
4. Решите уравнение: 1) (34 + х) – 83 = 42; 2) 45 – (х – 16) = 28.
5. Из вершины развёрнутого угла АВС (рис. 21) проведены два луча BD и BE так, что ∠АBE = 154°, ∠DBC = 128°. Вычислите градусную меру угла DBE.
6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения 52 – (а – х) = 24 было число 40?

К-3 Вариант 2 (задания)

1. Постройте угол АВС, величина которого равна 168°. Проведите произвольный луч ВМ между сторонами угла АВС. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
2. Решите уравнение: 1) 21 + х = 58; 2) х – 135 = 76.
3. Одна из сторон треугольника равна 32 см, вторая – в 2 раза короче первой, а третья – на б см короче первой. Вычислите периметр треугольника.
4. Решите уравнение: 1) (96 – х) – 15 = 64; 2) 31 – (х + 11) = 18.
5. Из вершины прямого угла MNK (рис. 22) проведены два луча ND и NF так, что ∠MND = 73°, ∠KNF = 48°. Вычислите градусную меру угла DNF.
6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения 64 – (а – х) = 17 было число 16?

К-3 Вариант 3 (задания)

1. Постройте угол FDK, величина которого равна 56°. Проведите произвольный луч DT между сторонами угла FDK. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
2. Решите уравнение: 1) х + 42 = 94; 2) 284 – х = 121.
3. Одна из сторон треугольника равна 12 см, вторая – в 3 раза длиннее первой, а третья – на 8 см короче второй. Вычислите периметр треугольника.
4. Решите уравнение: 1) (41 + х) – 12 = 83; 2) 62 – (х – 17) = 31.
5. Из вершины развёрнутого угла FAN (рис. 23) проведены два луча АК и АР так, что ∠NAP = 110°, ∠FAK = 132°. Вычислите градусную меру угла РАК.
6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения (69 – а) – х = 23 было число 12?

К-3 Вариант 4 (задания)

1. Постройте угол NMC, величина которого равна 58°. Проведите произвольный луч МВ между сторонами угла NMC. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
2. Решите уравнение: 1) x + 53 = 97; 2) 142 – x = 76.
3. Одна из сторон треугольника равна 30 см, вторая – в 5 раз короче первой, а третья – на 22 см длиннее второй. Вычислите периметр треугольника.
4. Решите уравнение: 1) (58 + х) – 23 = 96; 2) 54 – (х– 19) = 35.
5. Из вершины прямого угла DMK (рис. 24) проведены два луча МВ и МС так, что ∠DMB = 51°, ∠КМС = 65°. Вычислите градусную меру угла ВМС.
6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения (а – х) – 14 = 56 было число 5?

Мерзляк 5 класс Контрольная № 3

Ответы на контрольную работу № 3

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Постройте угол МКА, величина которого равна 74°. Проведите произвольный луч КС между сторонами угла МКА. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
ОТВЕТ: ∠АКС = 34°; ∠СКМ = 40°.

№ 2. Решите уравнение: 1) х + 37 = 81;   2) 150 – х = 98.
ОТВЕТ: 1) 44;  2) 52.

№ 3. Одна из сторон треугольника равна 24 см, вторая – в 4 раза короче первой, а третья – на 16 см длиннее второй. Вычислите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 52 см.

№ 4. Решите уравнение: 1) (34 + х) – 83 = 42;   2) 45 – (х – 16) = 28.
ОТВЕТ: 1) 91;  2) 33.

№ 5. Из вершины развёрнутого угла АВС (рис. 21) проведены два луча BD и BE так, что ∠АBE = 154°, ∠DBC = 128°. Вычислите градусную меру угла DBE.
ОТВЕТ: 102°.

№ 6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения 52 – (а – х) = 24 было число 40?
ОТВЕТ: 68.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Постройте угол АВС, величина которого равна 168°. Проведите произвольный луч ВМ между сторонами угла АВС. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
ОТВЕТ: ∠АВМ = 108°; ∠МВС = 60°.

№ 2. Решите уравнение: 1) 21 + х = 58;   2) х – 135 = 76.
ОТВЕТ: 1) 37;  2) 211.

№ 3. Одна из сторон треугольника равна 32 см, вторая – в 2 раза короче первой, а третья – на б см короче первой. Вычислите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 74 см.

№ 4. Решите уравнение: 1) (96 – х) – 15 = 64;   2) 31 – (х + 11) = 18.
ОТВЕТ: 1) 17;  2) 2.

№ 5. Из вершины прямого угла MNK (рис. 22) проведены два луча ND и NF так, что ∠MND = 73°, ∠KNF = 48°. Вычислите градусную меру угла DNF.
ОТВЕТ: 31°.

№ 6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения 64 – (а – х) = 17 было число 16?
ОТВЕТ: 63.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Постройте угол FDK, величина которого равна 56°. Проведите произвольный луч DT между сторонами угла FDK. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
ОТВЕТ: ∠FDT = 31°; ∠TDK = 25°.

№ 2. Решите уравнение: 1) х + 42 = 94;   2) 284 – х = 121.
ОТВЕТ: 1) 52;  2) 163.

№ 3. Одна из сторон треугольника равна 12 см, вторая – в 3 раза длиннее первой, а третья – на 8 см короче второй. Вычислите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 76 см.

№ 4. Решите уравнение: 1) (41 + х) – 12 = 83;   2) 62 – (х – 17) = 31.
ОТВЕТ: 1) 54;  2) 48.

№ 5. Из вершины развёрнутого угла FAN (рис. 23) проведены два луча АК и АР так, что ∠NAP = 110°, ∠FAK = 132°. Вычислите градусную меру угла РАК.
ОТВЕТ: 62°.

№ 6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения (69 – а) – х = 23 было число 12?
ОТВЕТ: 34.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Постройте угол NMC, величина которого равна 58°. Проведите произвольный луч МВ между сторонами угла NMC. Запишите образовавшиеся углы и измерьте их величины.
ОТВЕТ: ∠NMB = 20°;  2) ∠BMC = 38°.

№ 2. Решите уравнение: 1) x + 53 = 97;   2) 142 – x = 76.
ОТВЕТ: 1) 44;  2) 66.

№ 3. Одна из сторон треугольника равна 30 см, вторая – в 5 раз короче первой, а третья – на 22 см длиннее второй. Вычислите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 64 см.

№ 4. Решите уравнение: 1) (58 + х) – 23 = 96;   2) 54 – (х– 19) = 35.
ОТВЕТ: 1) 61;  2) 38.

№ 5. Из вершины прямого угла DMK (рис. 24) проведены два луча МВ и МС так, что ∠DMB = 51°, ∠КМС = 65°. Вычислите градусную меру угла ВМС.
ОТВЕТ: 26°.

№ 6. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения (а – х) – 14 = 56 было число 5?
ОТВЕТ: 75.

 

---

Вы смотрели: Мерзляк 5 класс Контрольная № 3 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 5 классе «Уравнение. Угол. Многоугольники» УМК Мерзляк, Полонский, Якир.

Смотреть аналогичную контрольную № 3 (в 2-х вариантах) с решениями

Вернуться к Списку контрольных из Методички (по 4 варианта)

 

Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Мерзляк 5 класс Контрольная № 2 в 4-х вариантах с ответами. Контрольная работа по математике в 5 классе «Сложение и вычитание натуральных чисел. Числовые и буквенные выражения. Формулы» УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Мерзляк 5 класс Контрольная № 2

Тема учебника: Сложение и вычитание натуральных чисел. Числовые и буквенные выражения. Формулы

КР-2 Варианты 1-2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

КР-2 Варианты 3-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

Ответы на Контрольную № 2

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Вычислите: 1) 15 327 + 496 383;   2) 38 020 405 – 9 497 653.
ОТВЕТ:

№ 2. На одной стоянке было 143 автомобиля, что на 17 автомобилей больше, чем на второй. Сколько автомобилей было на обеих стоянках?
Решение: 1) 143 – 17 = 126 (автомобилей) — на второй стоянке.
2) 143 + 126 = 269 (автомобилей)— на двух стоянках.
ОТВЕТ: 269 автомобилей.

№ 3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (325 + 791) + 675;   2) 428 + 856 + 572 + 244.
ОТВЕТЫ: 1) 1791; 2) 1700.
Решение:

№ 4. Проверьте, верно ли неравенство: 1 674 – (736 + 328) > 2 000 – (1 835 – 459).
ОТВЕТ: неверно. Решение:

№ 5. Найдите значение а по формуле а = 4b – 16 при b = 8.
ОТВЕТ: а = 4 * 8 – 16 = 32 – 16 = 16.

№ 6. Упростите выражение 126 + х + 474 и найдите его значение при х = 278.
ОТВЕТ: 878. Решение:

№ 7. Вычислите: 1) 4 м 73 см + 3 м 47 см;   2) 12 ч 16 мин – 7 ч 32 мин.
ОТВЕТ: 1) 4 м 73 см + 3 м 47 см= 7 м 120 см = 8 м 20 см.
2) 12 ч 16 мин – 7 ч 32 мин = 11 ч 76 мин – 7 ч 32 мин = 4 ч 44 мин.

№ 8. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений: 1) (713 + 529) – 413;   2) 624 – (137 + 224).
ОТВЕТ: 1) (713 + 529) – 413 = (713 – 413) + 529 = 300 + 529 = 829;
2) 624 – (137 + 224) = (624 – 224) – 137 = 400 – 137 = 263.

---

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Вычислите: 1) 17 824 + 128 356;   2) 42 060 503 – 7 456 182.
ОТВЕТ: 1) 17 824 + 128 356 = 146 180;

2) 42 060 503 – 7 456 182 = 34 604 321.

№ 2. На одной улице 152 дома, что на 18 домов меньше, чем на другой. Сколько всего домов на обеих улицах?
Решение: 1) 152 + 18 = 170 (домов) – на другой улице.
2) 152 + 170 = 322 (дома) – на двух улицах всего.
ОТВЕТ: 322 дома.

№ 3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (624 + 571) + 376;   2) 212 + 497 + 788 + 803.
Решение: 1) (624 + 571) + 376 = (624 + 376) + 571 = 1000 + 571 = 1571;
2) 212 + 497 + 788 + 803 = (212 + 788) + (497 + 803) = 1000 + 1300 = 2300.
ОТВЕТ: 1) 1571; 2) 2300.

№ 4. Проверьте, верно ли неравенство: 1826 – (923 + 249) > 3000 – (2542 – 207).
Решение: 1826 – (923 + 249) > 3000 – (2542 – 207)
1826 – (923 + 249) = 1826 – 1172 = 654
3000 – (2542 – 207) = 3000 – 2335 = 665
654 < 665
ОТВЕТ: неверно.

№ 5. Найдите значение р по формуле р = 40 – 7q при q = 4.
Решение: р = 40 — 7q
при q = 4 будет р = 40 — 7 * 4 = 40 – 28 = 12.
ОТВЕТ: р = 12.

№ 6. Упростите выражение 235 + у + 465 и найдите его значение при у = 153.
Решение: 235 + у + 465 = 700 + у
при у = 153 будет 700 + у = 700 + 153 = 853.
ОТВЕТ: 853.

№ 7. Вычислите: 1) 6 м 23 см + 5 м 87 см;   2) 14 ч 17 мин – 5 ч 23 мин.
ОТВЕТЫ: 1) 6 м 23 см + 5 м 87 см = 11 м 110 см = 12 м 10 см;
2) 14 ч 17 мин — 5 ч 23 мин = 13 ч 77 мин — 5 ч 23 мин = 8 ч 54 мин.

№ 8. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений: 1) (837 + 641) – 537;   2) 923 – (215 + 623).
ОТВЕТЫ: 1) (837 + 641) – 537 = (837 – 537) + 641 = 300 + 641 = 941;
2) 923 – (215 + 623) = (923 – 623) – 215 = 300 – 215 = 85

---

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Вычислите: 1) 26 832 + 573 468;   2) 54 073 507 – 6 829 412.
ОТВЕТ: 1) 26 832 + 573 468 = 600 300;
2) 54 073 507     6 829 412 = 47 244 095.

№ 2. В одном классе 37 учащихся, что на 9 человек больше, чем во втором. Сколько всего учащихся в обоих классах?
Решение: 1) 37 — 9 = 28 (учеников) — в другом классе.
2) 37 + 28 = 65 (учеников) – в двух классах всего.
ОТВЕТ: 65 учеников.

№ 3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (736 + 821) + 264;   2) 573 + 381 + 919 + 627.
Решение: 1) (736 + 821) + 264 = (736 + 264) + 821 = 1000 + 821 = 1821;
2) 573 + 381 + 919 + 627 = (573 + 627) + (381 + 919) = 1200 + 1300 = 2500.
ОТВЕТ: 1) 1821; 2) 2500.

№ 4. Проверьте, верно ли неравенство: 2 491 – (543 + 1 689) < 1 000 – (931 – 186).
Решение: 2491 – (543 + 1689) < 1000 – (931 – 186)
2491 – (543 + 1689) = 2491 – 2232 = 259
1000 – (931 – 186) = 100 – 745 = 255
259 > 255
ОТВЕТ: неверно.

№ 5. Найдите значение у по формуле у = 3х + 18 при х = 5.
Решение: у = 3х + 18
при х = 5 будет у = 3 * 5 + 18 = 15 + 18 = 33.
ОТВЕТ: у = 33.

№ 6. Упростите выражение 433 + а + 267 и найдите его значение при а = 249.
Решение: 433 + а + 267 = 700 + a
при a = 249 будет 700 + a = 700 + 249 = 949.
ОТВЕТ: 949.

№ 7. Вычислите: 1) 7 м 23 см + 4 м 81 см;   2) 6 ч 38 мин – 4 ч 43 мин.
ОТВЕТЫ: 1) 7 м 23 см + 4 м 81 см = 11 м 104 см = 12 м 4 см;
2) 6 ч 38 мин — 4 ч 43 мин = 5 ч 98 мин – 4 ч 43 мин = 1 ч 55 мин.

№ 8. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (674 + 245) – 374; 2) 586 – (217 + 186).
ОТВЕТЫ: 1) (674 + 245) – 374 = (674 – 374) + 245 = 300 + 245 = 545;
2) 586 – (217 + 186) = (586 – 186) – 217 = 400 – 217 = 183.

---

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Вычислите: 1) 19 829 + 123 471;   2) 61 030 504 – 8 695 371.
ОТВЕТ: 1) 19 829 + 123 471 = 143 300;
2) 61 030 504 – 8 695 371 = 52 335 133.

№ 2. На одной книжной полке стоят 23 книги, что на 5 книг меньше, чем на другой. Сколько всего книг стоит на обеих полках?
Решение: 1) 23 + 5 = 28 (книг) — стоит на второй полке;
2) 23 + 28 = 51 (книга) – всего на двух полках.
ОТВЕТ: 51 книга.

№ 3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (349 + 856) + 651;   2) 166 + 452 + 834 + 748.
Решение: 1) (349 + 856) + 651 = (349 + 651) + 856 = 1000 + 856 = 1856;
2) 166 + 452 + 834 + 748 = (166 + 834) + (452 + 748) = 1000 + 1200 = 2200.
ОТВЕТ: 1) 1856; 2) 2200.

№ 4. Проверьте, верно ли неравенство: 1 583 – (742 + 554) > 1 000 – (883 – 72).
Решение: 1583 – (742 + 554) > 1000 – (883 – 72)
1583 – (742 + 554) = 1583 – 1296 = 287
1000 – (883 – 72) = 1000 – 811 = 189
287 > 189
ОТВЕТ: верно.

№ 5. Найдите значение х по формуле х = 16 + 8z при z = 7.
Решение: х = 16 + 8z
при z = 7 будет x = 16 + 8 • 7 = 16 + 56 = 72.
ОТВЕТ: x = 72.

№ 6. Упростите выражение 561 + b + 139 и найдите его значение при b = 165.
Решение: 561 + b + 139 = 700 + b
при b = 165 будет 700 + b = 700 + 165 = 865.
ОТВЕТ: 865.

№ 7. Вычислите: 1) 9 м 41 см + 4 м 72 см; 2) 18 ч 18 мин – 5 ч 24 мин.
ОТВЕТЫ: 1) 9 м 41 см + 4 м 72 см = 13 м 113 см = 14 м 13 см.
2) 18 ч 18 мин — 5 ч 24 мин = 17 ч 78 мин — 5 ч 24 мин = 12 ч 54 мин.

№ 8. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (563 + 721) – 363; 2) 982 – (316 + 582).
ОТВЕТЫ: 1) (563 + 721) – 363 = (563 – 363) + 721 = 200 + 721 = 921;
2) 982 – (316 + 582) = (982 – 582) – 316 = 400 – 316 = 84.

 

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Вы смотрели: Мерзляк 5 класс Контрольная № 2 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 5 классе «Сложение и вычитание натуральных чисел. Числовые и буквенные выражения. Формулы» УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Математика 5 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Итоговая контрольная работа по геометрии 10 класс для УМК Мерзляк Базовый уровень Вариант 1 с ответами и решениями. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Геометрия 10 Мерзляк КР-6.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Итоговая контрольная. Вариант 1

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Сторона правильного треугольника равна 6√3 см. Точка М равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки М на плоскость треугольника является точка, принадлежащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 6√2 см.
ОТВЕТ: 9 см.

Краткое решение:
1. Пусть треугольник ABC — правильный, AB = BC = AC = 6√3 см.
2. Точка M равноудалена от всех сторон → её проекция O на плоскость треугольника — центр вписанной окружности (для правильного треугольника это также центр описанной окружности и точка пересечения медиан).
3. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника:
r = a√3/6 = 6√3 • √3/6 = 6 • 3/6 = 3 см.
4. Расстояние от M до стороны треугольника — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — расстояние от M до плоскости MO = 6√2 см, а второй — радиус вписанной окружности r = 3 см.
d = √{(6√2)² + 3²} = √{72 + 9} = √81 = 9 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть полное РЕШЕНИЕ

№ 2. Точка А находится на расстоянии 3 см от плоскости α. Наклонные АЕ и AF образуют с плоскостью α углы 60° и 30° соответственно. Найдите расстояние между точками Е и F, если угол между проекциями наклонных на плоскость α равен 120°.
ОТВЕТ: √39 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Через вершину В треугольника АВС, в котором АВ = ВС = 6 см, АС = 8 см, проведён перпендикуляр МВ к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями АВС и АМС, если МВ = 2√15 см.
ОТВЕТ: 60°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом α. Большая диагональ параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
ОТВЕТ: (d² • sin (2β)) / cos (α/2).

Краткое решение:
1. Пусть сторона ромба = a, острый угол = α. Большая диагональ ромба: d₁ = 2a cos(α/2) (так как в ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам).
2. Высота параллелепипеда h: большая диагональ параллелепипеда d наклонена к плоскости под углом β. Проекция этой диагонали на основание — большая диагональ ромба d₁.
cos β = d₁/d ⇒ d₁ = d cos β.
Также h = d sin β.
3. Из d₁ = 2a cos(α/2) = d cos β выразим a:
a = d cos β/(2 cos(α/2)).
4. Площадь боковой поверхности: S_{бок} = P_{осн} • h = 4a • h.
S_{бок} = 4 • d cos β/(2 cos(α/2)) • d sin β = (2 d² sin β cos β)/(cos(α/2)) = (d² sin 2β)/(cos(α/2)).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

№ 5. Боковые грани DAB и DAC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ∠ACB = 90°, АС = 8 см, ВС = 6 см, а расстояние от точки D до прямой ВС равно 17 см.
ОТВЕТ: 186 см².
Внимание! В некоторых ГДЗ встречается ответ = 204 см². Но мы не нашли подтверждения правильности такого ответа.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

Другой вариант Итоговой контрольной:

КР-6. Вариант 2

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по геометрии для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-6.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии.

 

Контрольная работа № 5 по геометрии для 10 класса «Многогранники» УМК Мерзляк Базовый уровень Вариант 1. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Геометрия 10 Мерзляк КР-5 в1.
Вернуться к Списку контрольных

 

Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная № 5. Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её боковое ребро равно 5 см.

Решение:
1. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора:
\[
c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
\]
2. Площадь основания (прямоугольного треугольника):
\[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2
\]
3. Периметр основания:
\[
P_{\text{осн}} = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}
\]
4. Площадь боковой поверхности (боковое ребро = высоте призмы = 5 см):
\[
S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120 \text{ см}^2
\]
5. Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 120 + 2 \cdot 24 = 120 + 48 = 168 \text{ см}^2
\]
✅ Ответ: 168⁢ см².

---

№ 2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(4\sqrt{3}\) см, а высота пирамиды — \(2\sqrt{6}\) см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:
1. Найдем боковое ребро.
— В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности около основания:
\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}
\]
— Расстояние от центра основания до вершины (высота пирамиды) \(h = 2\sqrt{6}\) см.
— Боковое ребро \(l\) находим по теореме Пифагора из треугольника, образованного высотой, радиусом описанной окружности и ребром:
\[
l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 + 4 \cdot 6} = \sqrt{16 + 24} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см}
\]
2. Найдем площадь боковой поверхности.
— Апофема (высота боковой грани) \(m\). Радиус вписанной окружности в основание:
\[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ см}
\]
— Апофема:
\[
m = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 2^2} = \sqrt{24 + 4} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см}
\]
— Площадь одной боковой грани:
\[
S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot m = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{21} \text{ см}^2
\]
— Боковых граней 3, значит:
\[
S_{\text{бок}} = 3 \cdot 4\sqrt{21} = 12\sqrt{21} \text{ см}^2
\]
✅ Ответ: 1) \(2\sqrt{10}\) см; 2) \(12\sqrt{21}\) см².

---

№ 3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 22 см, а боковое ребро — \(4\sqrt{5}\) см.

Решение:
1. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде основания — квадраты. Боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
2. Найдем высоту боковой грани (апофему усечённой пирамиды). Рассмотрим одну боковую грань — трапецию с основаниями 6 см и 22 см и боковой стороной \(4\sqrt{5}\) см.
3. Проведем высоту трапеции. Разность оснований:
\[
22 — 6 = 16 \text{ см}
\]
Половина этой разности (проекция бокового ребра на основание):
\[
\frac{16}{2} = 8 \text{ см}
\]
4. Высота трапеции \(h\) (апофема) по теореме Пифагора:
\[
h = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 — 8^2} = \sqrt{16 \cdot 5 — 64} = \sqrt{80 — 64} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}
\]
5. Площадь одной боковой грани (трапеции):
\[
S_{\text{грани}} = \frac{6 + 22}{2} \cdot 4 = \frac{28}{2} \cdot 4 = 14 \cdot 4 = 56 \text{ см}^2
\]
6. Боковых граней 4, следовательно:
\[
S_{\text{бок}} = 4 \cdot 56 = 224 \text{ см}^2
\]
✅ Ответ: \(224\) см².

---

№ 4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной \( a \) и углом \( \alpha \) при вершине. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \( \beta \). Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2) высоту пирамиды.
Решение:
1. Анализ основания.
В основании — равнобедренный треугольник \( ABC \) (\( AB = AC = a \), угол при вершине \( A \) равен \( \alpha \)).
Найдем основание \( BC \) и высоту основания \( AH \):
\[
BC = 2a \sin\frac{\alpha}{2}, \quad AH = a \cos\frac{\alpha}{2}.
\]
Площадь основания:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} a^2 \sin\alpha.
\]
2. Проекция вершины пирамиды.
Так как двугранные углы при ребрах основания равны \( \beta \), то вершина \( S \) проецируется в центр вписанной окружности основания (точку \( O \)).
Радиус вписанной окружности для треугольника \( ABC \):
\[
r = \frac{S_{\text{осн}}}{p},
\]
где \( p = a + a \sin\frac{\alpha}{2} \) — полупериметр.
Вычислим:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} a^2 \sin\alpha = a^2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2},
\]
\[
p = a + a \sin\frac{\alpha}{2} = a\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right).
\]
Тогда:
\[
r = \frac{a^2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{a\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{a \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{1 + \sin\frac{\alpha}{2}}.
\]
3. Высота пирамиды.
В треугольнике \( SOA \) (где \( O \) — центр вписанной окружности, \( A \) — точка касания с боковой стороной) угол между апофемой и плоскостью основания равен \( \beta \).
Радиус \( r \) — проекция апофемы на основание, а высота \( h \) — противолежащий катет:
\[
h = r \cdot \tan\beta = \frac{a \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{1 + \sin\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan\beta.
\]
4. Площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из трех граней. Апофемы всех граней равны:
\[
l = \frac{h}{\sin\beta} = \frac{r}{\cos\beta}.
\]
Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l,
\]
где \( P_{\text{осн}} = 2a + 2a \sin\frac{\alpha}{2} = 2a\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right) \).
Подставляем:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 2a\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{r}{\cos\beta} = a\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cos\beta} \cdot \frac{a \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{1 + \sin\frac{\alpha}{2}}.
\]
Сокращаем:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{a^2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\beta}.
\]
Учитывая, что \( \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \sin\alpha \), получаем:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{a^2 \sin\alpha}{2 \cos\beta}.
\]
✅ Ответ:
1) \( S_{\text{бок}} = \dfrac{a^2 \sin\alpha}{2 \cos\beta} \).
2) \( h = \dfrac{a \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{1 + \sin\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan\beta \).

---

№ 5. В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 18 см, проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Это сечение является треугольником со сторонами 3 см и 8 см и углом 60° между ними. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение:
1. Понимание задачи.
В наклонной призме сечение, перпендикулярное боковому ребру, называется *перпендикулярным сечением*. Его периметр, умноженный на длину бокового ребра, дает площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = P_{\text{сеч}} \cdot L,
\]
где \( L = 18 \) см — длина бокового ребра.
2. Нахождение периметра сечения.
В сечении — треугольник. Известны две стороны \( a = 3 \) см, \( b = 8 \) см и угол \( \gamma = 60^\circ \) между ними.
Найдем третью сторону \( c \) по теореме косинусов:
\[
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos\gamma = 3^2 + 8^2 — 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ.
\]
Так как \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \):
\[
c^2 = 9 + 64 — 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 73 — 24 = 49.
\]
Следовательно, \( c = 7 \) см.
3. Периметр сечения:
\[
P_{\text{сеч}} = 3 + 8 + 7 = 18 \text{ см}.
\]
4. Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 18 \cdot 18 = 324 \text{ см}^2.
\]
Проверка:
— Третья сторона найдена верно: \( 3^2 + 8^2 — 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0.5 = 49 \), \( \sqrt{49}=7 \).
— Периметр: \( 3+8+7=18 \).
— Умножение: \( 18 \cdot 18 = 324 \).
Всё верно.
✅ Ответ: \( S_{\text{бок}} = 324 \) см².

 

Другой вариант:

КР-5. Вариант 2

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии «Многогранники» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-5 в1.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии.

Контрольная работа № 4 по геометрии для 10 класса «Угол между прямой и плоскостью» УМК Мерзляк Базовый уровень Вариант 1. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Геометрия 10 Мерзляк КР-4 в1.
Вернуться к Списку контрольных.

 

Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная № 4. Вариант 1

Тема: Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Из точки А проведены к плоскости α наклонные АЕ и AF, образующие с ней углы 30° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AF на плоскость α, если проекция наклонной АЕ на эту плоскость равна 6 см.
ОТВЕТ: 2 см.

Краткое решение:
Пусть \( O \) — основание перпендикуляра из точки A на плоскость α. Тогда AO — общий перпендикуляр.
Проекция AE на плоскость — это отрезок OE, и по условию OE = 6 см.
Угол между AE и плоскостью равен 30°, значит, в прямоугольном треугольнике AOE:
\[
tg\; 30^\circ = \frac{AO}{OE} \implies AO = OE \cdot tg\; 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.
\]
Теперь рассмотрим треугольник AOF. Угол между AF и плоскостью равен 60°, поэтому:
\[
tg\; 60^\circ = \frac{AO}{OF} \implies OF = \frac{AO}{tg\; 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2.
\]

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Точка В принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на 4√3 см. Найдите расстояние от точки В до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна 60°.
ОТВЕТ: 8 см.

Краткое решение:
Пусть двугранный угол образован плоскостями \( \alpha \) и \( \beta \), ребро — прямая \( l \). Точка B лежит в плоскости \( \alpha \). Расстояние от B до плоскости \( \beta \) — это длина перпендикуляра \( BC \), где \( C \in \beta \), и \( BC = 4\sqrt{3} \).
Расстояние от B до ребра \( l \) — это длина перпендикуляра \( BD \), где \( D \in l \).
Угол между плоскостями равен 60°, значит, угол между перпендикулярами к ребру в каждой плоскости тоже 60°.
В прямоугольном треугольнике \( BCD \) угол \( \angle BDC = 60^\circ \) (так как BC перпендикулярна \(\beta\), а BD — наклонная к \(\beta\)). Тогда:
\[
\sin 60^\circ = \frac{BC}{BD} \implies BD = \frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8.
\]

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Угол между плоскостями треугольников АВМ и АВК равен 30°, AM = ВМ = 20 см, АК = ВК = 2√67 см, АВ = 32 см. Найдите отрезок МК.
ОТВЕТ: 2√21 см.

Краткое решение: Треугольники ABM и ABK — равнобедренные с общим основанием AB. Найдем высоты, проведенные к AB.
В треугольнике ABM: \( M_1 \) — середина AB, \( AM_1 = BM_1 = 16 \).
Высота \( MM_1 = \sqrt{AM^2 — AM_1^2} = \sqrt{400 — 256} = \sqrt{144} = 12 \).
В треугольнике ABK: \( K_1 \) — середина AB, \( AK_1 = 16 \).
Высота \( KK_1 = \sqrt{AK^2 — 16^2} = \sqrt{4 \cdot 67 — 256} = \sqrt{268 — 256} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
Угол между плоскостями равен углу между высотами \( MM_1 \) и \( KK_1 \), так как они перпендикулярны AB.
По теореме косинусов для треугольника \( M K K_1 \):
\[
MK^2 = MM_1^2 + KK_1^2 — 2 \cdot MM_1 \cdot KK_1 \cdot \cos 30^\circ = 144 + 12 — 2 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Упростим: \( 2 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot 2 \cdot 3 = 72 \).
Тогда \( MK^2 = 156 — 72 = 84 \implies MK = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Объяснение: рассмотрим треугольник ABM, опустим высоту МН, которая будет еще и медианой, т.к треугольник равнобедренный. По такому же принципу и в треугольнике ABK КН. Соединим точки МК. Нужно найти сторону МК. Находим HМ^2=MB^2-(AB/2)^2= 400-256=144. Следовательно, HM = 12. Так же находим HK = √12.
MK^2 = 144+12-2*12*√12*cos 30 = 156 — 24 * √12 * √3/ 2 = 84.
MK = √84 = 2√21.

№ 4. Плоскости α и β перпендикулярны. Прямая а — линия их пересечения. В плоскости α выбрали точку А, а в плоскости β — точку В такие, что расстояния от них до прямой а равны 4 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если расстояние между их проекциями на прямую а равно 2√2 см.
ОТВЕТ: 7 см.

Краткое решение: Пусть \( A_1 \) и \( B_1 \) — проекции точек A и B на прямую a.
Тогда \( AA_1 = 4 \), \( BB_1 = 5 \), \( A_1B_1 = 2\sqrt{2} \).
Так как плоскости перпендикулярны, отрезки \( AA_1 \) и \( BB_1 \) перпендикулярны друг другу (один лежит в α, другой в β, а a — линия пересечения). Пространственное расстояние AB находится по теореме Пифагора для трех взаимно перпендикулярных отрезков:
\[
AB^2 = AA_1^2 + BB_1^2 + A_1B_1^2 = 16 + 25 + 8 = 49 \implies AB = 7.
\]

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Через вершину В квадрата ABCD провели перпендикуляр МВ к плоскости квадрата. Угол между прямой MD и плоскостью квадрата равен 60°. Найдите угол между плоскостями АВС и MCD.
ОТВЕТ: arctg√6 ≈ 67,8°.

 

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Альтернативное решение (через векторы), для проверки основного решения. Используем формулу: угол между плоскостями равен углу между нормалями.
Нормаль к ABC — это MB (или любая прямая, перпендикулярная квадрату).
Нормаль к MCD: найдем векторное произведение векторов \( \vec{MC} \) и \( \vec{MD} \).
Введем координаты: B(0,0,0), A(0,a,0), C(a,0,0), D(a,a,0), M(0,0, \( a\sqrt{6} \)).
Тогда \( \vec{MC} = (a, 0, -a\sqrt{6}) \), \( \vec{MD} = (a, a, -a\sqrt{6}) \).
Векторное произведение:
\( \vec{n} = \vec{MC} \times \vec{MD} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -a\sqrt{6} \\ a & a & -a\sqrt{6} \end{vmatrix} = i(0 \cdot (-a\sqrt{6}) — (-a\sqrt{6}) \cdot a) — j(a \cdot (-a\sqrt{6}) — (-a\sqrt{6}) \cdot a) + k(a \cdot a — 0 \cdot a) \)
Вычислим:
\( i: 0 + a^2\sqrt{6} = a^2\sqrt{6} \)
\( j: -( -a^2\sqrt{6} + a^2\sqrt{6}) = -0 = 0 \)
\( k: a^2 — 0 = a^2 \)
Итого \( \vec{n} = (a^2\sqrt{6}, 0, a^2) \).
Нормаль к ABC — это, например, \( \vec{m} = (0,0,1) \) (ось z).
Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормалями:
\[
\cos \varphi = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{a^2}{1 \cdot \sqrt{6a^4 + a^4}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}.
\]
Тогда \( tg\; \varphi = \sqrt{7 — 1} = \sqrt{6} \).
Значит, \( \varphi = \arctan \sqrt{6} \).

 

Другой вариант:

КР-4. Вариант 2

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-4 в1.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии.

Контрольная работа № 3 по геометрии для 10 класса с ответами «Перпендикулярность прямой и плоскости» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-3.

 

Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 3.

КР-3 Вариант 1 (задания)

КР-3 Вариант 2 (задания)

1. На рисунке 110 изображён прямоугольный треугольник АВС (∠ACB = 90°). Через точку С проведена прямая DC, перпендикулярная прямой АС. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости BCD.
2. Через вершину В правильного треугольника АВС со стороной б см проведена прямая МВ, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки М до прямой АС равно 2√13 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.
3. Точка D находится на расстоянии 17 см от каждой вершины прямоугольного треугольника АВС (∠ACB = 90°). Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если АС = 10√2 см, ВС = 2√14 см.
4. Через вершину С квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр КС. Точка К удалена от стороны АВ на 9 см, а от плоскости квадрата — на 3√7 см. Найдите диагональ квадрата.
5. Сторона ромба равна 4 см, а острый угол — 60°. Точка М удалена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба.

---

 

Ответы на контрольную работу № 3

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. На рисунке 103 изображён ромб ABCD. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая МО, перпендикулярная прямой АС. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости BMD.
ОТВЕТ: MO ⊥ AC;  MO ∈ BMD  =>  BMD ⊥ AC, ч.т.д.

№ 2. Через вершину А прямоугольного равнобедренного треугольника АВС с гипотенузой АВ, равной 8 см, проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно 2 см. Найдите расстояние от точки D до прямой ВС.
ОТВЕТ: 6 см.

№ 3. Точка F равноудалена от всех вершин прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см и находится на расстоянии 2√11 см от плоскости прямоугольника. Найдите расстояние от точки F до вершин прямоугольника.
ОТВЕТ: 12 см.

№ 4. Через вершину В квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр МВ. Точка М удалена от стороны AD на 9√2 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если его диагональ равна 14 см.
ОТВЕТ: √113 см.

№ 5. Точка S равноудалена от сторон трапеции ABCD (ВС || AD) и находится на расстоянии √7 см от её плоскости. Найдите расстояние от точки D до сторон трапеции, если CD = 12 см, ∠ADC = 45°.
ОТВЕТ: √31 см.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. На рисунке 110 изображён прямоугольный треугольник АВС (∠ACB = 90°). Через точку С проведена прямая DC, перпендикулярная прямой АС. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости BCD.
ОТВЕТ: DC ⊥ AC;  AC ⊥ CB  =>  AC ⊥ BCD.

№ 2. Через вершину В правильного треугольника АВС со стороной б см проведена прямая МВ, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки М до прямой АС равно 2√13 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.
ОТВЕТ: 5 см.

№ 3. Точка D находится на расстоянии 17 см от каждой вершины прямоугольного треугольника АВС (∠ACB = 90°). Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если АС = 10√2 см, ВС = 2√14 см.
ОТВЕТ: √33 см.

№ 4. Через вершину С квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр КС. Точка К удалена от стороны АВ на 9 см, а от плоскости квадрата — на 3√7 см. Найдите диагональ квадрата.
ОТВЕТ: 2,4 см.

№ 5. Сторона ромба равна 4 см, а острый угол — 60°. Точка М удалена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба.
ОТВЕТ: 3 см.

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии «Перпендикулярность прямой и плоскости» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-3.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии.

 

Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ).

Контрольная работа № 1 по геометрии для 10 класса «Аксиомы стереометрии и следствия из них» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта).  Геометрия 10 Мерзляк КР-1. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень».

 

Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 1.

КР-1. Вариант 1.

1. На рисунке 97 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АВ₁С₁ и ABB₁.
2. Даны точки А, В и С такие, что АВ = 2 см, ВС = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
3. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. На прямой АВ отметили точку D, на прямой ВС — точку В, а на прямой DE — точку М. Докажите, что точки А, С и М лежат в одной плоскости.
4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SCD пирамиды SABCD (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SBD.
5. Точки М и К принадлежат соответственно рёбрам SB и SC тетраэдра SABC, а точка N — грани АВС (рис. 99), причём прямые МК и ВС не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

 

КР-1. Вариант 2.

1. На рисунке 104 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АСС₁ и DCC₁.
2. Даны точки А, В и С такие, что АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
3. Прямые а и b пересекаются в точке О. На прямой а отметили точку А, на прямой b — точку B, а на прямой АВ — точку С. Докажите, что прямые а, b и точка С лежат в одной плоскости.
4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABCD (рис. 105). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
5. Точки М и N принадлежат соответственно рёбрам АВ и АС призмы ABCA₁B₁C₁, а точка К — грани ВВ₁С₁С (рис. 106), причём прямые MN и ВС не параллельны. Постройте сечение призмы плоскостью MNK.

 

ОТВЕТЫ на КР-1 Вариант 1

№ 1. На рисунке 97 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АВ₁С₁ и ABB₁.
ОТВЕТ: AB₁.

№ 2. Даны точки А, В и С такие, что АВ = 2 см, ВС = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: бесконечное множество.
ОБОСНОВАНИЕ: Из аксиомы стереометрии следует, что через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит ровно 1 плоскость. Точки А, В и С могут находиться на одной прямой, так как 2 + 3 равно 5 (точка А на прямой ВС).

№ 3. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. На прямой АВ отметили точку D, на прямой ВС — точку Е, а на прямой DE — точку М. Докажите, что точки А, С и М лежат в одной плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Так как точки А, В, С не лежат на одной прямой, то существует единственная плоскость а, проходящая через эти точки (аксиома стереометрии). То есть, а = (АВС).
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая (все точки прямой) принадлежит этой плоскости. Так как точки А и В принадлежат а, то и прямая АВ принадлежит а, и точка D на прямой АВ тоже принадлежит а.
Аналогично, прямая ВС принадлежит а, и точка Е принадлежит а. Из этого следует, что прямая DE также принадлежит плоскости а. Но тогда любая точка этой прямой, в том числе точка М, принадлежит а, что и требовалось доказать.

№ 4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SCD пирамиды SABCD (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SBD.
ОТВЕТ: Из точки С в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью SBD. Получили прямые СК и СР.
Прямая КР — след пересечения плоскости, проходящей через прямые CK и CP с плоскостью SBD. Прямая КР принадлежит плоскости SBD, так как точки К и Р принадлежат этой плоскости.
Проводим прямую MN до пересечения с прямой КР. Точка О – это точка пересечения прямых MN и KP. Следовательно, точка О – точка пересечения с плоскостью SBD.

№ 5. Точки М и К принадлежат соответственно рёбрам SB и SC тетраэдра SABC, а точка N — грани АВС (рис. 99), причём прямые МК и ВС не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
ОТВЕТ: Продлить отрезок МК до пересечения с продлением ребра ВС. От этой точки через точку N будет проходить линия пересечения с плоскостью основания. Далее через точки пересечения следа с рёбрами основания проводятся линии сечения.

 

Аналогично решаются задания Варианта 2.

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для 10 класса (2 варианта) УМК Мерзляк Базовый уровень. Геометрия 10 Мерзляк КР-1 с ответами.

Вернуться к Списку контрольных работ (по 2 варианта)

Ещё 4 варианта контрольной № 1 из Методички (по 4 варианта)

 

Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ).