Геометрия 7 Контрольная 2 В34 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Треугольники» (варианты 3, 4) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Методическое пособие + Ответы и решения.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2
Вернуться к списку работ (в Оглавление)
Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2 (В-3, В-4)
Тема контрольной: Треугольники.
К-2 Варианты 3, 4 (задания)
Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. Докажите равенство треугольников ABM и CDM (рис. 46), если AM = CM и ∠BAM = ∠DCM.
Дано: ∆АВМ и ∆СDM, АМ=СМ, ∠ВАМ=∠DCM.
Доказать: ∆АВМ = ∆СDM.
Доказательство: так как 1) ∠ВАМ=∠DCM по условию,
2) АМ = СМ по условию,
3) ∠АМВ=∠CMD как вертикальные, то
∆АВМ = ∆СDM по 2-му признаку равенства треугольников (Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника).
№ 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 49 см, а основание на 7 см больше боковой стороны.
Дано: ∆ABC — равнобедренный; Рabc = 49 см; основание на 7см больше боковой стороны.
Найти: АВ, ВС, АС – ?
Решение: Рabc = АВ + ВС + АС.
Пусть АВ = ВС = x, тогда АС = х + 7;
49 = х + х + х + 7 => 42 = 3х => х = 14.
AB = BC = 14 (см); АС = х + 7 =21 (см).
ОТВЕТ: 21 см, 14 см, 14 см.
№ 3. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки M и K так, что BM = BK. Докажите, что ∠BAK = ∠BCM.
Доказательство: Рассмотрим ∆АВК и ∆СВМ. Так как
1) ∠В – общий угол для этих треугольников,
2) АВ = СВ, так как треугольник АВС – равнобедренный по условию,
3) ВМ = ВК — по условию задачи.
Следовательно, ∆АВК и ∆СВМ равны по двум сторонам и углу между ними (1-й признак рав-ва ∆). В равных треугольника напротив равных сторон лежат равные углы. Следовательно, ∠ВАК = ∠ВСМ, что и требовалось доказать.
№ 4. Известно, что CK = DK и ∠CKP = ∠DKP (рис. 47). Докажите, что ∠MCP = ∠MDP.
Дано: CK = DK, ∠CKP = ∠DKP.
Доказать: ∠MCP = ∠MDP.
Доказательство: 1) CK = DK (по условию), ∠CKP = ∠DKP (по условию), PK – общая, следовательно ΔCPK = ΔDPK (1–й признак, по 2-м сторонам и углу между ними),
2) CK = DK (по условию), ∠CKP = ∠DKP (по условию), МK – общая, следовательно ΔMCK = ΔMDK (1–й признак, по 2-м сторонам и углу между ними),
3) так как ΔCPK = ΔDPK, то CP = PD, а так как ΔMCK = ΔMDK, то CM = MD, MP – общая. Следовательно, ΔMCP = ΔMDP (3–й признак, по трем сторонам).
4) из равенства ΔMCP = ΔMDP следует, что ∠MCP = ∠MDP.
№ 5. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC пересекает его сторону BC в точке D. Найдите периметр треугольника ABD, если AB = 10 см, BC = 15 см.
Решение: Рассмотрим треугольник ΔACD. Так как DO серединный перпендикуляр, то АO = СO. Так как DO перпендикуляр к АС, тогда ДO высота и медиана треугольника АСD, а следовательно АСD равнобедренный треугольник, АD = СD. Периметр треугольника АВD равен: РABD = АВ + ВD + АD = АВ + СD + ВD = АВ + ВС = 10 + 15 = 25 см.
ОТВЕТ: PABD = 25 см.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2
Геометрия 7 Контрольная 2 В34
Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Докажите равенство треугольников ABD и ACD (рис. 48), если AB = AC и BD = CD.
Дано: ∆АВD и ∆AСD, АB = AС, BD = CD.
Доказать: ∆АВD = ∆AСD.
Доказательство: так как 1) АB = AС по условию,
2) BD = CD по условию,
3) АD – общая, то
∆АВD = ∆AСD по 3-му признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
№ 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 40 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.
Решение: Пусть основание равно x см, тогда боковая сторона равна (x+2) см. Две боковые стороны равны (по определению равнобедренного треугольника). Тогда периметр треугольника
Р = x + (x+2) + (x+2) = 40;
3x + 4 = 40 => 3x = 36 => x = 36/3 = 12 (см).
Следовательно, основание = 12см;
боковая сторона = х+2 = 12+2 = 14 (см).
ОТВЕТ: 12 см, 14 см, 14 см.
№ 3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки D и E так, что AD = CE, точка D лежит между точками A и E. Докажите, что ∠ABD = ∠ CBE.
Доказательство: ΔABC — равнобедренный, поэтому AB = CB (как боковые стороны) и ∠BAC = ∠BCD (как углы при основании).
ΔABD = ΔCBE по двум сторонам и углу между ними (AD = CE; AB = CB; ∠BAD = ∠BCE ⇒ 1–й признак рав-ва);
В равных треугольника напротив равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠ABD=∠CBE, что и требовалось доказать.
№ 4. Известно, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA (рис. 49). Докажите, что BK = AK.
Доказательство: 1) ΔSBK = ΔSAT по стороне и двум прилежим к ней углам (ST – общая сторона; ∠BST = ∠AST; ∠STB = ∠STA ⇒ 2-й признак), поэтому BT = AT.
2) ΔBKT = ΔAKT по двум сторонам и углу между ними (BT = AT; KT – общая сторона; ∠ATK = ∠BTK ⇒ 1-й признак), поэтому AK = BK, что и требовалось доказать.
№ 5. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC, перпендикуляр на его медиане CM и делит её пополам. Найдите сторону AC, если AB = 18 см.
Решение: Обозначим точку пересечения прямой, проходящей через точку А, перпендикулярно CM, и прямой CM, точкой H.
Рассмотрим ΔCAM:
MH = HC ⇒ AH – медиана;
AH⊥MC ⇒ AH – высота;
ΔCAM – равнобедренный (MC – основание), поскольку AH – высота и медиана;
Тогда AC = AM, как боковые стороны равнобедренного треугольника.
AM = BM, поскольку CM — медиана ΔABC проведённая из вершины C;
AM = AB/2 = 18 : 2 = 9 (см); AC = AM = 9 (см).
ОТВЕТ: АС = 9 см.
Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 2 В34 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Треугольники» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир (варианты 3, 4).
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2
Смотреть аналогичную контрольную № 2 из Дидактички (2 варианта)
Вернуться к Списку контрольных из Методички (4 варианта)
Справочный материал:
