ОТВЕТЫ на КР-2 Геометрия 7 Мерзляк

ОТВЕТЫ на КР-2 Геометрия 7 Мерзляк «Треугольники» — это ответы на контрольную работу № 2  (в 2-х вариантах) из пособия для учащихся «Геометрия. Дидактические материалы. 7 класс ФГОС» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, изд-во «Вентана-Граф»), которые используются в комплекте с учебником «Геометрия 7 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) системы «Алгоритм успеха».

Вернуться к Списку контрольных работ

 

КОНТРОЛЬНАЯ № 2. Треугольники

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1.

№ 1. Докажите равенство треугольников MBF и DBF (рис. 266), если ∠MBF = ∠DBF, ∠MFB = ∠DFB.
Решение:
В треугольниках MBF и DBF сторона BF — общая, ∠MBF = ∠DBF и ∠MFB = ∠DFB по условию. Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
✅ Ответ: BF общая, углы равны ⇒ по 2 признаку. Доказано.

№ 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 84 см, а боковая сторона на 18 см больше основания.
Решение:
Пусть основание x см, тогда боковая сторона x + 18 см.
Периметр: x + 2(x + 18) = 84
x + 2x + 36 = 84
3x = 48
x = 16 — основание.
Боковая сторона: 16 + 18 = 34 см.
✅ Ответ: АВ = ВС = 34 см, АС = 16 см.

№ 3. На рисунке 267 DP = РЕ, DK = КЕ. Докажите равенство углов KDM и КЕМ.
Решение:
1) Треугольники DPK и EPK равны по трём сторонам (DP = PE, DK = EK, PK — общая) ⇒ ∠KDP = ∠KEP.
2) Треугольники MDK и MEK равны по двум сторонам и углу между ними (DK = EK, MK — общая, ∠DKM = ∠EKM из равенства треугольников DPK и EPK) ⇒ ∠KDM = ∠KEM.
✅ Ответ: ΔDPK = ΔEKP по 3 пр. ΔMDK = ΔMEK по 1 пр. ⇒ ∠KDM = ∠KEM. Доказано.

№ 4. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Е и F такие, что AE = CF. Докажите, что ∠ACE = ∠CAF.

Решение: В равнобедренном треугольнике ABC: AB = BC, ∠BAC = ∠BCA.
AE = CF по условию ⇒ BE = AB − AE = BC − CF = BF.
Рассмотрим треугольники AEC и CFA:
AC — общая, AE = CF, ∠EAC = ∠FCA (углы при основании равнобедренного треугольник► а) ⇒ ΔAEC = ΔFCA по первому признаку (две стороны и угол между ними) ⇒ ∠ACE = ∠CAF.
✅ Ответ: ΔAEC = ΔFCA по 1 признаку ⇒ углы равны. Доказано.

№ 5. Серединный перпендикуляр стороны АВ треугольника АВС пересекает его сторону АС в точке D. Найдите периметр треугольника BDC, если АС = 8 см, ВС = 6 см.
Решение:

Точка D лежит на серединном перпендикуляре к AB ⇒ AD = BD (свойство серединного перпендикуляра).
Периметр ΔBDC = BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC = 8 + 6 = 14 см.
✅ Ответ: Р = 14 см.

---

КР-2 Геометрия 7 Мерзляк

ОТВЕТЫ на Вариант 2.

№ 1. Докажите равенство треугольников ABD и CDB (рис. 275), если ∠ABD = ∠CDB и АВ = CD.
Решение:
В треугольниках ABD и CDB:
1) BD — общая сторона;
2) AB = CD (по условию);
3) ∠ABD = ∠CDB (по условию).
Следовательно, ΔABD = ΔCDB по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
✅ Ответ: ΔABD = ΔCDB по 1 признаку. Доказано.

№ 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 76 см, а основание на 14 см меньше боковой стороны.
Решение:
Пусть боковая сторона = x см, тогда основание = x ─ 14 см.
Периметр: x + x + (x ─ 14) = 76
3x ─ 14 = 76
3x = 90
x = 30
Боковые стороны: 30 см, основание: 30 ─ 14 = 16 см.
✅ Ответ: АВ = ВС = 30 см, АС = 16 см.

№ 3. На рисунке 276 ∠ABE = ∠CBE, ∠AEB = ∠CEB. Докажите равенство отрезков AD и CD.
Решение:
1) ΔABE и ΔCBE:
BE — общая,
∠ABE = ∠CBE,
∠AEB = ∠CEB ⇒ ΔABE = ΔCBE по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).
Значит, AB = CB, AE = CE.
2) ΔAED и ΔCED:
AE = CE,
ED — общая,
∠AED = ∠CED (как смежные с равными углами AEB и CEB, либо из равенства ΔABE и ΔCBE следует ∠AEB = ∠CEB, а их смежные углы равны) ⇒ ΔAED = ΔCED по первому признаку.
Следовательно, AD = CD.
✅ Ответ: ΔABE = ΔCBE по 2 пр., ΔAED = ΔCED по 1 пр. ⇒ AD = CD. Доказано.

№ 4. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ∠BAK = ∠BCM. Докажите, что ВМ = ВК.
Указание к решению: Если провести биссектрису угла B, то получим точку O пересечения AK и CM, и доказываем через равенство ΔAOM = ΔCOK, затем ΔMOB = ΔKOB.

Дано: ΔABC (AB = BC);   M, K ∈ AB, BC;   ∠BAK = ∠BCM.
Доказать:  BM = BK.
Решение: 1) ∠BAK = ∠BCM (по усл.);  ∠KAC = ∠BAC – ∠BAK  и  ∠MCA = ∠BCA – ∠BCM;  ∠BAC =  ∠BCA  ==>  ∠KAC = ∠MCA  ==>  ΔAOC – равнобедренный  ==>  AO = OC.
2) AO = OC;  ∠BAK = ∠BCM (по усл.);  ∠MOA = ∠KOC (вертик.)  ==>  ΔAOM = ΔCOK (по II пр–ку)  ==>  МО = ОК.
3) МО = ОК;  ВО – общая,  ∠MOB = ∠KOB  ==>  ΔMOB = ΔKOB (по I пр–ку)  ==>  BM = BK.
✅ Ответ: ΔAOM = ΔCOK по 2 пр., ΔMOB = ΔKOB по 1 пр. ⇒ BM = BK. Доказано.

№ 5. Серединный перпендикуляр стороны АС треугольника АВС пересекает его сторону АВ в точке К. Найдите сторону АВ треугольника АВС, если ВС = 7 см, а периметр треугольника ВКС равен 23 см.
Решение:

Серединный перпендикуляр к AC проходит через её середину H. KH ⊥ AC, AH = CH.
Тогда ΔAKH = ΔCKH по первому признаку (AH = CH, KH общая, углы при H прямые) ⇒ AK = CK.
Периметр ΔBKC = BK + KC + BC = BK + AK + BC = AB + BC = 23 см.
BC = 7 см ⇒ AB = 23 − 7 = 16 см.
✅ Ответ: AB = 16 см.

 

---

Вы смотрели: ОТВЕТЫ на КР-2 Геометрия 7 Мерзляк «Треугольники» — ГДЗ контрольной работы № 2 по Геометрии в 7 классе (2 варианта), которая используется в комплекте с учебником «Геометрия 7 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) системы «Алгоритм успеха».

Вернуться к Списку контрольных работ (по 2 варианта)

Ещё 4 варианта контрольной № 2 с ответами (из Методички)

 

(с) Цитаты из учебного пособия «Геометрия. Дидактические материалы 7 класс» использованы в учебных целях.