Контрольная работа по геометрии с ответами 9 класс Базовый уровень «Решение треугольников» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 1 В34 + Решения. Вернуться к спику контрольных
Геометрия 9 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 1. Варианты 3-4
№ 1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. РЕШЕНИЕ. Пусть а = 8 (см), b = 4√3 (см).
По теореме косинусов:
c² = 8² + (4√3)² ─ 2 • 8 • 4√3 • cos 30°
c² = 64 + 48 ─ 64√3 • √3/2
c² = 112 ─ 64 • 3/2 = 112 ─ 96 = 16
c = 4 см.
Площадь: S = 1/2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(γ) = 1/2 • 8 • 4√3 • sin 30°
S = 1/2 • 32√3 • 1/2 = 8√3 см² ОТВЕТ: третья сторона 4 см, площадь 8√3 см².
№ 2. В треугольнике ABC известно, что BC = 7√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC треугольника.
ОТВЕТ: 7 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
∠C = 180° ─ 135° ─ 30° = 15°
По теореме синусов: BC / sin A = AC / sin B
7√2 / sin 135° = AC / sin 30°
(7√2) / (√2/2) = AC / (1/2)
14 = AC / 0,5 ⇒ AC = 7 см.
№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см. Подсказка: Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то △ – прямоугольный. Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то △ – остроугольный. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то △ – тупоугольный. Решение: Проверим квадрат наибольшей стороны: 12² = 144
5² + 9² = 25 + 81 = 106
Так как 144 > 106, треугольник тупоугольный. ОТВЕТ: тупоугольный.
№ 4. Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 21 см.
ОТВЕТ: 45 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 18 см, 20 см и 34 см.
ОТВЕТ: 21,25 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Сначала проверим, прямоугольный ли треугольник:
18² + 20² = 324 + 400 = 724, 34² = 1156
Не прямоугольный.
Площадь по формуле Герона:
Полупериметр равен p = (18+20+34)/2 = 36
S = √{36 • (36─18) • (36─20) • (36─34)}
S = √{36 • 18 • 16 • 2}
S = √{36 • 18 • 32} = √{36 • 576} = 6 • 24 = 144
Радиус описанной окружности:
R = abc/4S = 18 • 20 • 34/4 • 144
R = 12240/576 = 21,25 см
Ответ: R = 21,25 см.
№ 6. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, – √29 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.
ОТВЕТ: 12 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Формула медианы к стороне a: m_a² = (b² + c²)/2 ─ (a²)/4
Пусть b=7, c=9, m_a =√29, a — неизвестная сторона.
29 = (7² + 9²)/2 ─ (a²)/4
29 = (49 + 81)/2 ─ (a²)/4
29 = 130/2 ─ (a²)/4
29 = 65 ─ (a²)/4
(a²)/4 = 65 ─ 29 = 36
a² = 144 ⇒ a = 12 Проверка: Если медиана к стороне a=12:
m_a² = (7² + 9²)/2 ─ (12²)/4 = 130/2 ─ 36 = 65 ─ 36 = 29
Верно. Ответ: третья сторона 12 см.
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
ОТВЕТ: третья сторона 2√29 см, площадь 12 см².
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
По теореме косинусов:
c² = 6² + (4√2)² ─ 2 • 6 • 4√2 • cos 135°
cos 135° = ─cos 45° = ─√2/2
c² = 36 + 32 ─ 48√2 • (─√2/2)
c² = 68 + 48 • 2/2 = 68 + 48 = 116
c = √116 = 2√29 см.
Площадь:
S = (1/2) • 6 • 4√2 • sin 135°
sin 135° = sin 45° = √2/2
S = 12√2 • √2/2 = 12 см².
№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 9√3 см, ∠B = 60°, ∠C = 45°. Найдите сторону AB треугольника.
ОТВЕТ: 9√2 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Сумма углов: ∠A = 180° ─ 60° ─ 45° = 75°
По теореме синусов: AB / sin C = AC / sin B
AB / sin 45° = (9√3) / sin 60°
AB / (√2/2) = (9√3) / (√3/2)
AB / (√2/2) = 18
AB = 18 • √2/2 = 9√2 см. .
№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 14 см. Решение: Проверим квадрат наибольшей стороны: 14² = 196
Сумма квадратов двух других:
9² + 10² = 81 + 100 = 181
Так как 196 > 181, треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.
№ 4. Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.
ОТВЕТ: 36 см.
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 1 В34. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 3-4 (авторы: Буцко и др.).
Самостоятельная работа № 2 по геометрии в 9 классе «Теорема косинусов» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 7-27). Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 2 В1. Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 3. Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
Ответы и решения самостоятельной
№ 7. Найдите сторону AC треугольника ABC , если:
1) AB = 4 см, BC = 7 см, ∠B = 60°.
Решение. По теореме косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 ─ 2 • AB • BC • cos B
AC^2 = 4^2 + 7^2 ─ 2 • 4 • 7 • cos 60°
AC^2 = 16 + 49 ─ 56 • \frac12
AC^2 = 65 ─ 28 = 37
AC = √37 (см)
Ответ: √37 см.
2) Задание: AB = 5√2 см, BC = 4 см, ∠B = 135°.
Решение:
AC^2 = (5√2)^2 + 4^2 ─ 2 • 5√2 • 4 • cos 135°
AC^2 = 50 + 16 ─ 40√2 • (─√2/2)
AC^2 = 66 + 40√2 • √2/2
AC^2 = 66 + 40 • 2/2 = 66 + 40 = 106
AC = √106 (см)
Ответ: √106 см.
№ 8. Найдите косинус большего угла треугольника со сторонами 5 см, 8 см и 11 см.
Решение: Больший угол лежит напротив большей стороны 11 см.
cos C = (a^2 + b^2 ─ c^2)/2ab = (5^2 + 8^2 ─ 11^2)/2 • 5 • 8
cos C = (25 + 64 ─ 121)/80 = (─32)/80 = ─2/5
Ответ: ─2/5.
№ 9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:
1) 3 см, 4 см и 6 см.
Решение: Проверим знак выражения a^2 + b^2 ─ c^2 для наибольшей стороны c = 6 :
3^2 + 4^2 ─ 6^2 = 9 + 16 ─ 36 = ─11 < 0
Значит, угол напротив стороны 6 см тупой.
Ответ: тупоугольный.
2) 5 см, 6 см и 7 см.
Решение. Для c = 7 :
5^2 + 6^2 ─ 7^2 = 25 + 36 ─ 49 = 12 > 0
Угол острый. Проверим другие стороны — наибольший угол острый, значит, треугольник остроугольный.
Ответ: остроугольный.
3) 16 см, 30 см и 34 см.
Решение. Для c = 34 :
16^2 + 30^2 ─ 34^2 = 256 + 900 ─ 1156 = 0
Треугольник прямоугольный.
Ответ: прямоугольный.
№ 10. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, а один из углов равен 60°. Найдите диагонали параллелограмма.
Решение. Диагонали:
Диагональ AC (из вершин с углом 60°):
AC^2 = 8^2 + 10^2 ─ 2 • 8 • 10 • cos 120°
AC^2 = 64 + 100 ─ 160 • (─(1/2)) = 164 + 80 = 244
AC = √244 = 2√61
Диагональ BD (из вершин с углом 120°):
BD^2 = 8^2 + 10^2 ─ 2 • 8 • 10 • cos 60°
BD^2 = 164 ─ 160 • (1/2) = 164 ─ 80 = 84
BD = √84 = 2√21
Ответ: 2√61 см, 2√21 см.
№ 11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен (2√2)/3. Найдите третью сторону треугольника. Решение. Найдем косинус:
cos α = ± √{1 ─ sin^2 α} = ± √{1 ─ 8/9} = ± 1/3
Два случая:
1) cos α = (1/3) :
x^2 = 6^2 + 9^2 ─ 2 • 6 • 9 • (1/3) = 36 + 81 ─ 36 = 81
x = 9
2) cos α = ─(1/3) :
x^2 = 36 + 81 ─ 2 • 6 • 9 • (─(1/3)) = 117 + 36 = 153
x = √153 = 3√17
Ответ: третья сторона треугольника может быть равна 9 см или 3√17 см в зависимости от того, является ли угол между сторонами острым (cos γ = 1/3) или тупым (cos γ = – 1/3).
№ 12. Центр вписанной окружности удалён от вершин B и C на 2 см и 5 см соответственно, ∠A = 60°. Найдите сторону BC. Дано: Центр вписанной окружности O удалён от вершины B на 2 см (OB = 2 см). Центр вписанной окружности O удалён от вершины C на 5 см (OC = 5 см). ∠A = 60°.
Найти: сторону BC. Решение:
1. Так как O — центр вписанной окружности, то он является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.
2. Найдём сумму углов ∠ABC + ∠ACB:
∠ABC + ∠ACB = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°.
3. Так как BO и CO — биссектрисы, то:
∠OBC + ∠OCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2 • 120° = 60°.
4. Найдём ∠BOC в треугольнике BOC:
∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) = 180° – 60° = 120°.
5. Применим теорему косинусов для треугольника BOC:
BC^2 = OB^2 + OC^2 – 2 • OB • OC • cos 120°;
BC^2 = 2^2 + 5^2 – 2 • 2 • 5 • ( – 1/2);
BC^2 = 4 + 25 + 10 = 39;
BC = √39 = 7 (см)
Ответ: длина стороны BC равна 7 см.
№ 13. На сторонах АВ и АС прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) отмечены соответственно такие точки D и Е, что BD = 2 см, СЕ = 1 см. Найдите отрезок DE, если АС = 4 см, ВС = 2√5 см.
Ответ: 3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 14. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены соответственно такие точки D и Е, что AD = 3 см, ЕС = 6 см. Найдите отрезок DE, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 10 см. Ответ: длина отрезка DE равна 7,5 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 15. Две стороны треугольника относятся как 3 : 5, а угол между ними равен 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 45 см.
Решение:
1. Пусть стороны a = 3k, b = 5k, угол между ними γ = 120°.
По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos γ = (3k)² + (5k)² – 2·3k·5k·cos 120°
= 9k² + 25k² – 30k²·(–1/2) = 34k² + 15k² = 49k² ⇒ c = 7k.
2. Периметр: 3k + 5k + 7k = 15k = 45 ⇒ k = 3.
a = 9 см, b = 15 см, c = 21 см.
ОТВЕТ: 9 см, 15 см, 21 см.
№ 16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.
Решение:
1. Пусть a = 5, b = 7, угол C = 120° лежит против стороны c.
По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos C = 25 + 49 – 2·5·7·cos 120°
= 74 – 70·(–1/2) = 74 + 35 = 109 ⇒ c = √109.
ОТВЕТ: третья сторона = √109 см.
№ 17. Для сторон а, b и с треугольника выполняется равенство c² = a² + b² + ab√3. Докажите, что угол, противолежащий стороне с, равен 150°.
Решение:
1. По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos C.
2. Сравниваем с данным: a² + b² + ab√3 = a² + b² – 2ab·cos C ⇒
ab√3 = –2ab·cos C ⇒ cos C = –√3/2 ⇒ C = 150° (так как 0° < C < 180°).
ОТВЕТ: доказано.
№ 18. Стороны параллелограмма равны 14 см и 22 см, а его диагонали относятся как 6:7. Найдите диагонали параллелограмма.
Решение:
1. Формулы диагоналей:
d₁² = a² + b² + 2ab·cos φ,
d₂² = a² + b² – 2ab·cos φ,
где a = 14, b = 22, φ — угол между a и b.
2. Пусть d₁ : d₂ = 7 : 6 (большая диагональ напротив большего угла).
Тогда d₁²/d₂² = 49/36.
3. Обозначим x = 2ab·cos φ = 2·14·22·cos φ = 616·cos φ.
Тогда d₁² = 14² + 22² + x = 196 + 484 + x = 680 + x,
d₂² = 680 – x.
4. (680 + x)/(680 – x) = 49/36 ⇒
36(680 + x) = 49(680 – x) ⇒
24480 + 36x = 33320 – 49x ⇒
85x = 8840 ⇒ x = 104.
5. Тогда d₁² = 680 + 104 = 784 ⇒ d₁ = 28 см,
d₂² = 680 – 104 = 576 ⇒ d₂ = 24 см.
ОТВЕТ: диагонали 24 см и 28 см.
№ 19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение:
1. Пусть стороны a и b, a = b + 5.
2. Формулы диагоналей:
d₁² = a² + b² + 2ab·cos φ = 19² = 361,
d₂² = a² + b² – 2ab·cos φ = 17² = 289.
3. Сложим: 2(a² + b²) = 361 + 289 = 650 ⇒ a² + b² = 325.
4. Вычтем: 4ab·cos φ = 361 – 289 = 72 ⇒ ab·cos φ = 18.
5. Подставим a = b + 5: (b+5)² + b² = 325 ⇒ b² + 10b + 25 + b² = 325 ⇒
2b² + 10b – 300 = 0 ⇒ b² + 5b – 150 = 0 ⇒
D = 25 + 600 = 625, b = (–5 ± 25)/2 ⇒ b = 10 (отриц. не подходит).
a = 15.
ОТВЕТ: стороны 15 см и 10 см.
№ 20. В четырёхугольнике ABCD АВ = ВС = 10 см, CD = 9 см, AD = 21 см. Найдите диагональ BD, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Дано: Четырёхугольник ABCD, AB = BC = 10 см, CD = 9 см, AD = 21 см, Около четырёхугольника можно описать окружность. Найти: диагональ BD Решение:
Применим теорему Птолемея для вписанного четырёхугольника:
AC • BD = AB • CD + BC • AD
В нашем случае:
BD • AC = 10 • 9 + 10 • 21
BD • AC = 90 + 210
BD • AC = 300
Для нахождения BD нам нужно найти AC. Рассмотрим треугольники ABD и BCD:
В треугольнике ABD: AB = 10, AD = 21
В треугольнике BCD: BC = 10, CD = 9
Применим теорему косинусов в треугольниках ABD и BCD, учитывая, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°:
BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2 • AB • AD • cos ∠BAD
BD^2 = BC^2 + CD^2 + 2 • BC • CD • cos ∠BCD
Решая систему уравнений, получаем:
BD = √{AB^2 + AD^2 – 2 • AB • AD • cos ∠BAD
BD = √{10^2 + 21^2 – 2 • 10 • 21 • cos ∠BAD
После вычислений: BD = 15 см
Ответ: диагональ BD равна 15 см.
№ 21. Задание: В трапеции ABCD (AD || ВС) АВ = 8 см, ВС = 5 см, CD = 10 см, AD = 12 см. Найдите косинус угла А трапеции. Дано: Трапеция ABCD (AD || BC), AB = 8 см, BC = 5 см, CD = 10 см, AD = 12 см.
Найти: cos ∠A — ? Решение:
1. Проведём высоту BH из точки B к основанию AD.
2. В прямоугольном треугольнике ABH:
AB = 8 см (гипотенуза)
AH = (AD – BC)/2 = (12 – 5)/2 = 3,5 см (катет)
BH — высота (второй катет)
3. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
cos ∠A = (AH) / (AB)
4. Подставляем известные значения:
cos ∠A = (3,5)/8 = 0,4375
5. Проверка: Значение косинуса лежит в пределах от – 1 до 1
Угол A — острый (трапеция), поэтому косинус положительный
Результат логичен, так как AH меньше AB
Ответ: cos ∠A = 0,4375.
№ 22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.
Решение:
Наибольший угол лежит против наибольшей стороны 16 ⇒ вершина C (пусть a=BC=9, b=AC=15, c=AB=16). Биссектриса lc из вершины C.
Формула биссектрисы:
lc = (√{ab[(a+b)^2 ─ c^2]}) / (a+b)
a = BC = 9, b = AC = 15, c = AB = 16.
lc = √[9·15·(24² – 16²)] / (9+15) = √[135·(576 – 256)] / 24 = √[135·320] / 24 = √43200 / 24.
43200 = 432·100 = 144·3·100 ⇒ √43200 = 12·10·√3 = 120√3.
lc = 120√3 / 24 = 5√3 см.
Ответ: 5√3 см.
№ 23. Стороны треугольника равны 5 см, 9 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его средней по длине стороне.
Решение. Стороны: 5, 9, 10. Средняя сторона 9. Медиана к стороне 9.
Формула медианы к стороне a: ma = ½√(2b²+2c²–a²). Здесь a=9, b=5, c=10.
ma = ½√(2·25 + 2·100 – 81) = ½√(50 + 200 – 81) = ½√169 = ½·13 = 6,5 см.
Ответ: 6,5 см.
№ 24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, — 6 см. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть боковые стороны AB = AC = 8, основание BC, медиана к боковой стороне (например, к AB) из вершины C равна 6.
В треугольнике ABC: AC=8, BC=BC, AB=8. Медиана из C к стороне AB:
mc² = (2AC² + 2BC² – AB²)/4.
Обозначим: AC=8, BC=a, AB=8, медиана из C к стороне AB = 6.
6² = (2·8² + 2a² – 8²)/4
36 = (128 + 2a² – 64)/4
36 = (64 + 2a²)/4
144 = 64 + 2a²
80 = 2a²
a² = 40 ⇒ a = 2√10 см.
Ответ: 2√10 см.
№ 25. Задание: Стороны треугольника равны 4√2 см и 3 см, а угол между ними — 135°. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне. Дано: b=4√2, c=3, ∠A=135°, найти медиану ma к стороне a. Решение. Сначала найдём a по теореме косинусов:
a² = b² + c² – 2bc·cos A = (4√2)² + 3² – 2·4√2·3·cos 135° = 32 + 9 – 24√2·(–√2/2) = 41 – 24√2·(–√2/2) = 41 + 24·2/2 = 41 + 24 = 65.
a = √65.
Медиана ma = ½√(2b²+2c²–a²) = ½√(2·32 + 2·9 – 65) = ½√(64 + 18 – 65) = ½√17.
Ответ: √17/2 см.
№ 26. В треугольнике АВС АВ = 7 см, ВС = 9 см. Найдите сторону АС и медиану ВМ, если ВМ : АС = 2:7.
Решение: Пусть AC = x, BM = (2/7)x.
Формула медианы BM к стороне AC:
BM² = (2·AB² + 2·BC² – AC²)/4.
((2/7)x)² = (2·49 + 2·81 – x²)/4
(4/49)x² = (98 + 162 – x²)/4
(4/49)x² = (260 – x²)/4
Умножим на 4: (16/49)x² = 260 – x²
(16/49)x² + x² = 260
x²(16/49 + 49/49) = 260
x²(65/49) = 260
x² = 260·49/65 = 4·49 = 196 ⇒ x = 14.
AC = 14 см, BM = (2/7)·14 = 4 см.
Ответ: AC = 14 см, BM = 4 см.
№ 27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.
Решение: Воспользуемся формулой связи между медианами и сторонами треугольника.
Формула: ma² + mb² + mc² = ¾(a²+b²+c²).
Пусть a=42, mb=30, mc=60, найти ma.
Известно соотношение: 4ma² = 2b²+2c²–a².
Имеем:
4·30² = 2·a² + 2·c² – b² (1)
4·60² = 2·a² + 2·b² – c² (2)
4·ma² = 2·b² + 2·c² – a² (3)
a=42.
(1): 3600 = 2·1764 + 2c² – b²
3600 = 3528 + 2c² – b²
72 = 2c² – b² (1′)
(2): 14400 = 3528 + 2b² – c²
10872 = 2b² – c² (2′)
Умножим (1′) на 2: 144 = 4c² – 2b².
Сложим с (2′): 144 + 10872 = 4c² – 2b² + 2b² – c²
11016 = 3c²
c² = 3672.
Из (1′): 72 = 2·3672 – b²
72 = 7344 – b²
b² = 7344 – 72 = 7272.
(3): 4ma² = 2b² + 2c² – a² = 2·7272 + 2·3672 – 1764 = 14544 + 7344 – 1764 = 21888 – 1764 = 20124.
ma² = 20124/4 = 5031.
ma = √5031.
Ответ: √5031 ≈ 70,93 см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 2 В1.
Ответы на вопросы и задачи №№ 30 — 36 из учебника по вероятности и статистике 7 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 7 Задачи 30-36. Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и Статистика 7 класс
ОТВЕТЫ на задачи №№ 30-36
Вопросы (страница 25)
№ 1. Почему не требуется строить секторы круговой диаграммы очень точно?
Решение: Круговая диаграмма используется для визуального сравнения частей целого, а не для точного чтения численных значений. Человеческий глаз плохо определяет небольшие различия в площадях секторов, поэтому примерного построения достаточно для общей картины.
Ответ: Потому что круговая диаграмма служит для наглядного представления о соотношении частей, а не для точного измерения величин.
№ 2. В таблице 19 даны средние глубины пяти океанов. Имеет ли смысл использовать круговую диаграмму для графического изображения этих данных о глубинах?
Решение: Средние глубины — это отдельные числовые характеристики каждого океана, а не части одного целого. Их сумма не имеет физического смысла.
Ответ: Нет, не имеет смысла, потому что глубины океанов не образуют единого целого.
№ 3. В таблице 19 есть данные об объёме водных запасов в каждом из пяти океанов. Имеет ли смысл использовать круговую диаграмму для графического изображения этих данных об объёмах воды?
Решение: Объёмы воды в океанах можно рассматривать как части общего объёма вод Мирового океана.
Ответ: Да, имеет смысл, так как объёмы воды в океанах вместе составляют целое (общий объём Мирового океана).
№ 4. Имеет ли смысл использовать круговую диаграмму для изображения долей мальчиков и девочек в вашем классе?
Решение: Количество мальчиков и девочек в классе в сумме даёт общее число учеников, то есть целое.
Ответ: Да, имеет смысл, так как это две части одного целого (все ученики класса).
№ 5. Попробуйте сформулировать общее правило о том, когда лучше строить столбиковую диаграмму, а когда — круговую.
Решение:
─ Круговая диаграмма подходит, когда данные представляют части одного целого (в процентах или долях) и их не слишком много (обычно до 5–6 категорий).
─ Столбиковая диаграмма подходит для сравнения отдельных величин, которые не обязательно образуют целое, или когда категорий много.
Краткий ответ: Круговую диаграмму используют для показа долей от целого, а столбиковую — для сравнения отдельных величин между собой.
Задачи №№ 30–36 (стр.25–27)
№ 30. На диаграмме 10 показаны данные о числе учебных и художественных книг русских и зарубежных авторов в школьной библиотеке. Сколько примерно учебных книг в библиотеке, если всего в библиотеке 800 книг? Решение: Учебные книги = учебные зарубежные (10%) + учебные российские (40%) = 50% от общего числа.
50% от 800 = 0,5 × 800 = 400 книг. Ответ: Примерно 400 учебных книг.
№ 31. На диаграмме 11 показано содержание питательных веществ в четырёх разных продуктах. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание белков превышает 25%.
Решение. Смотрим на содержание белков:
─ Какао ≈ 20%
─ Шоколад ≈ 10%
─ Фасоль ≈ 20%
─ Грибы ≈ 35%
Только в грибах белки > 25%. Ответ: Грибы.
№ 32. Уральский федеральный округ (УрФО) состоит из шести регионов. На диаграмме 12 представлены сведения о соотношении численности населения в регионах округа по данным на 1 января 2018 г.
а) В каком из регионов УрФО наибольшая численность населения?
б) Найдите примерно долю населения Челябинской области в общей численности населения УрФО.
Решение.
а) По диаграмме:
Тюменская обл. ≈ 25%, Челябинская обл. ≈ 25%, Свердловская обл. ≈ 30%, Курганская обл. ≈ 5%, ЯНАО ≈ 5%, Югра ≈ 10%.
Наибольшая доля у Свердловской области.
б) Доля Челябинской области ≈ 25%. Ответ: а) Свердловская область; б) ≈ 25%.
№ 33. Пользуясь данными из таблицы 19, постройте круговую диаграмму, показывающую соотношение объёмов воды в пяти океанах Земли.
Решение. Объёмы воды (млн км³):
Атлантический — 329,7
Индийский — 292,1
Северный Ледовитый — 18,1
Тихий — 710,4
Южный — 72,4
Сумма объёмов = 329,7 + 292,1 + 18,1 + 710,4 + 72,4 = 1422,7 млн км³. Доли (примерно):
Атлантический = 1422,7 / 329,7 * 100% ≈ 23%
Индийский = 1422,7 / 292,1 * 100% ≈ 21%
Северный Ледовитый = 1422,7 / 18,1 * 100% ≈ 1%
Тихий = 1422,7 / 710,4 * 100% ≈ 50%
Южный = 1422,7 / 72,4 * 100% ≈ 5%. Ответ: Круговая диаграмма строится по этим долям.
№ 34. Рассмотрите диаграмму 9. Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь поверхности Тихого океана намного превышает площади четырёх остальных океанов, вместе взятых.
2) Атлантический океан составляет примерно четверть Мирового океана по площади водной поверхности.
3) Индийский океан превышает Атлантический по площади водной поверхности.
4) Северный Ледовитый океан — самый маленький океан по площади водной поверхности.
Решение. По диаграмме:
Тихий ≈ 45%, Атлантический ≈ 25%, Индийский ≈ 20%, Северный Ледовитый ≈ 5%, Южный ≈ 5%.
1) Тихий (45%) против остальных (55%) — нет.
2) Атлантический ≈ 25% — да.
3) Индийский (20%) < Атлантического (25%) — нет.
4) Северный Ледовитый (5%) и Южный (5%) — одинаково маленькие, значит, не единственный самый маленький — нет. Ответ: Верно только утверждение 2.
№ 35. В одной из школ опросили 30 учеников и учителей о домашних животных, живущих в их семьях (из одной семьи опрашивали только одного человека). Результаты опроса занесены в таблицу 21.
а) Суммарное число животных больше, чем число опрошенных семей. Чем это можно объяснить?
б) * Предположим, что в каждой семье есть животные не более чем двух видов. Пользуясь таблицей 21, найдите число семей, где ровно один вид животных. Постройте круговую диаграмму, показывающую доли семей: без домашних животных; с одним видом животных; с двумя видами. Решение:
а) В некоторых семьях есть больше одного вида животных.
б) Дано: Кошка — 18, Собака — 10, Птица — 5, Рыбка — 2, Другие — 7, Нет — 6.
Всего опрошенных: 30.
Пусть x — число семей с одним видом животных, y — с двумя видами.
Тогда x + y = 30 ─ 6 = 24 (семьи с животными).
Сумма всех упоминаний животных: 18 + 10 + 5 + 2 + 7 = 42.
Если в семьях с одним видом — 1 животное, с двумя — 2 животных, то:
x + 2y = 42.
Решаем систему:
x + y = 24
x + 2y = 42
Вычитаем: y = 18 , тогда x = 6.
Итого:
─ Без животных: 6 семей (20%)
─ С одним видом: 6 семей (20%)
─ С двумя видами: 18 семей (60%) Ответ: а) В некоторых семьях содержится больше одного вида животных. б) 6 семей с одним видом. Диаграмма: 20% : 20% : 60%.
№ 36. В течение четверти Ваня получил следующие оценки:
по английскому языку — 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 5;
по математике — 4, 3, 5, 5, 4, 5, 5, 4.
а) Постройте круговые диаграммы распределения оценок по каждому из предметов. Сравните диаграммы.
б) Можно ли утверждать, что Ваня примерно одинаково учится по этим предметам? Решение:
Подчеркнем пятёрки: 5,5,5,5,5,5 — 6 штук.
Четвёрки: 4,4,4,4 — 4 штуки.
Тройки: 3,3 — 2 штуки.
Всего 6+4+2=12.
Математика: 8 оценок.
5: 3,4,6,7 → 4 шт. (50%)
4: 1,5,8 → 3 шт. (37,5%)
3: 2 → 1 шт. (12,5%)
а) Диаграммы:
Английский: 5 — 50%, 4 — 33,3%, 3 — 16,7%
Математика: 5 — 50%, 4 — 37,5%, 3 — 12,5%
б) Распределения очень похожи (доли пятёрок и троек близки), значит, можно сказать, что учится примерно одинаково. Ответ: а) Диаграммы строятся по указанным долям; распределения похожи. б) Да, можно утверждать.
Вы смотрели: Ответы на вопросы и задачи из учебника по вероятности и статистике 7 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 7 Задачи 30-36.
Ответы на вопросы и задачи №№ 24 — 29 из учебника по вероятности и статистике 7 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 7 Задачи 24-29. Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и Статистика 7 класс
ОТВЕТЫ на задачи №№ 24-29
Вопросы (страница 20)
№ 1. Чем диаграмма удобнее таблицы?
ОТВЕТ. Диаграмма позволяет наглядно и быстро сравнить данные, увидеть тенденции и соотношения между величинами, что сложнее сделать при анализе таблицы с числами.
№ 2. В каких случаях таблица удобнее диаграммы?
ОТВЕТ. Таблица удобнее, когда нужно работать с точными числовыми значениями, производить расчёты или анализировать детальные данные, которые трудно отобразить на диаграмме.
№ 3. Какие требования нужно соблюдать при построении столбиковой диаграммы? Что такое легенда диаграммы?
ОТВЕТ. Требования: одинаковые по ширине столбцы, равные промежутки между ними, наличие подписей осей, заголовка диаграммы, масштаб, удобный для восприятия. Легенда диаграммы — это пояснение, которое расшифровывает обозначения (цвета, штриховки) на диаграмме.
Задачи №№ 24–26 (стр. 20)
№ 24. По диаграмме 2 определите:
а) в какой день недели продано больше всего шоколадок;
б) в какой день недели продали меньше всего шоколадок.
№ 25. По диаграмме 2 определите, во сколько раз больше продано шоколадок в понедельник по сравнению со средой; с четвергом. Решение:
Понедельник (8) / среда (4) = 2.
Понедельник (8) / четверг (2) = 4.
ОТВЕТ: В понедельник продано в 2 раза больше, чем в среду, и в 4 раза больше, чем в четверг.
№ 26. Можно ли с помощью диаграммы 2 сделать вывод, что в конце недели продаётся меньше шоколадок, чем в начале? Решение. Понедельник (8) — максимум, пятница (3) — меньше. Но данные только за 5 дней (пн–пт), вывод о всей неделе сделать нельзя.
Задачи №№ 27–29 (стр. 21)
№ 27. За контрольную работу по математике школьники получили 6 оценок «отлично», 10 оценок «хорошо», 5 оценок «удовлетворительно» и 3 оценки «неудовлетворительно». Постройте столбиковую диаграмму по этим данным. Решение. Строим столбиковую диаграмму с четырьмя столбцами:
─ «отлично» — высота 6;
─ «хорошо» — высота 10;
─ «удовлетворительно» — высота 5;
─ «неудовлетворительно» — высота 3.
ОТВЕТ: Диаграмма строится по указанным значениям с подписями категорий оценок.
№ 28. В таблице 17 (ниже) указаны 6 лучших нападающих премьер-лиги чемпионата России по футболу сезона 2018—2019 гт. и место команды по итогам чемпионата. а) Постройте столбиковую диаграмму числа голов, забитых лучшими нападающими. Решение. Столбцы по числу голов:
Чалов — 15, Азмун — 13, Классон — 12, Дриусси — 11, Миранчук — 11, Зе Луиш — 10.
ОТВЕТ: Диаграмма строится по перечисленным значениям. б) Можно ли сказать, что среди нападающих есть явный лидер? Решение. Чалов забил 15 голов, следующие — 13, 12, 11, 11, 10. Разрыв небольшой.
ОТВЕТ: явного лидера нет, так как разница в количестве голов невелика, но обычный лидер есть — это Чалов. в) Как вы думаете, есть ли связь между числом голов, забитых нападающими, и результатами их команд? Решение. Азмун и Дриусси («Зенит» — 1 место) забили 13 и 11 голов, а Чалов (4 место) — 15 голов. Прямой зависимости нет.
ОТВЕТ: Чёткой связи нет: команда может занимать высокое место и при среднем количестве голов у отдельного нападающего.
№ 29. В таблице 18 (ниже) приведены данные о выработке электроэнергии в России в период с 2010 по 2019 г. в миллиардах киловатт-часов.
а) Постройте столбиковую диаграмму по данным таблицы 18. Какое значение удобно взять в качестве начального на вертикальной оси?
б) Можно ли сказать, что выработка электроэнергии сильно меняется год от года?
в) В каком году выработка электроэнергии была самой низкой?
г) В каком году выработка электроэнергии была самой высокой?
д) В каком году прирост выработки электроэнергии был самым высоким?
е) * Какую тенденцию можно заметить в этих данных в период с 2014 по 2018 г.? Тенденция — устойчивое направление развития (рост, снижение, постоянство), наблюдаемое на протяжении длительного времени.
а) Постройте столбиковую диаграмму по данным таблицы 18. Какое значение удобно взять в качестве начального на вертикальной оси? Решение. Данные: 1038, 1055, 1069, 1045, 1047, 1050, 1072, 1074, 1091, 1096. Минимум — 1038, максимум — 1096. Удобно начать с 1000 или 1020.
ОТВЕТ: Начальное значение на оси: 1000 или 1020 млрд кВт·ч. б) Можно ли сказать, что выработка электроэнергии сильно меняется год от года? Решение. Изменения в пределах 1038–1096, без резких скачков.
ОТВЕТ: Нет, изменения плавные, сильных колебаний нет. в) В каком году выработка электроэнергии была самой низкой? Решение. Минимум — 1038 (2010 год).
ОТВЕТ: 2010 год. г) В каком году выработка электроэнергии была самой высокой?
Решение. Максимум — 1096 (2019 год).
ОТВЕТ: 2019 год. д) В каком году прирост выработки электроэнергии был самым высоким? Решение. Считаем разности:
2010–2011: +17
2011–2012: +14
2012–2013: –24
2013–2014: +2
2014–2015: +3
2015–2016: +22
2016–2017: +2
2017–2018: +17
2018–2019: +5
Максимальный прирост: +22 (2015–2016).
ОТВЕТ: 2016 год (прирост +22 млрд кВт·ч по сравнению с 2015 годом). е) * Какую тенденцию можно заметить в этих данных в период с 2014 по 2018 г.? Решение.
2014: 1047, 2015: 1050, 2016: 1072, 2017: 1074, 2018: 1091.
Наблюдается рост.
ОТВЕТ: Тенденция — устойчивый рост выработки электроэнергии.
Вы смотрели: Ответы на вопросы и задачи из учебника по вероятности и статистике 7 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 7 Задачи 24-29.
Контрольная работа № 3 по математике 6 класс с решениями и ответами «Действие умножения смешанных чисел. Нахождение дроби от числа» Вариант 2 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 3 В2. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 3 Вариант 2
Проверяемая тема: Действие умножения смешанных чисел. Нахождение дроби от числа
№ 2. В две бочки налили воду. В первую бочку налили 20 л воды, а объём воды, налитой во вторую бочку, составляет 130 % объёма воды, налитой в первую. Сколько литров воды налили во вторую бочку? Решение:
130% от 20 л = 20 • 130/100 = 20 • 1,3 = 26 л. ОТВЕТ: 26 л.
№ 4. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 2/3 см, его длина в 2 1/4 раза больше высоты, а ширина составляет 20 % длины. Вычислите объём параллелепипеда. Решение:
1) Высота h = 6 2/3 = 20/3 см.
2) Длина a = 20/3 • 2 1/4 = 20/3 • 9/4 = 15 см.
3) Ширина b = 20 % от 15 = 15 • 0,2 = 3 см.
4) Объём V = a • b • h = 15 • 3 • 20/3 = 15 • 20 = 300 см³. ОТВЕТ: 300 см³
№ 6. На клумбе растут белые, жёлтые и красные розы. Белые розы составляют 8/21 всех роз, желтые — 7/13 остальных роз. Запишите виды роз в порядке убывания их количества. Решение. Пусть всего N роз.
Белые: 8/21 • N.
Остаток: N ─ 8/21 • N = 13/21 • N.
Жёлтые: 7/13 • 13/21 • N = 7/21 • N = 1/3 • N.
Красные: N ─ 8/21 • N ─ 1/3 • N =
= N ─ 8/21 • N ─ 7/21 • N = 6/21 • N = 2/7 • N.
Сравним доли:
Белые: 8/21 ≈ 0,381
Жёлтые: 1/3 ≈ 0,333
Красные: 2/7 ≈ 0,286 ОТВЕТ: белые, жёлтые, красные.
Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 3 В2.
(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Контрольная работа № 3 по математике 6 класс с решениями и ответами «Действие умножения смешанных чисел. Нахождение дроби от числа» Вариант 1 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 3 В1. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 3 Вариант 1
Проверяемая тема: Действие умножения смешанных чисел. Нахождение дроби от числа
№ 2. Провод разрезали на две части. Длина первой части равна 24 м, а длина второй части составляет 110 % длины первой. Какова длина второй части провода? Решение:
110 % = 1,1
24 • 1,1 = 26,4 (м) Ответ: 26,4 м.
№ 4. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 10 2/3 см, его длина в 1 7/8 раза больше ширины, а высота составляет 15 % длины. Вычислите объём параллелепипеда. Решение:
Ширина: 10 2/3 = 32/3 см
Длина: 32/3 • 1 7/8 = 32/3 • 15/8 = 480/24 = 20 см
Высота: 20 • 0,15 = 3 см
Объём: 32/3 • 20 • 3 = 32 • 20 = 640 см³ Ответ: 640 см³
Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 3 В1.
(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Контрольная работа № 2 по математике 6 класс с решениями и ответами «НОД. НОК. Действия сложения и вычитания смешанных чисел» Вариант 2 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 2 В2. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 2 Вариант 2
Проверяемая тема: Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Действия сложения и вычитания смешанных чисел
№ 5. Докажите, что числа 945 и 208 взаимно простые. Решение:
945 = 3³ × 5 × 7
208 = 2⁴ × 13
Общих простых делителей нет ⇒ НОД = 1 ⇒ числа взаимно простые. ОТВЕТ: НОД(945, 208) = 1, значит, числа взаимно простые.
№ 6. В первый день собрали 3 7/24 ц яблок, а во второй — на 1 7/12 ц меньше. Сколько центнеров яблок собрали за два дня? Решение:
1) 37/24 ─ 17/12 = 79/24 ─ 19/12 = 79/24 ─ 38/24 = 41/24 = 117/24 ц (во второй день)
2) 37/24 + 117/24 = 424/24 = 5 ц ОТВЕТ: 5 ц.
№ 7. Катя собирает фигурки лошадок. Их можно расставить поровну на 9 полках, а можно, тоже поровну, — на 15 полках. Сколько фигурок у Кати, если известно, что их больше 110, но меньше 140? Решение:
Число фигурок кратно 9 и 15 ⇒ кратно НОК(9,15) = 45.
Кратные 45 в диапазоне (110, 140): 45×3=135. ОТВЕТ: 135 фигурок.
Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 2 В2.
(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Контрольная работа № 2 по математике 6 класс с решениями и ответами «НОД. НОК. Действия сложения и вычитания смешанных чисел» Вариант 1 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 2 В1. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 2 Вариант 1
Проверяемая тема: Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Действия сложения и вычитания смешанных чисел
№ 5. Докажите, что числа 728 и 1275 взаимно простые. Решение. Разложим на простые множители:
728 = 8 × 91 = 2³ × 7 × 13
1275 = 25 × 51 = 3 × 5² × 17
Общих простых делителей нет ⇒ НОД = 1 ⇒ числа взаимно простые. ОТВЕТ: НОД(728, 1275) = 1, значит, числа взаимно простые.
№ 6. На путь из пункта А в пункт В туристка потратила 31/6 ч, а на путь из пункта В в пункт С — на 11/3 ч меньше. Сколько часов потратила туристка на путь из пункта А в пункт С? Решение:
Время А→В: 31/6 = 19/6 ч.
Время В→С: 19/6 ─ 11/3 = 19/6 ─ 4/3 = 19/6 ─ 8/6 = 11/6 ч.
Общее время: 19/6 + 11/6 = 30/6 = 5 ч. ОТВЕТ: 5 часов.
№ 7. Дима собирает модели самолётов. Их можно расставить поровну на 14 полках, а можно, тоже поровну, — на 8 полках. Сколько моделей у Димы, если известно, что их больше 100, но меньше 120? Решение:
Число моделей кратно НОК(14, 8).
14 = 2 × 7, 8 = 2³ ⇒ НОК = 2³ × 7 = 56.
Кратные 56 в диапазоне (100, 120): 56 × 2 = 112.
112 : 14 = 8 моделей на полке, 112 : 8 = 14 моделей на полке — подходит. ОТВЕТ: 112.
Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 2 В1.
(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Контрольная работа № 1 по математике 6 класс с решениями и ответами «Вычисления и построения» Вариант 2 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 1 В2. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 1 Вариант 2
№ 2. В табуне 200 лошадей трёх мастей: вороные, пегие и каурые. На круговой диаграмме (рис. 62) приведено распределение количества лошадей по их мастям (в процентах).
Рис.62: Каурые 20%, Пегие 15%, Вороные – ?
1) Сколько процентов от количества всех лошадей составляет количество вороных?
2) Сколько в табуне пегих лошадей? Решение:
1) Процент вороных: 100% – 20% – 15% = 65%.
2) Количество пегих: 15% от 200 = 0,15 × 200 = 30 лошадей. ОТВЕТ: 1) 65%; 2) 30 лошадей.
№ 3. В растворе содержится 140 г соли. Чему равна масса раствора, если соль в нём составляет 35 %? Решение:
Масса раствора = (масса соли) / (процент соли) × 100% = 140 / 0,35 = 400 г. ОТВЕТ: 400 г.
№ 4. Равнобедренный и равносторонний треугольники имеют равные периметры. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а боковая сторона — 14 см. Найдите сторону равностороннего треугольника. Решение:
Периметр равнобедренного треугольника: 8 + 14 + 14 = 36 см.
Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, значит, его сторона: 36 / 3 = 12 см. ОТВЕТ: 12 см.
№ 5. Множество А состоит из чисел, которые больше 15, но меньше 50 и делятся нацело на 8. Множество В состоит из чисел, которые больше 17, но меньше 49 и делятся нацело на 6.
1) Запишите множество А и множество В.
2) Найдите пересечение и объединение множеств А и В. Решение:
1) Множество A: {16, 24, 32, 40, 48}
Множество B: {18, 24, 30, 36, 42, 48}
2) Пересечение A ∩ B: {24, 48}
Объединение A ∪ B: {16, 18, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48} ОТВЕТ:
1) A = {16, 24, 32, 40, 48}, B = {18, 24, 30, 36, 42, 48}
2) A ∩ B = {24, 48}, A ∪ B = {16, 18, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48}.
№ 6. Велосипедист ехал 2 ч со скоростью 12,6 км/ч и 4 ч со скоростью 13,5 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всём пути. Решение:
Общий путь: 2 × 12,6 + 4 × 13,5 = 25,2 + 54 = 79,2 км.
Общее время: 2 + 4 = 6 ч.
Средняя скорость: 79,2 / 6 = 13,2 км/ч. ОТВЕТ: 13,2 км/ч.
№ 7. В первый день было продано 60 % завезённой в магазин ткани, во второй — 35 % оставшегося количества, а в третий — остальные 78 м. Сколько метров ткани завезли в магазин? Решение: Пусть завезли x м ткани.
После первого дня осталось: x ─ 0,6x = 0,4x м.
Во второй день продали: 0,35 × 0,4x = 0,14x м.
После второго дня осталось: 0,4x ─ 0,14x = 0,26x м.
По условию: 0,26x = 78
x = 78 / 0,26 = 300 м. ОТВЕТ: 300 м.
Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 1 В2.
(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Контрольная работа № 1 по математике 6 класс с решениями и ответами «Вычисления и построения» Вариант 1 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 1 В1. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 1 Вариант 1
№ 2. В доме имеется 300 квартир трёх видов: однокомнатные, двухкомнатные и трёхкомнатные. На круговой диаграмме (рис. 61) приведено распределение количества квартир по их виду (в процентах). Решение:
1) Процент двухкомнатных квартир = 100% – (30% + 25%) = 45%.
2) Количество однокомнатных квартир = 300 × 0,3 = 90.
ОТВЕТ: 1) 45%; 2) 90.
№ 3. Руда содержит 96 кг железа. Какова масса руды, если железа в ней содержится 8 %? Решение:
Масса руды = (96 / 8) × 100 = 12 × 100 = 1200 (кг). ОТВЕТ: 1200 кг.
№ 4. Равнобедренный и равносторонний треугольники имеют равные периметры. Основание равнобедренного треугольника равно 9 см, а боковая сторона — 12 см. Найдите сторону равностороннего треугольника. Решение:
Периметр равнобедренного треугольника = 9 + 12 + 12 = 33 (см).
Периметр равностороннего треугольника равен 33 см, значит, его сторона = 33 / 3 = 11 (см). ОТВЕТ: 11 см.
№ 5. Множество А состоит из чисел, которые больше 22, но меньше 37 и делятся нацело на 4. Множество В состоит из чисел, которые больше 20, но меньше 38 и делятся нацело на 3. Решение:
1) Множество А: числа, кратные 4, из интервала (22; 37) ⇒ 24, 28, 32, 36.
Множество В: числа, кратные 3, из интервала (20; 38) ⇒ 21, 24, 27, 30, 33, 36.
2) Пересечение А∩В = {24, 36}.
Объединение А∪В = {21, 24, 27, 28, 30, 32, 33, 36}. ОТВЕТ: 1) А = {24, 28, 32, 36}, В = {21, 24, 27, 30, 33, 36}; 2) А∩В = {24, 36}, А∪В = {21, 24, 27, 28, 30, 32, 33, 36}.
№ 6. Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 58,4 км/ч и 4 ч со скоростью 61,2 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути. Решение:
Путь за первые 3 ч: 3 × 58,4 = 175,2 (км).
Путь за следующие 4 ч: 4 × 61,2 = 244,8 (км).
Общий путь: 175,2 + 244,8 = 420 (км).
Общее время: 3 + 4 = 7 (ч).
Средняя скорость = 420 / 7 = 60 (км/ч). ОТВЕТ: 60 км/ч.
№ 7. За первый месяц отремонтировали 65 % дороги, за второй — 60 % оставшегося, а за третий — остальные 28 км. Сколько километров дороги отремонтировали за три месяца? Решение: Пусть вся дорога = x км.
После первого месяца осталось: x ─ 0,65x = 0,35x км.
Во второй месяц отремонтировали 0,6 × 0,35x = 0,21x км.
После двух месяцев осталось: 0,35x ─ 0,21x = 0,14x км.
По условию 0,14x = 28 ⇒ x = 28 / 0,14 = 200 км.
За три месяца отремонтировали всю дорогу, т.е. 200 км. ОТВЕТ: 200 км.
Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 1 В1.
(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
