Рубрика: Ответы

Контрольно-измерительные материалы: Итоговая контрольная работа по курсу геометрии за 7-9 классы с ответами в 2-х вариантах (составитель вопросов — А.Н. Рурукин). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 7.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7-9 класс
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний за 7-9 классы

Вариант 1 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. В равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 5√2 см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины – на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.
ОТВЕТ: 3 ¹/₃ см.

№ 2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями, равными 12 см и 16 см.
ОТВЕТ: 576/25 • π см².

№ 3. Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если координаты вершин треугольника A (2; 5), B (0; 0), C (4; 3).
ОТВЕТ: 5.

№ 4. Точка M является серединой боковой стороны AB трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника MCD равна 28 см².
ОТВЕТ: 56 см².

№ 5. Окружность радиуса 2 см, центр O которой лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов. Найдите площадь треугольника ABC, если OA = √5 см.
ОТВЕТ: 9 см².

Вариант 2 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. В равнобедренный треугольник с основанием 14 см и боковой стороной 7√2 см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины – на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.
ОТВЕТ: 4 ²/₃ см.

№ 2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями, равными 16 см и 30 см.
ОТВЕТ: 14400/289 • π см².

№ 3. Найдите длину медианы CP треугольника ABC, если координаты вершин треугольника A (–3; –2), B (–13; 14), C (0; 0).
ОТВЕТ: 10.

№ 4. Точка M является серединой боковой стороны AB трапеции ABCD. Найдите площадь треугольника MCD, если площадь трапеции равна 38 см².
ОТВЕТ: 19 см².

№ 5. Окружность радиуса 3 см, центр O которой лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов. Найдите площадь треугольника ABC, если OA = √10 см.
ОТВЕТ: 24 см².

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по геометрии за 7-9 классы с ответами в 2-х вариантах. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 7.

Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольно-измерительные материалы: Итоговая контрольная работа по геометрии за 9 класс с ответами в 2-х вариантах (составитель вопросов — А.Н. Рурукин). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 6 (2 варианта).
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 9 класс
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний за 9 класс

Вариант 1 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. В параллелограмме ABCD точка E ∈ AC, AE : EC = 1 : 5. Разложите вектор СЕ по векторам а = AD и b = CD.
ОТВЕТ: –5/6 • а + 5/6 • b.

№ 2. Найдите косинус угла между векторами m = 2а – 3b, n = а + 2b, если |а| = 2, |b| = √3 и угол между векторами а и b равен 30°.
ОТВЕТ: –1/2.

№ 3. Около круга радиуса R описан правильный шестиугольник. Найдите разность между площадью шестиугольника и круга.
ОТВЕТ: (2√3 – π)R².

№ 4. Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки A (–1; 3) окружности, заданной уравнением x² + y² – 4х + 6у = 0.
ОТВЕТ: x² + y² + 8х – 18у + 84 = 0.

№ 5. Первая окружность радиуса 4 см касается трех сторон прямоугольника. Вторая окружность касается первой внешним образом, а также касается сторон прямого угла. Найдите максимальный радиус второй окружности, если стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см.
ОТВЕТ: 8(2 – √3) см.

Вариант 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. В параллелограмме ABCD точка Е ∈ BD, BE : ED = 1 : 4. Разложите вектор DE по векторам а = AD и b = CD.
ОТВЕТ: –4/5 • а – 4/5 • b.

№ 2. Найдите косинус угла между векторами m = 2а + 3b, n = а – 2b, если |а| = 2, |b| = √3 и угол между векторами а и b равен 30°.
ОТВЕТ: –(13√79) / 158.

№ 3. Около круга радиуса R описан правильный треугольник. Найдите разность между площадью треугольника и круга.
ОТВЕТ: (3√3 – π)R².

№ 4. Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки A (–2; 3) окружности, заданной уравнением x² + y² + 6х – 4у = 0.
ОТВЕТ: x² + y² + 2х – 8у + 4= 0.

№ 5. Первая окружность радиуса 9 см касается трех сторон прямоугольника. Вторая окружность касается первой внешним образом, а также касается сторон прямого угла. Найдите максимальный радиус второй окружности, если стороны прямоугольника равны 18 см и 20 см.
ОТВЕТ: 29 – 12√5 см.

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по геометрии за 9 класс с ответами в 2-х вариантах. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 6.

Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольная работа по геометрии в 8 классе с ответами «Многоугольники. Площадь многоугольника» Варианты 3, 4 для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Код материалов: Геометрия 8 Контрольная 6 В34 Мерзляк + Ответы.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 8 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 6

Многоугольники. Площадь многоугольника

КР-6 Варианты 3-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-6 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 22–угольника?
ОТВЕТ: 3600°.
Решение: Чтобы найти сумму внутренних углов выпуклого 22-угольника, воспользуемся формулой для суммы углов выпуклого n-угольника: Σ = 180° × (n−2). Подставим n = 22:
Σ = 180° × (22−2) = 180° × 20 = 3600°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 112 см², а одна из его высот – 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
ОТВЕТ: 8 см.
Краткое решение: S = ah  =>  a = S/h = 112 : 14 = 8 (см).

№ 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а один из катетов – 10 см.
ОТВЕТ: 120 см².
Решение: 1) а = √[26² – 10²] = √[676 – 100] = 24 (см)
2) S = ab/2 = 10 • 24 : 2 = 120 (см²)

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 70 см.
ОТВЕТ: 600 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: x² + (35 – x)² = 625
x = 20 или х = 15
площадь равна половине произведения диагоналей
S₁ = 40 • 30 : 2 = 600 (см²);   S₂ = 30 • 40 : 3 = 600 (см²)

№ 5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8√3 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
ОТВЕТ: 96 + 64√3 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: Площадь трапеции – это полусумма оснований на высоту.
S =1/2 • (BC + AD) • h
Высота известна: так как трапеция прямоугольная, меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям h = AB = 8√3.
Трапеция описанная. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны BC + AD = AB + CD.
Найдем CD. Опустим высоту CH и рассмотрим треугольник CDH.
∠HСD = 90°– 60° = 30°
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы, HD = CD/2
Пусть HD = x, CD = 2x, тогда по т.Пифагора
CH = √[CD² – HD²] = x • √[4 – 1] = x√3.
CH/CD = √3/2 => CD = 8√3 : √3/2 =16
Таким образом S = 1/2 • (8√3 + 16) • 8√3 = 96 + 64√3 (см²)

№ 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 67,5 см².

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого двадцатисемиугольника?
ОТВЕТ: 4500°.
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (27–2) = 4500°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 108 см2, а одна из его сторон – 18 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
ОТВЕТ: 6 см.
Решение: Для нахождения высоты параллелограмма, проведённой к стороне, необходимо разделить площадь параллелограмма на длину этой стороны.
S = ah  =>  h = S/a = 108 : 18 = 6 (см).

№ 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, высота которого, проведённая к основанию, равна 12 см, а боковая сторона – 37 см.
ОТВЕТ: 420 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 37 см, ВН – высота к основанию АС, ВН = 12 см.
Найти: S_АВС – ?

Решение: 1) НС² = ВС² – ВН² = 37² – 12².
НС = √[37² – 12²] = √[1369 – 144] = 35 (см);
2) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, ΔАВН = ΔВНС (по 1–му признаку). AC = АН + НС = 2НС = 70 (см)
3) S_АВС = 1/2 • АС • ВН = 1/2 • 70 • 12 = 420 (см²)

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 17 см, а разность диагоналей – 14 см.
ОТВЕТ: 240 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: Стороны ромба равны, диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половины диагоналей х и у.
Если 2у – 2х = 14, то у – х = 7.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора: АВ² = АО² + ВО².
Получаем систему уравнений: у – х = 7 и у² + х² = 289.
Возведем обе части первого уравнения в квадрат: у² + х² – 2ху = 49
Подставим значение суммы квадратов из второго уравнения: 289 – 2ху = 49.
2ху = 289 – 49
2ху = 240
S_ABCD = 1/2 • АС • BD = 1/2 • 2х • 2у = 2ху = 240 (см²)

№ 5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√3 см, а острый угол – 30°. Найдите площадь этой трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
ОТВЕТ: 150 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 240 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-6 Варианты 1-2

Смотрите также похожую работу:
Контрольная № 6 из Дидактички (2 варианта) с ответами

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме учебника «Многоугольники. Площадь многоугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Дидактические материалы для учителей, родителей и учащихся.

Вернуться к Списку контрольных работ.

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Контрольная работа по алгебре 10 класс с решениями «Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир (базовый уровень). Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс Контрольная 5 В34 + Ответы.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 5. Варианты 3-4

Тема: Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия. 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Упростите выражение:
1) tg 4a ctg 4a – (1 – cos² 9a) / (sin² 9a – 1);
2) sin 6β cos 2β – cos 6β sin 2β;
3) sin 14a / (2 cos 7a);
4) (sin 3a + sin 7a) / (cos 3a + cos 7a);
5) sin (2π – 7a) + cos (3π/2+ 7a);
6) 2 sin 4a sin 5a + cos 9a.
ОТВЕТЫ:
1) tg 4a ctg 4a – (1 – cos² 9a) / (sin² 9a – 1) = 1/(cos² 9a);
2) sin 6β cos 2β – cos 6β sin 2β = sin 4β;
3) sin 14a / (2 cos 7a) = sin 7a;
4) (sin 3a + sin 7a) / (cos 3a + cos 7a) = tg 5a;
5) sin (2π – 7a) + cos (3π/2+ 7a) = 0;
6) 2 sin 4a sin 5a + cos 9a = cos a.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Дано: cos a = –0,6, cos β = 15/17, π < a < 3π/2, 3π/2 < β < 2π. Найдите cos (a – β).
ОТВЕТ: cos (a – β) = –13/85.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Докажите тождество:
1) 1/(1 + tg 3a) – 1/(1 – tg 3a) = –tg 6a;
2) sin 5β ctg 10β – cos 5β = –1/(2 cos 5β);
3) (sin (π/2 – 6a) – cos (π + 4a) (sin (π – 6a) – cos (3π/2 + 4a)) / (1 + cos (2π + 10a)) = sin 2a.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 3 cos² a – 8 sin² a.
ОТВЕТ: наибольшее значение 3, наименьшее значение –8.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Упростите выражение:
1) tg 2a ctg 2a – (1 – 2sin² 5a)/(cos² 5a – 1);
2) cos 7φ cos 2φ + sin 7φ sin 2φ;
3) (2 sin 5a) / (sin 10a);
4) (sin 9a – sin 3a) / (cos 9a – cos 3a);
5) tg (π/2 + 5a) – ctg (2π – 5a);
6) 2 cos 10a cos 6a – cos 4a.
ОТВЕТЫ:
1) tg 2a ctg 2a – (1 – 2sin² 5a)/(cos² 5a – 1) = 1/(sin² a);
2) cos 7φ cos 2φ + sin 7φ sin 2φ = cos 5γ;
3) (2 sin 5a) / (sin 10a) = 1/(cos 5a);
4) (sin 9a – sin 3a) / (cos 9a – cos 3a) = –ctg 6a;
5) tg (π/2 + 5a) – ctg (2π – 5a) = 0;
6) 2 cos 10a cos 6a – cos 4a = cos 16a.

№ 2. Дано: sin а = 5/13, sin β = –24/25, 0 < a < π/2, π < β < 3π/2. Найдите sin (a – β).
ОТВЕТ: sin (a – β) = 253/325.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Докажите тождество:
1) tg 2α /(tg 2α – 1) – tg 2α / (tg 2α) = –tg 4α;
2) sin 4β + ctg 8β • cos 4β = 1/(2sin 4β);
3) (sin (π/2 + 7a) – cos (π – 3a)) (cos (3π/2 + 7a) + sin (2π + 3a)) / (1 – sin (3π/2 – 4a)) = sin 10a.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 3.1)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 3.2)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 3.3)

№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 6 sin² a – 4 cos² a.
ОТВЕТ: наибольшее значение 6, наименьшее значение –4.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2

Вы смотрели: Алгебра Мерзляк 10 класс Контрольная 5 В34. Контрольная работа по математике с ответами в 10 классе «Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. (базовый уровень)» использованы в учебных целях.

Итоговая контрольная работа по геометрии 7 класс с решениями Варианты 3-4 для УМК Мерзляк «Обобщение и систематизация знаний учащихся». Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 5 В34 + Ответы на все варианты.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний за год

K-5 Варианты 3, 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. В треугольнике MNK известно, что ∠M = 35°, ∠N = 80°. Укажите верное неравенство: 1) MK < MN; 2) MN < MK; 3) MN < KN; 4) MK < KN.
Рассуждение: Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠K = 180° – 35° – 80° = 65°. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ верно 2) MN < MK, так как ∠K < ∠N.
ОТВЕТ: 2).

№ 2. Докажите, что BD = NT (рис. 72), если KD = KT и ∠KDB = ∠KTN.
Доказательство: Так как 1) KD = KT по условию, 2) ∠KDB = ∠KTN по условию, 3) ∠К – общий, то △KDB = △KTN по 2–му признаку рав.треуг. Следовательно, BD = NT. Доказано.

№ 3. В треугольнике DFC известно, что ∠C = 62°. Биссектриса угла F пересекает сторону DC в точке K, ∠FKD = 100°. Найдите угол DFC.
Решение: ∠FKC = 180° – 100° = 80° (смежные)
∠KFC = 180° – 80° – 62° = 38° (сумма углов в треугольнике = 180°)
∠DFC = 2 • 38° = 76° (FK – биссектриса)
ОТВЕТ: 76°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5:2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.
Решение: AM = AK = CN = CK = 5x (отрезки касательных), а BM = BN = 2x
P = AB + BC + AC = (AM + MB) + (BN + NC) + (AK + KC)  =>
72 = 7x + 7x + 10x = 24x  =>  x = 3
AB = BC = 7x = 21 (см)
AC = 10x = 30 (см)
ОТВЕТ: 21 см, 21 см, 30 см.

№ 5. В треугольнике ABC известно, что AB = AC, отрезок AE — высота. На стороне AC отметили точку F такую, что FE = AF. Докажите, что EF || AB.

Доказательство: Так как AB = AC, то △АВС равнобедренный. Следовательно, и углы при основании ВС равны (∠В = ∠С). Высота АЕ – это медиана и биссектриса (из свойства равнобедренного треугольника), а значит ∠ВАЕ = ∠ЕАС. По условию задачи ЕF = AF, следовательно, △АFE равнобедренный (т.к. это боковые стороны). Значит и ∠АЕF = ∠FAE, а ∠FAE = ∠EAB (так как АЕ – биссектриса). Отсюда следует, что и ∠FEA = ∠EAB, а это накрест лежащие углы при секущей АЕ и они равны. Следовательно, по признаку параллельности прямых EF||AB.

Геометрия 7 Контрольная 5 В34

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. В треугольнике ABC известно, что ∠B = 70°, ∠C = 36°. Укажите верное неравенство: 1) AC > BC; 2) AB > BC; 3) AC > AB; 4) AB > AC.
Рассуждение. Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠A = 180° – 70° – 36° = 74°. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ верно 3) AC > AB, так как ∠B > ∠C.
ОТВЕТ: 3).

№ 2. Докажите, что AB = CD (рис. 73), если AD = BC и ∠DAC = ∠BCA.
Доказательство: Так как 1) AD = BC по условию, 2) ∠DAC = ∠BCA по условию, 3) AC – общая сторона, то △ADC = △ABC по 1–му признаку рав.треуг. Следовательно, AB = CD. Доказано.

№ 3. В треугольнике DBC известно, что ∠D = 40°, ∠B = 74°. Биссектриса угла C пересекает сторону BD в точке N. Найдите угол CNB.
Решение: ∠С = 180° – 40° – 74° = 66° (сумма углов в треугольнике = 180°)
∠BCN = ∠DCN = ∠C : 2 = 33° (так как CN – биссектриса)
∠CNB = 180° – 74° – 33° = 73°
ОТВЕТ: 73°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 76 см.
Решение: AM = AK = CN = CK = 8x (отрезки касательных), а BM = BN = 3x
P = AB + BC + AC = (AM + MB) + (BN + NC) + (AK + KC)  =>
76 = 11x + 11x + 16x = 38x  =>  x = 2
AB = BC = 11x = 22 (см)
AC = 16x = 32 (см).
ОТВЕТ: 22 см, 22 см, 32 см.

№ 5. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM. Отрезок MK — биссектриса треугольника AMC. Докажите, что MK || BС.
Доказательство. Так как BM = CM, то △СBM равнобедренный. Следовательно, и углы при основании ВС равны (∠В = ∠С).
По условию МК — биссектриса △AMC. По определению биссектрисы ∠AMK = ∠KMC = 1/2 ∠AMC. Пусть ∠AMK = ∠KMC = х, тогда ∠AMC = 2х.
∠AMC и ∠CMB — смежные. По теореме о смежных углы имеем: ∠CMB = 180 ° – 2х. По условию СМ = MB, значит ΔСМВ – равнобедренный. По свойству углов равнобедренного треугольника имеем: ∠В = ∠С = (180 ° – ∠CMB) : 2 = (180 ° – (180° – 2х) : 2 = (2х) : 2 = х. Итак, ∠AMK = ∠B. Значит, ∠AMK и ∠В  соответствующие при секущей АВ. По признаку параллельности прямых имеем МК ‖ ВС. Доказано.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по геометрии 7 класс с решениями Варианты 3-4 для УМК Мерзляк «Обобщение и систематизация знаний учащихся». Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 5 В34 + Ответы на все варианты.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Еще 2 варианта контрольной № 5 (с ответами)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Контрольная работа по геометрии с решениями 7 класс «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк Варианты 3 и 4. Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 4 В34. Ответы на все варианты. 
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс Мерзляк
Контрольная работа № 4

По теме: Окружность и круг. Геометрические построения

К-4 Варианты 3, 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-4 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. На рисунке 66 точка O — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA.
ОТВЕТ: 68°.

Дано: w(О; r); ∠ OAD = 34°.
Найти: ∠ FOA – ?
Решение: 1) AO = OD = r  ⇒ ΔOAD – равнобедренный ⇒ ∠A = ∠D = ∠OAD = 34°.
2) ∠AOD = 180° – (∠A + ∠D) = 180° – (34° + 34°) = 112°.
3) ∠FOA и ∠AOD – смежные ⇒ ∠FOA = 180° – ∠AOD = 180° – 112° = 68°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°.
ОТВЕТ: 6 см.

Решение: В треугольнике NMO угол М = 90°, так как радиус ОМ перпендикулярен касательной NM. Угол NOM равен 30° по условию. Следовательно катет, лежащий напротив угла в 30 градусов в два раза меньше гипотенузы NO. Отсюда NM = 12 : 2 = 6 (см).

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Доказательство:  ОА = ОК = r, значит △ОАК равнобедренный; ВО = ОК = r, значит △ОВК равнобедренный;
Так как 1) ВО = ОА = r — как радиусы одной окружности, 2) ∠OAK = ∠OBK по условию, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, то и третьи углы тоже равны ∠КOA = ∠КOB; 3) OК – общая сторона, то △KOВ = △КOА по двум сторонам  и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, AK = BK.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему.
Построение: Чертим на листочке прямую линию, равную по длине основанию. Ставим точки А и В. При помощи циркуля находим середину этого отрезка — раствором циркуля заведомо большим половины отрезка из двух концов отрезка чертим небольшие дуги. Из точки пересечения этих двух дуг опускаем перпендикуляр на основание при помощи угольника. Ведь медиана в равнобедренном треугольнике является также и высотой. Ставим точку Н на основании. Это середина основания. На этом перпендикуляре вверх от точки Н откладываем длину медианы. Ставим точку С. Соединяем точки А, В и С. Треугольник построен.

№ 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?
Пояснение: В любой угол можно вписать окружность. Центр такой окружности лежит на биссектрисе угла, которая пересекает окружность в двух точках. Пусть окружность вписана в угол ВАС. К и М — точки пересечения окружности биссектрисой. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (теорема), следовательно, К и М равноудалены от АВ и АС.
ОТВЕТ: 2 решения.

Геометрия 7 Контрольная 4 В34

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. На рисунке 68 точка O — центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD.
ОТВЕТ: 20°.

Решение: 1) ∠ BOC и ∠DOB – смежные => ∠DOB = 180° – ∠BOC = 180° – 40° = 140°.
1) OB = OD = r  =>  ΔDOB – равнобедренный => ∠ODB = ∠OBD.
2) ∠ODB + ∠OBD + ∠DOB = 180°. Следовательно, ∠OBD = (180° – 140°) : 2 = 20°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.
ОТВЕТ: 14 см.
Решение: радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: ОК ⊥ FK  ⇒ ΔFOK – прямоугольный.
R = OK = 14 (см)
∠FOK = 45°  ⇒  ∠OFK = 90° – 45° = 45°  ⇒
ΔFOK – равнобедренный  ⇒  FK = OK = 14 (cм)

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD.

Доказательство: Так как 1) DО = ОC как радиусы одной окружности, 2) ∠BOC = ∠BOD по условию, 3) OB – общая сторона, то △BOD = △BOC по двум сторонам и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, BC = BD.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней.
Построение представлено 2-мя способами.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 2

1) Пусть даны отрезок a, равный боковой стороне, и отрезок h, равный высоте треугольника, опущенной на основание.
2) На произвольной прямой отметим точку H;
3) Из точки H проведем окружность произвольного радиуса (на рисунке окружность зеленого цвета);
4) Из точек пересечения этой окружности и прямой проведем две окружности одинакового радиуса (на рисунке — серого цвета);
5) Через точки пересечения этих окружностей проведем вторую прямую, она перпендикулярна первой прямой;
6) Из точки H проведем окружность радиуса h (на рисунке — синего цвета) и отметим точку B на пересечении этой окружности и второй прямой;
7) Из точки B проведем окружность радиуса a (на рисунке — оранжевого цвета) и отметим точки A и C на пересечениях этой окружности и первой прямой;
8) Треугольник ABC построен.

№ 5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от двух данных точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ: Множество точек равноудаленных от сторон угла – его биссектриса. Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. На плоскости две прямые (биссектриса и серединный перпендикуляр) могут:
а) быть параллельными, тогда решений нет,
б) пересекаться, тогда существует единственная точка, удовлетворяющая условию,
в) совпадать, тогда решений бесконечно много.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-4 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 4 В34.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Еще 2 варианта контрольной № 4 (с ответами)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Итоговая контрольная работа по геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 1, 2. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 6 В34 Мерзляк.
Вернуться к Списку контрольных

Геометрия (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний учащихся

К-6 Варианты 3, 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-6 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см, а угол между ними – 120°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.
ОТВЕТ: 1) √97 см; 2) 12√3 см².

Решение: Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние (односторонние) в сумме дают 180° ⇒ ∠ABC + ∠BAD = 180°
∠ABC = 180° – ∠BAD = 180° – 120° = 60°.
Против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ.
∠BAD > ∠ABC  ⇒  необходимо найти BD.
В △ABD по теореме косинусов:
BD² = AB² + AD² – 2•AB•AD•CosA = 8² + 3² – 2•8•3•Cos120°
BD² = 64 + 9 – 48 • (–1/2) = 73 + 24 = 97
BD = √97 (см).
2) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = a•b•Sinα, где a и b – его стороны, а α – угол между сторонами => S = AB • AD • SinA = 8 • 3 • Sin120° = 24 • √3/2 = 12√3 (см²)

№ 2. В треугольнике DEF известно, что DF = 8√2 см, EF = 8√3 см, ∠E = 45°. Найдите угол D.
ОТВЕТ: 60°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Около правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 6 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу CD. 2) Какой отрезок является образом стороны AB при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол 120°?
ОТВЕТ: 1) 6π см²; 2) CD.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–2; 2), B (–5; –1), C (–1; –5) и D (2; –2) является прямоугольником.
Доказательство см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x + 7)² + (y – 1)² = 81 при параллельном переносе на вектор a (3; –8).
ОТВЕТ: (x + 4)² + (y + 7)² = 81.
Краткое решение: O(–7; 1) ⇒ O*(–4; –7).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть полное РЕШЕНИЕ

№ 6. Найдите косинус угла между векторами a и b, если векторы m = a + 3b и n = 5a – b перпендикулярны, |а| = 1, |b| = 4.
ОТВЕТ: 43/56.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-6 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.
ОТВЕТ: 1) √65 см; 2) 12 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. В треугольнике DEF известно, что EF = 10√3 см, DE = 10 см, ∠F = 30°. Найдите угол D.
ОТВЕТ: 60°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Около правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 3 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу ABC. 2) Какой отрезок является образом стороны BC при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 60°?
ОТВЕТ: 1) 3π см²; 2) АВ.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (3; 3), B (5; –1), C (1; 1) и D (–1; 5) является ромбом.
Доказательство см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x – 6)² + (y + 8)² = 25 при параллельном переносе на вектор a (2; –4).
ОТВЕТ: (x – 8)² + (y + 12)² = 25.
Краткое решение: O(6; –8) ⇒ O*(8; –12).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть полное РЕШЕНИЕ

№ 6. Найдите косинус угла между векторами m и n, если векторы a = 4m – n и b = m + 5n перпендикулярны, |m| = 2, |n| = 1.
ОТВЕТ: –11/38.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вернуться к Списку контрольных по геометрии

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-6 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 6 В12 (Мерзляк). Итоговая контрольная работа по геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся за год» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 1-2.

Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Декартовы координаты» для УМК Мерзляк Варианты 3-4 из 4-х. Методическое пособие для учителей и родителей. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 3 В34 + Ответы и решения.
Вернуться к Списку контрольных

Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 3

Тема: Декартовы координаты

К-3 Варианты 3-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

Решения и ОТВЕТЫ:

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (–4; 3) и N (6; –5).
ОТВЕТ: MN = 2√41; координаты середины отрезка (1; –1).
Краткое решение в тетради:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ

№ 2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке F (3; –2) и которая проходит через точку N (5; –9).
ОТВЕТ: (x – 3)² + (y + 2)² = 53.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Найдите координаты вершины C параллелограмма ABCD, если A (–3; 3), B (–1; 4), D (8; 1).
ОТВЕТ: C (10; 2).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (3; –4) и B (5; 8).
ОТВЕТ: y = 6x – 22.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек D (1; 10) и K (7; 8).
ОТВЕТ: (1; 0).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = –6х – 1 и проходит через центр окружности х² + у² – 4х + 6у + 5 = 0.
ОТВЕТ: y = –6x + 9.

Смотреть подробное РЕШЕНИЕ задачи № 6

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Найдите длину отрезка EF и координаты его середины, если E (–5; 2) и F (7; –6).
ОТВЕТ: 4√13;   (1; –2).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке C (5; –3) и которая проходит через точку N (2; –4).
ОТВЕТ: (x – 5)² + (y + 3)² = 10.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Найдите координаты вершины K параллелограмма EFPK, если E (3; –1), F (–3; 3), P (2; –2).
ОТВЕТ: K (8; -6).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 2

№ 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (–3; 9) и K (5; –7).
ОТВЕТ: y = –2x + 3.
Решение:
Уравнение прямой: y = kx + b. Получаем систему уравнений:
{ 9 = –3k + b,
{ –7 = 5k + b.
Рассмотрим разность двух строк системы:
–7 – 9 = 8k, откуда 8k = –16. Следовательно, k = –2.
Из первой строчки системы: b = 9 + 3k = 9 – 6 = 3.
Получаем уравнение прямой y = –2x + 3.

№ 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек A (–5; 2) и B (–3; 6).
ОТВЕТ: (0; 2).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = 4х + 9 и проходит через центр окружности х² + у² + 12х + 8у + 50 = 0.
ОТВЕТ: y = 4x + 20.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 3 В34 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Декартовы координаты» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 3, 4.

Вернуться к Списку контрольных из Методички (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Смотреть похожие контрольные работы:

Контрольная №3 с ответами (2 варианта) Дидактические материалы

Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Контрольная работа по геометрии 8 класс с ответами «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» (варианты 3-4 из 4-х) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Код материалов: Геометрия 8 Контрольная 5 В34 (Мерзляк) + Ответы.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 8 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 5

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников

КР-5 Варианты 3-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2

Справочный материал для решения задач

Ещё 2 варианта контрольной № 5 (с ответами)

Ответы на контрольную № 5

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 26 см, BC = 10 см. Найдите: 1) sin A; 2) tg B.
ОТВЕТ: 1) sin A = 5/13 ≈ 0,3846; 2) tg B = 2,4.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), если AC = 12 см, cos C = 2/3.
ОТВЕТ: ВС = 8 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Найдите значение выражения sin² 61° + cos² 61° – cos² 60°.
ОТВЕТ: 3/4.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. В равнобокой трапеции FKPE FK = EP = 9 см, FE = 20 см, KP = 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F трапеции.
ОТВЕТ: sin F = √5/3; cos F = 2/3; tg F = √5/2, ctg F = 2√5/5.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB = 10√2 см, AC = 26 см, ∠B = 45°.
ОТВЕТ: 24 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между большим основанием и боковой стороной равен α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через тангенс угла α.
Решение: 1) построим высоту h (CН), из условия следует: ∠ACD = 90°, ∠AHC = 90°, ∠CHD = 90°;
2) так как △ACD прямоугольный, то центр описанной около равнобокой трапеции окружности лежит на середине большего основания, так как вписанный угол ACD опирается на диаметр.  =>  AD = 2R.

3) ∠АDС = α (из условия), тогда в прямоугольном △АСD Sin α = d/2R (отношение противолежащего катета d к гипотенузе AD = 2R).  =>  d = 2R • Sin α. (1)
4) Высота СН делит прямоугольный △АСD на подобные треугольники АСН и CDH (см. Теорему о высоте прямоугольного треугольника)  =>  ∠ACH = ∠CDH = α. Тогда в прямоугольном △АСН Cos α = h/d (отношение прилежащего катета h к гипотенузе d).  => h = d • Cos α  (2).
5) подставим (1) в (2): h = 2R • Sin α • Cos α. Так как Sin α • Cos α = 1/2 • Sin 2α, то h = R • Sin 2α.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, AC = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B.
ОТВЕТ: 1) cos C = 3/5 ≈ 0,6; 2) ctg B = 1 ¹/₃ ≈ 1,33.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 см, tg A = 1/4.
ОТВЕТ: 2 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Найдите значение выражения cos² 42° + sin² 42° + sin² 30°.
ОТВЕТ: 1 ¹/₄.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. В прямоугольной трапеции KDMT (DM || KT, ∠D = 90°) DM = 6 см, KT = 21 см, MT = 20 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла T трапеции.
ОТВЕТ: sin T = √7/4; cos T = 3/4; tg T = √7/3, ctg T = 3√7/7.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.
Решение:

NE по теореме Пифагора: NE² = NP² – EP² = 17² – 8² = 225
∠FNE = 180° – ∠NFP — ∠FEN = 180° – 60° – 90° = 30°
NF² = FE² + NE²
FE = NF / 2 (так как ∠FNE равен 30°)
NF² = (NF / 2)² + 225 = NF² / 4 + 225
3 • NF² / 4 = 225
NF² = 225 * 4 : 3 = 300
NF = √300 = 10√3
ОТВЕТ: 10√3 см.

№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и высотой трапеции равен α. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.
ОТВЕТ: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через синус угла α. Тогда ответ будет: R = h / Sin 2α.
Дано: трапеция ABCD, ∠ABD = 90°, ∠BHD = 90°, ∠DBH = α, BH = h.

Решение: ∠A = 180° – ∠ABD – ∠BDA = 180° – 90° – ∠BDA = 90° – ∠BDA;
∠DBH = 180° – ∠BHD – ∠ BDA = 180° – 90° – ∠ BDA = 90° – ∠BDA. Следовательно, ∠A = ∠DBH.
△BHD:  tg α  = HD/BH  =>  HD = h • tg α
△AHB:  ctg α = AH/BH  =>  AH = h • ctg α
AD = AH + HD = h • (tg α + ctg α )
Трапеция ABCD — равнобедренная, следовательно ее можно вписать в окружность. Угол ABD — прямой, следовательно опирается на диаметр окружности (AD), описанной около треугольника ABD и трапеции ABCD.
R = AD / 2 = (h • (tg α + ctg α )) / 2.
ОТВЕТ: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.

Примечание: для проверки правильности решения задачи № 6 во всех 4-х вариантах можете использовать следующий реальный пример: d = 4; AD = 5; боковая сторона = 3; h = 2,4; R = 2,5; α = 53,1°; Sin α = 0,8; Cos α = 0,6; Tg α = 1,33; Ctg α = 0,75.
Теорема о высоте прямоугольного треугольника:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 5 В34 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Самостоятельная работа № 15 по геометрии в 9 классе «Умножение вектора на число» с ответами (вариант 1), упражнения №№ 200-220. Цитаты из пособия  «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 15.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).

Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная работа № 15

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 200. Даны векторы а и b (рис. 15). Постройте вектор:
1) 2а; 2) –2/3 • b; 3) 1/2 • b – а.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) Чтобы построить вектор 2а, мы должны удвоить длину вектора а, но оставить его направление неизменным. Вектор 2а будет иметь ту же начальную точку, что и вектор а, но его конечная точка будет находиться в два раза дальше по сравнению с конечной точкой вектора а. Для этого сначала измерим длину вектора а, а затем удвоим эту длину. После этого нарисуем вектор 2а, начиная от начальной точки вектора а и заканчивая в два раза дальше по направлению вектора а.
2) Чтобы построить вектор –2/3 • b (или по другому: –2b/3), нам нужно изменить длину вектора b, умножив ее на 2/3, и изменив его направление на противоположное. Для этого измерим длину вектора b, а затем умножим ее на 2/3. После этого нам нужно начать из начальной точки вектора b и закончить в конечной точке, которая находится –2/3 от оригинальной конечной точки.
3) Для построения вектора 1/2 • b – а (или по другому: b/2 – а)мы должны умножить вектор b на 1/2 и отнять вектор a. Сначала умножим длину вектора b на 1/2, а затем нарисуем новый вектор от начальной точки вектора a в направлении, которое получается путем отнимания вектора a от b/2.

№ 201. Постройте два неколлинеарных вектора m и n. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор: 1) 3m – 2n; 2) 1/4 • m + 2/5 • n.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 202. |a| = 3. Чему равен модуль вектора: 1) 4а; 2) –0,7а?
ОТВЕТ: 1) 4а = 4•3 = 12; 2) –0,7а = –0,7•3 = –2,1.

№ 203. Найдите модуль вектора m = –3р, где р (4; –3).
ОТВЕТ: m(–12; 9); |m| = √[(–12)² + 9²] = 15.

№ 204. Даны векторы а (2; –3) и b (4; –5). Найдите координаты вектора: 1) 2а + b; 2) 3b – 4а.
ОТВЕТ: 1) (8; –11); 2) (4; –3).

№ 205. Найдите модуль вектора n = 3а – 4b, где а (1;–2); b (–1; 3).
ОТВЕТ: n = (7; –18); |n| = √373.

№ 206. Точки Е и F — середины сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD (рис. 16). Выразите вектор FE через векторы АВ = а и AD = b.
ОТВЕТ: FE = BF – BE = b/2 + a/2.

№ 207. Точки К и Р — середины сторон АВ и ВС трапеции ABCD (рис. 17). Выразите вектор КР через векторы AD = а и CD = b.

ОТВЕТ: КР = 1/2 • АС = 1/2 • (AD + DC) = a/2 – b/2.

№ 208. О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, АО : ОС =5:7, ВО : OD = 3:4. Выразите векторы АВ, ВС, CD и DA через векторы ОА = а и ОВ = b.
ОТВЕТ: АВ = b – a;
ВС = –7/5 • a – b;
CD = 7/5 • a – 4/3 • b;
DA = 4/3 • b + a.

№ 209. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены такие точки D и Е соответственно, что AD : DC = 3 : 2, BE : ЕС = 1:3. Выразите векторы ВС, АС, АВ, АЕ и BD через векторы BE = а и AD = b.
ОТВЕТ: ВС = 4a, АС = 5/3 • b, АВ = 5/3 • b – 4a, АЕ = 5/3 • b – 3a; BD = –2/3 • b + 4a.

№ 210. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и N, причём ВМ = 1/3 • ВС, CN = 4/5 • CD (рис. 18). Выразите векторы AM и AN через векторы АВ = а и AD = b.
ОТВЕТ: AM = AB + BM = a + 1/3 • b;
AN = AD + DN = b + 1/5 • a.

№ 211. Коллинеарны ли векторы MN и КР, если М (3; –2), N (–7; 4), K (6; –3), Р (1; 0)?
ОТВЕТ: MN и КР коллинеарны.

№ 212. Среди векторов a(3; –2), b(–9; 6), с(6; –4), d(–27; 18) укажите пары: 1) сонаправленных векторов; 2) противоположно направленных векторов.
ОТВЕТ: 1) а и с; b и d; b и c; 2) а и b; a и d; c и d.

№ 213. Даны вектор a (5; –4) и точка К (–3; 7). Найдите координаты такой точки Р, чтобы векторы a и КР были противоположными.
ОТВЕТ: Р (–8; 11).

№ 214. Найдите значение k, при котором векторы m(–2; k) и n(3; 6) коллинеарны.
ОТВЕТ: k = –4.

№ 215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором: 1) a (–5; 12); 2) с (m; n).
ОТВЕТ: 1) (–5/13; 12/13); 2) (m/√[m²+n²]; n/√[m²+n²]).

№ 216. Найдите координаты вектора b, коллинеарного вектору a(–6; 8), если |b| = 40.
ОТВЕТ: b (±24; ±32).

№ 217. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (–4; –5), В (–3; 2), С (3; 4) и D (8; –1) является трапецией.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 218. Лежат ли точки А (4; 2), В (5; 6) и С (7; 14) на одной прямой?
ОТВЕТ: да, так как AB и AC коллинеарны.

№ 219. О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (ВС || AD), ВС = 3, AD = 7. Найдите такое число х, что: 1) ОС = х • АС; 2) ОВ = х • OD.
ОТВЕТ: 1) 3/10; 2) –3/7.

№ 220. Даны векторы а(3; –4), b(2; 3) и m(8; –5). Найдите такие числа х и y, что m = ха + yb.
ОТВЕТ: х = 2, у = 1.

Вы смотрели: Самостоятельная работа № 15 по геометрии в 9 классе «Умножение вектора на число» с ответами (вариант 1). Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 15.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).