Рубрика: Ответы

Опубликовано

Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 16

Самостоятельная работа № 16 по геометрии в 9 классе «Скалярное произведение векторов» с ответами (вариант 1), упражнения №№ 221-243. Цитаты из пособия  «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 16.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).

 

Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная работа № 16

№ 221. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если:
1) | а| = 2, | b| = 5, ∠( а, b) = 60°;
2) | а| = 4, | b| = 7, ∠( а, b) = 135°;
3) | а| = 9, | b| = 8, ∠( а, b) = 90°.
Решение: Скалярное произведение векторов: a • b = |a| • |b| • cos ∠(a,b).
1) a • b = 2 • 5 • cos 60° = 10 • (1/2) = 5.
2) a • b = 4 • 7 • cos 135° = 28 • (─ √2/2) = ─14√2.
3) a • b = 9 • 8 • cos 90° = 72 • 0 = 0.
Ответ: 1) 5; 2) ─14√2; 3) 0.

№ 222. Угол между векторами а и b равен 120°, |а| = 5, | b| = 6.
Найдите: 1) а • b; 2) (2а + 3b) • а.
Решение:
1) a • b = 5 • 6 • cos 120° = 30 • (─1/2) = ─15.
2) Раскроем:
(2a + 3b) • a = 2a • a + 3b • a = 2|a|² + 3(a • b).
= 2 • 25 + 3 • (─15) = 50 ─ 45 = 5.
Ответ: 1) ─15; 2) 5.

№ 223. Угол между векторами а и b равен 30°, |а| = |b| = 1. Найдите скалярное произведение (а – 2b) (а + b).
Решение:
a • b = |a||b|cos 30° = 1 • 1 • √3/2 = √3/2.
Раскроем:
(a ─ 2b) • (a + b) = a • a + a • b ─ 2b • a ─ 2b • b.
= |a|² + a • b ─ 2(a • b) ─ 2|b|² = 1 + √3/2 ─ 2• √3/2 ─ 2• 1.
= 1 + √3/2 ─ √3 ─ 2 = ─1 ─ √3/2.
Ответ: ─1 ─ √3/2.

№ 224. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если: 1) а(3; 4), b(5; 2); 2) а(4; –3), b(–6; 1).
Решение:
Скалярное произведение в координатах: a • b = x₁x₂ + y₁y₂.
1) 3 • 5 + 4 • 2 = 15 + 8 = 23.
2) 4 • (─6) + (─3) • 1 = ─24 ─ 3 = ─27.
Ответ: 1) 23; 2) ─27.

№ 225. Даны векторы а(3; –2) и b(x; 4). При каком значении х выполняется равенство а • b = 15?
Решение: a • b = 3 • x + (─2) • 4 = 3x ─ 8.
Уравнение: 3x ─ 8 = 15,
3x = 23,
x = 23/3.
Ответ: x = 23/3.

№ 226. Найдите косинус угла между векторами а(–2; 3) и b(3; –4).
Решение:
a • b = (─2) • 3 + 3 • (─4) = ─6 ─ 12 = ─18.
|a| = √{(─2)² + 3²} = √{4 + 9} = √13.
|b| = √{3² + (─4)²} = √{9 + 16} = 5.
cos ∠(a, b) = a • b/|a||b| = (─18)/5√13 = ─18/5√13.
Ответ: ─18/5√13.

№ 227. Медианы ВМ и CD правильного треугольника АВС со стороной 18 см пересекаются в точке О. Найдите скалярное произведение векторов:
1) AB и AC; 2) AB и BC; 3) BM и AC;
4) OM и OC; 5) CD и OM; 6) OB и OM.
Решение:
Сторона a = 18. В правильном треугольнике все углы 60°, медианы = высоты = биссектрисы, точка О — центр пересечения медиан (центр тяжести), делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
1) AB • AC = |AB| • |AC| • cos 60° = 18 • 18 • (1/2) = 162.
2) AB • BC : угол между AB и BC равен 120° (векторы направлены от B к C, а AB к B — сдвинем начало: AB и BC угол 120°).
AB • BC = 18 • 18 • cos 120° = 324 • (─(1/2)) = ─162.
3) BM — медиана из B к середине AC. Угол между BM и AC : BM перпендикулярна AC (в правильном треугольнике медиана — высота). Значит, cos 90° = 0, произведение 0.
4) OM и OC : O — точка пересечения медиан, M — середина AC, C — вершина.
OM = (1/3) BM (от M к O). OC = (2/3) CD (от O к C).
Но проще: OM направлен от O к M (от центра к середине AC), OC от O к C. Угол между ними: в треугольнике OMC угол MOC?
Лучше координатный метод:
Поместим A(0;0), B(18;0), C(9; 9√3) — высота √3/2 • 18 = 9√3.
M — середина AC: M((0 + 9)/2; (0 + 9√3)/2) = (4.5; 4.5√3).
O — центр медиан: O((0 + 18 + 9)/3; (0 + 0 + 9√3)/3) = (9; 3√3).
Тогда: OM = (4.5 ─ 9; 4.5√3 ─ 3√3) = (─4.5; 1.5√3).
OC = (9 ─ 9; 9√3 ─ 3√3) = (0; 6√3).
Скалярное произведение: (─4.5)• 0 + (1.5√3)• (6√3) = 0 + 1.5• 6 • 3 = 27.
5) CD и OM : D — середина AB: D(9;0).
CD = (9 ─ 9; 0 ─ 9√3) = (0; ─9√3).
OM = (─4.5; 1.5√3).
Произведение: (─4.5)• 0 + (1.5√3)• (─9√3) = 0 ─ 1.5• 9• 3 = ─40.5.
6) OB и OM :
OB = (18 ─ 9; 0 ─ 3√3) = (9; ─3√3).
OM = (─4.5; 1.5√3).
Произведение: 9• (─4.5) + (─3√3)• (1.5√3) = ─40.5 ─ 3• 1.5• 3 = ─40.5 ─ 13.5 = ─54.
Ответы: 1) 162; 2) ─162; 3) 0; 4) 27; 5) ─40.5; 6) ─54.

№ 228. Даны векторы а(5; 2) и b(–4; у). При каком значении у векторы а и b перпендикулярны?
Решение:
Условие перпендикулярности: a • b = 0.
5 • (─4) + 2 • y = 0,
─20 + 2y = 0,
2y = 20,
y = 10.
Ответ: y = 10.

№ 229. Даны векторы а(3; –5) и b(x; 6). При каких значениях х угол между векторами а и b: 1) острый; 2) прямой; 3) тупой?
Решение:
a • b = 3x + (─5)• 6 = 3x ─ 30.
Угол острый: a • b > 0 (и не коллинеарные особо, но здесь просто >0).
3x ─ 30 > 0, x > 10.
Угол прямой: 3x ─ 30 = 0, x = 10.
Угол тупой: 3x ─ 30 < 0, x < 10.
Ответ: 1) x > 10; 2) x = 10; 3) x < 10.

№ 230. Найдите координаты вектора m коллинеарного вектору n(–3; 1), если m • n = 24.
Решение:
Коллинеарность: m = k • n = (─3k; k).
m • n = (─3k)•(─3) + k • 1 = 9k + k = 10k.
Уравнение: 10k = 24, k = 2.4.
Тогда m = (─3• 2.4; 2.4) = (─7.2; 2.4).
Ответ: (─7.2; 2.4).

№ 231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору m(2; 5), модуль которого равен модулю вектора m.
Решение:
Пусть искомый вектор p(x; y).
1) Перпендикулярность: 2x + 5y = 0.
2) Модуль равен модулю m: √{x² + y²} = √{2² + 5²} = √29.
Из первого: x = ─ 5/2y.
Подставим во второе:
25/4y² + y² = 29,
29/4y² = 29,
y² = 4,
y = ± 2.
При y = 2 : x = ─5.
При y = ─2 : x = 5.
Два вектора: (─5; 2) и (5; ─2).
Ответ: (─5; 2) или (5; ─2).

№ 232. Даны векторы а(–2; 3) и b(1; –3). Найдите значение m, при котором векторы а + mb и b перпендикулярны.
Решение:
1. Найдём вектор a + mb :
a + mb = (─2; 3) + m(1; ─3) = (─2 + m; 3 ─ 3m).
2. Условие перпендикулярности: (a + mb) • b = 0.
(─2 + m; 3 ─ 3m) • (1; ─3) = (─2 + m)• 1 + (3 ─ 3m)• (─3) = ─2 + m ─ 9 + 9m = ─11 + 10m = 0.
3. Решаем: 10m = 11, m = 1,1.
Ответ: m = 1,1.

№ 233. Даны векторы а и b, | а| = 3, | b| = 2, ∠( а, b) = 60°. Найдите: 1) |а + b|; 2) |2а – 3 b|.
Решение:
1. |a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos 60° = 9 + 4 + 2• 3• 2• (1/2) = 13 + 6 = 19.
|a + b| = √19.
2. |2a ─ 3b|² = (2a ─ 3b)² = 4|a|² + 9|b|² ─ 12|a||b|cos 60° = 4• 9 + 9• 4 ─ 12• 3• 2• (1/2) = 36 + 36 ─ 36 = 36.
|2a ─ 3b| = 6.
Ответ: 1) √19; 2) 6.

№ 234. Найдите косинус угла между векторами а = m + 3 n и b = 2 m – n, если | m| = | n| = 1 и m ⊥ n.
Решение:
1. m • n = 0.
2. a • b = (m + 3n) • (2m ─ n) = 2m² ─ m•n + 6m•n ─ 3n² = 2• 1 ─ 0 + 0 ─ 3• 1 = ─1.
3. |a|² = (m + 3n)² = m² + 6m•n + 9n² = 1 + 0 + 9 = 10, |a| = √10.
|b|² = (2m ─ n)² = 4m² ─ 4m•n + n² = 4 ─ 0 + 1 = 5, |b| = √5.
4. cos φ = a • b/|a||b| = (─1)/√10 • √5 = ─ 1/√50 = ─ 1/5√2 = ─ √2/10.
Ответ: cos φ = ─ √2/10.

№ 235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор АВ, если А(–5; 4), В(1; –4), с положительными направлениями координатных осей.
Решение:
1. AB = (1 ─ (─5); ─4 ─ 4) = (6; ─8).
2. |AB| = √{6² + (─8)²} = √{36 + 64} = √100 = 10.
3. Косинус угла с осью Ox: cosα = 6/10 = 0,6.
Косинус угла с осью Oy: cosβ = (─8)/10 = ─0,8.
Ответ: cosα = 0,6, cosβ = ─0,8.

№ 236. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А(–2; 1), В(2; 5), С(5; 2) и D(1; –2) является прямоугольником.
Решение:
1. AB = (4; 4), BC = (3; ─3), CD = (─4; ─4), DA = (─3; 3).
2. AB = ─CD, BC = ─DA ⇒ противоположные стороны параллельны и равны ⇒ параллелограмм.
3. AB • BC = 4• 3 + 4• (─3) = 12 ─ 12 = 0 ⇒ угол B прямой.
В параллелограмме один прямой угол ⇒ прямоугольник.
Ответ: Доказано.

№ 237. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А(–2; 3), В(2; 7), С(6; 3) и D(2; –1) является квадратом.
Решение:
1. AB = (4; 4), BC = (4; ─4), CD = (─4; ─4), DA = (─4; 4).
2. AB = ─CD, BC = ─DA ⇒ параллелограмм.
3. |AB| = √{16 + 16} = √32 = 4√2, |BC| = √{16 + 16} = 4√2 ⇒ смежные стороны равны ⇒ ромб.
4. AB • BC = 4• 4 + 4• (─4) = 16 ─ 16 = 0 ⇒ угол B прямой.
Ромб с прямым углом ⇒ квадрат.
Ответ: Доказано.

№ 238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник АВС, если А(–3; 2), В(5; 3), С(–4; –3)?
Решение:
1. AB = (8; 1), BC = (─9; ─6), CA = (1; 5).
2. Найдём квадраты длин сторон:
AB² = 64 + 1 = 65,
BC² = 81 + 36 = 117,
CA² = 1 + 25 = 26.
3. Проверим теорему Пифагора: наибольшая сторона BC, BC² = 117, AB² + CA² = 65 + 26 = 91.
117 > 91 ⇒ угол напротив BC тупой ⇒ треугольник тупоугольный.
Ответ: тупоугольный.

№ 239. Найдите косинус угла между векторами а и b, если |а| – | b| = 1, а векторы а + 2 b и 3а + b перпендикулярны.
Ответ: –1/2.

№ 240. Найдите геометрическое место точек К (х; у) координатной плоскости таких, что для точек А (3; –2) и В (5; 4) выполняется равенство: 1) А K • АВ = 0; 2) АК • ВК = 4.
Решение:
1. AB = (2; 6), AK = (x ─ 3; y + 2).
Условие AK • AB = 0 : 2(x ─ 3) + 6(y + 2) = 0 ⇒ 2x ─ 6 + 6y + 12 = 0 ⇒ 2x + 6y + 6 = 0 ⇒ x + 3y + 3 = 0.
Это прямая, проходящая через A перпендикулярно AB.
2. BK = (x ─ 5; y ─ 4).
AK • BK = (x ─ 3)(x ─ 5) + (y + 2)(y ─ 4) = 4.
Раскроем: x² ─ 8x + 15 + y² ─ 2y ─ 8 = 4 ⇒ x² + y² ─ 8x ─ 2y + 3 = 0.
Выделим полные квадраты: (x ─ 4)² ─ 16 + (y ─ 1)² ─ 1 + 3 = 0 ⇒ (x ─ 4)² + (y ─ 1)² = 14.
Это окружность с центром (4; 1) и радиусом √14.
Ответы: 1) прямая x + 3y + 3 = 0; 2) окружность (x ─ 4)² + (y ─ 1)² = 14.

№ 241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром М (3; –1) в точке Е (2; 4).
Ответ: 5y — x — 18 = 0

№ 242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту АН треугольника АВС, если А (4; 5), В (–3; 1), С (–5; –6).

№ 243. Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD. Найдите косинус угла между прямыми АС и DM.

 

Вы смотрели: Самостоятельная работа № 16 по геометрии в 9 классе «Скалярное произведение векторов» с ответами (вариант 1). Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 16.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).

 

Опубликовано

Геометрия 9 КИМ Контрольная 3

Контрольно-измерительные материалы: Контрольная работа № 3 по геометрии 9 класс с ответами «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» (составитель вопросов — А.Н. Рурукин). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 3 (2 варианта).

Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Геометрия 9 класс
Контрольная работа № 3

Тема учебника: Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Упростите выражение
(sin3 α + cos3 α + 3 sin2 α • cos α + 3 sin α • cos2 а) / (sin α + cos α) – 2 sin α • cos а.
ОТВЕТ: 1.

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»][/su_spoiler]

№ 2. В треугольнике ΑBC ∠Α = α, ∠B = β, ΑB = c. Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.
ОТВЕТ: S = (c2 sin α sin β) / (2 sin (α+β)).
Решение. По теореме синусов:
AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R.
Угол C = 180° ─ (α + β), sin C = sin(α + β).
Сторона BC = c sin α/(sin(α + β)).
Площадь:
S = (1/2) • AB • BC • sin B = (1/2) • c • c sin α/(sin(α + β)) • sin β
= (c² sin α sin β)/(2 sin(α + β)).
Радиус описанной окружности:
2R = AB/sin C = c/(sin(α + β)) ⇒ R = c/(2 sin(α + β)).

№ 3. В параллелограмме ABCD даны стороны AB = 4 см, AD = 5√2 см и угол ∠A = 45°. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.
ОТВЕТ: AC = √106 см, BD = √26 см и S = 20 см2.
Решение. Площадь:
S = AB • AD • sin 45° = 4 • 5√2 • √2/2 = 4 • 5 • 1 = 20 см².
Диагонали: По теореме косинусов:
AC² = AB² + AD² + 2 • AB • AD • cos 45° (угол между AB и AD 45°).
AC² = 4² + (5√2)² + 2 • 4 • 5√2 • √2/2
= 16 + 50 + 2 • 4 • 5 • 1
= 66 + 40 = 106.
AC = √106 см.
BD² = AB² + AD² ─ 2 • AB • AD • cos 45°
= 16 + 50 ─ 40 = 26.
BD = √26 см.

№ 4. Найдите координаты вектора b, если |b| = √136, b ⊥ а, а{3; – 5}, а угол между вектором b и положительным направлением оси абсцисс острый.
ОТВЕТ: b{10; 6}.
Решение: Пусть b = (x; y).
Условие перпендикулярности: 3x ─ 5y = 0 ⇒ y = 3/5x.
Длина: x² + y² = 136.
Подставляем:
x² + 9/25x² = 136 ⇒ 34/25x² = 136 ⇒ x² = 100 ⇒ x = ± 10.
Угол с осью абсцисс острый ⇒ x > 0, значит x = 10, y = 6.

№ 5. Вычислите скалярное произведение векторов m = 3а – 2b и n = 2а + 5b, если а{–3; 1}, b{2; – 2}.
ОТВЕТ: –108.
Решение. Сначала найдём m и n :
m = 3(─3; 1) ─ 2(2; ─2) = (─9; 3) + (─4; 4) = (─13; 7).
n = 2(─3; 1) + 5(2; ─2) = (─6; 2) + (10; ─10) = (4; ─8).
Скалярное произведение:
m • n = (─13) • 4 + 7 • (─8) = ─52 ─ 56 = ─108.

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Упростите выражение
─2 sin α cos α ─ (sin³α ─ cos³α ─ 3 sin²α cos α + 3 sin α cos²α)/(sin α ─ cos α)
ОТВЕТ: –1.

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»][/su_spoiler]

№ 2. В треугольнике ΑBC ∠Α = α, ∠B = β, BC = а. Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.
ОТВЕТ: S = (α2 sin β sin (α+β)) / (2 sin α) и R = α/(2 sin α).
Решение. По теореме синусов:
BC/sin A = AC/sin B = AB/sin C = 2R
Здесь BC = a, ∠A = α, ∠B = β, ∠C = π ─ α ─ β.
1) Радиус описанной окружности:
2R = a/sinα ⇒ R = a/2sinα
2) Площадь:
S = (1/2) • AB • AC • sin A
Но проще: S = (1/2) • BC • AC • sin C
Из теоремы синусов: AC = a sinβ / sinα
S = (1/2) • a • a sinβ/sinα • sin(π ─ α ─ β) = (a² sinβ sin(α + β))/2sinα

№ 3. В параллелограмме ABCD даны стороны AB = 8 см, AD = 3√3 см и угол ∠A = 60°. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.
ОТВЕТ: AC = √163 см, BD = √19 см и S = 36 см2.
Примечание: с данным условием задача не может иметь такие ответы. Чтобы избежать вложенные корни в ответе, рекомендуем изменить условие так, чтобы оно было равнозначно варианту 1:
№ 3. В параллелограмме ABCD даны стороны AB = 6 см, AD = 6√2 см и угол ∠A = 45°. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.
ОТВЕТ: AC = 6√5 см, BD = 6 см, S = 36 см².

№ 4. Найдите координаты вектора b, если |b| = √117, b ⊥ а, а{–3; 2}, а угол между вектором b и положительным направлением оси ординат тупой.
ОТВЕТ: b{–6; –9}.
Решение: Пусть b = {x; y}.
1) b ⊥ a ⇒ ─3x + 2y = 0 ⇒ 2y = 3x ⇒ y = 1.5x.
2) |b|² = x² + y² = 117.
Подставляем: x² + (2.25x²) = 3.25x² = 117 ⇒ x² = 36 ⇒ x = ± 6.
Тогда y = ± 9 (соответственно).
Угол между b и осью ординат тупой ⇒ cosγ < 0, где γ — угол с осью Oy.
cosγ = b• (0,1)/|b| = y/√117.
Чтобы cosγ < 0, нужно y < 0.
Если x = 6, y = 9 — не подходит (y>0).
Если x = ─6, y = ─9 — подходит (y<0).

№ 5. Вычислите скалярное произведение векторов m = 2а – 3b и n = 3а + 4b, если а{–2; 3}, b{3; – 1}.
ОТВЕТ: –33.
Решение. Скалярное произведение:
m• n = (2a ─ 3b)•(3a + 4b) = 6(a• a) + 8(a• b) ─ 9(b• a) ─ 12(b• b)
= 6|a|² ─ (a• b) ─ 12|b|²
Вычисляем:
a• a = (─2)² + 3² = 4 + 9 = 13
b• b = 9 + 1 = 10
a• b = (─2)• 3 + 3•(─1) = ─6 ─ 3 = ─9
Тогда:
m• n = 6• 13 ─ (─9) ─ 12• 10 = 78 + 9 ─ 120 = ─33

 

Ответы в графическом виде:

 

Вы смотрели: Контрольная работа № 3 по геометрии 9 класс. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 3 (2 варианта).

Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Опубликовано

Геометрия 10 Контрольная 3 В34

Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Перпендикулярность прямой и плоскости» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 3 В34 + Решения.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 3. Варианты 3-4

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 3 (задания)

Геометрия 10 Контрольная 3 В34

Ответы на вариант 3

№ 1. На рисунке 19 изображён квадрат ABCD. Через точку O пересечения диагоналей проведена прямая OP, перпендикулярная прямой BD. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости APC.
Решение:
1. В квадрате диагонали перпендикулярны: AC ⊥ BD.
2. По условию OP ⊥ BD.
3. Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и OP , лежащим в плоскости APC.
4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: BD ⊥ (APC).
Ответ: доказано.

№ 2. Через вершину B равнобедренного треугольника ABC проведена прямая KB, перпендикулярная плоскости треугольника, AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Найдите расстояние от точки K до прямой AC, если KB = 4 см.
Решение:
1. Расстояние от K до AC — длина перпендикуляра из K на AC.
2. Так как KB ⊥ (ABC) , то KB ⊥ любой прямой в плоскости, в том числе BH , где BH — высота к AC.
3. В равнобедренном треугольнике высота BH к основанию AC:
AH = HC = 6 см, BH = √{AB² ─ AH²} = √{100 ─ 36} = √64 = 8 см.
4. Точка H — проекция K на плоскость, значит KH ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах, т.к. BH ⊥ AC и KB ⊥ плоскости).
5. KH — гипотенуза в прямоугольном треугольнике KBH:
KH = √{KB² + BH²} = √{4² + 8²} = √{16 + 64} = √80 = 4√5 см.
Ответ: 4√5 см.

№ 3. Точка M находится на расстоянии 8 см от каждой вершины квадрата ABCD. Найдите сторону квадрата, если точка M удалена от его плоскости на 4√3 см.
Решение:
1. Пусть O — центр квадрата (пересечение диагоналей).
2. MO ⊥ плоскости квадрата, MO = 4√3.
3. MA = 8 см, OA — половина диагонали квадрата.
4. Из прямоугольного треугольника MOA:
OA = √{MA² ─ MO²} = √{64 ─ 48} = √16 = 4 см.
5. Диагональ квадрата d = 2 • OA = 8 см.
6. Сторона квадрата a = d/√2 = 8/√2 = 4√2 см.
Ответ: 4√2 см.

№ 4. Через вершину B прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр MB. Точка M удалена от стороны AD на 25 см, а от стороны CD — на 10√5 см. Найдите диагональ прямоугольника, если AB = 15 см.
Решение:
1. Проведём BH ⊥ AD (H на AD), тогда BH = AB = 15.
MB ⊥ (ABC) ⇒ MB ⊥ BH.
Расстояние от M до AD = длина MH, где MH ⊥ AD.
По теореме о трёх перпендикулярах: если BH ⊥ AD, то MH ⊥ AD.
Дано: MH = 25 см.
Из прямоугольного треугольника MBH:
MB² = MH² ─ BH² = 625 ─ 225 = 400 , MB = 20 см.
2. Расстояние от M до CD: CD || AB, AB ⊥ BC, проведём BK ⊥ CD (K на CD), тогда BK = BC.
MB ⊥ (ABC) ⇒ MB ⊥ BK.
Расстояние от M до CD = MK, где MK ⊥ CD.
Дано: MK = 10√5 см.
Из прямоугольного треугольника MBK:
BK² = MK² ─ MB² = (10√5)² ─ 20² = 500 ─ 400 = 100 , BK = 10 см.
3. BK = BC = 10 см, AB = 15 см.
Диагональ прямоугольника:
AC = √{AB² + BC²} = √{225 + 100} = √325 = 5√13 см.
Ответ: 5√13 см.

№ 5. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 12 см и 10 см соответственно. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
Решение:
1. Пусть треугольник ABC: AB = BC = 10, AC = 12.
Высота BH к основанию AC:
AH = 6 , BH = √{100 ─ 36} = 8 см.
Площадь S = 1/2 • 12 • 8 = 48 см².
2. Точка M находится на равном расстоянии d = 5 см от каждой стороны треугольника ⇒ её проекция H’ на плоскость треугольника — центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности r = S/p , где p = (10 + 10 + 12)/2 = 16 см.
r = 48/16 = 3 см.
3. Расстояние от M до стороны — длина перпендикуляра из M на сторону.
Если MH’ = r = 3 (расстояние от проекции до стороны), а расстояние от M до стороны = 5, то в прямоугольном треугольнике (M — вершина, H’ — проекция на плоскость, K — проекция на сторону):
MK = 5, H’K = r = 3, MH’ — искомое расстояние до плоскости.
MH’ = √{MK² ─ H’K²} = √{25 ─ 9} = √16 = 4 см.
Ответ: 4 см.

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»][/su_spoiler]

 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

 

Вариант 4 (задания)

Ответы на вариант 4

№ 1. На рисунке 20 изображён прямоугольник ABCD. Через вершину А проведена прямая AK, которая перпендикулярна прямой AD. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости AKB.
Решение:
1. По условию AK ⊥ AD (дано).
2. Так как ABCD — прямоугольник, AD ⊥ AB.
3. Получаем: AD ⊥ AK и AD ⊥ AB , причём AK и AB пересекаются в точке A и лежат в плоскости AKB.
4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
Следовательно, AD ⊥ пл. AKB.
Ответ: Доказано.

№ 2. Через вершину B ромба ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости ромба. Найдите расстояние от точки M до прямой AC, если MB = 12 см, DC = 16 см, AC = 20 см.
Решение:
1. BM ⟂ плоскости ромба ⇒ BM ⟂ любой прямой в плоскости ромба, в том числе BM ⟂ AC.
2. Расстояние от M до AC — длина перпендикуляра из M на AC.
3. Так как BM ⟂ AC, то перпендикуляр из M на AC лежит в плоскости, содержащей BM и перпендикуляр к AC в плоскости ромба.
4. В ромбе диагонали перпендикулярны: AC ⊥ BD (проверим: стороны DC = 16, AC = 20, BD найдём из свойств ромба: диагонали пересекаются в точке O, AO = 10, DO = √(DC² ─ AO²) = √(256 ─ 100) = √156 = 2√39, тогда BD = 4√39, но нам это не нужно, главное — AC ⟂ BD).
5. BO — проекция наклонной MO на плоскость, но BM ⟂ плоскости, значит BM ⟂ BO.
6. Расстояние от M до AC = длина отрезка MH, где H — основание перпендикуляра из M на AC.
В плоскости (AOC) через B проведём BH ⟂ AC, тогда BH — проекция MH, и MH — гипотенуза в прямоугольном треугольнике MBH, где MB ⟂ BH (т.к. MB ⟂ плоскости, BH в плоскости).
7. Найдём BH: в ромбе площадь S = (1/2)·AC·BD = (1/2)·d₁·d₂.
Но BD неизвестна, найдём через другую формулу: S = сторона²·sinα или S = (1/2)·AC·BD.
По формуле Герона для треугольника ADC: стороны 16, 16, 20 ⇒ полупериметр p = 26, S(ADC) = √(26·10·10·6) = √15600 = 20√39.
Тогда S(ромба) = 2·S(ADC) = 40√39.
С другой стороны, S = (1/2)·AC·BD = (1/2)·20·BD = 10·BD ⇒ 10·BD = 40√39 ⇒ BD = 4√39.
Тогда BO = BD/2 = 2√39.
Но BH — это расстояние от B до AC, т.е. BO? Нет, в треугольнике ABO: BH — высота к AC.
В треугольнике ABO: AO = 10, BO = 2√39, AB = 16.
Площадь ABO: S = (1/2)·AO·BO = (1/2)·10·2√39 = 10√39.
С другой стороны, S = (1/2)·AC(BH)/2? Нет, в треугольнике ABO сторона AO = 10, AB = 16, OB = 2√39, но BH — высота из B на AO (AO — часть AC).
Лучше: расстояние от B до AC = высота из B в треугольнике ABC.
Площадь ABC = половина площади ромба = 20√39.
Основание AC = 20 ⇒ BH = 2S/AC = (40√39)/20 = 2√39.
То есть BH = BO, значит O и H совпадают (т.к. в ромбе диагонали перпендикулярны, BO ⟂ AC).
8. Тогда в прямоугольном треугольнике MBH: MB = 12, BH = 2√39.
MH = √(MB² + BH²) = √(144 + 4·39) = √(144 + 156) = √300 = 10√3 см.
Ответ: 10√3 см.

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»][/su_spoiler]

№ 3. Точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точки F до плоскости квадрата.
Решение:
1. FA = FB = FC = FD = 5√3.
2. Значит, проекция F на плоскость квадрата — точка O, равноудалённая от вершин, т.е. центр квадрата (пересечение диагоналей).
3. AO = половина диагонали квадрата: диагональ = 10√2 ⇒ AO = 5√2.
4. В прямоугольном треугольнике AOF: AF = 5√3, AO = 5√2 ⇒ FO = √(AF² ─ AO²) = √(75 ─ 50) = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см.

№ 4. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр AK. Точка K удалена от стороны BC на 15 см. Найдите расстояние от точки K до стороны CD, если BD = √337 см, AK = 12 см.
Решение:
1. AK ⟂ плоскости прямоугольника ⇒ AK ⟂ AB, AK ⟂ AD.
2. Расстояние от K до BC = расстояние от K до AD? Нет, BC параллельна AD, но не совпадает.
Рассмотрим плоскость ABK: AB ⟂ BC, BC ⟂ AK (т.к. AK ⟂ плоскости и BC в плоскости) ⇒ BC ⟂ плоскости ABK ⇒ BC ⟂ BK.
Значит, расстояние от K до BC = BK.
По условию: BK = 15 см.
3. Из прямоугольного треугольника ABK: AB² = BK² ─ AK² = 225 ─ 144 = 81 ⇒ AB = 9 см.
4. Из прямоугольного треугольника ABD: BD² = AB² + AD² ⇒ 337 = 81 + AD² ⇒ AD² = 256 ⇒ AD = 16 см.
5. Расстояние от K до CD: CD ⟂ AD, AD ⟂ AK ⇒ AD ⟂ плоскости ADK ⇒ AD ⟂ DK.
В плоскости ADK: AD ⟂ DK, но расстояние от K до CD — длина перпендикуляра KH₂, где H₂ ∈ CD.
Так как CD ⟂ AD и CD ⟂ AK ⇒ CD ⟂ плоскости ADK ⇒ CD ⟂ DK.
Значит, расстояние от K до CD = DK.
6. Из прямоугольного треугольника ADK: DK² = AD² + AK² = 256 + 144 = 400 ⇒ DK = 20 см.
Ответ: 20 см.

№ 5. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
Решение:
1. Точка O’ находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника ⇒ её проекция O на плоскость треугольника — центр вписанной окружности (равноудалена от сторон).
2. Радиус вписанной окружности r = расстояние от O до стороны.
По формуле Герона: полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
Площадь S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².
r = S/p = 84/21 = 4 см.
3. Расстояние от O’ до стороны = 5 см — это длина наклонной от O’ к стороне.
Перпендикуляр из O’ на сторону имеет длину 5, его проекция на плоскость = r = 4.
Тогда расстояние от O’ до плоскости h = √(5² ─ 4²) = √(25 ─ 16) = √9 = 3 см.
Ответ: 3 см.

 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

 

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Перпендикулярность прямой и плоскости» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 3 В34.

 

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички

 

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

 

Опубликовано

Мерзляк 9 Административная П1

Административная контрольная работа по алгебре в 9 классе за 1-е полугодие (варианты 1, 2) + ответы и решения. Код материалов: Алгебра. Мерзляк 9 Административная П1 с ответами на все задания.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 9 класс (УМК Мерзляк)
Административная П1 (полугодовая)

Варианты 1-2 (задания)

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ»]Мерзляк 9 Административная П1[/su_spoiler]

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Докажите неравенство (а – 8)(a + 7) > (a + 10)(a –11).
Решение. Раскроем скобки в обеих частях:
Левая часть: a² + 7a ─ 8a ─ 56 = a² ─ a ─ 56
Правая часть: a² ─ 11a + 10a ─ 110 = a² ─ a ─ 110
Неравенство принимает вид:
a² ─ a ─ 56 > a² ─ a ─ 110
Вычтем a² ─ a из обеих частей: ─56 > ─110
Это верное числовое неравенство, значит исходное неравенство верно для любого a.
Ответ: Неравенство верно при всех a ∈ R.

№ 2. Решите неравенство: 1) ─3x > 12; 2) 5 ─ 2(x ─ 1) > 4 ─ x; 3) 0,1x < ─5.
Решение:
► 1) ─3x > 12
Делим на ─3 (меняем знак неравенства): x < ─4
► 2) 5 ─ 2(x ─ 1) > 4 ─ x
5 ─ 2x + 2 > 4 ─ x
7 ─ 2x > 4 ─ x
7 ─ 4 > ─x + 2x
3 > x
x < 3
► 3) 0,1x < ─5
x < ─50
Ответ: 1) x ∈ (─∞; ─4); 2) x ∈ (─∞; 3); 3) x ∈ (─∞; ─50).

№ 3. При каких значениях x имеет смысл выражение √{7x ─ 8} ?
Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
7x ─ 8 ≥ 0
7x ≥ 8
x ≥ 8/7
Ответ: x ∈ [8/7; + ∞).

№ 4. Постройте график функции f(x) = x² + 2x ─ 3. Используя график, найдите:
1) Область значений данной функции;
2) Промежуток возрастания функции;
3) Множество решений неравенства fx > 0.
Решение: f(x) = x² + 2x ─ 3 = (x + 1)² ─ 4
Вершина параболы: (─1; ─4) , ветви вверх.
1) Область значений: E(f) = [─4; + ∞)
2) Функция возрастает при x > ─1 , т.е. [─1; + ∞)
3) f(x) > 0 :
Решим x² + 2x ─ 3 > 0
Корни: x₁ = ─3, x₂ = 1
Неравенство выполняется при x < ─3 или x > 1.
Ответ: 1) E(f) = [─4; + ∞); 2) [─1; + ∞); 3) x ∈ (─∞; ─3) ∪ (1; + ∞).

№ 5. Постройте график функции y = √x , используя этот график, постройте: 1) y = √x ─ 4; 2) y = √{x ─ 4}; 3) y = 3 + √{x + 1}.

Указание к построению:
График y = √x начинается в точке (0;0) , проходит через (1;1), (4;2).
1) y = √x ─ 4 — сдвиг исходного графика на 4 единицы вниз.
2) y = √{x ─ 4} — сдвиг исходного графика на 4 единицы вправо.
3) y = 3 + √{x + 1} — сдвиг исходного графика на 1 единицу влево и на 3 единицы вверх.

№ 6. Решить неравенство: 1) x² ─ 5x ─ 36 < 0; 2) x² + 7x ─ 30 > 0; 3) ─x² + 4,6x ─ 2,4 < 0.
Решение:
► 1) x² ─ 5x ─ 36 = 0
Корни: x₁ = 9, x₂ = ─4
Парабола ветвями вверх, значит x² ─ 5x ─ 36 < 0 при x ∈ (─4; 9).
► 2) x² + 7x ─ 30 = 0
Корни: x₁ = 3, x₂ = ─10
Парабола ветвями вверх, значит x² + 7x ─ 30 > 0 при x ∈ (─∞; ─10) ∪ (3; + ∞).
► 3) ─x² + 4,6x ─ 2,4 < 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
x² ─ 4,6x + 2,4 > 0
Корни: D = 21,16 ─ 9,6 = 11,56 , √D = 3,4
x₁ = (4,6 ─ 3,4)/2 = 0,6 , x₂ = (4,6 + 3,4)/2 = 4
Парабола ветвями вверх, значит x² ─ 4,6x + 2,4 > 0 при x ∈ (─∞; 0,6) ∪ (4; + ∞).
Ответ: 1) x ∈ (─4; 9); 2) x ∈ (─∞; ─10) ∪ (3; + ∞); 3) x ∈ (─∞; 0,6) ∪ (4; + ∞).

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Докажите неравенство (a + 6)(a – 9) > (a + 11)(a – 14).
Решение. Раскроем скобки в обеих частях:
Левая часть: a² ─ 9a + 6a ─ 54 = a² ─ 3a ─ 54
Правая часть: a² ─ 14a + 11a ─ 154 = a² ─ 3a ─ 154
Неравенство принимает вид:
a² ─ 3a ─ 54 > a² ─ 3a ─ 154
Вычтем a² ─ 3a из обеих частей:
─54 > ─154
Это верное числовое неравенство, значит исходное неравенство верно при любом a.
Ответ: Неравенство верно для всех a ∈ R.

№ 2. Решите неравенство: 1) ─4x < 16; 2) 4(x ─ 3) > x ─ 6; 3) ─0,2x < ─2.
Решение:
► 1) ─4x < 16
Делим на ─4 (меняем знак неравенства):
x > ─4
► 2) 4(x ─ 3) > x ─ 6
4x ─ 12 > x ─ 6
4x ─ x > ─6 + 12
3x > 6
x > 2
► 3) ─0,2x < ─2
Делим на ─0,2 (меняем знак):
x > 10
Ответ: 1) x > ─4; 2) x > 2; 3) x > 10.

№ 3. При каких значениях х имеет смысл выражение: √{3x ─ 10} ?
Решение. Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
3x ─ 10 ≥ 0
3x ≥ 10
x ≥ 10/3
Ответ: x ≥ 10/3.

№ 4. Постройте график функции f(x) = x² + 4x ─ 5. Используя график, найдите:
1) Область значений данной функции;
2) Промежуток возрастания функции;
3) Множество решений неравенства f(x) < 0.
Решение. Квадратичная функция f(x) = x² + 4x ─ 5.
Вершина: x₀ = ─ b/2a = ─ 4/2 = ─2
y₀ = (─2)² + 4•(─2) ─ 5 = 4 ─ 8 ─ 5 = ─9
Ветви вверх.
1) Область значений: E(f) = [─9; + ∞)
2) Функция возрастает при x > ─2 , т.е. (─2; + ∞)
3) Решим x² + 4x ─ 5 < 0 :
Корни: x² + 4x ─ 5 = 0 , D = 16 + 20 = 36 , x₁ = (─4 ─ 6)/2 = ─5 , x₂ = (─4 + 6)/2 = 1
Неравенство < 0 выполняется между корнями: x ∈ (─5; 1)
Ответ: 1) [─9; + ∞); 2) (─2; + ∞); 3) (─5; 1).

№ 5. Постройте график функции y = √x , используя этот график, постройте:
1) y = √x + 2
2) y = √{x + 3}
3) y = 2 + √{x ─ 1}
Указания к построению: График y = √x начинается в точке (0;0), проходит через (1;1), (4;2) и т.д.
1) y = √x + 2 — сдвиг исходного графика на 2 единицы вверх.
2) y = √{x + 3} — сдвиг графика y = √x на 3 единицы влево.
3) y = 2 + √{x ─ 1} — сдвиг графика y = √x на 1 вправо и на 2 вверх.

№ 6. Решить неравенство:
1) x² + x ─ 30 < 0
2) x² ─ 10x + 16 > 0
3) ─x² + 0,8x + 2,4 > 0
Решение:
► 1) x² + x ─ 30 = 0
D = 1 + 120 = 121 , x₁ = (─1 ─ 11)/2 = ─6 , x₂ = (─1 + 11)/2 = 5
Ветви вверх, значит < 0 между корнями: x ∈ (─6; 5)
► 2) x² ─ 10x + 16 = 0
D = 100 ─ 64 = 36 , x₁ = (10 ─ 6)/2 = 2 , x₂ = (10 + 6)/2 = 8
Ветви вверх, значит > 0 вне отрезка: x ∈ (─∞; 2) ∪ (8; + ∞)
► 3) ─x² + 0,8x + 2,4 > 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
x² ─ 0,8x ─ 2,4 < 0
D = 0,64 + 9,6 = 10,24 , √D = 3,2
x₁ = (0,8 ─ 3,2)/2 = ─1,2 , x₂ = (0,8 + 3,2)/2 = 2
Ветви вверх, значит < 0 между корнями: x ∈ (─1,2; 2)
Ответ: 1) (─6; 5); 2) (─∞; 2) ∪ (8; + ∞); 3) (─1,2; 2).

 

Вы смотрели: Административная контрольная работа по алгебре в 9 классе за 1-е полугодие (варианты 1, 2) + ответы и решения. Код материалов: Алгебра. Мерзляк 9 Административная П1 с ответами на все задания.

Вернуться к Списку контрольных работ

 

(с) Источник: https://vk.com/wall–62842543_36767
Опубликовано

Геометрия 10 Контрольная 2 В34

Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Параллельность в пространстве» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 2 В34 + Решения.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 2. Варианты 3-4

Тема: Параллельность в пространстве

Вариант 3 (задания)

Ответы на вариант 3

№ 1. Точки N, M, C и K — середины отрезков BD, DF, FA и AB соответственно, BF = 24 см, AD = 18 см (рис. 13). Определите вид четырёхугольника NMCK и вычислите его периметр.
Решение:
─ В четырёхугольнике AFBD диагонали AB и DF пересекаются в точке O.
─ K — середина AB , M — середина DF , C — середина FA , N — середина BD.
─ KMC — средняя линия треугольника ABF (параллельна BF), KMC = BF/2 = 12 см.
─ KNC — средняя линия треугольника ABD (параллельна AD), KNC = AD/2 = 9 см.
─ NM — средняя линия треугольника BDF (параллельна BF), NM = BF/2 = 12 см.
─ MC — средняя линия треугольника DFA (параллельна AD), MC = AD/2 = 9 см.
─ Получили: KM = NC = 12 см, KN = MC = 9 см.
─ Противоположные стороны равны, значит, NMCK — параллелограмм.
─ Периметр: P = 2 • (12 + 9) = 42 см.
Ответ: параллелограмм, P = 42 см.

№ 2. Плоскость α пересекает стороны MF и MK треугольника MFK в точках A и B соответственно и параллельна стороне FK, AB = 12 см, AM : AF = 3 : 5. Найдите сторону FK треугольника.
Решение:
─ AB ∥ FK (т.к. плоскость α ∥ FK и проходит через A, B).
─ Треугольник MFK ∼ MAB по двум углам.
─ AM/AF = 3/5 ⇒ AM/MF = 3/8.
─ Коэффициент подобия k = MF/MA = 8/3.
─ FK/AB = k ⇒ FK = 12 • 8/3 = 32 см.
Ответ: FK = 32 см.

№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 14). Постройте изображение центра вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
Решение:
─ В правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и точкой пересечения медиан.
─ В параллельной проекции сохраняется простое отношение точек на прямой, поэтому изображение центра — точка пересечения медиан треугольника ABC.
─ Строим медианы AA₀ , BB₀ , CC₀ (где A₀, B₀, C₀ — середины противоположных сторон).
─ Их пересечение O — изображение центра вписанной окружности.
Ответ: точка пересечения медиан треугольника ABC.

№ 4. Плоскости α и β параллельны. Из точки O, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости α и β в точках C1 и D1, а другой — в точках C2 и D2 соответственно. Найдите отрезок C1C2, если он на 5 см меньше отрезка D1D2, OC1 = 4 см, C1D1 = 10 см.
Решение:
─ Плоскости α ∥ β , лучи из O пересекают их в точках C₁, D₁ и C₂, D₂.
─ По теореме Фалеса для параллельных плоскостей:
OC₁/OD₁ = OC₂/OD₂
─ OD₁ = OC₁ + C₁D₁ = 4 + 10 = 14 см.
─ Пусть C₁C₂ = x , тогда D₁D₂ = x + 5.
─ OC₂ = OC₁ + C₁C₂ = 4 + x , OD₂ = OD₁ + D₁D₂ = 14 + x + 5 = 19 + x.
─ Из пропорции: 4/14 = (4 + x)/(19 + x)
─ 4(19 + x) = 14(4 + x)
─ 76 + 4x = 56 + 14x
─ 20 = 10x
─ x = 2 см.
Ответ: C₁C₂ = 2 см.

№ 5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин правильного треугольника и его центра. Постройте изображение этого треугольника.
Решение:
─ В правильном треугольнике центр O делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
─ A и B — проекции двух вершин, O — проекция центра.
─ Строим середину M отрезка AB. В правильном треугольнике центр лежит на медиане из третьей вершины, и OM : MC = 1 : 2 (если C — третья вершина, M — середина AB).
─ Зная O и M , находим C на луче MO за точкой O так, что MO : OC = 1 : 2.
─ Тогда треугольник ABC — искомое изображение.
Ответ: треугольник ABC , где C строится по правилу: M — середина AB , C на луче MO за точкой O так, что OC = 2 • MO.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2

 

Вариант 4 (задания)

Ответы на вариант 4

№ 1. Точки A, B, K, T — середины отрезков MF, PF, PN, MN соответственно, MP = 10 см, FN = 16 см (рис. 15). Определите вид четырёхугольника ABKT и вычислите его периметр.
Решение:
1. В четырёхугольнике FNPM диагонали MN и FP пересекаются.
2. A — середина MF, B — середина PF, K — середина PN, T — середина MN.
3. По теореме о средней линии треугольника:
─ AB — средняя линия △ MFP: AB ∥ MP и AB = 1/2 MP = 5 см.
─ TK — средняя линия △ MNP: TK ∥ MP и TK = 1/2 MP = 5 см.
─ BT — средняя линия △ FPN: BT ∥ FN и BT = 1/2 FN = 8 см.
─ AK — средняя линия △ MFN: AK ∥ FN и AK = 1/2 FN = 8 см.
4. Противоположные стороны ABKT попарно равны и параллельны ⇒ ABKT — параллелограмм.
5. Периметр: P = 2 • (5 + 8) = 26 см.
Ответ: ABKT — параллелограмм, P = 26 см.

№ 2. Плоскость β пересекает стороны CF и CD треугольника CDF в точках M и N соответственно и параллельна стороне FD, MN = 6 см, FD = 21 см, MC = 10 см. Найдите сторону FC треугольника.
Решение:
1. β ∥ FD, значит MN ∥ FD.
2. В △ CDF: MN ∥ FD ⇒ △ CMN \sim △ CFD по двум углам.
3. Коэффициент подобия: k = MN/FD = 6/21 = 2/7.
4. Отношение сходственных сторон: CM/CF = k = 2/7.
5. CM = 10 см ⇒ CF = CM/k = 10/(2/7) = 35 см.
Ответ: FC = 35 см.

№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 16). Постройте изображение центра описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
Решение:
1. В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести (точкой пересечения медиан).
2. На изображении ABC строим медианы:
─ Проводим медиану из A к середине BC.
─ Проводим медиану из B к середине AC.
3. Точка пересечения медиан O — изображение центра описанной окружности.
Ответ: точка O — пересечение медиан треугольника ABC.

№ 4. Плоскости α и β параллельны. Через точку D, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках M₁ и N₁, а другая — в точках M₂ и N₂ соответственно. Найдите отрезок M₁M₂, если он на 8 см больше отрезка N₁N₂, N₁M₁ = 30 см, DN₁ = 5 см.
Решение:
1. Плоскости α ∥ β, прямые M₁N₁ и M₂N₂ пересекаются в D.
2. По теореме Фалеса: DM₁/DN₁ = DM₂/DN₂ = M₁M₂/N₁N₂.
3. N₁M₁ = DM₁ + DN₁ = 30 см, DN₁ = 5 см ⇒ DM₁ = 25 см.
4. Пусть N₁N₂ = x, тогда M₁M₂ = x + 8.
5. Из подобия: DM₁/DN₁ = M₁M₂/N₁N₂ ⇒ 25/5 = (x + 8)/x ⇒ 5 = (x + 8)/x ⇒ 5x = x + 8 ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2.
6. M₁M₂ = 2 + 8 = 10 см.
Ответ: M₁M₂ = 10 см.

№ 5. Точки A, B, M, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух соседних вершин параллелограмма и середины его противолежащей стороны. Постройте изображение этого параллелограмма.
Решение:
1. Пусть A, B — проекции соседних вершин, M — проекция середины противолежащей стороны.
2. В параллелограмме ABCD: M — середина CD.
3. Строим:
─ Проводим прямую AM и продолжаем за M на такую же длину: MC = MD.
─ Откладываем D на продолжении AM так, что M — середина CD.
─ Соединяем B → C и D → A, получаем параллелограмм ABCD.
Ответ: параллелограмм ABCD, где C симметричен D относительно M, и AB ∥ CD, BC ∥ AD.

 

 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2

 

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 В34.

Смотреть аналогичную контрольную № 2 с решениями

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички

 

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

 

Опубликовано

Математика 6 Проверочная 5 В2

Контрольная работа № 5 по математике 6 класс с решениями и ответами «Отношения и пропорции» Вариант 2 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 5 В2.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 5 Вариант 2

Проверяемая тема: Отношения и пропорции

Математика 6 Проверочная 5 В2

 

Решения и ответы на Вариант 2

№ 1. Найдите отношение: 18 кг : 2 г.
Решение:
1 кг = 1000 г ⇒ 18 кг = 18 × 1000 = 18000 г.
Отношение: 18000 г : 2 г = 18000 / 2 = 9000.
Ответ: 9000.

№ 2. Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел: 17/18 : 7/12.
Решение:
17/18 : 7/12 = 17/18 × 12/7 = 17 × 12/18 × 7 = 204/126.
Сократим на 6:
204/126 = 34/21.
Ответ: 34 : 21.

№ 3. Между двумя санаториями распределили 180 кг мандаринов в отношении 5:4. Сколько килограммов мандаринов получил каждый санаторий?
Решение:
Всего частей: 5 + 4 = 9.
1 часть: 180 / 9 = 20 кг.
Первый санаторий: 5 × 20 = 100 кг.
Второй санаторий: 4 × 20 = 80 кг.
Ответ: 100 кг и 80 кг.

№ 4. Найдите процент содержания меди в сплаве, если 600 г сплава содержат 48 г меди.
Решение:
48/600 × 100 % = 0,08 × 100 % = 8 %.
Ответ: 8%.

№ 5. Из 60 кг свежих слив получают 21 кг сушёных. Сколько килограммов свежих слив надо взять, чтобы получить 35 кг сушёных слив?
Решение:
Коэффициент усушки: 21 кг сушёных из 60 кг свежих ⇒
60/21 = 20/7 кг свежих на 1 кг сушёных.
На 35 кг сушёных:
35 × 20/7 = 5 × 20 = 100 кг.
Ответ: 100 кг.

№ 6. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч за 1,4 ч. За какое время он проехал бы это расстояние, если бы ехал со скоростью 56 км/ч?
Решение:
Расстояние: 60 × 1,4 = 84 км.
Время при скорости 56 км/ч:
84 / 56 = 1,5 ч.
Ответ: 1,5 ч.

№ 7. Найдите длину окружности, если её радиус равен 3,5 см.
Решение:
Формула длины окружности: C = 2π R.
C = 2 × 3,14 × 3,5 = 21,98 см.
Ответ: 21,98 см.

№ 8. Найдите площадь круга, если его радиус равен 5 см.
Решение:
Формула площади круга: S = π R².
S = 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 см².
Ответ: 78,5 см².

№ 9. Цена товара снизилась с 340 р. до 323 р. На сколько процентов снизилась цена товара?
Решение:
Снижение: 340 – 323 = 17 руб.
Процент снижения:
17/340 × 100 % = 0,05 × 100 % = 5 %.
Ответ: 5%.

№ 10. Число а составляет 160 % от числа b. Сколько процентов число b составляет от числа а?
Решение:
Пусть b = 100 % , тогда a = 160 %.
b/a × 100 % = 100/160 × 100 % = 0,625 × 100 % = 62,5 %.
Ответ: 62,5%.

 

Вариант 2 смотрите тут: ПР-05 Вариант 1

 

Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 5 В2.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Опубликовано

Математика 6 Проверочная 4 В2

Контрольная работа № 4 по математике 6 класс с решениями и ответами «Действие деления смешанных чисел. Нахождение числа по его дроби» Вариант 2 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 4 В2.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 4 Вариант 2

Проверяемая тема: Действие деления смешанных чисел. Нахождение числа по его дроби

Математика 6 Проверочная 4 В2

 

Решения и ответы на Вариант 2

№ 1. Выполните деление:
► 1) 4 1/6 : 5
Решение: 4 1/6 = 25/6
25/6 : 5 = 25/6 • 1/5 = 25/30 = 5/6
Ответ: 5/6.
► 2) 18 : 1 2/7
Решение: 1 2/7 = 9/7
18 : 9/7 = 18 • 7/9 = 2 • 7 = 14
Ответ: 14.
► 3) 8 3/4 : 2 1/3
Решение: 8 3/4 = 35/4 , 2 1/3 = 7/3
35/4 : 7/3 = 35/4 • 3/7 = 5/4 • 3 = 15/4 = 3 3/4
Ответ: 3 3/4.

№ 2. В доме 45 однокомнатных квартир, что составляет 15 % всех квартир. Сколько всего квартир в этом доме?
Решение. Пусть всего квартир x.
0,15x = 45
x = 45 : 0,15 = 300
Ответ: 300 квартир.

№ 3. Найдите значение выражения:
► 1) (10 ─ 1 17/27 : 22/45) : 4 4/9
Решение:
1 17/27 = 44/27
44/27 : 22/45 = 44/27 • 45/22 = 2/27 • 45 = 90/27 = 10/3
10 ─ 10/3 = (30 ─ 10)/3 = 20/3
4 4/9 = 40/9
20/3 : 40/9 = 20/3 • 9/40 = 1/1 • 3/2 = 3/2 = 1,5
Ответ: 1,5.
► 2) 6,5 • 3,3 • 1,6/0,4 • 4,4 • 2,6
Решение:
6,5 : 2,6 = 2,5
3,3 : 4,4 = 0,75
1,6 : 0,4 = 4
2,5 • 0,75 • 4 = 2,5 • 3 = 7,5
Ответ: 7,5.

№ 4. Из пункта А в направлении пункта В вышел первый пешеход со скоростью 5 5/6 км/ч. Одновременно с ним из пункта В в том же направлении вышел второй пешеход, скорость которого в 1 1/4 раза меньше скорости первого. Через сколько часов после начала движения первый пешеход догонит второго, если расстояние между пунктами А и В равно 1 3/4 км?
Решение:
Скорость первого: 5 5/6 = 35/6 км/ч
Скорость второго: 35/6 : 1 1/4 = 35/6 : 5/4 = 35/6 • 4/5 = 14/3 км/ч
Скорость сближения: 35/6 ─ 14/3 = (35 ─ 28)/6 = 7/6 км/ч
Расстояние между ними: 1 3/4 = 7/4 км
Время: 7/4 : 7/6 = 7/4 • 6/7 = 6/4 = 1,5 ч (1 час 30 минут)
Ответ: через 1,5 часа.

№ 5. В первый день из цистерны взяли 30 % находящегося в ней бензина, во второй — 4/7 остатка, а в третий — остальные 240 л. Сколько литров бензина было в цистерне первоначально?
Решение: Пусть всего x л.
Первый день: 0,3x , осталось 0,7x
Второй день: 4/7 • 0,7x = 0,4x
Остаток после второго дня: 0,7x ─ 0,4x = 0,3x
0,3x = 240
x = 240 : 0,3 = 800
Ответ: 800 л.

 

Вариант 1 смотрите тут: ПР-04 Вариант 1

 

Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 4 В2.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Опубликовано

Математика 6 Проверочная 5 В1

Контрольная работа № 5 по математике 6 класс с решениями и ответами «Отношения и пропорции» Вариант 1 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 5 В1.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 5 Вариант 1

Проверяемая тема: Отношения и пропорции

Математика 6 Проверочная 5 В1

 

Решения и ответы на Вариант 1

№ 1. Найдите отношение: 12 м : 6 мм.
Решение: 12 м = 12 000 мм.
Отношение: 12000/6 = 2000.
Ответ: 2000 : 1.

№ 2. Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел: 9/16 : 13/24.
Решение:
9/16 : 13/24 = 9/16 × 24/13 = 9 × 24/16 × 13 = 216/208 = 27/26.
Ответ: 27 : 26.

№ 3. Между двумя школами распределили 160 кг апельсинов в отношении 3:5. Сколько килограммов апельсинов получила каждая школа?
Решение:
Всего частей: 3 + 5 = 8.
1 часть: 160/8 = 20 кг.
Первая школа: 3 × 20 = 60 кг.
Вторая школа: 5 × 20 = 100 кг.
Ответ: 60 кг и 100 кг.

№ 4. Найдите процент содержания цинка в сплаве, если 400 кг сплава содержат 56 кг цинка.
Решение: 56/400 × 100 % = 14 %.
Ответ: 14%.

№ 5. Из 20 кг подсолнуха получают 18 кг семян. Сколько килограммов подсолнуха надо взять, чтобы получить 45 кг семян?
Решение:
Пропорция: 20/18 = x/45.
x = 20 × 45/18 = 50 кг.
Ответ: 50 кг.

№ 6. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами за 1,5 ч со скоростью 64 км/ч. С какой скоростью он должен был бы ехать, чтобы проехать это расстояние за 1,2 ч?
Решение:
Расстояние: 1,5 × 64 = 96 км.
Скорость: 96/1,2 = 80 км/ч.
Ответ: 80 км/ч.

№ 7. Найдите длину окружности, если её радиус равен 4,5 см.
Решение:
Формула: C = 2π R.
C = 2 × 3,14 × 4,5 = 28,26 см.
Ответ: 28,26 см.

№ 8. Найдите площадь круга, если его радиус равен 6 см.
Решение:
Формула: S = π R².
S = 3,14 × 6² = 3,14 × 36 = 113,04 см².
Ответ: 113,04 см².

№ 9. Цена товара повысилась со 140 р. до 161 р. На сколько процентов повысилась цена товара?
Решение:
Изменение: 161 ─ 140 = 21 руб.
Процент: 21/140 × 100 % = 15 %.
Ответ: 15%.

№ 10. Число а составляет 250 % от числа b. Сколько процентов число b составляет от числа а?
Решение:
Пусть b = 100 % , тогда a = 250 %.
b/a × 100 % = 100/250 × 100 % = 40 %.
Ответ: 40%.

 

Вариант 2 смотрите тут: ПР-05 Вариант 2

 

Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 5 В1.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Опубликовано

Математика 6 Проверочная 4 В1

Контрольная работа № 4 по математике 6 класс с решениями и ответами «Действие деления смешанных чисел. Нахождение числа по его дроби» Вариант 1 для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Математика 6 Проверочная 4 В1.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Математика 6 класс (Виленкин)
Проверочная № 4 Вариант 1

Проверяемая тема: Действие деления смешанных чисел. Нахождение числа по его дроби

Математика 6 Проверочная 4 В1

 

Решения и ответы на Вариант 1

№ 1. Выполните деление:
► 1) 3 1/3 : 5
Решение: 3 1/3 = 10/3
10/3 : 5 = 10/3 • 1/5 = 10/15 = 2/3
Ответ: 2/3.
► 2) 20 : 1 3/7
Решение: 1 3/7 = 10/7
20 : 10/7 = 20 • 7/10 = 2 • 7 = 14
Ответ: 14.
► 3) 2 2/9 : 1 7/9
Решение: 2 2/9 = 20/9 , 1 7/9 = 16/9
20/9 : 16/9 = 20/9 • 9/16 = 20/16 = 5/4 = 1 1/4
Ответ: 1 1/4.

№ 2. Рабочий изготовил 48 деталей, что составляет 16 % количества деталей, которые он должен был изготовить. Сколько всего деталей надо изготовить рабочему?
Решение. Пусть всего надо изготовить x деталей.
0,16x = 48
x = 48 : 0,16 = 300
Ответ: 300 деталей.

№ 3. Найдите значение выражения:
► 1) (14 ─ 2 11/12 : 7/18) : 4 7/8
Решение: 2 11/12 = 35/12
35/12 : 7/18 = 35/12 • 18/7 = 5/2 • 3/1 = 15/2 = 7 1/2
14 ─ 7 1/2 = 6 1/2 = 13/2
4 7/8 = 39/8
13/2 : 39/8 = 13/2 • 8/39 = 1/2 • 8/3 = 4/3 = 1 1/3
Ответ: 1 1/3.
► 2) (4,9 • 4,5 • 1,2) / (8,1 • 0,3 • 2,8)
Решение:
4,9 = 49/10 , 4,5 = 9/2 , 1,2 = 6/5
8,1 = 81/10 , 0,3 = 3/10 , 2,8 = 14/5
Числитель: 49/10 • 9/2 • 6/5 = (49 • 9 • 6)/100
Знаменатель: 81/10 • 3/10 • 14/5 = (81 • 3 • 14)/500
Делим: (49 • 9 • 6)/100 : (81 • 3 • 14)/500 = (49 • 9 • 6)/100 • 500/(81 • 3 • 14)
Сокращаем: 500/100 = 5 , 9/81 = 1/9 , 6/3 = 2 , 49/14 = 7/2
Получаем: 5 • 1/9 • 2 • 7/2 = 5 • 1/9 • 7 = 35/9 = 3 8/9.
Ответ: 3 8/9.

№ 4. Из пункта А в направлении пункта В выехал первый велосипедист со скоростью 12 2/3 км/ч. Одновременно с ним из пункта В в том же направлении выехал второй велосипедист, скорость которого в 1 16/41 раза меньше скорости первого. Через сколько часов после начала движения первый велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктами А и В равно 8 км?
Решение. Скорость первого: 12 2/3 = 38/3 км/ч.
Скорость второго меньше в 1 16/41 = 57/41 раза, значит:
v₂ = 38/3 : 57/41 = 38/3 • 41/57 = 1558/171 км/ч.
Скорость сближения: v₁ ─ v₂ = 38/3 ─ 1558/171.
Приведём к общему знаменателю 171:
38/3 = 38 • 57/171 = 2166/171
2166/171 ─ 1558/171 = 608/171 км/ч.
Расстояние между ними в начале: 8 км.
Время до встречи: t = 8/(608/171) = 8 • 171/608 = 1368/608 = 171/76 ч.
Упростим: 171/76 = 9 • 19 / (4 • 19) = 9/4 = 2,25 ч.
Ответ: через 2,25 часа (2 часа 15 минут).

№ 5. В первый контейнер насыпали 6/11 всех яблок, во второй — 40 % остатка, а в третий — остальные 162 кг. Сколько всего килограммов яблок насыпали в три контейнера?
Решение. Пусть всего x кг яблок.
Первый контейнер: 6/11x , осталось x ─ 6/11x = 5/11x.
Второй контейнер: 0,4 • 5/11x = 2/5 • 5/11x = 2/11x.
Третий контейнер: 5/11x ─ 2/11x = 3/11x.
По условию 3/11x = 162
x = 162 • 11/3 = 54 • 11 = 594
Ответ: 594 кг.

 

Вариант 2 смотрите тут: ПР-04 Вариант 2

 

Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс с ответами для УМК Виленкин Базовый уровень с 2025 года. Код материалов: Математика 6 Проверочная 4 В1.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из учебного пособия «Математика : 6-й класс : базовый уровень : дидактические материалы / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, М. С. Якир. — Москва : Просвещение, 2025» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Опубликовано

Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 1

Самостоятельная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Тригонометрические функции угла от 0° до 180°» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 1-6). Цитаты из пособия  «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 1 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 1. Вариант 1

 

Ответы и решения на Вариант 1

№ 1. Чему равно:
► 1) sin (180° – а), если sin а = 1/4;
По формуле приведения: sin(180° – a) = sin a.
Ответ: 1/4.
► 2) cos (180° – а), если cos а = –0,1;
По формуле приведения: cos(180° – a) = –cos a = –(–0,1) = 0,1.
Ответ: 0,1.
► 3) tg(180° – а), если tg a = 8;
По формуле приведения: tg(180° – a) = –tg a.
Ответ: –8.
► 4) ctg(180° – а), если ctg a = -2/7.
По формуле приведения: ctg(180° – a) = –ctg a = 2/7.
Ответ: 2/7.

№ 2. Найдите значение выражения:
► 1) 3 sin 0° + 4 cos 180°;
sin 0° = 0, cos 180° = –1.
3 · 0 + 4 · (–1) = –4.
Ответ: –4.
► 2) 5 sin 90° – 7 ctg 90°;
sin 90° = 1, ctg 90° = 0.
5 · 1 – 7 · 0 = 5.
Ответ: 5.
► 3) cos² 110° + sin² 110°;
По основному тригонометрическому тождеству: cos² α + sin² α = 1.
Ответ: 1.
► 4) cos² 40° + sin² 140°;
sin 140° = sin(180° – 40°) = sin 40°.
cos² 40° + sin² 40° = 1.
Ответ: 1.

№ 3. Найдите:
► 1) a, если sin a = 1/4 и 0° < a < 90°;
В указанном промежутке угол определяется однозначно.
a = arcsin(1/4).
Ответ: a = arcsin(1/4).
► 2) sin a, если cos a = 1/3;
sin² a = 1 – cos² a = 1 – (1/9) = 8/9.
sin a = ±√(8/9) = ±(2√2)/3.
Ответ: ±(2√2)/3 (знак зависит от четверти, не указанной в условии).
► 3) cos a, если sin a = 1/9;
cos² a = 1 – sin² a = 1 – 1/81 = 80/81.
cos a = ±√(80/81) = ±(4√5)/9.
Ответ: ±(4√5)/9 (знак зависит от четверти, не указанной в условии).

№ 4. Сравните с нулём значение выражения:
► 1) sin 115° ctg 160°;
115° ∈ II ч. → sin 115° > 0.
160° ∈ II ч. → ctg 160° = cos/sin, cos<0, sin>0 → ctg<0.
(+)·(–) = –.
Ответ: < 0.
► 2) sin 52° cos 90° tg 106°;
sin 52° > 0, cos 90° = 0.
Произведение, содержащее ноль, равно нулю.
Ответ: = 0.

№ 5. Найдите значение выражения:
► 1) sin 120° cos 150° tg 135°;
sin 120° = sin(180° – 60°) = √3/2 > 0.
cos 150° = cos(180° – 30°) = –√3/2.
tg 135° = tg(180° – 45°) = –1.
(√3/2)·(–√3/2)·(–1) = (3/4)·(–1)·(–1) = 3/4.
Ответ: 3/4.
► 2) 2 cos² 135° + 6 sin 150° – 4 ctg 90° cos 141°;
cos 135° = –√2/2 → cos² 135° = 1/2.
sin 150° = 1/2.
ctg 90° = 0 → третье слагаемое 0.
2·(1/2) + 6·(1/2) = 1 + 3 = 4.
Ответ: 4.

№ 6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:
► 1) (sin 34°)/(sin 146°) + (tg 98°)/(tg 82°);
sin 146° = sin(180° – 34°) = sin 34° → первая дробь = 1.
tg 98° = tg(90° + 8°) = –ctg 8°.
tg 82° = tg(90° – 8°) = ctg 8°.
Вторая дробь = (–ctg 8°)/(ctg 8°) = –1.
1 + (–1) = 0.
Ответ: 0.
► 2) (cos 118°)/(cos 62°) – (ctg 27°)/(ctg 153°);
cos 118° = cos(180° – 62°) = –cos 62° → первая дробь = –1.
ctg 153° = ctg(180° – 27°) = –ctg 27° → вторая дробь = ctg 27°/(–ctg 27°) = –1.
–1 – (–1) = –1 + 1 = 0.
Ответ: 0.

 

Самостоятельная № 1. Вариант 2

 

Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 1 В1.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).