Рубрика: Ответы

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 2 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, СиКР)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

Ответ:
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \; x = -\frac{\arctg\frac{1}{5}}{4} + \frac{\pi k}{4}, \; n,k \in \mathbb{Z} \)

 

№ 1. Упростите выражение b^{1/6} • (b^{1/6} – 4) ─ (b^{1/6} – 2)²
Решение:
1. Раскроем скобки:
b^{1/6} • b^{1/6} ─ 4b^{1/6} ─ (b^{1/3} ─ 4b^{1/6} + 4)
Пояснение: (b^{1/6})² = b^{1/3}, а квадрат разности раскрываем по формуле.
2. Получаем:
b^{1/3} ─ 4b^{1/6} ─ b^{1/3} + 4b^{1/6} ─ 4
3. Приводим подобные:
b^{1/3} ─ b^{1/3} = 0; ─4b^{1/6} + 4b^{1/6} = 0. Остаётся ─4.
✅ Ответ: ─4

№ 2. Найдите область определения функции
f(x) = √ (x² ─ 16)/(─x² + 6x ─ 5)
Решение: Область определения — это все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.
1. Знаменатель не равен нулю:
─x² + 6x ─ 5 ≠ 0
Умножим на ─1: x² ─ 6x + 5 ≠ 0
Корни: x = 1, x = 5
Значит, x ≠ 1, x ≠ 5.
2. Дробь (x² ─ 16)/(─x² + 6x ─ 5) ≥ 0
Разложим числитель: x² ─ 16 = (x─4)(x + 4)
Знаменатель: ─x² + 6x ─ 5 = ─(x² ─ 6x + 5) = ─(x─1)(x─5)
3. Получаем неравенство:
(x─4)(x + 4)/(─(x─1)(x─5)) ≥ 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
(x─4)(x + 4)/(x─1)(x─5) ≤ 0
4. Решаем методом интервалов. Нули числителя: x = ─4, x = 4. Нули знаменателя (выколоты): x = 1, x = 5.
Отмечаем на числовой оси точки: ─4, 1, 4, 5.
Проверяем знаки:
─ (─∞; ─4) : (+)/(─) = ─, но нам нужно ≤ 0, подходит.
─ (─4; 1) : (─)/(─) = +, не подходит.
─ (1; 4) : (─)/(+) = ─, подходит.
─ (4; 5) : (+)/(+) = +, не подходит.
─ (5; + ∞) : (+)/(+) = +, не подходит.
Включаем точки, где числитель равен нулю: x = ─4, x = 4.
5. Объединяем: x ∈ (─∞; ─4] ∪ (1; 4], исключая x = 5 (он и так не входит).
✅ Ответ: (─∞; ─4] ∪ (1; 4]

№ 3. Решите уравнения
► 1) √{3x + 1} = x ─ 1
Решение:
1. ОДЗ: 3x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─ 1/3 и x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. Итого x ≥ 1.
2. Возводим в квадрат:
3x + 1 = (x ─ 1)²
3x + 1 = x² ─ 2x + 1
0 = x² ─ 5x
x(x ─ 5) = 0
Корни: x = 0, x = 5.
3. Проверяем ОДЗ: x = 0 не подходит (x ≥ 1).
x = 5 подходит.
Проверка: √{3•5 + 1} = √16 = 4, 5 ─ 1 = 4. Верно.
✅ Ответ: 5
► 2) 6cos² 4x + 2sin 8x = 5
Решение:
1. Заметим: sin 8x = 2sin 4x cos 4x.
Тогда уравнение: 6cos² 4x + 4sin 4x cos 4x = 5.
2. Используем основное тригонометрическое тождество: cos² 4x = 1 ─ sin² 4x.
Получаем: 6(1 ─ sin² 4x) + 4sin 4x cos 4x = 5
6 ─ 6sin² 4x + 4sin 4x cos 4x = 5
─6sin² 4x + 4sin 4x cos 4x + 1 = 0
3. Умножим на ─1: 6sin² 4x ─ 4sin 4x cos 4x ─ 1 = 0
4. Разделим на cos² 4x(при условии cos 4x ≠ 0):
6tan² 4x ─ 4tan 4x ─ 1/(cos² 4x) = 0
Но 1/(cos² 4x) = 1 + tan² 4x.
Получаем: 6tan² 4x ─ 4tan 4x ─ (1 + tan² 4x) = 0
5tan² 4x ─ 4tan 4x ─ 1 = 0
5. Решаем квадратное относительно t = tan 4x :
5t² ─ 4t ─ 1 = 0
Дискриминант: 16 + 20 = 36, корни: t = 4 ± 6/10
t₁ = 1, t₂ = ─ 1/5
6. Обратная замена:
─ tan 4x = 1 ⇒ 4x = π/4 + π n ⇒ x = π/16 + π n/4
─ tan 4x = ─ 1/5 ⇒ 4x = arctg(─ 1/5) + π k ⇒ x = ─ arctg(1/5)/4 + πk/4
7. Проверим случай cos 4x = 0 : 4x = π/2 + π m ⇒ x = π/8 + π m/4. Подставим в исходное:
cos 4x = 0 ⇒ cos² 4x = 0, sin 8x = sin(π + 2π m) = 0. Получаем 0 = 5 — неверно. Значит, эти точки не входят.
✅ Ответ: x = π/16 + π n/4, x = ─ arctg(1/5)/4 + πk/4, n,k ∈ Z
► 3) tan 4x • cos x ─ sin x ─ √2 • sin 3x = 0
Решение:
1. Запишем tan 4x = sin 4x/cos 4x. Уравнение:
sin 4x/cos 4x • cos x ─ sin x ─ √2sin 3x = 0
Умножаем на cos 4x(ОДЗ: cos 4x ≠ 0):
sin 4x cos x ─ sin x cos 4x ─ √2sin 3x cos 4x = 0
2. Заметим: sin 4x cos x ─ sin x cos 4x = sin(4x ─ x) = sin 3x.
Получаем: sin 3x ─ √2sin 3x cos 4x = 0
sin 3x (1 ─ √2 cos 4x) = 0
3. Приравниваем каждый множитель к нулю:
─ sin 3x = 0 ⇒ 3x = π n ⇒ x = π n/3
─ 1 ─ √2cos 4x = 0 ⇒ cos 4x = 1/√2 = √2/2
4x = ± π/4 + 2π k ⇒ x = ± π/16 + π k/2
4. Проверяем ОДЗ (cos 4x ≠ 0):
─ Для первой серии: cos(4• π n/3) = cos(4π n/3). При n, кратном 3, косинус может быть равен 1, но не 0. При n = 3/2 (нецелое) — не рассматриваем. Надо проверить, когда cos 4x = 0 : 4x = π/2 + π m. Для первой серии: 4π n/3 = π/2 + π m умножаем на 6: 8π n = 3π + 6π m — делимость не получается в целых числах, значит, запрещённых точек нет.
─ Для второй серии: cos 4x = √2/2 ≠ 0, значит, ОДЗ выполнена.
✅ Ответ: x = π n/3, x = ± π/16 + π k/2, n,k ∈ Z

№ 4. Докажите тождество (cos 7a/sin 3a + sin 7a/cos 3a) • (cos 7a ─ cos 5a)/cos 4a = ─4 sin a
Решение:
1. Приведём сумму в первых скобках к общему знаменателю:
cos 7a/sin 3a + sin 7a/cos 3a = (cos 7a cos 3a + sin 7a sin 3a)/sin 3a cos 3a
По формуле косинуса разности: cos 7a cos 3a + sin 7a sin 3a = cos(7a ─ 3a) = cos 4a.
2. Знаменатель: sin 3a cos 3a = 1/2 sin 6a.
Получаем:
cos 4a/½ sin 6a = 2 cos 4a/sin 6a
3. Вторая дробь: cos 7a ─ cos 5a. Используем формулу разности косинусов:
cos 7a ─ cos 5a = ─2 sin(7a + 5a)/2 sin(7a─5a)/2 = ─2 sin 6a sin a
4. Перемножаем:
2 cos 4a/sin 6a • (─2 sin 6a sin a)/cos 4a = 2 • (─2) • cos 4a/sin 6a • sin 6a sin a/cos 4a = ─4 sin a
✅ Ответ: Тождество доказано.

№ 5. Решите неравенство √{4 ─ 3x} < x + 2
Решение:
1. Область определения: 4 ─ 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4/3.
2. Так как левая часть неотрицательна, правая часть должна быть положительной: x + 2 > 0 ⇒ x > ─2.
3. Возводим обе части в квадрат (обе части неотрицательны):
4 ─ 3x < (x + 2)²
4 ─ 3x < x² + 4x + 4
0 < x² + 7x
x(x + 7) > 0
4. Решаем методом интервалов: x < ─7 или x > 0.
5. Учитываем область определения и условие x > ─2:
─ x < ─7 не подходит, так как x > ─2.
─ x > 0 и x ≤ 4/3 даёт 0 < x ≤ 4/3.
Проверка:
При x = 1: √{4 ─ 3} = 1, 1 + 2 = 3, 1 < 3 — верно.
При x = 0: √4 = 2, 0 + 2 = 2 — нестрого, а неравенство строгое, поэтому 0 не входит.
✅ Ответ: (0; 4/3]

№ 6. Исследуйте функцию и постройте её график f(x) = x³ ─ 0.5x²
Решение:
1. Область определения: x ∈ R.
2. Производная:
f(x) = 3x² ─ x = x(3x ─ 1)
3. Критические точки: x = 0 и x = 1/3.
4. Промежутки монотонности:
─ x < 0: f(x) > 0 — функция возрастает.
─ 0 < x < 1/3: f(x) < 0 — убывает.
─ x > 1/3: f(x) > 0 — возрастает.
5. Экстремумы:
─ x = 0: максимум, f(0) = 0.
─ x = 1/3: минимум, f(1/3) = 1/27 ─ 0.5 • 1/9 = 1/27 ─ 1/18 = 2/54 ─ 3/54 = ─ 1/54.
6. Точки пересечения с осями:
─ С осью y: x = 0 ⇒ y = 0.
─ С осью x: x³ ─ 0.5x² = x²(x ─ 0.5) = 0 ⇒ x = 0 и x = 0.5.
7. График: Кубическая парабола с максимумом в начале координат, минимумом в точке (1/3; ─ 1/54), пересекает ось x ещё в точке 0.5.
✅ Ответ: Функция возрастает на (─ ∞; 0) и (1/3; + ∞), убывает на (0; 1/3).
x_{max} = 0, y_{max} = 0; x_{min} = 1/3, y_{min} = ─ 1/54.
График построен (эскиз: начинается из ─∞, поднимается до 0, опускается до ─1/54, затем снова поднимается вверх).

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник: учебное пособие «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф», 2017)

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, СиКР)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Упростите выражение a^{1/4} • (a^{1/4} ─ 2) ─ (a^{1/4} + 2)²
Решение. Раскроем скобки:
a^{1/4} • a^{1/4} ─ 2a^{1/4} ─ (a^{1/2} + 4a^{1/4} + 4)
= a^{1/2} ─ 2a^{1/4} ─ a^{1/2} ─ 4a^{1/4} ─ 4
Приведем подобные:
(a^{1/2} ─ a^{1/2}) + (─2a^{1/4} ─ 4a^{1/4}) ─ 4 = ─6a^{1/4} ─ 4
✅ Ответ: ─6a^{1/4} ─ 4

№ 2. Найдите область определения функции f(x) = √ (9 ─ x²)/(x² ─ 6x + 8)}
Решение. Область определения: подкоренное выражение ≥ 0 и знаменатель не равен нулю.
► 1) Знаменатель:
x² ─ 6x + 8 = (x─2)(x─4) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2,x ≠ 4
► 2) Дробь (9 ─ x²)/(x─2)(x─4) ≥ 0
Разложим числитель: 9 ─ x² = (3 ─ x)(3 + x)
Метод интервалов. Нули числителя: x = ─3,x = 3
Нули знаменателя: x = 2,x = 4
Отметим точки на числовой оси в порядке: ─3,2,3,4
Проверим знаки на интервалах:
─ (─∞, ─3): (+)/(─) = (─) → не подходит
─ (─3, 2): (+)/(+) = (+) → подходит
─ (2, 3): (+)/(─) = (─) → не подходит
─ (3, 4): (─)/(─) = (+) → подходит
─ (4, + ∞): (─)/(+) = (─) → не подходит
Включаем точки, где числитель равен нулю (т.к. ≥ 0): x = ─3,x = 3
Точки 2,4 выколоты.
✅ Ответ: x ∈ [─3, 2) ∪ [3, 4)

№ 3. Решите уравнение:
► 1) √{2x ─ 1} = x ─ 2
Решение:
ОДЗ: 2x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.5
Также правая часть ≥ 0: x ─ 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Возведем в квадрат:
2x ─ 1 = (x ─ 2)²
2x ─ 1 = x² ─ 4x + 4
0 = x² ─ 6x + 5
(x ─ 1)(x ─ 5) = 0
Корни: x = 1 и x = 5
Проверка:
─ x = 1: не подходит по ОДЗ (x ≥ 2)
─ x = 5: √{10 ─ 1} = √9 = 3, 5 ─ 2 = 3 — верно
✅ Ответ: x = 5
► 2) 8 sin² 2x + 3 sin 4x = 7
Решение:
Заметим: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
Уравнение:
8 sin² 2x + 6 sin 2x cos 2x = 7
Используем sin² 2x = 1 ─ cos² 2x:
8(1 ─ cos² 2x) + 6 sin 2x cos 2x = 7
8 ─ 8cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x = 7
─8cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x + 1 = 0
Умножим на ─1:
8cos² 2x ─ 6 sin 2x cos 2x ─ 1 = 0
Разделим на cos² 2x(при условии cos 2x ≠ 0):
8 ─ 6 tan 2x ─ (1 + tan² 2x) = 0
8 ─ 6t ─ 1 ─ t² = 0, t = tan 2x
─t² ─ 6t + 7 = 0 ⇒ t² + 6t ─ 7 = 0
Корни: t = 1 и t = ─7
► 1) tan 2x = 1 ⇒ 2x = π/4 + π n ⇒ x = π/8 + π n/2
► 2) tan 2x = ─7 ⇒ 2x = arctan(─7) + π n ⇒ x = ─ 1/2 arctan 7 + π n/2
Проверка: при cos 2x = 0 подставим в исходное:
sin 2x = ± 1, тогда 8 • 1 + 3 • 0 = 8 ≠ 7 — не подходит.
✅ Ответ:
x = π/8 + π n/2,x = ─ 1/2 arctan 7 + π n/2,n ∈ Z
► 3) ctg 5x • cos x + sin x ─ √2 cos 4x = 0
Решение:
ОДЗ: sin 5x ≠ 0
Запишем ctg 5x = cos 5x / sin 5x:
cos 5x cos x/sin 5x + sin x ─ √2 cos 4x = 0
Умножим на sin 5x:
cos 5x cos x + sin x sin 5x ─ √2 cos 4x sin 5x = 0
Заметим: cos 5x cos x + sin 5x sin x = cos(5x ─ x) = cos 4x
Получаем:
cos 4x ─ √2 cos 4x sin 5x = 0
cos 4x • (1 ─ √2 sin 5x) = 0
Два случая:
► 1) cos 4x = 0 ⇒ 4x = π/2 + π n ⇒ x = π/8 + π n/4
Проверка ОДЗ: sin 5x = sin(5π/8 + 5π n/4) ≠ 0 — при некоторых n может быть ноль, но в общем случае подходит.
► 2) 1 ─ √2 sin 5x = 0 ⇒ sin 5x = 1/√2 = √2/2
5x = π/4 + 2π k или 5x = 3π/4 + 2π k
x = π/20 + 2π k/5, x = 3π/20 + 2π k/5
Проверка ОДЗ: sin 5x = √2/2 ≠ 0 — подходит.
✅ Ответ: x = π/8 + π n/4,x = π/20 + 2π k/5,x = 3π/20 + 2π k/5,n,k ∈ Z

№ 4. Докажите тождество
(sin 8a/sin 5a ─ cos 8a/cos 5a) • (sin 6a + sin 14a)/sin 3a = 4 cos 4a
Решение:
1. Упростим первую скобку:
sin 8a/sin 5a ─ cos 8a/cos 5a = (sin 8a cos 5a ─ cos 8a sin 5a)/sin 5a cos 5a
Используем формулу синуса разности:
sin(8a ─ 5a) = sin 3a
Знаменатель: sin 5a cos 5a = 1/2 sin 10a.
Получаем:
sin 3a/½ sin 10a = 2 sin 3a/sin 10a
2. Упростим вторую дробь:
sin 6a + sin 14a = 2 sin((6a + 14a)/2) cos((6a─14a)/2) = 2 sin 10a cos(─4a)
Так как cos(─4a) = cos 4a, получаем:
sin 6a + sin 14a = 2 sin 10a cos 4a
Тогда:
(sin 6a + sin 14a)/sin 3a = 2 sin 10a cos 4a/sin 3a
3. Перемножим:
(2 sin 3a/sin 10a) • (2 sin 10a cos 4a/sin 3a) = 4 cos 4a
Сокращаем sin 3a и sin 10a(при условии, что они не равны нулю).
✅ Ответ: Тождество доказано.

№ 5. Решите неравенство √{1 ─ 5x} < x + 1
Решение:
1. Область определения:
1 ─ 5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1/5
2. Так как корень неотрицателен, правая часть должна быть положительной:
x + 1 > 0 ⇒ x > ─1
Таким образом, ОДЗ: ─1 < x ≤ 1/5.
3. Возводим в квадрат (обе части неотрицательны):
1 ─ 5x < (x + 1)²
1 ─ 5x < x² + 2x + 1
0 < x² + 7x
x(x + 7) > 0
4. Решаем методом интервалов:
Корни: x = 0, x = ─7.
Решение: x ∈ (─∞, ─7) ∪ (0, + ∞).
5. Пересекаем с ОДЗ:
ОДЗ: ─1 < x ≤ 1/5.
Общее решение: (0, 1/5].
Проверка:
─ При x = 0.2: √{1 ─ 1} = 0, 0.2 + 1 = 1.2, 0<1.2 — верно.
─ При x = 0: √1 = 1, 1<1 — неверно (граница не входит).
─ При x = ─0.5: √{1 + 2.5} = √{3.5} ≈ 1.87, ─0.5 + 1 = 0.5 — неверно.
✅ Ответ: x ∈ (0, 1/5]

№ 6. Исследуйте функцию f(x) = x³ ─ 6x² и постройте её график.
Решение:
1. Область определения: x ∈ R.
2. Нули функции:
x³ ─ 6x² = x²(x ─ 6) = 0
Корни: x = 0 (кратность 2), x = 6.
3. Производная:
f(x) = 3x² ─ 12x = 3x(x ─ 4)
Критические точки: x = 0, x = 4.
4. Интервалы монотонности:
─ При x<0: f(x)>0 (функция возрастает).
─ При 0<x<4: f(x)<0 (функция убывает).
─ При x>4: f(x)>0 (функция возрастает).
5. Экстремумы:
─ x = 0: точка максимума, f(0) = 0.
─ x = 4: точка минимума, f(4) = 64 ─ 96 = ─32.
6. Вторая производная:
f(x) = 6x ─ 12
Точка перегиба: x = 2, f(2) = 8 ─ 24 = ─16.
7. Поведение на бесконечности:
При x → + ∞, f(x) → + ∞.
При x → ─∞, f(x) → ─∞.
8. График:
─ Кубическая парабола.
─ Пересекает ось x в точках 0 и 6.
─ Максимум в (0,0), минимум в (4,─32).
─ Перегиб в (2,─16).
✅ Ответ: Функция возрастает на (─∞,0] и [4,∞), убывает на [0,4]. Максимум f(0) = 0, минимум f(4) = ─32. Точка перегиба (2,─16). График — кубическая парабола.

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник: учебное пособие «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф», 2017)

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 2 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Вычислите \( 32^{1/5} — (4\sqrt{2})^2 \)
Решение:
1. \( 32^{1/5} \) — это корень пятой степени из 32. Так как \( 2^5 = 32 \), то \( 32^{1/5} = 2 \).
2. \( (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \).
3. Вычитаем: \( 2 — 32 = -30 \).
✅ Ответ: \(-30\)
Проверка: \( 2 — 32 = -30 \) — верно.

---

№ 2. Упростите выражение
► а) \( \frac{\sqrt[3]{x^{10}}}{\sqrt[3]{x^{4}}} \)
Решение:
Используем свойство корней: \( \frac{\sqrt[3]{x^{10}}}{\sqrt[3]{x^{4}}} = \sqrt[3]{\frac{x^{10}}{x^{4}}} = \sqrt[3]{x^{10-4}} = \sqrt[3]{x^{6}} \).
Так как \( x^6 = (x^2)^3 \), то \( \sqrt[3]{x^{6}} = x^2 \).
✅ Ответ: \( x^2 \)
► б) \( \frac{(a^3)^3}{a^9 \cdot a^{-3}} \)
Решение:
1. В числителе: \( (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9 \).
2. В знаменателе: \( a^9 \cdot a^{-3} = a^{9 + (-3)} = a^{6} \).
3. Дробь: \( \frac{a^9}{a^6} = a^{9-6} = a^3 \).
✅ Ответ: \( a^3 \)

---

№ 3. Решите неравенство методом интервалов
а) x² + 5x ─ 6 ≤ 0
б) (x + 1)(x ─ 3)(x + 5) < 0
в) (x ─ 2)(x + 4)/(x² ─ 3x ─ 4) ≥ 0
Решения:
► а) x² + 5x ─ 6 ≤ 0
1. Найдем корни квадратного трехчлена.
Решаем уравнение x² + 5x ─ 6 = 0.
Дискриминант: D = 25 ─ 4 • 1 • (─6) = 25 + 24 = 49.
Корни: x_{1,2} = (─5 ± 7)/2
x₁ = (─5 + 7)/2 = 1, x₂ = (─5 ─ 7)/2 = ─6
2. Разложим на множители: x² + 5x ─ 6 = (x ─ 1)(x + 6).
Неравенство принимает вид: (x ─ 1)(x + 6) ≤ 0
3. Метод интервалов.
Отмечаем на числовой оси точки x = ─6 и x = 1 (закрашенные, так как неравенство нестрогое).
Определяем знаки на интервалах:
─ При x < ─6 (например, x = ─7): (─) • (─) = (+).
─ Между ─6 и 1 (например, x = 0): (─) • (+) = (─).
─ При x > 1 (например, x = 2): (+) • (+) = (+).
4. Выбираем интервал со знаком минус: x ∈ [─6, 1].
✅ Ответ: x ∈ [─6, 1].
► б) (x + 1)(x ─ 3)(x + 5) < 0
1. Найдем нули функции:
x + 1 = 0 ⇒ x = ─1
x ─ 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒ x = ─5
2. Отметим точки на оси. Неравенство строгое, поэтому точки выколотые.
3. Расставляем знаки:
─ При x < ─5 (например, x = ─6): (─) • (─) • (─) = (─).
─ Между ─5 и ─1 (например, x = ─2): (─) • (─) • (+) = (+).
─ Между ─1 и 3 (например, x = 0): (+) • (─) • (+) = (─).
─ При x > 3 (например, x = 4): (+) • (+) • (+) = (+).
4. Выбираем интервалы со знаком минус:
x ∈ (─∞, ─5) ∪ (─1, 3).
✅ Ответ: x ∈ (─∞, ─5) ∪ (─1, 3).
► в) (x ─ 2)(x + 4)/(x² ─ 3x ─ 4) ≥ 0
1. Найдем нули числителя:
x ─ 2 = 0 ⇒ x = 2
x + 4 = 0 ⇒ x = ─4
2. Найдем нули знаменателя (точки разрыва):
Решаем x² ─ 3x ─ 4 = 0.
Дискриминант: D = 9 + 16 = 25.
Корни: x_{1,2} = 3 ± 5/2
x₁ = 4, x₂ = ─1
Знаменатель равен нулю при x = 4 и x = ─1 — эти точки выкалываем (не входят в ОДЗ).
3. Разложим знаменатель: x² ─ 3x ─ 4 = (x ─ 4)(x + 1).
Неравенство принимает вид: (x ─ 2)(x + 4)/(x ─ 4)(x + 1) ≥ 0
4. Отмечаем на оси все точки: ─4, ─1, 2, 4.
В точках ─4 и 2 числитель равен нулю — их закрашиваем (неравенство нестрогое).
В точках ─1 и 4 знаменатель равен нулю — их выкалываем.
5. Расставляем знаки на интервалах:
─ При x < ─4 (например, x = ─5): (─) • (─)/(─) • (─) = (+).
─ Между ─4 и ─1 (например, x = ─2): (─) • (+)/(─) • (─) = (─).
─ Между ─1 и 2 (например, x = 0): (─) • (+)/(─) • (+) = (+).
─ Между 2 и 4 (например, x = 3): (+) • (+)/(─) • (+) = (─).
─ При x > 4 (например, x = 5): (+) • (+)/(+) • (+) = (+).
6. Выбираем интервалы со знаком плюс, включая точки, где числитель равен нулю:
(─∞, ─4] ∪ (─1, 2] ∪ (4, + ∞).
✅ Ответ: x ∈ (─∞, ─4] ∪ (─1, 2] ∪ (4, + ∞).

---

№ 4. Найдите cos a, если sin a = 0,6 и π/2 < a < 3π/2
Решение:
1. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1.
cos² a = 1 ─ 0,36 = 0,64.
Значит, cos a = ± 0,8.
2. Определяем знак:
Интервал π/2 < a < 3π/2 — это II и III четверти. В обеих четвертях косинус отрицательный.
Следовательно, cos a = ─0,8.
✅ Ответ: ─0,8
Проверка: sin² a + cos² a = 0,36 + 0,64 = 1 — верно. Знак учтен.

---

№ 5. Упростите выражение 2cos² a ─ cos 2a
Решение:
Используем формулу двойного угла: cos 2a = 2cos² a ─ 1.
Подставляем:
2cos² a ─ (2cos² a ─ 1) = 2cos² a ─ 2cos² a + 1 = 1.
✅ Ответ: 1
Проверка:
При a = 0 : 2 • 1 ─ 1 = 1 — верно.
При a = π/4 : 2 • 1/2 ─ 0 = 1 — верно.

---

№ 6. Решите уравнение.
► а) √{x² ─ 6} = √{─5x}
Решение: Область определения (ОДЗ):
{ x² ─ 6 ≥ 0,
{ ─5x ≥ 0.
Из второго неравенства: ─5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0.
Из первого: x² ≥ 6 ⇒ x ≤ ─√6 или x ≥ √6. С учётом x ≤ 0 получаем x ≤ ─√6.
Теперь возведём обе части в квадрат:
x² ─ 6 = ─5x,
x² + 5x ─ 6 = 0.
Дискриминант: D = 25 + 24 = 49, корни:
x₁ = (─5 + 7)/2 = 1, x₂ = (─5 ─ 7)/2 = ─6.
Проверяем ОДЗ: x = 1 не подходит (не ≤ ─√6), x = ─6 подходит.
✅ Ответ: x = ─6.
► б) 2 sin x = 1
Решение: sin x = 1/2.
Общее решение:
x = π/6 + 2π k, x = 5π/6 + 2π k, k ∈ Z.
✅ Ответ: x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,k ∈ Z.

---

№ 7. Диагональ АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Боковое ребро SB равно 5. Найдите высоту пирамиды SO.
Решение: Основание — квадрат. Диагональ квадрата AC = 6. Сторона основания:
AB = AC/√2 = 6/√2 = 3√2.
Половина диагонали (расстояние от центра O до вершины B):
OB = AC/2 = 3.
В прямоугольном треугольнике SOB(SO — высота, SB — боковое ребро, OB — половина диагонали):
SO = √{SB² ─ OB²} = √{5² ─ 3²} = √{25 ─ 9} = √16 = 4.
✅ Ответ: SO = 4.

---

№ 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ ─ x² ─ x + 2 на отрезке [0; 1.5].
Решение. Найдём производную:
f(x) = 3x² ─ 2x ─ 1.
Приравняем к нулю:
3x² ─ 2x ─ 1 = 0,
D = 4 + 12 = 16, x = 2 ± 4/6.
Корни: x₁ = 1, x₂ = ─ 1/3 (не входит в отрезок).
Вычислим значения в критической точке и на концах отрезка:
f(0) = 0 ─ 0 ─ 0 + 2 = 2,
f(1) = 1 ─ 1 ─ 1 + 2 = 1,
f(1.5) = 3.375 ─ 2.25 ─ 1.5 + 2 = 1.625.
Сравниваем: наименьшее 1 (в точке x = 1), наибольшее 2 (в точке x = 0).
✅ Ответ: наименьшее = 1, наибольшее = 2.

---

№ 9. Решить уравнение
► 1) sin² x ─ sin x = 0
Решение. Вынесем sin x:
sin x(sin x ─ 1) = 0.
Отсюда:
sin x = 0 ⇒ x = π k,k ∈ Z,
sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ: x = π k, π/2 + 2π k,k ∈ Z.
► 2) 10 cos² x + 3 cos x = 1
Решение. Перенесём всё в одну сторону:
10 cos² x + 3 cos x ─ 1 = 0.
Обозначим t = cos x, |t| ≤ 1:
10t² + 3t ─ 1 = 0,
D = 9 + 40 = 49, t = (─3 ± 7)/20.
Корни: t₁ = 4/20 = 0.2, t₂ = (─10)/20 = ─0.5.
Обратная замена:
cos x = 0.2 ⇒ x = ± arccos(0.2) + 2π k,k ∈ Z,
cos x = ─0.5 ⇒ x = ± 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ:
x = ± arccos(0.2) + 2π k,± 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса в 2-х вариантах с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник (электронный ресурс): https://infourok.ru/itogovaya-kontrolnaya-rabota-10-klass-merzlyak-profilnyj-uroven-6190231.html. Дата запроса: 29.04.2026г.

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Вычислите $81^{1/4} — 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{1/2}$
Решение:

1. $81^{1/4} = \sqrt[4]{81}$. Так как $3^4 = 81$, то $81^{1/4} = 3$.
2. $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Тогда $\sqrt{3} \cdot 3^{1/2} = 3^{1/2} \cdot 3^{1/2} = 3^{1/2 + 1/2} = 3^1 = 3$.
3. Подставляем: $3 — 3 \cdot 3 = 3 — 9 = -6$.

✅ Ответ: $-6$
Проверка: $81^{1/4} = 3$, $3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{1/2} = 3 \cdot 3 = 9$, $3 — 9 = -6$. Верно.

---

№ 2. Упростите выражение

а) $\dfrac{\sqrt[3]{x^5}}{\sqrt[3]{x^2}}$
Решение. Перепишем корни в виде степеней:
$\sqrt[3]{x^5} = x^{5/3}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.
Тогда:
$$
\frac{x^{5/3}}{x^{2/3}} = x^{5/3 — 2/3} = x^{3/3} = x^1 = x.
$$
✅ Ответ: $x$

б) $\dfrac{(x^2)^5}{x^{-3} \cdot x^8}$
Решение:

1. $(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$.
2. В знаменателе: $x^{-3} \cdot x^8 = x^{-3+8} = x^5$.
3. Делим: $\dfrac{x^{10}}{x^5} = x^{10-5} = x^5$.

✅ Ответ: $x^5$

---

№ 3. Решите неравенство методом интервалов
► а) x² ─ 3x ─ 4 ≤ 0
Решение:
1. Найдем корни уравнения x² ─ 3x ─ 4 = 0.
Дискриминант: D = 9 + 16 = 25, корни:
x₁ = (3 + 5)/2 = 4, x₂ = (3 ─ 5)/2 = ─1.
2. Разложим: (x ─ 4)(x + 1) ≤ 0.
3. Метод интервалов:
Точки: ─1 и 4. Проверяем знаки:
— при x < ─1 : произведение положительно,
— между ─1 и 4: отрицательно,
— при x > 4 : положительно.
4. Неравенство ≤ 0, значит берем отрезок: x ∈ [─1, 4].
✅ Ответ: [─1, 4]
► б) (x─2)(x + 6)(x─4) > 0
Решение:
1. Нули функции: x = 2, ─6, 4.
2. Отмечаем на числовой прямой: ─6, 2, 4.
3. Определяем знаки на интервалах:
x < ─6 : все три множителя отрицательны → произведение отрицательно,
─6 < x < 2: (x + 6) > 0, остальные два отрицательны → произведение положительно,
2 < x < 4 : (x─2) > 0, (x + 6) > 0, (x─4) < 0 → произведение отрицательно,
x > 4 : все положительны → произведение положительно.
4. Неравенство > 0, выбираем интервалы с плюсом: (─6, 2) ∪ (4, + ∞).
✅ Ответ: (─6, 2) ∪ (4, + ∞)
► в) (x + 1)(x─4)/(x² + x ─ 6) > 0
Решение:
1. Разложим знаменатель: x² + x ─ 6 = (x + 3)(x─2).
2. Нули числителя: x = ─1, 4.
Нули знаменателя (выколотые точки): x = ─3, 2.
3. Отмечаем на прямой: ─3, ─1, 2, 4.
4. Определяем знаки дроби на интервалах:
x < ─3 : числитель (+)(─) = ─, знаменатель (─)(─) = + → дробь ─,
─3 < x < ─1: числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(─) = ─ → дробь +,
─1 < x < 2: числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(─) = ─ → дробь +,
2 < x < 4 : числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(+) = + → дробь ─,
x > 4 : числитель (+)(+) = +, знаменатель (+)(+) = + → дробь + .
5. Неравенство > 0, выбираем интервалы с плюсом: (─3, ─1) ∪ (─1, 2) ∪ (4, + ∞).
Обратите внимание: точки ─1 и 2 не входят (знаменатель или числитель обращаются в ноль).
✅ Ответ: (─3, ─1) ∪ (─1, 2) ∪ (4, + ∞)

---

№ 4. Найдите sin a, если cos a = 0.6 и π < a < 2π
Решение:
1. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1
sin² a = 1 ─ 0.6² = 1 ─ 0.36 = 0.64
sin a = ± √{0.64} = ± 0.8
2. Учитываем четверть: π < a < 2π — это III и IV четверти. В III четверти синус отрицательный, в IV — тоже отрицательный. Значит, выбираем минус.
3. sin a = ─0.8.
✅ Ответ: ─0.8
Проверка: sin² a + cos² a = 0.64 + 0.36 = 1. Верно.

---

№ 5. Упростите выражение 6 cos² a ─ 5 ─ 3 cos 2a
Решение:
1. Используем формулу двойного угла: cos 2a = 2cos² a ─ 1.
2. Подставляем:
6 cos² a ─ 5 ─ 3(2cos² a ─ 1) = 6 cos² a ─ 5 ─ 6cos² a + 3
3. Приводим подобные:
(6cos² a ─ 6cos² a) + (─5 + 3) = 0 ─ 2 = ─2.
✅ Ответ: ─2
Проверка. Возьмем, например, a = 0 :
cos 0 = 1, cos 0 = 1.
Исходное: 6 • 1 ─ 5 ─ 3 • 1 = 6 ─ 5 ─ 3 = ─2.
Упрощенное: ─2. Совпадает.

---

№ 6. Решите уравнение:
► а) √{7 ─ x²} = √{─6x}
Решение:
1. Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны.
7 ─ x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 7 ⇒ ─√7 ≤ x ≤ √7
─6x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0
Пересечение: ─√7 ≤ x ≤ 0.
2. Возводим обе части в квадрат:
7 ─ x² = ─6x
─x² + 6x + 7 = 0 ⇒ x² ─ 6x ─ 7 = 0
3. Решаем квадратное уравнение:
D = 36 + 28 = 64, √D = 8
x₁ = (6 + 8)/2 = 7, x₂ = (6 ─ 8)/2 = ─1
4. Проверяем область определения: x = 7 не входит в [─ √7; 0], x = ─1 входит.
✅ Ответ: x = ─1
► б) 2 sin x = √3
Решение:
1. Делим обе части на 2:
sin x = √3/2
2. Общее решение:
x = π/3 + 2π k, k ∈ Z
x = 2π/3 + 2π k, k ∈ Z
✅ Ответ: x = π/3 + 2π k, 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.

---

№ 7. Диагональ AC основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.
Решение:
1. Основание — квадрат. Диагональ квадрата AC = 6. Сторона основания:
AB = AC/√2 = 6/√2 = 3√2
2. В правильной пирамиде вершина S проецируется в центр основания O.
Рассмотрим треугольник SOB: O — центр квадрата, OB — половина диагонали:
OB = AC/2 = 3
3. По теореме Пифагора:
SB = √{SO² + OB²} = √{4² + 3²} = √{16 + 9} = √25 = 5
✅ Ответ: SB = 5.

---

№ 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3 на отрезке [0; 1.5].
Решение:
1. Находим производную:
f(x) = 3x² ─ 4x + 1
2. Критические точки:
3x² ─ 4x + 1 = 0
D = 16 ─ 12 = 4, x_{1,2} = 4 ± 2/6
x₁ = 1, x₂ = 1/3
3. Обе точки входят в отрезок [0; 1.5].
4. Вычисляем значения:
f(0) = 0 ─ 0 + 0 + 3 = 3
f(1/3) = 1/27 ─ 2/9 + 1/3 + 3
= 1/27 ─ 6/27 + 9/27 + 81/27
= 85/27 ≈ 3.148
f(1) = 1 ─ 2 + 1 + 3 = 3
f(1.5) = 3.375 ─ 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375
5. Сравниваем: наименьшее 3, наибольшее 3.375.
✅ Ответ:
Наименьшее значение: 3
Наибольшее значение: 3.375

---

№ 9. Решить уравнение
► 1) 3 cos x ─ cos² x = 0
Решение:
1. Выносим cos x:
cos x(3 ─ cos x) = 0
2. Приравниваем каждый множитель к нулю:
─ cos x = 0:
x = π/2 + π n,n ∈ Z
─ 3 ─ cos x = 0 ⇒ cos x = 3 — нет решений, так как |cos x| ≤ 1.
✅ Ответ: x = π/2 + π n,n ∈ Z
► 2) 6 sin² x ─ sin x = 1
Решение:
1. Переносим всё в одну сторону:
6 sin² x ─ sin x ─ 1 = 0
2. Замена t = sin x:
6t² ─ t ─ 1 = 0
D = 1 + 24 = 25, t_{1,2} = 1 ± 5/12
t₁ = 1/2, t₂ = ─ 1/3
3. Обратная замена:
─ sin x = 1/2:
x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,k ∈ Z
─ sin x = ─ 1/3:
x = arcsin(─ 1/3) + 2π k = ─arcsin 1/3 + 2π k
и
x = π ─ arcsin(─ 1/3) + 2π k = π + arcsin 1/3 + 2π k
✅ Ответ: x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,─arcsin 1/3 + 2π k,π + arcsin 1/3 + 2π k,k ∈ Z

 

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса в 2-х вариантах с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник (электронный ресурс): https://infourok.ru/itogovaya-kontrolnaya-rabota-10-klass-merzlyak-profilnyj-uroven-6190231.html. Дата запроса: 29.04.2026г.