Рубрика: Ответы

Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Перпендикулярность прямой и плоскости» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 3 В34 + Решения.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 3. Варианты 3-4

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 3 (задания)

Ответы на вариант 3

№ 1. На рисунке 19 изображён квадрат ABCD. Через точку O пересечения диагоналей проведена прямая OP, перпендикулярная прямой BD. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости APC.
Решение:
1. В квадрате диагонали перпендикулярны: AC ⊥ BD.
2. По условию OP ⊥ BD.
3. Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и OP , лежащим в плоскости APC.
4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: BD ⊥ (APC).
Ответ: доказано.

№ 2. Через вершину B равнобедренного треугольника ABC проведена прямая KB, перпендикулярная плоскости треугольника, AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Найдите расстояние от точки K до прямой AC, если KB = 4 см.
Решение:
1. Расстояние от K до AC — длина перпендикуляра из K на AC.
2. Так как KB ⊥ (ABC) , то KB ⊥ любой прямой в плоскости, в том числе BH , где BH — высота к AC.
3. В равнобедренном треугольнике высота BH к основанию AC:
AH = HC = 6 см, BH = √{AB² ─ AH²} = √{100 ─ 36} = √64 = 8 см.
4. Точка H — проекция K на плоскость, значит KH ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах, т.к. BH ⊥ AC и KB ⊥ плоскости).
5. KH — гипотенуза в прямоугольном треугольнике KBH:
KH = √{KB² + BH²} = √{4² + 8²} = √{16 + 64} = √80 = 4√5 см.
Ответ: 4√5 см.

№ 3. Точка M находится на расстоянии 8 см от каждой вершины квадрата ABCD. Найдите сторону квадрата, если точка M удалена от его плоскости на 4√3 см.
Решение:
1. Пусть O — центр квадрата (пересечение диагоналей).
2. MO ⊥ плоскости квадрата, MO = 4√3.
3. MA = 8 см, OA — половина диагонали квадрата.
4. Из прямоугольного треугольника MOA:
OA = √{MA² ─ MO²} = √{64 ─ 48} = √16 = 4 см.
5. Диагональ квадрата d = 2 • OA = 8 см.
6. Сторона квадрата a = d/√2 = 8/√2 = 4√2 см.
Ответ: 4√2 см.

№ 4. Через вершину B прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр MB. Точка M удалена от стороны AD на 25 см, а от стороны CD — на 10√5 см. Найдите диагональ прямоугольника, если AB = 15 см.
Решение:
1. Проведём BH ⊥ AD (H на AD), тогда BH = AB = 15.
MB ⊥ (ABC) ⇒ MB ⊥ BH.
Расстояние от M до AD = длина MH, где MH ⊥ AD.
По теореме о трёх перпендикулярах: если BH ⊥ AD, то MH ⊥ AD.
Дано: MH = 25 см.
Из прямоугольного треугольника MBH:
MB² = MH² ─ BH² = 625 ─ 225 = 400 , MB = 20 см.
2. Расстояние от M до CD: CD || AB, AB ⊥ BC, проведём BK ⊥ CD (K на CD), тогда BK = BC.
MB ⊥ (ABC) ⇒ MB ⊥ BK.
Расстояние от M до CD = MK, где MK ⊥ CD.
Дано: MK = 10√5 см.
Из прямоугольного треугольника MBK:
BK² = MK² ─ MB² = (10√5)² ─ 20² = 500 ─ 400 = 100 , BK = 10 см.
3. BK = BC = 10 см, AB = 15 см.
Диагональ прямоугольника:
AC = √{AB² + BC²} = √{225 + 100} = √325 = 5√13 см.
Ответ: 5√13 см.

№ 5. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 12 см и 10 см соответственно. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
Решение:
1. Пусть треугольник ABC: AB = BC = 10, AC = 12.
Высота BH к основанию AC:
AH = 6 , BH = √{100 ─ 36} = 8 см.
Площадь S = 1/2 • 12 • 8 = 48 см².
2. Точка M находится на равном расстоянии d = 5 см от каждой стороны треугольника ⇒ её проекция H’ на плоскость треугольника — центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности r = S/p , где p = (10 + 10 + 12)/2 = 16 см.
r = 48/16 = 3 см.
3. Расстояние от M до стороны — длина перпендикуляра из M на сторону.
Если MH’ = r = 3 (расстояние от проекции до стороны), а расстояние от M до стороны = 5, то в прямоугольном треугольнике (M — вершина, H’ — проекция на плоскость, K — проекция на сторону):
MK = 5, H’K = r = 3, MH’ — искомое расстояние до плоскости.
MH’ = √{MK² ─ H’K²} = √{25 ─ 9} = √16 = 4 см.
Ответ: 4 см.

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»][/su_spoiler]

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

Вариант 4 (задания)

Ответы на вариант 4

№ 1. На рисунке 20 изображён прямоугольник ABCD. Через вершину А проведена прямая AK, которая перпендикулярна прямой AD. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости AKB.
Решение:
1. По условию AK ⊥ AD (дано).
2. Так как ABCD — прямоугольник, AD ⊥ AB.
3. Получаем: AD ⊥ AK и AD ⊥ AB , причём AK и AB пересекаются в точке A и лежат в плоскости AKB.
4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
Следовательно, AD ⊥ пл. AKB.
Ответ: Доказано.

№ 2. Через вершину B ромба ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости ромба. Найдите расстояние от точки M до прямой AC, если MB = 12 см, DC = 16 см, AC = 20 см.
Решение:
1. BM ⟂ плоскости ромба ⇒ BM ⟂ любой прямой в плоскости ромба, в том числе BM ⟂ AC.
2. Расстояние от M до AC — длина перпендикуляра из M на AC.
3. Так как BM ⟂ AC, то перпендикуляр из M на AC лежит в плоскости, содержащей BM и перпендикуляр к AC в плоскости ромба.
4. В ромбе диагонали перпендикулярны: AC ⊥ BD (проверим: стороны DC = 16, AC = 20, BD найдём из свойств ромба: диагонали пересекаются в точке O, AO = 10, DO = √(DC² ─ AO²) = √(256 ─ 100) = √156 = 2√39, тогда BD = 4√39, но нам это не нужно, главное — AC ⟂ BD).
5. BO — проекция наклонной MO на плоскость, но BM ⟂ плоскости, значит BM ⟂ BO.
6. Расстояние от M до AC = длина отрезка MH, где H — основание перпендикуляра из M на AC.
В плоскости (AOC) через B проведём BH ⟂ AC, тогда BH — проекция MH, и MH — гипотенуза в прямоугольном треугольнике MBH, где MB ⟂ BH (т.к. MB ⟂ плоскости, BH в плоскости).
7. Найдём BH: в ромбе площадь S = (1/2)·AC·BD = (1/2)·d₁·d₂.
Но BD неизвестна, найдём через другую формулу: S = сторона²·sinα или S = (1/2)·AC·BD.
По формуле Герона для треугольника ADC: стороны 16, 16, 20 ⇒ полупериметр p = 26, S(ADC) = √(26·10·10·6) = √15600 = 20√39.
Тогда S(ромба) = 2·S(ADC) = 40√39.
С другой стороны, S = (1/2)·AC·BD = (1/2)·20·BD = 10·BD ⇒ 10·BD = 40√39 ⇒ BD = 4√39.
Тогда BO = BD/2 = 2√39.
Но BH — это расстояние от B до AC, т.е. BO? Нет, в треугольнике ABO: BH — высота к AC.
В треугольнике ABO: AO = 10, BO = 2√39, AB = 16.
Площадь ABO: S = (1/2)·AO·BO = (1/2)·10·2√39 = 10√39.
С другой стороны, S = (1/2)·AC(BH)/2? Нет, в треугольнике ABO сторона AO = 10, AB = 16, OB = 2√39, но BH — высота из B на AO (AO — часть AC).
Лучше: расстояние от B до AC = высота из B в треугольнике ABC.
Площадь ABC = половина площади ромба = 20√39.
Основание AC = 20 ⇒ BH = 2S/AC = (40√39)/20 = 2√39.
То есть BH = BO, значит O и H совпадают (т.к. в ромбе диагонали перпендикулярны, BO ⟂ AC).
8. Тогда в прямоугольном треугольнике MBH: MB = 12, BH = 2√39.
MH = √(MB² + BH²) = √(144 + 4·39) = √(144 + 156) = √300 = 10√3 см.
Ответ: 10√3 см.

[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»][/su_spoiler]

№ 3. Точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точки F до плоскости квадрата.
Решение:
1. FA = FB = FC = FD = 5√3.
2. Значит, проекция F на плоскость квадрата — точка O, равноудалённая от вершин, т.е. центр квадрата (пересечение диагоналей).
3. AO = половина диагонали квадрата: диагональ = 10√2 ⇒ AO = 5√2.
4. В прямоугольном треугольнике AOF: AF = 5√3, AO = 5√2 ⇒ FO = √(AF² ─ AO²) = √(75 ─ 50) = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см.

№ 4. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр AK. Точка K удалена от стороны BC на 15 см. Найдите расстояние от точки K до стороны CD, если BD = √337 см, AK = 12 см.
Решение:
1. AK ⟂ плоскости прямоугольника ⇒ AK ⟂ AB, AK ⟂ AD.
2. Расстояние от K до BC = расстояние от K до AD? Нет, BC параллельна AD, но не совпадает.
Рассмотрим плоскость ABK: AB ⟂ BC, BC ⟂ AK (т.к. AK ⟂ плоскости и BC в плоскости) ⇒ BC ⟂ плоскости ABK ⇒ BC ⟂ BK.
Значит, расстояние от K до BC = BK.
По условию: BK = 15 см.
3. Из прямоугольного треугольника ABK: AB² = BK² ─ AK² = 225 ─ 144 = 81 ⇒ AB = 9 см.
4. Из прямоугольного треугольника ABD: BD² = AB² + AD² ⇒ 337 = 81 + AD² ⇒ AD² = 256 ⇒ AD = 16 см.
5. Расстояние от K до CD: CD ⟂ AD, AD ⟂ AK ⇒ AD ⟂ плоскости ADK ⇒ AD ⟂ DK.
В плоскости ADK: AD ⟂ DK, но расстояние от K до CD — длина перпендикуляра KH₂, где H₂ ∈ CD.
Так как CD ⟂ AD и CD ⟂ AK ⇒ CD ⟂ плоскости ADK ⇒ CD ⟂ DK.
Значит, расстояние от K до CD = DK.
6. Из прямоугольного треугольника ADK: DK² = AD² + AK² = 256 + 144 = 400 ⇒ DK = 20 см.
Ответ: 20 см.

№ 5. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
Решение:
1. Точка O’ находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника ⇒ её проекция O на плоскость треугольника — центр вписанной окружности (равноудалена от сторон).
2. Радиус вписанной окружности r = расстояние от O до стороны.
По формуле Герона: полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
Площадь S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².
r = S/p = 84/21 = 4 см.
3. Расстояние от O’ до стороны = 5 см — это длина наклонной от O’ к стороне.
Перпендикуляр из O’ на сторону имеет длину 5, его проекция на плоскость = r = 4.
Тогда расстояние от O’ до плоскости h = √(5² ─ 4²) = √(25 ─ 16) = √9 = 3 см.
Ответ: 3 см.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Перпендикулярность прямой и плоскости» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 3 В34.

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Параллельность в пространстве» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 2 В34 + Решения.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 2. Варианты 3-4

Тема: Параллельность в пространстве

Вариант 3 (задания)

Ответы на вариант 3

№ 1. Точки N, M, C и K — середины отрезков BD, DF, FA и AB соответственно, BF = 24 см, AD = 18 см (рис. 13). Определите вид четырёхугольника NMCK и вычислите его периметр.
Решение:
─ В четырёхугольнике AFBD диагонали AB и DF пересекаются в точке O.
─ K — середина AB , M — середина DF , C — середина FA , N — середина BD.
─ KMC — средняя линия треугольника ABF (параллельна BF), KMC = BF/2 = 12 см.
─ KNC — средняя линия треугольника ABD (параллельна AD), KNC = AD/2 = 9 см.
─ NM — средняя линия треугольника BDF (параллельна BF), NM = BF/2 = 12 см.
─ MC — средняя линия треугольника DFA (параллельна AD), MC = AD/2 = 9 см.
─ Получили: KM = NC = 12 см, KN = MC = 9 см.
─ Противоположные стороны равны, значит, NMCK — параллелограмм.
─ Периметр: P = 2 • (12 + 9) = 42 см.
Ответ: параллелограмм, P = 42 см.

№ 2. Плоскость α пересекает стороны MF и MK треугольника MFK в точках A и B соответственно и параллельна стороне FK, AB = 12 см, AM : AF = 3 : 5. Найдите сторону FK треугольника.
Решение:
─ AB ∥ FK (т.к. плоскость α ∥ FK и проходит через A, B).
─ Треугольник MFK ∼ MAB по двум углам.
─ AM/AF = 3/5 ⇒ AM/MF = 3/8.
─ Коэффициент подобия k = MF/MA = 8/3.
─ FK/AB = k ⇒ FK = 12 • 8/3 = 32 см.
Ответ: FK = 32 см.

№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 14). Постройте изображение центра вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
Решение:
─ В правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и точкой пересечения медиан.
─ В параллельной проекции сохраняется простое отношение точек на прямой, поэтому изображение центра — точка пересечения медиан треугольника ABC.
─ Строим медианы AA₀ , BB₀ , CC₀ (где A₀, B₀, C₀ — середины противоположных сторон).
─ Их пересечение O — изображение центра вписанной окружности.
Ответ: точка пересечения медиан треугольника ABC.

№ 4. Плоскости α и β параллельны. Из точки O, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости α и β в точках C1 и D1, а другой — в точках C2 и D2 соответственно. Найдите отрезок C1C2, если он на 5 см меньше отрезка D1D2, OC1 = 4 см, C1D1 = 10 см.
Решение:
─ Плоскости α ∥ β , лучи из O пересекают их в точках C₁, D₁ и C₂, D₂.
─ По теореме Фалеса для параллельных плоскостей:
OC₁/OD₁ = OC₂/OD₂
─ OD₁ = OC₁ + C₁D₁ = 4 + 10 = 14 см.
─ Пусть C₁C₂ = x , тогда D₁D₂ = x + 5.
─ OC₂ = OC₁ + C₁C₂ = 4 + x , OD₂ = OD₁ + D₁D₂ = 14 + x + 5 = 19 + x.
─ Из пропорции: 4/14 = (4 + x)/(19 + x)
─ 4(19 + x) = 14(4 + x)
─ 76 + 4x = 56 + 14x
─ 20 = 10x
─ x = 2 см.
Ответ: C₁C₂ = 2 см.

№ 5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин правильного треугольника и его центра. Постройте изображение этого треугольника.
Решение:
─ В правильном треугольнике центр O делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
─ A и B — проекции двух вершин, O — проекция центра.
─ Строим середину M отрезка AB. В правильном треугольнике центр лежит на медиане из третьей вершины, и OM : MC = 1 : 2 (если C — третья вершина, M — середина AB).
─ Зная O и M , находим C на луче MO за точкой O так, что MO : OC = 1 : 2.
─ Тогда треугольник ABC — искомое изображение.
Ответ: треугольник ABC , где C строится по правилу: M — середина AB , C на луче MO за точкой O так, что OC = 2 • MO.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2

Вариант 4 (задания)

Ответы на вариант 4

№ 1. Точки A, B, K, T — середины отрезков MF, PF, PN, MN соответственно, MP = 10 см, FN = 16 см (рис. 15). Определите вид четырёхугольника ABKT и вычислите его периметр.
Решение:
1. В четырёхугольнике FNPM диагонали MN и FP пересекаются.
2. A — середина MF, B — середина PF, K — середина PN, T — середина MN.
3. По теореме о средней линии треугольника:
─ AB — средняя линия △ MFP: AB ∥ MP и AB = 1/2 MP = 5 см.
─ TK — средняя линия △ MNP: TK ∥ MP и TK = 1/2 MP = 5 см.
─ BT — средняя линия △ FPN: BT ∥ FN и BT = 1/2 FN = 8 см.
─ AK — средняя линия △ MFN: AK ∥ FN и AK = 1/2 FN = 8 см.
4. Противоположные стороны ABKT попарно равны и параллельны ⇒ ABKT — параллелограмм.
5. Периметр: P = 2 • (5 + 8) = 26 см.
Ответ: ABKT — параллелограмм, P = 26 см.

№ 2. Плоскость β пересекает стороны CF и CD треугольника CDF в точках M и N соответственно и параллельна стороне FD, MN = 6 см, FD = 21 см, MC = 10 см. Найдите сторону FC треугольника.
Решение:
1. β ∥ FD, значит MN ∥ FD.
2. В △ CDF: MN ∥ FD ⇒ △ CMN \sim △ CFD по двум углам.
3. Коэффициент подобия: k = MN/FD = 6/21 = 2/7.
4. Отношение сходственных сторон: CM/CF = k = 2/7.
5. CM = 10 см ⇒ CF = CM/k = 10/(2/7) = 35 см.
Ответ: FC = 35 см.

№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 16). Постройте изображение центра описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
Решение:
1. В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести (точкой пересечения медиан).
2. На изображении ABC строим медианы:
─ Проводим медиану из A к середине BC.
─ Проводим медиану из B к середине AC.
3. Точка пересечения медиан O — изображение центра описанной окружности.
Ответ: точка O — пересечение медиан треугольника ABC.

№ 4. Плоскости α и β параллельны. Через точку D, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках M₁ и N₁, а другая — в точках M₂ и N₂ соответственно. Найдите отрезок M₁M₂, если он на 8 см больше отрезка N₁N₂, N₁M₁ = 30 см, DN₁ = 5 см.
Решение:
1. Плоскости α ∥ β, прямые M₁N₁ и M₂N₂ пересекаются в D.
2. По теореме Фалеса: DM₁/DN₁ = DM₂/DN₂ = M₁M₂/N₁N₂.
3. N₁M₁ = DM₁ + DN₁ = 30 см, DN₁ = 5 см ⇒ DM₁ = 25 см.
4. Пусть N₁N₂ = x, тогда M₁M₂ = x + 8.
5. Из подобия: DM₁/DN₁ = M₁M₂/N₁N₂ ⇒ 25/5 = (x + 8)/x ⇒ 5 = (x + 8)/x ⇒ 5x = x + 8 ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2.
6. M₁M₂ = 2 + 8 = 10 см.
Ответ: M₁M₂ = 10 см.

№ 5. Точки A, B, M, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух соседних вершин параллелограмма и середины его противолежащей стороны. Постройте изображение этого параллелограмма.
Решение:
1. Пусть A, B — проекции соседних вершин, M — проекция середины противолежащей стороны.
2. В параллелограмме ABCD: M — середина CD.
3. Строим:
─ Проводим прямую AM и продолжаем за M на такую же длину: MC = MD.
─ Откладываем D на продолжении AM так, что M — середина CD.
─ Соединяем B → C и D → A, получаем параллелограмм ABCD.
Ответ: параллелограмм ABCD, где C симметричен D относительно M, и AB ∥ CD, BC ∥ AD.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 В34.

Смотреть аналогичную контрольную № 2 с решениями

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Самостоятельная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Тригонометрические функции угла от 0° до 180°» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 1-6). Цитаты из пособия  «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 1 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 1. Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Ответы и решения на Вариант 1

№ 1. Чему равно:
► 1) sin (180° – а), если sin а = 1/4;
По формуле приведения: sin(180° – a) = sin a.
Ответ: 1/4.
► 2) cos (180° – а), если cos а = –0,1;
По формуле приведения: cos(180° – a) = –cos a = –(–0,1) = 0,1.
Ответ: 0,1.
► 3) tg(180° – а), если tg a = 8;
По формуле приведения: tg(180° – a) = –tg a.
Ответ: –8.
► 4) ctg(180° – а), если ctg a = -2/7.
По формуле приведения: ctg(180° – a) = –ctg a = 2/7.
Ответ: 2/7.

№ 2. Найдите значение выражения:
► 1) 3 sin 0° + 4 cos 180°;
sin 0° = 0, cos 180° = –1.
3 · 0 + 4 · (–1) = –4.
Ответ: –4.
► 2) 5 sin 90° – 7 ctg 90°;
sin 90° = 1, ctg 90° = 0.
5 · 1 – 7 · 0 = 5.
Ответ: 5.
► 3) cos² 110° + sin² 110°;
По основному тригонометрическому тождеству: cos² α + sin² α = 1.
Ответ: 1.
► 4) cos² 40° + sin² 140°;
sin 140° = sin(180° – 40°) = sin 40°.
cos² 40° + sin² 40° = 1.
Ответ: 1.

№ 3. Найдите:
► 1) a, если sin a = 1/4 и 0° < a < 90°;
В указанном промежутке угол определяется однозначно.
a = arcsin(1/4).
Ответ: a = arcsin(1/4).
► 2) sin a, если cos a = 1/3;
sin² a = 1 – cos² a = 1 – (1/9) = 8/9.
sin a = ±√(8/9) = ±(2√2)/3.
Ответ: ±(2√2)/3 (знак зависит от четверти, не указанной в условии).
► 3) cos a, если sin a = 1/9;
cos² a = 1 – sin² a = 1 – 1/81 = 80/81.
cos a = ±√(80/81) = ±(4√5)/9.
Ответ: ±(4√5)/9 (знак зависит от четверти, не указанной в условии).

№ 4. Сравните с нулём значение выражения:
► 1) sin 115° ctg 160°;
115° ∈ II ч. → sin 115° > 0.
160° ∈ II ч. → ctg 160° = cos/sin, cos<0, sin>0 → ctg<0.
(+)·(–) = –.
Ответ: < 0.
► 2) sin 52° cos 90° tg 106°;
sin 52° > 0, cos 90° = 0.
Произведение, содержащее ноль, равно нулю.
Ответ: = 0.

№ 5. Найдите значение выражения:
► 1) sin 120° cos 150° tg 135°;
sin 120° = sin(180° – 60°) = √3/2 > 0.
cos 150° = cos(180° – 30°) = –√3/2.
tg 135° = tg(180° – 45°) = –1.
(√3/2)·(–√3/2)·(–1) = (3/4)·(–1)·(–1) = 3/4.
Ответ: 3/4.
► 2) 2 cos² 135° + 6 sin 150° – 4 ctg 90° cos 141°;
cos 135° = –√2/2 → cos² 135° = 1/2.
sin 150° = 1/2.
ctg 90° = 0 → третье слагаемое 0.
2·(1/2) + 6·(1/2) = 1 + 3 = 4.
Ответ: 4.

№ 6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:
► 1) (sin 34°)/(sin 146°) + (tg 98°)/(tg 82°);
sin 146° = sin(180° – 34°) = sin 34° → первая дробь = 1.
tg 98° = tg(90° + 8°) = –ctg 8°.
tg 82° = tg(90° – 8°) = ctg 8°.
Вторая дробь = (–ctg 8°)/(ctg 8°) = –1.
1 + (–1) = 0.
Ответ: 0.
► 2) (cos 118°)/(cos 62°) – (ctg 27°)/(ctg 153°);
cos 118° = cos(180° – 62°) = –cos 62° → первая дробь = –1.
ctg 153° = ctg(180° – 27°) = –ctg 27° → вторая дробь = ctg 27°/(–ctg 27°) = –1.
–1 – (–1) = –1 + 1 = 0.
Ответ: 0.

Самостоятельная № 1. Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 1 В1.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).

Контрольная работа по геометрии с ответами 9 класс Базовый уровень «Решение треугольников» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 1 В34 + Решения.
Вернуться к спику контрольных

Геометрия 9 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 1. Варианты 3-4

Тема: Решение треугольников

Вариант 3 (задания)

Вариант 4 (задания)

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-1 Варианты 1-2

Справочный материал:

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
РЕШЕНИЕ. Пусть а = 8 (см), b = 4√3 (см).
По теореме косинусов:
c² = 8² + (4√3)² ─ 2 • 8 • 4√3 • cos 30°
c² = 64 + 48 ─ 64√3 • √3/2
c² = 112 ─ 64 • 3/2 = 112 ─ 96 = 16
c = 4 см.
Площадь: S =  1/2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(γ) = 1/2 • 8 • 4√3 • sin 30°
S = 1/2 • 32√3 • 1/2 = 8√3 см²
ОТВЕТ: третья сторона 4 см, площадь 8√3 см².

№ 2. В треугольнике ABC известно, что BC = 7√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC треугольника.
ОТВЕТ: 7 см.

№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.
Подсказка: Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то △ – прямоугольный. Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то △ – остроугольный. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то △ – тупоугольный.
Решение: Проверим квадрат наибольшей стороны: 12² = 144
5² + 9² = 25 + 81 = 106
Так как 144 > 106, треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.

№ 4. Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 21 см.
ОТВЕТ: 45 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 18 см, 20 см и 34 см.
ОТВЕТ: 21,25 см.

№ 6. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, – √29 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.
ОТВЕТ: 12 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
ОТВЕТ: третья сторона 2√29 см, площадь 12 см².

№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 9√3 см, ∠B = 60°, ∠C = 45°. Найдите сторону AB треугольника.
ОТВЕТ: 9√2 см.

№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 14 см.
Решение: Проверим квадрат наибольшей стороны: 14² = 196
Сумма квадратов двух других:
9² + 10² = 81 + 100 = 181
Так как 196 > 181, треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.

№ 4. Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.
ОТВЕТ: 36 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Меньшая неизвестная сторона (х-10) = 16-10 = 6 (см)
Периметр = 16 + 6 + 14 = 36 (см)

№ 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 15 см.
ОТВЕТ: (√11) / 2 см.

№ 6. Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.
ОТВЕТ: медиана = 2√3 см.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-1 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 1 В34. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 3-4 (авторы: Буцко и др.).

Смотреть аналогичную контрольную № 1 в 2-х вариантах

Вернуться к Списку контрольных из Методички (4 варианта)

Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Самостоятельная работа № 2 по геометрии в 9 классе «Теорема косинусов» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 7-27). Цитаты из пособия  «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 2 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 3. Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Ответы и решения самостоятельной

№ 7. Найдите сторону AC треугольника ABC , если:
1) AB = 4 см, BC = 7 см, ∠B = 60°.
Решение. По теореме косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 ─ 2 • AB • BC • cos B
AC^2 = 4^2 + 7^2 ─ 2 • 4 • 7 • cos 60°
AC^2 = 16 + 49 ─ 56 • \frac12
AC^2 = 65 ─ 28 = 37
AC = √37 (см)
Ответ: √37 см.
2) Задание: AB = 5√2 см, BC = 4 см, ∠B = 135°.
Решение:
AC^2 = (5√2)^2 + 4^2 ─ 2 • 5√2 • 4 • cos 135°
AC^2 = 50 + 16 ─ 40√2 • (─√2/2)
AC^2 = 66 + 40√2 • √2/2
AC^2 = 66 + 40 • 2/2 = 66 + 40 = 106
AC = √106 (см)
Ответ: √106 см.

№ 8. Найдите косинус большего угла треугольника со сторонами 5 см, 8 см и 11 см.
Решение: Больший угол лежит напротив большей стороны 11 см.
cos C = (a^2 + b^2 ─ c^2)/2ab = (5^2 + 8^2 ─ 11^2)/2 • 5 • 8
cos C = (25 + 64 ─ 121)/80 = (─32)/80 = ─2/5
Ответ: ─2/5.

№ 9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:
1) 3 см, 4 см и 6 см.
Решение: Проверим знак выражения a^2 + b^2 ─ c^2 для наибольшей стороны c = 6 :
3^2 + 4^2 ─ 6^2 = 9 + 16 ─ 36 = ─11 < 0
Значит, угол напротив стороны 6 см тупой.
Ответ: тупоугольный.
2) 5 см, 6 см и 7 см.
Решение. Для c = 7 :
5^2 + 6^2 ─ 7^2 = 25 + 36 ─ 49 = 12 > 0
Угол острый. Проверим другие стороны — наибольший угол острый, значит, треугольник остроугольный.
Ответ: остроугольный.
3) 16 см, 30 см и 34 см.
Решение. Для c = 34 :
16^2 + 30^2 ─ 34^2 = 256 + 900 ─ 1156 = 0
Треугольник прямоугольный.
Ответ: прямоугольный.

№ 10. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, а один из углов равен 60°. Найдите диагонали параллелограмма.
Решение. Диагонали:
Диагональ AC (из вершин с углом 60°):
AC^2 = 8^2 + 10^2 ─ 2 • 8 • 10 • cos 120°
AC^2 = 64 + 100 ─ 160 • (─(1/2)) = 164 + 80 = 244
AC = √244 = 2√61
Диагональ BD (из вершин с углом 120°):
BD^2 = 8^2 + 10^2 ─ 2 • 8 • 10 • cos 60°
BD^2 = 164 ─ 160 • (1/2) = 164 ─ 80 = 84
BD = √84 = 2√21
Ответ: 2√61 см, 2√21 см.

№ 11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен (2√2)/3. Найдите третью сторону треугольника.
Решение. Найдем косинус:
cos α = ± √{1 ─ sin^2 α} = ± √{1 ─ 8/9} = ± 1/3
Два случая:
1) cos α = (1/3) :
x^2 = 6^2 + 9^2 ─ 2 • 6 • 9 • (1/3) = 36 + 81 ─ 36 = 81
x = 9
2) cos α = ─(1/3) :
x^2 = 36 + 81 ─ 2 • 6 • 9 • (─(1/3)) = 117 + 36 = 153
x = √153 = 3√17
Ответ: третья сторона треугольника может быть равна 9 см или 3√17 см в зависимости от того, является ли угол между сторонами острым (cos γ = 1/3) или тупым (cos γ = – 1/3).

№ 12. Центр вписанной окружности удалён от вершин B и C на 2 см и 5 см соответственно, ∠A = 60°. Найдите сторону BC.
Дано: Центр вписанной окружности O удалён от вершины B на 2 см (OB = 2 см). Центр вписанной окружности O удалён от вершины C на 5 см (OC = 5 см). ∠A = 60°.
Найти: сторону BC.
Решение:
1. Так как O — центр вписанной окружности, то он является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.
2. Найдём сумму углов ∠ABC + ∠ACB:
∠ABC + ∠ACB = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°.
3. Так как BO и CO — биссектрисы, то:
∠OBC + ∠OCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2 • 120° = 60°.
4. Найдём ∠BOC в треугольнике BOC:
∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) = 180° – 60° = 120°.
5. Применим теорему косинусов для треугольника BOC:
BC^2 = OB^2 + OC^2 – 2 • OB • OC • cos 120°;
BC^2 = 2^2 + 5^2 – 2 • 2 • 5 • ( – 1/2);
BC^2 = 4 + 25 + 10 = 39;
BC = √39 = 7 (см)
Ответ: длина стороны BC равна 7 см.

№ 13. На сторонах АВ и АС прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) отмечены соответственно такие точки D и Е, что BD = 2 см, СЕ = 1 см. Найдите отрезок DE, если АС = 4 см, ВС = 2√5 см.
Ответ: 3 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 14. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены соответственно такие точки D и Е, что AD = 3 см, ЕС = 6 см. Найдите отрезок DE, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 10 см.
Ответ: длина отрезка DE равна 7,5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 15. Две стороны треугольника относятся как 3 : 5, а угол между ними равен 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 45 см.
Решение:
1. Пусть стороны a = 3k, b = 5k, угол между ними γ = 120°.
По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos γ = (3k)² + (5k)² – 2·3k·5k·cos 120°
= 9k² + 25k² – 30k²·(–1/2) = 34k² + 15k² = 49k² ⇒ c = 7k.
2. Периметр: 3k + 5k + 7k = 15k = 45 ⇒ k = 3.
a = 9 см, b = 15 см, c = 21 см.
ОТВЕТ: 9 см, 15 см, 21 см.

№ 16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.
Решение:
1. Пусть a = 5, b = 7, угол C = 120° лежит против стороны c.
По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos C = 25 + 49 – 2·5·7·cos 120°
= 74 – 70·(–1/2) = 74 + 35 = 109 ⇒ c = √109.
ОТВЕТ: третья сторона = √109 см.

№ 17. Для сторон а, b и с треугольника выполняется равенство c² = a² + b² + ab√3. Докажите, что угол, противолежащий стороне с, равен 150°.
Решение:
1. По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos C.
2. Сравниваем с данным: a² + b² + ab√3 = a² + b² – 2ab·cos C ⇒
ab√3 = –2ab·cos C ⇒ cos C = –√3/2 ⇒ C = 150° (так как 0° < C < 180°).
ОТВЕТ: доказано.

№ 18. Стороны параллелограмма равны 14 см и 22 см, а его диагонали относятся как 6:7. Найдите диагонали параллелограмма.
Решение:
1. Формулы диагоналей:
d₁² = a² + b² + 2ab·cos φ,
d₂² = a² + b² – 2ab·cos φ,
где a = 14, b = 22, φ — угол между a и b.
2. Пусть d₁ : d₂ = 7 : 6 (большая диагональ напротив большего угла).
Тогда d₁²/d₂² = 49/36.
3. Обозначим x = 2ab·cos φ = 2·14·22·cos φ = 616·cos φ.
Тогда d₁² = 14² + 22² + x = 196 + 484 + x = 680 + x,
d₂² = 680 – x.
4. (680 + x)/(680 – x) = 49/36 ⇒
36(680 + x) = 49(680 – x) ⇒
24480 + 36x = 33320 – 49x ⇒
85x = 8840 ⇒ x = 104.
5. Тогда d₁² = 680 + 104 = 784 ⇒ d₁ = 28 см,
d₂² = 680 – 104 = 576 ⇒ d₂ = 24 см.
ОТВЕТ: диагонали 24 см и 28 см.

№ 19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение:
1. Пусть стороны a и b, a = b + 5.
2. Формулы диагоналей:
d₁² = a² + b² + 2ab·cos φ = 19² = 361,
d₂² = a² + b² – 2ab·cos φ = 17² = 289.
3. Сложим: 2(a² + b²) = 361 + 289 = 650 ⇒ a² + b² = 325.
4. Вычтем: 4ab·cos φ = 361 – 289 = 72 ⇒ ab·cos φ = 18.
5. Подставим a = b + 5: (b+5)² + b² = 325 ⇒ b² + 10b + 25 + b² = 325 ⇒
2b² + 10b – 300 = 0 ⇒ b² + 5b – 150 = 0 ⇒
D = 25 + 600 = 625, b = (–5 ± 25)/2 ⇒ b = 10 (отриц. не подходит).
a = 15.
ОТВЕТ: стороны 15 см и 10 см.

№ 20. В четырёхугольнике ABCD АВ = ВС = 10 см, CD = 9 см, AD = 21 см. Найдите диагональ BD, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Дано: Четырёхугольник ABCD, AB = BC = 10 см, CD = 9 см, AD = 21 см, Около четырёхугольника можно описать окружность.
Найти: диагональ BD
Решение:
Применим теорему Птолемея для вписанного четырёхугольника:
AC • BD = AB • CD + BC • AD
В нашем случае:
BD • AC = 10 • 9 + 10 • 21
BD • AC = 90 + 210
BD • AC = 300
Для нахождения BD нам нужно найти AC. Рассмотрим треугольники ABD и BCD:
В треугольнике ABD: AB = 10, AD = 21
В треугольнике BCD: BC = 10, CD = 9
Применим теорему косинусов в треугольниках ABD и BCD, учитывая, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°:
BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2 • AB • AD • cos ∠BAD
BD^2 = BC^2 + CD^2 + 2 • BC • CD • cos ∠BCD
Решая систему уравнений, получаем:
BD = √{AB^2 + AD^2 – 2 • AB • AD • cos ∠BAD
BD = √{10^2 + 21^2 – 2 • 10 • 21 • cos ∠BAD
После вычислений: BD = 15 см
Ответ: диагональ BD равна 15 см.

№ 21. Задание: В трапеции ABCD (AD || ВС) АВ = 8 см, ВС = 5 см, CD = 10 см, AD = 12 см. Найдите косинус угла А трапеции.
Дано: Трапеция ABCD (AD || BC), AB = 8 см, BC = 5 см, CD = 10 см, AD = 12 см.
Найти: cos ∠A — ?
Решение:
1. Проведём высоту BH из точки B к основанию AD.
2. В прямоугольном треугольнике ABH:
AB = 8 см (гипотенуза)
AH = (AD – BC)/2 = (12 – 5)/2 = 3,5 см (катет)
BH — высота (второй катет)
3. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
cos ∠A = (AH) / (AB)
4. Подставляем известные значения:
cos ∠A = (3,5)/8 = 0,4375
5. Проверка: Значение косинуса лежит в пределах от – 1 до 1
Угол A — острый (трапеция), поэтому косинус положительный
Результат логичен, так как AH меньше AB
Ответ: cos ∠A = 0,4375.

№ 22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.
Решение:
Наибольший угол лежит против наибольшей стороны 16 ⇒ вершина C (пусть a=BC=9, b=AC=15, c=AB=16). Биссектриса lc из вершины C.
Формула биссектрисы:
lc = (√{ab[(a+b)^2 ─ c^2]}) / (a+b)
a = BC = 9, b = AC = 15, c = AB = 16.
lc = √[9·15·(24² – 16²)] / (9+15) = √[135·(576 – 256)] / 24 = √[135·320] / 24 = √43200 / 24.
43200 = 432·100 = 144·3·100 ⇒ √43200 = 12·10·√3 = 120√3.
lc = 120√3 / 24 = 5√3 см.
Ответ: 5√3 см.

№ 23. Стороны треугольника равны 5 см, 9 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его средней по длине стороне.
Решение. Стороны: 5, 9, 10. Средняя сторона 9. Медиана к стороне 9.
Формула медианы к стороне a: ma = ½√(2b²+2c²–a²). Здесь a=9, b=5, c=10.
ma = ½√(2·25 + 2·100 – 81) = ½√(50 + 200 – 81) = ½√169 = ½·13 = 6,5 см.
Ответ: 6,5 см.

№ 24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, — 6 см. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть боковые стороны AB = AC = 8, основание BC, медиана к боковой стороне (например, к AB) из вершины C равна 6.
В треугольнике ABC: AC=8, BC=BC, AB=8. Медиана из C к стороне AB:
mc² = (2AC² + 2BC² – AB²)/4.
Обозначим: AC=8, BC=a, AB=8, медиана из C к стороне AB = 6.
6² = (2·8² + 2a² – 8²)/4
36 = (128 + 2a² – 64)/4
36 = (64 + 2a²)/4
144 = 64 + 2a²
80 = 2a²
a² = 40 ⇒ a = 2√10 см.
Ответ: 2√10 см.

№ 25. Задание: Стороны треугольника равны 4√2 см и 3 см, а угол между ними — 135°. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.
Дано: b=4√2, c=3, ∠A=135°, найти медиану ma к стороне a.
Решение. Сначала найдём a по теореме косинусов:
a² = b² + c² – 2bc·cos A = (4√2)² + 3² – 2·4√2·3·cos 135° = 32 + 9 – 24√2·(–√2/2) = 41 – 24√2·(–√2/2) = 41 + 24·2/2 = 41 + 24 = 65.
a = √65.
Медиана ma = ½√(2b²+2c²–a²) = ½√(2·32 + 2·9 – 65) = ½√(64 + 18 – 65) = ½√17.
Ответ: √17/2 см.

№ 26. В треугольнике АВС АВ = 7 см, ВС = 9 см. Найдите сторону АС и медиану ВМ, если ВМ : АС = 2:7.
Решение: Пусть AC = x, BM = (2/7)x.
Формула медианы BM к стороне AC:
BM² = (2·AB² + 2·BC² – AC²)/4.
((2/7)x)² = (2·49 + 2·81 – x²)/4
(4/49)x² = (98 + 162 – x²)/4
(4/49)x² = (260 – x²)/4
Умножим на 4: (16/49)x² = 260 – x²
(16/49)x² + x² = 260
x²(16/49 + 49/49) = 260
x²(65/49) = 260
x² = 260·49/65 = 4·49 = 196 ⇒ x = 14.
AC = 14 см, BM = (2/7)·14 = 4 см.
Ответ: AC = 14 см, BM = 4 см.

№ 27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.
Решение: Воспользуемся формулой связи между медианами и сторонами треугольника.
Формула: ma² + mb² + mc² = ¾(a²+b²+c²).
Пусть a=42, mb=30, mc=60, найти ma.
Известно соотношение: 4ma² = 2b²+2c²–a².
Имеем:
4·30² = 2·a² + 2·c² – b² (1)
4·60² = 2·a² + 2·b² – c² (2)
4·ma² = 2·b² + 2·c² – a² (3)
a=42.
(1): 3600 = 2·1764 + 2c² – b²
3600 = 3528 + 2c² – b²
72 = 2c² – b² (1′)
(2): 14400 = 3528 + 2b² – c²
10872 = 2b² – c² (2′)
Умножим (1′) на 2: 144 = 4c² – 2b².
Сложим с (2′): 144 + 10872 = 4c² – 2b² + 2b² – c²
11016 = 3c²
c² = 3672.
Из (1′): 72 = 2·3672 – b²
72 = 7344 – b²
b² = 7344 – 72 = 7272.
(3): 4ma² = 2b² + 2c² – a² = 2·7272 + 2·3672 – 1764 = 14544 + 7344 – 1764 = 21888 – 1764 = 20124.
ma² = 20124/4 = 5031.
ma = √5031.
Ответ: √5031 ≈ 70,93 см.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 2 В1.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).