Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 1 В34 + Решения. Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 1. Варианты 3-4
Тема: Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Начальные представления о многогранниках
№ 1. На рисунке 5 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей AD1C1 и B1BC.
ОТВЕТ: ВC1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Даны точки D, E и F такие, что DE = 11 см, EF = 16 см, DF = 27 см. Сколько плоскостей можно провести через точки D, E и F? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: Бесконечно много.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Три точки задают единственную плоскость, если они не лежат на одной прямой.
Проверим коллинеарность: DE + EF = 11 + 16 = 27 = DF.
Это означает, что точка E лежит на отрезке DF. Значит, точки D, E, F коллинеарны. Через одну прямую (три коллинеарные точки) можно провести бесконечно много плоскостей.
№ 3. В окружности с центром O проведены диаметры AB и CD. Плоскость а проходит через точки A, C и O. Докажите, что прямая BD лежит в плоскости а.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: Окружность с центром O, диаметры AB и CD. Плоскость α проходит через точки A, C, O. Доказать: Прямая BD лежит в плоскости α. Доказательство:
1. Так как A ∈ α и O ∈ α, то вся прямая AO лежит в плоскости α (аксиома).
Диаметр AB проходит через A и O, значит B ∈ AO \subset α.
Вывод: B ∈ α.
2. Так как C ∈ α и O ∈ α, то вся прямая CO лежит в плоскости α.
Диаметр CD проходит через C и O, значит D ∈ CO \subset α.
Вывод: D ∈ α.
3. Так как две точки B и D прямой BD лежат в плоскости α, то и вся прямая BD лежит в плоскости α (аксиома). Что и требовалось доказать.
№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SBC и SAC пирамиды SABC (рис. 6). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: Точки M ∈ грани SBC, N ∈ грани SAC пирамиды SABC. Построить: Точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC. Построение:
1. Проводим прямые через вершину S и точки M, N до пересечения с плоскостью ABC:
— В грани SBC: проводим прямую SM, продолжаем её до пересечения с прямой BC в точке K.
— В грани SAC: проводим прямую SN, продолжаем её до пересечения с прямой AC в точке P.
2. Строим след секущей плоскости: Прямая KP — это линия пересечения плоскости SMN с плоскостью ABC.
3. Находим искомую точку: Прямая MN лежит в плоскости SMN.
Продолжаем MN до пересечения с прямой KP в точке D.
Точка D = MN ∩ KP — искомая точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
№ 5. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки M, K и N, принадлежащие соответственно рёбрам SA, SB и BC, причём прямые MK и AB не параллельны.
ОТВЕТ: Сечение — четырёхугольник MKNE на рисунке.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано:
точки: M ∈ SA , K ∈ SB , N ∈ BC . Прямые MK и AB не параллельны. Цель: Построить сечение пирамиды плоскостью MKN . Алгоритм построения: Шаг 1. Строим отрезки в боковых гранях, где уже есть две точки сечения.
1. В грани SAB : точки M и K лежат в одной грани. Соединяем их отрезком MK .
2. В грани SBC : точки K и N лежат в одной грани. Соединяем их отрезком KN . Шаг 2. Находим линию пересечения плоскости сечения MKN с основанием ABC .
1. Продолжаем отрезок MK в грани SAB до пересечения с прямой AB . Так как MK и AB не параллельны, они пересекутся в точке D .
D = MK ∩ AB
Точка D лежит в плоскости сечения MKN (т. к. принадлежит прямой MK ) и в плоскости основания ABC (т. к. принадлежит прямой AB ).
2. Теперь в плоскости основания ABC у нас есть две точки, принадлежащие сечению: D и N . Соединяем их прямой DN .
3. Прямая DN — это след плоскости сечения MKN на плоскости основания ABC . Шаг 3. Находим недостающую вершину сечения на ребре AC .
1. Продолжаем прямую DN в плоскости основания до пересечения с ребром AC . Точку пересечения обозначаем E .
E = DN ∩ AC
Точка E лежит в плоскости основания ABC (по построению) и в плоскости сечения MKN (т. к. лежит на прямой DN , которая является следом). Шаг 4. Завершаем сечение, построив отрезок в оставшейся грани.
1. В грани SAC : точки M и E лежат в одной грани и принадлежат плоскости сечения. Соединяем их отрезком ME . Результат: Сечение пирамиды плоскостью MKN — это четырехугольник MKNE. Грани, в которых лежат стороны сечения:
MK — в грани SAB; KN — в грани SBC;
NE — в грани ABC; EM — в грани SAC.
Ответ: Сечение — четырёхугольник MKNE.
Ответы на вариант 4
№ 1. На рисунке 7 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей D1BC и AA1B1.
ОТВЕТ: A1В.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Даны точки B, C и D такие, что BC = 4 см, CD = 16 см, BD = 18 см. Сколько плоскостей можно провести через точки B, C и D? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: Через точки B, C, D можно провести одну плоскость.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Проверим, лежат ли точки на одной прямой. Если бы они лежали на одной прямой, то одна из длин равнялась бы сумме двух других:
BC + CD = 4 + 16 = 20 ≠ BD = 18,
BC + BD = 4 + 18 = 22 ≠ CD = 16,
CD + BD = 16 + 18 = 34 ≠ BC = 4.
Ни одно равенство не выполняется, значит, точки не коллинеарны.
№ 3. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Плоскость а проходит через точки A, O и C. Докажите, что точка B лежит в плоскости а.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: △ABC, отрезок AD — биссектриса, O — центр вписанной окружности. Плоскость α проходит через точки A, O, C. Доказать: Точка B лежит в плоскости α. Доказательство:
1. Центр O вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Так как AD — биссектриса и O ∈ AD, то точки A, O, D лежат на одной прямой.
2. Так как A ∈ α и O ∈ α, то вся прямая AO лежит в плоскости α.
Но D ∈ AO, следовательно, D ∈ α. Вывод: D ∈ α.
3. Рассмотрим прямую CD (где D — точка на стороне BC).
Точки C ∈ α и D ∈ α (по доказанному), значит, вся прямая CD лежит в плоскости α. Но точка B лежит на прямой CD (так как D — точка на стороне BC).
Вывод: B ∈ CD ⊂ α.
4. Таким образом, точка B лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.
№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 8). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: Точки M ∈ грани SAB, N ∈ грани SBC пирамиды SABC. Построить: Точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC. Построение:
1. Проводим прямые через вершину S и точки M, N до пересечения с плоскостью ABC:
— В грани SAB: проводим SM, продолжаем до пересечения с AB в точке K.
— В грани SBC: проводим SN, продолжаем до пересечения с BC в точке P.
2. Строим линию пересечения плоскости SMN с плоскостью ABC:
Прямая KP — след.
3. Находим точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC:
Плоскость SAC и плоскость SMN пересекаются по прямой SX, где X = KP ∩ AC. Проводим SX в плоскости SAC. Прямая MN лежит в плоскости SMN.
Точка Q = MN ∩ SX — искомая точка пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
№ 5. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину B1 и точки M и K, принадлежащие соответственно рёбрам AB и CC1.
ОТВЕТ: Сечением куба является четырёхугольник MB₁KN на рисунке.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано:
Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, Точка M лежит на ребре AB. Точка K лежит на ребре CC₁
Необходимо построить сечение, проходящее через точки B₁, M и K. Решение:
1. Анализ исходных данных:
Точка B₁ — вершина куба
Точка M принадлежит ребру AB (лежит в грани ABB₁A₁)
Точка K принадлежит ребру CC₁ (лежит в грани BCC₁B₁)
2. Построение основных элементов:
Проводим прямую B₁M в грани ABB₁A₁
Проводим прямую B₁K в грани BCC₁B₁
3. Нахождение дополнительных точек:
Прямая B₁K лежит в грани BCC₁B₁. Продлеваем её до пересечения с ребром BC. Получаем точку P (B₁K ∩ BC = P)
Соединяем точки M и P. Прямая MP лежит в плоскости основания ABCD
Находим точку пересечения MP с ребром DC. Получаем точку N (MP ∩ DC = N)
Соединяем точки N и K. Прямая NK лежит в грани CC₁D₁D
4. Обоснование построения:
Точки B₁, M, K, N лежат в одной плоскости, так как:
B₁M и B₁K лежат в разных гранях куба
MP и NK являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями куба
Все построенные точки являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами куба. Полученная фигура MB₁KN является замкнутой ломаной линией
5. Проверка правильности построения:
Каждая сторона многоугольника лежит либо на ребре куба, либо в его грани
Все вершины многоугольника являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами куба. Многоугольник полностью лежит внутри куба. Ответ: Сечением куба является четырёхугольник MB₁KN, где:
Сторона MB₁ лежит в грани ABB₁A₁
Сторона B₁K лежит в грани BCC₁B₁
Сторона KN лежит в грани CC₁D₁D
Сторона NM лежит в основании ABCD
Таким образом, построенное сечение корректно и полностью удовлетворяет условиям задачи.
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 1 В34.
(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.
Контрольная работа по алгебре 10 класс «Применение производной» в 4-х вариантах для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (угл. уровень). Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 9 углубленный уровень. Ответы и решения только на Вариант 1. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 9 (угл.)
Тема: Применение производной
К-9. Вариант 1 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
1) f(x) = 2x3 – 9x2 – 12x + 7;
2) f(x) = (x2 – 3x) / (x + 1);
3) f(x) = sin x + cos 2x.
Решение для функции f(x) = 2x3 – 9x2 – 12x + 7.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение для функции f(x) = (x2 – 3x) / (x + 1).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение для функции f(x) = sin x + cos 2x.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x2 |x – 1| – 5x на промежутке [–2; 2].
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Представьте число 60 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Исследуйте функцию f(x) = 3x – x3 и постройте её график.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. При каких значениях а функция f(x) = ((a + 1)x3)/3 + 3x возрастает на R?
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
К-9. Вариант 2 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
1) f(x) = 4 + 9x + 3x2 – x3;
2) f(x) = (x2 + 5x) / (x – 4);
3) f(x) = sin x – cos 2x.
№ 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x2 |x + 2| – 7x на промежутке [–3; 2].
№ 3. Представьте число 36 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
№ 4. Исследуйте функцию f(x) = x4 – 4x2 и постройте её график.
№ 5. При каких значениях а функция f(x) = ((а + 2)x3)/3 + (а + 2)x2 – 4x убывает на R?
К-9. Вариант 3 (задания)
К-9. Вариант 4 (задания)
Вы смотрели: Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 9 углубленный уровень. в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Применение производной» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень). Ответы и решения только на Вариант 1.
Контрольная работа по алгебре 10 класс «Производная. Уравнение касательной» в 4-х вариантах для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (угл. уровень). Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 углубленный уровень. Ответы и решения только на Вариант 1. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 8 (угл.)
№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 2x в точке с абсциссой x0 = 3. ОТВЕТ: у = 4х – 9.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 2t2 – 3t + 1 (перемещение s измеряется в метрах, время t — в секундах). Найдите скорость её движения в момент времени t0 = 3 с. ОТВЕТ: 9 м/с.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Найдите производную данной функции y = x|x – 3| в точках х = 1 и х = 4. ОТВЕТ: y′(1) = 1; y′(4) = 5.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = x2 – x√3, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 30°. ОТВЕТ: 2√3 / 3.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x – 8, если эта касательная параллельна прямой y = 5x + 1. ОТВЕТ: y = 5x − 9.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 7. В какой точке графика функции y = x2 – 4x + 6 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (3/2; 0)? ОТВЕТ: (0; 6) или (3; 3).
№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 3x в точке с абсциссой x0 = 4.
№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 3t2 – 2t + 4 (перемещение s измеряется в метрах, время t — в секундах). Найдите скорость её движения в момент времени t0 = 2 с.
№ 4. Найдите производную данной функции y = (x – 1)|x + 2| в точках х = –3 и х = 2.
№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = x2 + 4x√3, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 60°.
№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 6, если эта касательная параллельна прямой y = 2x – 8.
№ 7. В какой точке графика функции y = x2 – 6x + 12 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (2; 0)?
К-8. Вариант 3 (задания)
К-8. Вариант 4 (задания)
Вы смотрели: Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 углубленный уровень. в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Производная. Уравнение касательной» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень). Ответы и решения только на Вариант 1.
Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Геометрические преобразования» для УМК Мерзляк Варианты 3-4 из 4-х. Методическое пособие для учителей и родителей. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 5 В34 (Мерзляк) + Ответы и решения. Вернуться к Списку контрольных
Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк) Контрольная работа № 5
№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам A(7; –9) и B(0; 6) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) относительно оси х: A1(7; 9) и B1(0; –6);
2) относительно оси у: A2(–7; 9) и B2(0; 6);
3) относительно оси начала координат: A3(–7; 9) и B3(0; –6).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Начертите треугольник BCD. Постройте образ треугольника BCD: 1) при параллельном переносе на вектор CD; 2) при симметрии относительно точки B; 3) при симметрии относительно прямой BC.
ОТВЕТ: 1) DC1B1; 2) BKN; 3) BK1C.
№ 3. Точка C1 (x; – 8) является образом точки C (5; у) при гомотетии с центром H (–3; 1) и коэффициентом k = –1/4. Найдите x и у.
ОТВЕТ: x = –5; y = 37.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке F, а сторону BC – в точке D. Найдите площадь трапеции AFDB, если CD = 6 см, DB = 9 см, а площадь треугольника FCD равна 20 см2.
ОТВЕТ: SAFDB = 105 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Из точек C и D, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой с, опущены перпендикуляры CC1 и DD1 на эту прямую. Известно, что CC1 = 3 см, DD1 = 6 см, C1D1 = 2 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма CX + XD, где X – точка, принадлежащая прямой с?
ОТВЕТ: СX + XD = (√85 + √340) / 3 ≈ 9,22.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Отметим точку D2 симметрично точке D относительно прямой c. Получим △ХDD1 = △ХD1D2, в том числе и XD2 = XD. Понятно, что сумма СХ + ХD2 будет наименьшей, если точки С, Х и D2 лежат на одной прямой СD2. При пересечении прямых c и СD2 углы СХС1 и D1ХD2 равны (как вертикальные). А так как по условию ещё и прямые углы СС1Х и ХD1D2 равны то, следовательно, треугольники СХС1 и D1ХD2 подобны (по двум углам). Определим коэффициент подобия, СС1 : DD1 = 3 : 6. Получаем, что точка Х делит отрезок С1D1 в соотношении 3 к 6. Следовательно, С1Х = 2/3 см, ХD1 = 4/3 см. Находим длины гипотенуз СХ и ХD2:
СХ = √[С1С2 + С1X2] = √[32 + (2/3)2] = √[9 + 4/9] = √[85/9] = √85 / 3.
ХD2 = √[D1X2 + D1D22] = √[62 + (4/3)2] = √[36 + 16/9] = √[340/9] = √340 / 3.
Отсюда СX + XD = СХ + ХD2 = √85 / 3 + √340 / 3 ≈ 3,07 + 6,15 = 9,22.
№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам E(9; –5) и F(–4; 0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) относительно оси х: E1(–9; –5) и F1(4; 0);
2) относительно оси у: E2(9; 5) и F2(–4; 0);
3) относительно начала координат: E3(–9; 5) и F3(4; 0).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Начертите треугольник MNK. Постройте образ треугольника MNK: 1) при параллельном переносе на вектор MK; 2) при симметрии относительно точки K; 3) при симметрии относительно прямой NK.
ОТВЕТ: 1) KPQ; 2) KDQ; 3) NKF.
№ 3. Точка B1 (–8; y) является образом точки B (x; 6) при гомотетии с центром H (–2; 1) и коэффициентом k = 1/3. Найдите x и у.
ОТВЕТ: x = –20; y = 2 2/3.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Прямая, параллельная стороне DM треугольника DKM, пересекает его сторону DK в точке P, а сторону MK – в точке N. Найдите площадь трапеции DPNM, если KP = 8 см, PD = 20 см, а площадь треугольника DKM равна 98 см2.
ОТВЕТ: SDPNM = 90 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой m, опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на эту прямую. Известно, что AA1 = 2 см, BB1 = 8 см, A1B1 = 5 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма AX + XB, где X – точка, принадлежащая прямой m?
ОТВЕТ: AX + XB = √5 + √80 ≈ 11,18.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Отметим точку B2 симметрично точке B относительно прямой m. Получим △ХВВ1 = △ХВ1В2, в том числе и XB2 = XB. Понятно, что сумма AХ + ХB2 будет наименьшей, если точки A, Х и B2 лежат на одной прямой AB2. При пересечении прямых m и AB2 углы AХA1 и B1ХB2 равны (как вертикальные). А так как по условию ещё и прямые углы AA1Х и ХB1B2 равны то, следовательно, треугольники AХA1 и B1ХB2 подобны (по двум углам). Определим коэффициент подобия, AA1 : BB1 = 2 : 8. Получаем, что точка Х делит отрезок A1B1 в соотношении 2 к 8. Следовательно, A1Х = 1 см, ХB1 = 4 см. Находим длины гипотенуз AХ и ХB2:
AХ = √[A1A2 + A1X2] = √[22 + 12] = √5.
ХB2 = √[B1X2 + B1B22] = √[82 + 42] = √[64 + 16] = √80.
Отсюда AX + XB = AХ + ХB2 = √5 + √80 ≈ 2,236 + 8,944 = 11,18
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 5 В34 Мерзляк. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Геометрические преобразования» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 3-4.
Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Векторы» для УМК Мерзляк Варианты 3-4 из 4-х. Методическое пособие для учителей и родителей. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 4 В34 (Мерзляк) + Ответы и решения. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк) Контрольная работа № 4
№ 1. Даны точки A (3; –2), B (1; –1) и C (–1; 1). Найдите:
1) координаты векторов BA и BC;
2) модули векторов BA и BC;
3) координаты вектора MP = 4BA – BC;
4) скалярное произведение векторов BA и BC;
5) косинус угла между векторами BA и BC.
ОТВЕТЫ: 1) BА (2; –1); BC (–2; 2);
2) |BA| = √[4+1] = √5; |BC| = √[4+4] = 2√2;
3) MP = 4BA – BC = (8+2; –4–2) = (10; –6);
4) BA • BC = 2 • (–2) + (–1) • 2 = –6;
5) cos a = (BA • BC) / (|BA| • |BC|) = –6 / (√5 • 2√2) = –0,94868 (а = 161,6°).
№ 2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:
1) CA + AB; 2) BC – BA; 3) BA + BC.
ОТВЕТ: 1) CA + AB = CB; 2) BC – BA = AC; 3) BA + BC = BK.
№ 3. Даны векторы m (2; p) и n (9; –3). При каком значении p векторы m и n: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
ОТВЕТ: 1) p = –2/3; 2) p = 6.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки E и F так, что AE : EB = 7 : 2, AF : FD = 5 : 1. Выразите вектор EF через векторы CD = а и CB = b .
ОТВЕТ: EF = EA + AF = 7/9 • a – 5/6 • b.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Найдите косинус угла между векторами b = 6m – n и c = m + 3n, если m ⊥ n и |m| = |n| = 1.
ОТВЕТ: cos ∠(b, c) = 3/√370 = 3√370/370 (≈0,156).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Даны точки A (1; 5), B (–3; 2) и C (2; 3). Найдите:
1) координаты векторов CA и CB;
2) модули векторов CA и CB;
3) координаты вектора DM = 3CA – 4CB;
4) скалярное произведение векторов CA и CB;
5) косинус угла между векторами CA и CB.
ОТВЕТЫ: 1) CА (–1; 2); CB (–5; –1);
2) |CA| = √[1+4] = √5; |CB| = √[25+1] = √26;
3) DM = 3CA – 4CB = (–3+20; 6+4) = (17; 10);
4) CA • CB = (–1) • (–5) + 2 • (–1) = 3;
5) cos a = (CA • CB) / (|CA| • |CB|) = 3 / (√5 • √26) = 0,263 (а = 74,74°).
№ 2. Начертите треугольник DEF. Постройте вектор:
1) DE + EF; 2) ED – EF; 3) FE + FD.
ОТВЕТ: 1) DE + EF = DF; 2) ED – EF = FD; 3) FE + FD = FK.
№ 3. Даны векторы а (x; 10) и b (–5; 4). При каком значении x векторы а и b: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
ОТВЕТ: 1) x = –12,5; 2) x = 8.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки S и T так, что AS : SD = 5 : 3, CT : TD = 2 : 1. Выразите вектор ST через векторы BA = а и BC = b.
ОТВЕТ: ST = SD + DT = 3/8 • b – 1/3 • a.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Найдите косинус угла между векторами m = 3а – b и n = a + 4b, если а ⊥ b и |a| = |b| = 1.
ОТВЕТ: cos ∠(m, n) = –1/√170 = –√170 / 170 (≈ –0,0767).
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Векторы» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Методическое пособие Буцко.
Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Правильные многоугольники» для УМК Мерзляк Варианты 3-4 из 4-х. Методическое пособие для учителей и родителей. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 2 В34 (Мерзляк) + Ответы и решения. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк) Контрольная работа № 2
№ 1. Найдите углы правильного тридцатишестиугольника. ОТВЕТ: 170°. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для n = 36 угол равен 180°×34/36 = 170°.
№ 2. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см.
ОТВЕТ: 6π√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
ОТВЕТ: 9√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. ОТВЕТ: 1) 16 см; 2) 4 стороны. Дано: R = 8√2 см; r = 8 см; Найти: 1) an; 2) n – ? Решение: 1) r = R cos (180°/n)
8 = 8√2 cos (180°/n) ⇒ cos (180°/n) = 8/8√2 = √2/2.
По таблице находим √2/2 = cos 45°
⇒ 180°/n = 45° ⇒ n = 4 (квадрат).
2) an = 2R sin (180°/n) = 2 • 8√2 • sin 45° = 16√2 • √2/2 = 16 (см).
№ 5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. ОТВЕТ: 2,5π см; 35π/6 см; 5π/3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Третий угол = 180 – 45 – 105 = 30⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 90⁰, 210⁰ и 60⁰.
Радиус описанной окр. R = 5 / (2 sin 30°) = 5 / (2 • 1/2) = 5 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 10π (см)
Дуги: (90/360)*10π = 2,5π (см)
(210/360)*10π = 35π/6 (см) (60/360)*10π = 5π/3 (см)
№ 6. Углы правильного треугольника срезали так, что получили правильный шестиугольник со стороной 8 см. Найдите сторону данного треугольника.
ОТВЕТ: 24 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Указание к решению: Проведем диагонали правильного шестиугольника ABCDEF, получим шесть РАВНОСТОРОННИХ треугольников (на чертеже отмечено). Диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны, т.е. 16 см. Срезанные углы треугольника тоже равносторонние треугольники. Следовательно сторона первоначального правильного треугольника равна 8 * 3 = 24 (см).
№ 1. Найдите углы правильного тридцатиугольника. ОТВЕТ: 168°. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n.
Для n = 30 угол равен 180°×28/30 = 168°.
№ 2. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 16 см. ОТВЕТ: 128π см2. Краткое решение: S = R2π. R = d/2 = a√2/2.
S = (16√2/2)2π = (8√2)2π = 82*2π = 2*64π = 128π (см2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ
№ 3. Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. ОТВЕТ: 18√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника – 8√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. ОТВЕТ: 1) 8√3 см; 2) 6 сторон.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе окружности, вписанной в правильный многоугольник — в точке пересечения биссектрис его углов. На рисунке АВ — сторона, АО = ВО — биссектрисы углов правильного многоугольника. ОН — радиус вписанной окружности,
tg∠ОВН = ОН : ВН = √3.
Следовательно, ∠ОВН = 60°, угол многоугольника 120°, смежный с ним внешний угол равен 60°. Сумма внешних углов многоугольника 360°. Количество внешних углов, взятых по одному при вершинах, равно числу сторон многоугольника.
Число сторон 360° : 60° = 6.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен его стороне R6 = a6 = 8√3.
№ 5. Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. ОТВЕТ: 10π/9 см; 50π/9 см; 40π/3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Третий угол = 180⁰ – 10⁰ – 50⁰ = 120⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 20⁰, 100⁰ и 240⁰.
Радиус описанной окр. R = 10√3 / (2 sin 120°) = 10√3 / √3 = 10 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 20π (см)
Дуги: (20/360) • 20π = 10π/9 (см)
(100/360) • 20π = 50π/9 (см)
(240/360) • 20π = 40π/3 (см).
№ 6. Углы квадрата срезали так, что получили правильный восьмиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону данного квадрата.
ОТВЕТ: 4 (√2 + 1) ≈ 9,66 см.
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 2 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Методическое пособие Буцко.
Контрольная работа по геометрии 7 класс с решениями «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» варианты 3 и 4 из 4-х. Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 3 В34 Ответы (Мерзляк). Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите углы при основании этого треугольника.
ОТВЕТ: 38°, 38°. Краткое решение. Пусть углы при основании равны x. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда: 104° + x + x = 180°. Решаем уравнение 2x = 180° — 104° ⇒ 2x = 76° ⇒ x = 38°.
№ 4. Докажите, что AO = CO (рис. 58), если известно, что AB = CD и AB||CD. Доказательство: ∆ВОА = ∆COD по 2-му признаку (по стороне и двум прилегающим углам), так как: ∠ВАО = ∠DCО как накрест лежащие; ∠СDO = ∠АBO как накрест лежащие; AB = CD по условию ⇒ АО = СО.
№ 5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, ∠D = 30°, отрезок BT — биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT = 8 см. ОТВЕТ: DA = 12 см. Решение: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, тогда ∠ABD = 90° – ∠ADB = 90° – 30° = 60°. Отрезок АТ, по условию, биссектриса ∠ABD, тогда ∠ABT = ∠DBT = ∠ABD / 2 = 60 / 2 = 300.
В треугольнике BDT ∠BDT = ∠DBT = 30, значит △BDT равнобедренный с основанием BD, следовательно ВТ = DТ = 8 см.
В треугольнике АВТ катет АТ лежит против угла 30, тогда его длина равна половине длины гипотенузы ВТ.
АТ = ВТ / 2 = 8/2 = 4 см. Тогда DA = DТ + АТ = 8 + 4 = 12 см.
К-3. Ответы на Вариант 4
№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите угол при вершине этого треугольника.
ОТВЕТ: 16°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Найдите градусную меру угла BMF (рис. 59).
ОТВЕТ: 65°. Краткое решение. Так как 92° + 88° = 180°, то прямые АВ и МС параллельны при секущей AF. Углы NBM и BMF накрест лежат при параллельных АВ и МС и секущей ВМ. А накрест лежащие углы равны.
№ 4. Докажите, что ∠AFN = ∠MNF (рис. 61), если известно, что AN = FM и AN||FM. Доказательство: AN║FM, а FN — секущая при этих параллельных прямых. По свойству углов при параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны (∠NFМ = ∠FNA). В ∆AFN и ∆MFN сторона AN = FM по условию, FN — общая, и углы между этими сторонами равны. Следовательно, ∆AFN = ∆MFN по 1-му признаку равенства треугольников. Значит, ∠AFN = ∠MNF.
№ 5. В треугольнике ABC известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD — биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD = 5 см. Решение: так как ∠С = 60°, то биссектриса CD делит его на 2 угла по 30°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. ⇒
в ∆ АВС ∠А = 90° – 60° = 30°
в ∆ АDС ∠САD = ∠АСD = 30°. Равенство углов при одной из сторон — признак равнобедренного треугольника. Следовательно, АD = DС.
∆ ВСD — прямоугольный, катет BD противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы СD (свойство). Следовательно, СD = 2 • ВD = 10 см.
Катет АD = СD = 10 см. Тогда АВ = ВD + АD = 5 + 10 = 15 см. ОТВЕТ: 15 см.
Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 3 В34 (Мерзляк). Контрольная работа № 3 по геометрии в 7 классе «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир варианты 3 и 4 из 4-х.
Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубленный уровень). Ответов нет. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 7 (угл.)
Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства
К-7. Вариант 1 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Решите уравнение:
1) 3cos2 x + 7sin x – 5 = 0;
2) 2sin2 x + 1,5sin (2x) – 3cos2 x = 1;
3) sin (8x) + sin (10x) + cos x = 0;
4) (cos x – cos (5x)) / cos (3x) = 0.
№ 2. Решите неравенство:
1) tg (5x – π/3) ≥ –√3/3;
2) sin x • tg (2x) > 0.
№ 3. Решите уравнение sin (2x) + √3 cos (2x) = 2cos (6x).
№ 4. Вычислите sin (arccos (2/3)).
К-7. Вариант 2 (задания)
К-7. Вариант 3 (задания)
К-7. Вариант 4 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1.1) Решите уравнение: 3cos2 x + 7sin x – 5 = 0. ОТВЕТ: x = arcsin(1/3) + 2πn, x = π − arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 1.2) Решите уравнение: 2sin2 x + 1,5sin (2x) – 3cos2 x = 1. ОТВЕТ: x = π/4 + πn, x = –arctan4 + πn, n ∈ Z
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 1.3) Решите уравнение: sin (8x) + sin (10x) + cos x = 0. ОТВЕТ: 1) x = π/2 + πn, n ∈ Z, 2) x = –π/54 + 2πk/9, x = 7π/54 + 2πk/9, k ∈ Z
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 1.4) Решите уравнение: (cos x – cos (5x)) / cos (3x) = 0. ОТВЕТ: х = πk/3 , k∈ Z.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2.1) Решите неравенство: tg (5x – π/3) ≥ –√3/3. ОТВЕТ: x ∈ [π/30 +πn/5 , π/6 + πn/5), n ∈ Z
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2.2) Решите неравенство: sin x • tg (2x) > 0. ОТВЕТ: x ∈ (πn, π/4 + πn) ∪ (π/2 + πn, 5π/4 + πn), n ∈ Z.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Решите уравнение sin (2x) + √3 cos (2x) = 2cos (6x). ОТВЕТ: x = π/48 + πn/4, x = −π/24 – πn/2, n ∈ Z
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Вычислите sin (arccos (2/3)). ОТВЕТ: √5 / 3.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Вы смотрели: Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).
Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 5 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические функции и их свойства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубленный уровень). Ответов нет. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 5 (угл.)
Тема: Тригонометрические функции и их свойства
К-5. Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Найдите значение выражения:
1) tg (25π/4); 2) cos (–690°).
№ 2. Определите знак значения выражения:
1) sin 124° • cos 203° • tg (–280°);
2) sin (7π/10) • cos (13π/12).
№ 4. Найдите период функции у = sin (3x) + tg (2х/3).
№ 5. Сравните значения выражений:
1) sin (10π/9) и sin (12π/11);
2) ctg (–7π/18) и ctg (–3π/7).
№ 6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения ((2 + sin2 x) • cos х) / cos х.
№ 7. Постройте график функции f(х) = |cos3x|, укажите её промежутки возрастания и убывания.
№ 8. Постройте график функции у = √ [sin х – 1] + 2.
К-5 Вариант 2
К-5 Вариант 3
К-5 Вариант 4
Вы смотрели: Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 5 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические функции и их свойства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).
Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 4 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубленный уровень). Ответов нет. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 4 (угл.)
Тема: Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства
К-4 Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Постройте график функции у = ((х – 2)–1/2)–4.
Вы смотрели: Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 4 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).
