Рубрика: Задания

Контрольная работа # 2 по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 Мерзляк. Ответы только на Вариант 1.

Геометрия 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2

Тема: Параллельность в пространстве

Вариант 1 (задания)

Вариант 2 (задания)

1. Точки F, M, N и C — середины отрезков BS, DB, AD и AS соответственно, SD = 30 см, AB = 36 см (рис. 11). Определите вид четырёхугольника FMNC и вычислите его периметр.
2. Плоскость b пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках N и D соответственно и параллельна стороне BC, AD = 6 см, DN : CB = 3 : 4. Найдите сторону AC треугольника.
3. Треугольник MNK является изображением правильного треугольника M₁N₁K₁ (рис. 12). Постройте изображение биссектрисы треугольника, проведённой из вершины M₁.
4. Плоскости а и b параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости а и b в точках А₁ и B₁, а другая — в точках А₂ и B₂ соответственно. Найдите отрезок А₁А₂, если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂, MA₂ = 4 см, А₂B₂ = 10 см.
5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин квадрата и его центра. Постройте изображение квадрата.

Вариант 3 (задания)

1. Точки N, M, C и K — середины отрезков BD, DF, FA и AB соответственно, BF = 24 см, AD = 18 см (рис. 13). Определите вид четырёхугольника NMCK и вычислите его периметр.
2. Плоскость а пересекает стороны MF и MK треугольника MFK в точках A и B соответственно и параллельна стороне FK, AB = 12 см, AM : AF = 3 : 5. Найдите сторону FK треугольника.
3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника А₁B₁C₁ (рис. 14). Постройте изображение центра вписанной окружности треугольника А₁B₁C₁.
4. Плоскости а и b параллельны. Из точки O, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости а и b в точках C₁ и D₁, а другой — в точках C₂ и D₂ соответственно. Найдите отрезок C₁C₂, если он на 5 см меньше отрезка D₁D₂, OC₁ = 4 см, C₁D₁ = 10 см.
5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин правильного треугольника и его центра. Постройте изображение этого треугольника.

Вариант 4 (задания)

1. Точки A, B, K и T — середины отрезков MF, PF, PN и MN соответственно, MP = 10 см, FN = 16 см (рис. 9). Определите вид четырёхугольника ABKT и вычислите его периметр.
2. Плоскость b пересекает стороны CF и CD треугольника CDF в точках M и N соответственно и параллельна стороне FD, MN = 6 см, FD = 21 см, MC = 10 см. Найдите сторону FC треугольника.
3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника А₁B₁C₁ (рис. 16). Постройте изображение центра описанной окружности треугольника А₁B₁C₁.
4. Плоскости а и b параллельны. Через точку D, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости а и b в точках M₁ и N₁, а другая — в точках M₂ и N₂ соответственно. Найдите отрезок M₁M₂, если он на 8 см больше отрезка N₁N₂, N₁M₁ = 30 см, DN₁ = 5 см.
5. Точки A, B и M, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух соседних вершин параллелограмма и середины его противолежащей стороны. Постройте изображение этого параллелограмма.

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Точки M, N, P и Q — середины отрезков BC, BD, AD и AC соответственно, AB = 14 см, CD = 18 см (рис. 9). Определите вид четырёхугольника MNPQ и вычислите его периметр.
ОТВЕТ: 1) параллелограмм, 2) Р = 32 см.

№ 2. Плоскость а пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно и параллельна стороне AC, MK = 4 см, MB : MА = 2 : 3. Найдите сторону AC треугольника.
ОТВЕТ: АС = 10 см.

№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 10). Постройте изображение высоты треугольника, опущенной на сторону A₁C₁.
Пояснение: так как A₁B₁C₁ – правильный треугольник, то высота, опущенная на А₁С₁, является медианой => высота делит сторону АС пополам.

№ 4. Плоскости а и b параллельны. Из точки M, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости a и b в точках А₁ и B₁, а другой — в точках А₂ и B₂ соответственно. Найдите отрезок В₁В₂, если он на 2 см больше отрезка А₁А₂, МВ₁ = 7 см, А₁B₁ = 4 см.
ОТВЕТ: В₁В₂ = 3,5 см.

№ 5. Точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, являются параллельными проекциями трёх последовательных вершин правильного шестиугольника. Постройте изображение этого шестиугольника.
Подсказки к решению: Угол правильного шестиугольника = ∠В = 120°  ⇒  ∠АВН = ∠СВН = 60°.

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 Мерзляк.

Смотреть аналогичную контрольную № 2 с решениями (2 варианта)

Вернуться к Списку контрольных работ (по 2 варианта)

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 1 Мерзляк. Ответы только на Варианты 1, 2.

Геометрия 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 1

Тема: Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Начальные представления о многогранниках

Вариант 1 (задания)

Вариант 2 (задания)

Вариант 3 (задания)

1. На рисунке 5 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей AD₁C₁ и B₁BC.
2. Даны точки D, E и F такие, что DE = 11 см, EF = 16 см, DF = 27 см. Сколько плоскостей можно провести через точки D, E и F? Ответ обоснуйте.
3. В окружности с центром O проведены диаметры AB и CD. Плоскость а проходит через точки A, C и O. Докажите, что прямая BD лежит в плоскости а.
4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SBC и SAC пирамиды SABC (рис. 6). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
5. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки M, K и N, принадлежащие соответственно рёбрам SA, SB и BC, причём прямые MK и AB не параллельны.

Вариант 4 (задания)

1. На рисунке 7 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей D₁BC и AA₁B₁.
2. Даны точки B, C и D такие, что BC = 4 см, CD = 16 см, BD = 18 см. Сколько плоскостей можно провести через точки B, C и D? Ответ обоснуйте.
3. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Плоскость а проходит через точки A, O и C. Докажите, что точка B лежит в плоскости а.
4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 8). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
5. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через вершину B₁ и точки M и K, принадлежащие соответственно рёбрам AB и CC₁.

Ответы на контрольную работу № 1

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. На рисунке 1 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей A₁DC и BB₁C₁.

ОТВЕТ: В₁С.

№ 2. Даны точки A, B и C такие, что AB = 12 см, BC = 19 см, AC = 7 см. Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и C? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: бесконечно много плоскостей.
Обоснование: 19 см = 12 см + 7 см  ⇒  ВС = АВ + АС
Отсюда следует, что точки А, В и С лежат на одной прямой, а как известно, через одну прямую можно провести бесконечное число плоскостей.

№ 3. Плоскость а проходит через вершины A и D параллелограмма ABCD и точку O пересечения его диагоналей. Докажите, что прямая BC лежит в плоскости а.
Решение: Так как А и О ∈ α, то АО ⊂ α  =>  C ∈ α.
Так как D и O ∈ α, то DO ⊂ α  =>  B ∈ α  =>  BC ⊂ α.

№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SAC пирамиды SABC (рис. 2). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Из точки S в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью АВС. Прямая КР – след пересечения плоскости, проходящей через прямые SK и SP с плоскостью АВС. Проводим прямую MN и точка D – это точка пересечения с плоскостью АВС.

№ 5. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки D, E и F, принадлежащие соответственно рёбрам AB, BC и SC, причём прямые DE и AC не параллельны.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 5 в тетради

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. На рисунке 3 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей A₁BC и ABB₁.
Решение: точки А₁ и В ∈ A₁BC и ABB₁  => A₁BC ∩ ABB₁ = А₁В.

ОТВЕТ: А₁В.

№ 2. Даны точки M, N и K такие, что MN = 23 см, MK = 14 см, NK = 13 см. Сколько плоскостей можно провести через точки M, N и K? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: только одну плоскость.
Обоснование: 14 см + 13 см  = 27 см ≠ 23 см => MN ≠ MK + NK
Отсюда следует, что точки M, N и K не лежат на одной прямой, а как известно, бесконечное число плоскостей можно провести только через одну прямую.

№ 3. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Плоскость а проходит через точки B, D и E. Докажите, что прямая AC лежит в плоскости а.

Доказательство: Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости (аксиома).
1) Точки В и D лежат в плоскости α, значит все точки прямой BD лежат в плоскости α, т.е. точка А лежит в плоскости α.
2) Точки В и Е лежат в плоскости α, значит все точки прямой BЕ лежат в плоскости α, т.е. точка С лежит в плоскости α.
3) Так как две точки прямой АС лежат в плоскости α, то прямая АС лежит в плоскости α.

№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 4). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Из точки S в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью АВС. Прямая КР – результат пересечения плоскости, проходящей через прямые SK и SP с плоскостью АВС. Проводим прямую MN и точка D – это точка пересечения с плоскостью АВС.

№ 5. Постройте сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через точки M, K и N, принадлежащие соответственно рёбрам AB, BC и CC₁, причём прямые MK и AC не параллельны.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 1 Мерзляк.

Смотреть аналогичную контрольную № 1 с решениями (2 варианта)

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички (по 4 варианта)

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

Геометрия 9 Контрольная 5 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Геометрические преобразования» с ответами для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.

Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 5

Тема: Геометрические преобразования

К-5 Варианты 1, 2, 3, 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Справочный материал по теме «Геометрические преобразования (Движения)»

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть СПРАВКУ

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам M(–6; 8) и K(0; –2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) M₁(–6; –8) и K₁(0; 2); 2) M₂(6; 8) и K₂(0; 2); 3) M₃(–6; 8) и K₃(0; –2).

№ 2. Начертите треугольник ABC. Постройте образ треугольника ABC: 1) при параллельном переносе на вектор AB; 2) при симметрии относительно точки B; 3) при симметрии относительно прямой AC.

ОТВЕТ: 1) ВВ₁С₁; 2) ВВ₁К; 3) АСМ.

№ 3. Точка A₁ (x; – 4) является образом точки A (2; у) при гомотетии с центром H (1; –2) и коэффициентом k = –3. Найдите x и у.
ОТВЕТ: х = –2; у = –4/3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC – в точке K. Найдите площадь трапеции AMKC, если BM = 4 см, AM = 8 см, а площадь треугольника MBK равна 5 см².
ОТВЕТ: S_AMKC = 40 см².

№ 5. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой а, опущены перпендикуляры AA₁ и BB₁ на эту прямую. Известно, что AA₁ = 4 см, BB₁ = 2 см, A₁B₁ = 3 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма AX + XB, где X – точка, принадлежащая прямой а?
ОТВЕТ: наименьшее AX + XB = 6,708.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение:

По условию у нас 2 прямоугольных треугольника – △АXА₁ и △ВXВ₁. Нужно найти наименьшую сумму гипотенуз АX (у △АXА₁) и BX (у △ВXВ₁). Обозначим катет ХА₁ = х, тогда катет ХВ₁ = 3–х, так как A₁B₁ = ХА₁ + ХВ₁ = 3 (см). По т.Пифагора выразим гипотенузы и подставим значения из условия:
АХ = √[AA₁² + ХА₁²] = √[AA₁² + x²] = √[4² + x²] = √[16 + x²],
BX = √[BB₁² + ХВ₁²] = √[2² + (3–x)²] = √[4 + x² –6x + 9] = √[x² –6x + 13],
AX + XB = √[16 + x²] + √[x² –6x + 13].
Найдем наименьшее значение функции f(x) = √[16 + x²] + √[x² –6x + 13] на отрезке от 0 до 3. Применяем необходимое и достаточное условия экстремума функции, находим точку локального (глобального) минимума функции. Для этого находим производную функции и приравниваем её к нулю:

Решаем и находим х = 2. Отсюда f(2) = 6,708. Мы нашли наименьшее значение суммы AX + XB. Для проверки вычислим значения функции на концах интервала: f(0) = 7,61; f(3) = 7. Проверим также построив график функции f(x) = √[16 + x²] + √[x² –6x + 13]:

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам C(4; –3) и D(8; 0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) C₁(–4; –3) и D₁(–8; 0); 2) C₂(4; 3) и D₂(8; 0); 3) C₃(–4; 3) и D₃(–8; 0).

№ 2. Начертите треугольник DEF. Постройте образ треугольника DEF:
1) при параллельном переносе на вектор DF; 2) при симметрии относительно точки D; 3) при симметрии относительно прямой EF.

ОТВЕТ: 1) FE₁F₁; 2) DE₁F₁; 3) D₁FE.

№ 3. Точка M₁ (3; y) является образом точки M (x; –5) при гомотетии с центром H (2; 3) и коэффициентом k = 2. Найдите x и у.
ОТВЕТ: y = –13.

№ 4. Прямая, параллельная стороне MF треугольника MNF, пересекает его сторону MN в точке D, а сторону NF – в точке K. Найдите площадь трапеции MDKF, если DK = 9 см, MF = 27 см, а площадь треугольника MNF равна 72 см².
ОТВЕТ: S_MDKF = 64 см².

№ 5. Из точек M и K, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой b, опущены перпендикуляры MM₁ и KK₁ на эту прямую. Известно, что MM₁ = 5 см, KK₁ = 3 см, M₁K₁ = 4 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма MX + XK, где X – точка, принадлежащая прямой b?
ОТВЕТ: 4.

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам A(7; –9) и B(0; 6) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) A₁(7; 9) и B₁(0; –6); 2) A₂(–7; 9) и B₂(0; 6); 3) A₃(–7; 9) и B₃(0; –6).

№ 2. Начертите треугольник BCD. Постройте образ треугольника BCD: 1) при параллельном переносе на вектор CD; 2) при симметрии относительно точки B; 3) при симметрии относительно прямой BC.

ОТВЕТ: 1) DC₁B₁; 2) BKN; 3) BK₁C.

№ 3. Точка C₁ (x; – 8) является образом точки C (5; у) при гомотетии с центром H (–3; 1) и коэффициентом k = –1/4. Найдите x и у.
ОТВЕТ: x = 3; y = 5.

№ 4. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке F, а сторону BC – в точке D. Найдите площадь трапеции AFDB, если CD = 6 см, DB = 9 см, а площадь треугольника FCD равна 20 см².
ОТВЕТ: S_AFDB = 105 см².

№ 5. Из точек C и D, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой с, опущены перпендикуляры CC₁ и DD₁ на эту прямую. Известно, что CC₁ = 3 см, DD₁ = 6 см, C₁D₁ = 2 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма CX + XD, где X – точка, принадлежащая прямой с?
ОТВЕТ: 4,5.

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам E(9; –5) и F(–4; 0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) E₁(–9; –5) и F₁(4; 0); 2) E₂(9; 5) и F₂(–4; 0); 3) E₃(–9; 5) и F₁(4; 0).

№ 2. Начертите треугольник MNK. Постройте образ треугольника MNK: 1) при параллельном переносе на вектор MK; 2) при симметрии относительно точки K; 3) при симметрии относительно прямой NK.

ОТВЕТ: 1) KPQ; 2) KDQ; 3) NKF.

№ 3. Точка B₁ (–8; y) является образом точки B (x; 6) при гомотетии с центром H (–2; 1) и коэффициентом k = 1/3. Найдите x и у.
ОТВЕТ: x = 13; y = 4 ³/₄.

№ 4. Прямая, параллельная стороне DM треугольника DKM, пересекает его сторону DK в точке P, а сторону MK – в точке N. Найдите площадь трапеции DPNM, если KP = 8 см, PD = 20 см, а площадь треугольника DKM равна 98 см².
ОТВЕТ: S_DPNM = 1102,5 см².

№ 5. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой m, опущены перпендикуляры AA₁ и BB₁ на эту прямую. Известно, что AA₁ = 2 см, BB₁ = 8 см, A₁B₁ = 5 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма AX + XB, где X – точка, принадлежащая прямой m?
ОТВЕТ: √61.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии 9 класс (Мерзляк)

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 5 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Геометрические преобразования» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Геометрия 9 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Векторы» с ответами для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных работ

Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 4

Тема: Векторы

К-4 Варианты 1, 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

К-4 Варианты 3, 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

Справочный материал по теме «Векторы»

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть СПРАВКУ

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Даны точки A (–3; 1), B (1; –2) и C (–1; 0). Найдите:
1) координаты векторов AB и AC;
2) модули векторов AB и AC;
3) координаты вектора MK = 2AB – 3AC;
4) скалярное произведение векторов AB и AC;
5) косинус угла между векторами AB и AC.
ОТВЕТЫ: 1) АВ (4; –3); AC (2; –1);
2) |AB| = √[16+9] = 5; |AC| = √[4+1] = √5;
3) MK = 2AB – 3AC = (8–6; –6+3) = (2; –3);
4) AB • AC = 4 • 2 + 3• 1 = 11;
5) cos a = (AB • AC) / (|AB| • |AC|) = 11/(5√5) = 0,9839 (а = 10,3°).

№ 2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:
1) AB + BC; 2) AC – AB; 3) CA + CB.

ОТВЕТ: 1) AB + BC = AC; 2) AC – AB = BC; 3) CA + CB = CK.

№ 3. Даны векторы m (4; 14) и n (–7; k). При каком значении k векторы m и n: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
ОТВЕТ: 1) при k = –49/2; 2) при k = 2.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1. Выразите вектор MP через векторы AB = а и AD = b.
ОТВЕТ: МР = МС + СР = 5/7 • b + (–3/4 • а).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Найдите косинус угла между векторами а = 4m – p и b = m + 2p, если m ⊥ p и m = |p| = 1.
ОТВЕТ: cos ∠(a, b) = 2/√85 = 2√85/85 (≈ 0,217).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно, скалярное произведение этих векторов разделить на произведение их длин. 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Даны точки A (2; –1), C (3; 2) и D (–3; 1). Найдите:
1) координаты векторов AC и AD;
2) модули векторов AC и AD;
3) координаты вектора EF = 3AC – 2AD;
4) скалярное произведение векторов AC и AD;
5) косинус угла между векторами AC и AD.
ОТВЕТЫ: 1) АC (1; 3); AD (–5; 2);
2) |AC| = √[1+9] = √10; |AD| = √[25+4] = √29;
3) EF = 3AC – 2AD = (3+10; 9–4) = (13; 5);
4) AC • AD = 1 • (–5) + 3 • 2 = 1;
5) cos a = (AC • AD) / (|AC| • |AD|) = 1 / (√10 • √29) = 0,058722 (а = 86,63°).

№ 2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:
1) AC + CB; 2) BA – BC; 3) AC + AB.

ОТВЕТ: 1) AC + CB = АВ; 2) BA – BC = СА; 3) AC + AB = АК.

№ 3. Даны векторы а (3; –4) и b (m; 9). При каком значении m векторы а и b: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
ОТВЕТ: 1) m = –6 ³/₄; 2) m = 12.

№ 4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 4, BK : KC = 2 : 3. Выразите вектор MK через векторы DA = а и DC = b.
ОТВЕТ: MK = MB + BK = 4/7 • b – 2/5 • a.

№ 5. Найдите косинус угла между векторами m = 5а + b и n = 2а – b, если a ⊥ b и |a| = |b| = 1.
ОТВЕТ: cos ∠(m, n) = 9/√130 = 9√130/130 (≈ 0,789).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Даны точки A (3; –2), B (1; –1) и C (–1; 1). Найдите:
1) координаты векторов BA и BC;
2) модули векторов BA и BC;
3) координаты вектора MP = 4BA – BC;
4) скалярное произведение векторов BA и BC;
5) косинус угла между векторами BA и BC.
ОТВЕТЫ: 1) BА (2; –1); BC (–2; 2);
2) |BA| = √[4+1] = √5;   |BC| = √[4+4] = 2√2;
3) MP = 4BA – BC = (8+2; –4–2) = (10; –6);
4) BA • BC = 2 • (–2) + (–1) • 2 = –6;
5) cos a = (BA • BC) / (|BA| • |BC|) = –6 / (√5 • 2√2) = –0,94868 (а = 161,6°).

№ 2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:
1) CA + AB; 2) BC – BA; 3) BA + BC.

ОТВЕТ: 1) CA + AB = CB; 2) BC – BA = AC; 3) BA + BC = BK.

№ 3. Даны векторы m (2; p) и n (9; –3). При каком значении p векторы m и n: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
ОТВЕТ: 1) p = –2/3; 2) p = 6.

№ 4. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки E и F так, что AE : EB = 7 : 2, AF : FD = 5 : 1. Выразите вектор EF через векторы CD = а и CB = b .
ОТВЕТ: EF = EA + AF = 7/9 • a – 5/6 • b.

№ 5. Найдите косинус угла между векторами b = 6m – n и c = m + 3n, если m ⊥ n и |m| = |n| = 1.
ОТВЕТ: cos ∠(b, c) = 3/√370 = 3√370/370 (≈0,156).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Даны точки A (1; 5), B (–3; 2) и C (2; 3). Найдите:
1) координаты векторов CA и CB;
2) модули векторов CA и CB;
3) координаты вектора DM = 3CA – 4CB;
4) скалярное произведение векторов CA и CB;
5) косинус угла между векторами CA и CB.
ОТВЕТЫ: 1) CА (–1; 2); CB (–5; –1);
2) |CA| = √[1+4] = √5;   |CB| = √[25+1] = √26;
3) DM = 3CA – 4CB = (–3+20; 6+4) = (17; 10);
4) CA • CB = (–1) • (–5) + 2 • (–1) = 3;
5) cos a = (CA • CB) / (|CA| • |CB|) = 3 / (√5 • √26) = 0,263 (а = 74,74°).

№ 2. Начертите треугольник DEF. Постройте вектор:
1) DE + EF; 2) ED – EF; 3) FE + FD.

ОТВЕТ: 1) DE + EF = DF; 2) ED – EF = FD; 3) FE + FD = FK.

№ 3. Даны векторы а (x; 10) и b (–5; 4). При каком значении x векторы а и b: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
ОТВЕТ: 1) x = –12,5;  2) x = 8.

№ 4. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки S и T так, что AS : SD = 5 : 3, CT : TD = 2 : 1. Выразите вектор ST через векторы BA = а и BC = b.
ОТВЕТ: ST = SD + DT = 3/8 • b – 1/3 • a.

№ 5. Найдите косинус угла между векторами m = 3а – b и n = a + 4b, если а ⊥ b и |a| = |b| = 1.
ОТВЕТ: cos ∠(m, n) = –1/(5√2) = –√2/10 (≈ –0,41).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вернуться к Списку контрольных по 4 варианта

Посмотреть такую же контрольную из Методички (2 варианта)

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Векторы» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Итоговая контрольная работа по геометрии в 8 классе с ответами для УМК Мерзляк, Полонский, Якир (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 8 класс (Мерзляк)
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса

КР-7 Варианты 1-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

Ответы на контрольную № 7

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 46° больше другого.
Дано: ABCD – параллелограмм; ∠A на 46° > ∠B.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
Решение:  ∠B = x;  ∠A = x + 46°;   ∠A + ∠B = 180°
x + x + 46 = 180°  =>  2x = 134°  =>  x = 67°
∠A = 113°; ∠B = 67°; ∠C = 113°; ∠D = 67°.
ОТВЕТ: 113°; 67°; 113°; 67°.

№ 2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке K. Меньшее основание BC равно 4 см, AB = 6 см, BK = 3 см. Найдите большее основание трапеции.
Дано: ABCD – трапеция; AB ∩ CD = К; BC = 4 см; BК = 3 см; AB = 6 см.
Найти: AD – ?
Решение: АК = АВ + ВК = 6 + 3 = 9 (см);
Так как ВС II AD, то ΔBКC ∼ ΔAКD  => BК/AК = BC/AD.
3/9 = 4/AD  =>  AD = 12 (см)
ОТВЕТ: 12 см.

№ 3. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите сторону BC, если AB = 4√6 см, CD = 3 см, ∠ABD = 30°.
Дано: ΔАВС, ВД – высота, АВ = 4√6 см, СД = 3 см, ∠АВД = 30°.
Найти: ВС – ?
Решение: Рассмотрим △АВД – прямоугольный по свойству высоты,
АД = 1/2 • АВ как катет, лежащий против угла 30°,
АД = 1/2 • 4√6 = 2√6 см.
ВД² = АВ² – АД² = (4√6)² – (2√6)² = 96 – 24 = 72
ВД = √72
ВС² = ВД² + СД² = (√72)² + 9 = 72 + 9 = 81
ВС = √81 = 9 (см)

ОТВЕТ: ВС = 9 см.

№ 4. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.
ОТВЕТ: 75√15 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Из точки B окружности опущен перпендикуляр BM на её диаметр AC, AB = 4 см. Найдите радиус окружности, если отрезок AM на 4 см меньше отрезка CM.
ОТВЕТ: 4 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 18° меньше другого.
Дано: ABCD – параллелограмм; ∠В на 18° < ∠А.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
Решение:  ∠B = x;  ∠A = x + 18°;   ∠A + ∠B = 180°
x + x + 18° = 180°  =>  2x = 162°  =>  x = 81°
∠A = 99°; ∠B = 81°; ∠C = 99°; ∠D = 81°.
ОТВЕТ: 99°; 81°;  99°;  81°.

№ 2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Большее основание AD равно 20 см, MD = 10 см, CD = 8 см. Найдите меньшее основание трапеции.
Дано: ABCD – трапеция; AB ∩ CD = M; AD = 20 см; MD = 10 см; CD = 8 см.
Найти: BC – ?
Решение: MC = MD – CD = 10 – 8 = 2 (см);
Так как ВС II AD, то ΔBMC ∼ ΔAMD  => MC/MD = BC/AD.
2/10 = BC/20  =>  BC = 4 (см)
ОТВЕТ: 4 см.

№ 3. Высота EK треугольника DEF делит его сторону DF на отрезки DK и KF. Найдите сторону DE, если EF = √6 см, KF = 2 см, ∠D = 45°.
ОТВЕТ: DE = 2 см.

№ 4. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.
ОТВЕТ: 90√3 см².

№ 5. Из точки E окружности опущен перпендикуляр EK на её диаметр DF, DE = 2√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок KF на 6 см больше отрезка DK.
ОТВЕТ: 4 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 54° больше другого.
Дано: ABCD – параллелограмм; ∠A на 54° > ∠B.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
Решение:  ∠B = x;  ∠A = x + 54°;   ∠A + ∠B = 180°
x + x + 54 = 180°  =>  2x = 126°  =>  x = 63°
∠A = 117°; ∠B = 63°; ∠C = 117°; ∠D = 63°.
ОТВЕТ: 117°, 63°, 117°, 63°.

№ 2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Меньшее основание BC равно 8 см, PC = 7 см, CD = 21 см. Найдите большее основание трапеции.
Дано: ABCD – трапеция; AB ∩ CD = Р; BC = 8 см; РС = 7 см; CD = 21 см.
Найти: AD – ?
Решение: PD = PC + CD = 7 + 21 = 28 (см);
Так как ВС II AD, то ΔBPC ∼ ΔAPD  => PC/PD = BC/AD.
7/28 = 8/AD  =>  AD = 32 (см)
ОТВЕТ: 32 см.

№ 3. Высота KP треугольника MNK делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите сторону KN, если MP = 4√3 см, PN = 3 см, ∠MKP = 60°.
ОТВЕТ: KN = 5 см.

№ 4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.
ОТВЕТ: 45√15 см².

№ 5. Из точки M окружности опущен перпендикуляр MF на её диаметр DE, DM = 2√30 см. Найдите радиус окружности, если отрезок DF на 8 см меньше отрезка FE.
ОТВЕТ: 10 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 36° меньше другого.
Дано: ABCD – параллелограмм; ∠В на 36° < ∠А.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
Решение:  ∠B = x;  ∠A = x + 36°;   ∠A + ∠B = 180°
x + x + 36° = 180°  =>  2x = 144°  =>  x = 72°
∠A = 108°; ∠B = 72°; ∠C = 108°; ∠D = 72°.
ОТВЕТ: 108°, 72°, 108°, 72°.

№ 2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Большее основание AD равно 32 см, AF = 16 см, AB = 12 см. Найдите меньшее основание трапеции.
Дано: ABCD – трапеция; AB ∩ CD = F; AD = 32 см; AF = 16 см; AB = 12 см.
Найти: BC – ?
Решение: BF = AF – AB = 16 – 12 = 4 (см);
Так как ВС II AD, то ΔBFC ∼ ΔAFD  => BF/AF = BC/AD.
4/16 = BC/32  =>  BC = 8 (см)
ОТВЕТ: 8 см.

№ 3. Высота CM треугольника ABC делит его сторону AB на отрезки AM и BM. Найдите сторону BC, если AM = 15 см, BM = 5 см, ∠A = 30°.
ОТВЕТ: ВС = 10 см.

№ 4. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Дано: ABCD – трапеция; СН – высота; АС – биссектриса угла C; ∠А = ∠B = 90°; AD = 17 см; ВС = 9 см.
Найти: S_ABCD – ?
Решение: 1) В прямоугольнике АВСН: АН || ВС, АН = ВС = 9;
2) Для ВС и AD и секущей АС: ∠DAC = ∠BCA = ∠DCA,
3) △ACD равнобедренный: CD = AD = 17;
4) В прямоугольном △DCH: DH = AD – АН = 8;   CD² = СН² + DH²;
17² = СН² + 8²;   289 = СН² + 64;   СН² = 225, СН = 15;
5) В трапеции ABCD: S_ABCD = 1/2 • (AD + BC) • CH = 1/2 • (17 + 9) • 15 = 195.
ОТВЕТ: 195 см².

№ 5. Из точки C окружности опущен перпендикуляр CD на её диаметр AB, AC = 6√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок AD на 10 см меньше отрезка BD.
ОТВЕТ: 9 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вернуться к Списку контрольных по геометрии 8 класс (Мерзляк)

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 7 (Мерзляк). Итоговая контрольная работа по геометрии в 8 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме учебника «Многоугольники. Площадь многоугольника» с ответами для УМК Мерзляк, Полонский, Якир (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 8 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 6

Многоугольники. Площадь многоугольника

КР-6 Варианты 1-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Ответы на контрольную № 6

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 12–угольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (12–2) = 1800°.
ОТВЕТ: сумма углов выпуклого 12–угольника = 1800°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 144 см², а одна из его высот – 16 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
Решение: S = ah  =>  a = S/h = 144 : 16 = 9 (см).
ОТВЕТ: 9 см.

№ 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов – 12 см.
Решение: 1) а = √[13² – 12²] = √[169 – 144] = 5 (см)
2) S = ab/2 = 5 • 12 : 2 = 30 (см²)
ОТВЕТ: 30 см².

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей – 28 см.
Дано: ромб ABCD, АВ = 10 см, АС+BD = 28 см, АС ∩ BD = О.
Найти: S_ABCD – ?
Решение: 1) АО + ОВ = 28 / 2 = 14 (см).
Пусть АО – это х, тогда ОВ = 14 – х,
2) △АОВ:  100 = х² + (14 – х)² = х² + 196 – 28х + х²
2х² – 28х + 96 = 0   =>  х² – 14х + 48 = 0
Д = 196 – 192 = 4
х = (14 – 2)/2 = 6  =>
AO = 6 (см); OB = 14 – 6 = 8 (см)
АС = АО • 2 = 12 (см); BD = ОВ • 2 = 16 (см)
3) S = 1/2 • АС • BD = 1/2 • 12 • 16 = 96 (см²)
ОТВЕТ: площадь ромба = 96 см².

№ 5. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12 √2 см, а острый угол – 45°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
Решение: По теореме синусов
СК = CD • sin D = 12√2 • sin 45° = (12√2) • (√2/2) = 12см.
СК – высота трапеции. В трапецию можно вписать окружность тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
АВ + CD = BC + AD
АВ = СК = 2  ⇒  AB + CD = 12 + 12√2 = 12(1+√2) (cм) ⇒
BC + AD = 12(1+√2)
S_трап = 1/2 • (ВС + AD) • СК = 1/2 • 12 • (1+√2) • 12 = 72(1+√2) (см²)
ОТВЕТ: площадь трапеции = 72 + 72√2 см².

№ 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Найдите площадь треугольника.
Дано: △АВС, AD – биссектриса, BD = 17 см, DC = 8 см,
Найти: S_ABC – ?
Решение № 1: BC = BD + DC = 25 (см)
Проведем DH – высота на AB
Биссектриса — геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Точка D лежит на биссектрисе, DH = DC = 8
BH = √[BD² – DH²] = √[17² – 8²] = √[9 • 25] =15
△ABC ~ △DBH (по двум углам)
k = BC/BH = 25/15 = 5/3
S_DBH = BH • DH / 2 = 15 • 8 / 2 = 60
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
S_ABC = S_DBH • k² = 60 • 25 / 9 = 500/3 = 166 ³/₄ ≈ 166,67 (см²)

Решение № 2: △ADH и △ADC равны по острому углу и гипотенузе.
DH = DC = 8, AH = AC
Из △DBH по теореме Пифагора находим BH = 15
AB = AH + BH = AC + 15
AC² + BC² = AB²  =>  AC² + 25² = (AC + 15)²  =>
AC² + 25² = AC² + 30AC + 15²  =>
AC = (25² – 15²) / 30 = 10 • 40 / 30 = 40 / 3
S_ABC = AC • BC / 2 = 40 • 25 / 3 • 2 = 500/3 = 166 ³/₄ ≈ 166,67 (см²)
ОТВЕТ: площадь треугольника = 166 ²/₃ см².

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 17–угольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (17–2) = 2700°.
ОТВЕТ: 2700°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 104 см², а одна из его сторон – 13 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
Решение: S = ah  =>  h = S/a = 104 : 13 = 8 (см).
ОТВЕТ: 8 см.

№ 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 30 см, а боковая сторона – 17 см.
Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 17 см, ВН – высота к основанию АС, АС = 30 см.
Найти: S_АВС – ?

Решение: 1) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, ΔАВН = ΔВНС (по 1–му признаку).
AC = АН + НС = 2НС  =>  НС = 1/2 • АС = 15 (см)
2) ВН² = ВС² – НС² = 17² – 15².
ВН = √[17² – 15²] = √[289 – 225] = 8 (см);
3) S_АВС = 1/2 • АС • ВН = 1/2 • 30 • 8 = 120 (см²)
ОТВЕТ: 120 см².

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей – 6 см.
Решение: Обозначим D – большая диагональ, d – меньшая,
тогда D = d + 6. Определим длину меньшей диагонали через теорему Пифагора: ((d + 6) / 2)² + (d/2)² = 15²,
(d² + 12d + 36 + d²) / 4 = 225,
d² + 6d + 18 = 225*2,
d² + 6d – 432 = 0,
Д = 6² – 4 * 1 * (–432) = 1764
d₁ = (–6 + √1764) / 2 * 1 = 18,
d₂ < 0 – корень не подходит. Значит d = 18.
Тогда S = ((18 + 6) * 18) / 2 = 216 (см²)
ОТВЕТ: площадь ромба = 216 см².

№ 5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Решение: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
AD + BC = AB + CD = 10 • 2 = 20 (см)
в ΔАВН:  ∠AHB = 90°, sin ∠A = BH / AB
BH = AB • sin ∠A = 10 • sin 60° = 10 • √3/2 = 5√3 (см)
S_ABCD = 0,5 • (AD + BC) • BH = 0,5 • 20 • 5√3 = 50√3 см²
ОТВЕТ: 50√3 см².

№ 6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите площадь треугольника.
Краткое решение: По св–ву биссектрисы  AC/CB = 30/40
Запишем теорему Пифагора: 9x² + 16x² = 70²
Откуда x² = 196
S = 1/2 • 3x • 4x = 6x² = 1176 (см²)
ОТВЕТ: 1176 см².

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 22–угольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (22–2) = 3600°.
ОТВЕТ: 3600°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 112 см2, а одна из его высот – 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
Решение: S = ah  =>  a = S/h = 112 : 14 = 8 (см).
ОТВЕТ: 8 см.

№ 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а один из катетов – 10 см.
Решение: 1) а = √[26² – 10²] = √[676 – 100] = 24 (см)
2) S = ab/2 = 10 • 24 : 2 = 120 (см²)
ОТВЕТ: 120 см².

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 70 см.
Решение: x² + (35 – x)² = 625
x = 20 или х = 15
площадь равна половине произведения диагоналей
S₁ = 40 • 30 : 2 = 600 (см²);   S₂ = 30 • 40 : 3 = 600 (см²)
ОТВЕТ: 600 см².

№ 5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8√3 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
Решение: Площадь трапеции – это полусумма оснований на высоту.
S =1/2 • (BC + AD) • h
Высота известна: так как трапеция прямоугольная, меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям h = AB = 8√3.
Трапеция описанная. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны BC + AD = AB + CD.
Найдем CD. Опустим высоту CH и рассмотрим треугольник CDH.
∠HСD = 90°– 60° = 30°
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы, HD = CD/2
Пусть HD = x, CD = 2x, тогда по т.Пифагора
CH = √[CD² – HD²] = x • √[4 – 1] = x√3.
CH/CD = √3/2 => CD = 8√3 : √3/2 =16
Таким образом S = 1/2 • (8√3 + 16) • 8√3 = 96 + 64√3 (см²)
ОТВЕТ: 96 + 64√3 см².

№ 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.
Решение: Обозначим a, b – катеты, с – гипотенуза, тогда S = 1/2 • ab.
Один катет нам известен: b = 5 + 13 = 18 (см).
Вспомним свойство биссектрисы: Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам,
т.е. а/5 = с/13, отсюда с = 13а/5.
Воспользуемся т. Пифагора (13а/5)² = 18² + а²
(169а²)/25 – а² = 18²
(144а²)/25 = 324
(4а²)/25 = 9
4а² = 225
а² = 56,25 => a = 7,5
S = 1/2 • ab = 1/2 • 7,5 • 18= 67,5 (см²)
ОТВЕТ: 67,5 см².

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого двадцатисемиугольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (27–2) = 4500°.
ОТВЕТ: 4500°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 108 см2, а одна из его сторон – 18 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
Решение: Для нахождения высоты параллелограмма, проведённой к стороне, необходимо разделить площадь параллелограмма на длину этой стороны.
S = ah  =>  h = S/a = 108 : 18 = 6 (см).
ОТВЕТ: 6 см.

№ 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, высота которого, проведённая к основанию, равна 12 см, а боковая сторона – 37 см.
Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 37 см, ВН – высота к основанию АС, ВН = 12 см.
Найти: S_АВС – ?

Решение: 1) НС² = ВС² – ВН² = 37² – 12².
НС = √[37² – 12²] = √[1369 – 144] = 35 (см);
2) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, ΔАВН = ΔВНС (по 1–му признаку). AC = АН + НС = 2НС = 70 (см)
3) S_АВС = 1/2 • АС • ВН = 1/2 • 70 • 12 = 420 (см²)
ОТВЕТ: 420 см².

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 17 см, а разность диагоналей – 14 см.

Решение: Стороны ромба равны, диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половины диагоналей х и у.
Если 2у – 2х = 14, то у – х = 7.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора: АВ² = АО² + ВО².
Получаем систему уравнений: у – х = 7 и у² + х² = 289.
Возведем обе части первого уравнения в квадрат: у² + х² – 2ху = 49
Подставим значение суммы квадратов из второго уравнения: 289 – 2ху = 49.
2ху = 289 – 49
2ху = 240
S_ABCD = 1/2 • АС • BD = 1/2 • 2х • 2у = 2ху = 240 (см²)
ОТВЕТ: 240 см².

№ 5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√3 см, а острый угол – 30°. Найдите площадь этой трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
ОТВЕТ: 150 см².

№ 6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 240 см².

Смотрите также похожую работу:
Контрольная № 6 из Дидактических материалов (2 варианта) с ответами

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме учебника «Многоугольники. Площадь многоугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Дидактические материалы для учителей, родителей и учащихся.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии 8 класс

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Итоговая контрольная работа по алгебре в 7 классе с ответами «Обобщение и систематизация знаний учащихся» (варианты 1, 2) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 8 (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 8 Варианты 1-2

Тема: Обобщение и систематизация знаний учащихся

Смотрите также варианты 3 и 4 итоговой контрольной работы тут:

К-8 Варианты 3-4

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Упростите выражение (5а – 4)² – (2а – 1)(3а + 7).
Решение и ОТВЕТ:

№ 2. Разложите на множители:
1) 5x²y² – 45y²c²;   2) 2x² + 24xy + 72y².
Решение и ОТВЕТ:
1) 5хy – 45y²c² = 5y²(x² – 9c²) = 5y²(x – 3c)(x + 3c);
2) 2x² + 24xy + 72y² = 2 • (x² + 12xy + З6y²) = 2 • (x + 6y)² = 2 • (x + 6y)(x + 6y)

№ 3. График функции y = kx + b пересекает оси координат в точках A (0; –6) и B (3; 0). Найдите значения k и b.
Решение и ОТВЕТ:

№ 4. Решите систему уравнений
{ 2х + у = 3,
{ 3х – 5у = 37.
Решение и ОТВЕТ:

№ 5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из этих чисел на 22 больше произведения первого и второго.
Решение и ОТВЕТ:

№ 6. Решите уравнение x² + y² – 2x + 6у + 10 = 0.
Решение и ОТВЕТ:

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Упростите выражение (3а – 2)² – (3а + 1)(а + 5).
Решение и ОТВЕТ:

№ 2. Разложите на множители:
1) 3m²n² – 48m²p²;   2) 3x² + 12xy + 12у².
Решение и ОТВЕТ:

№ 3. График функции y = kx + b пересекает оси координат в точках C (0; 15) и D (–5; 0). Найдите значения k и b.
Решение и ОТВЕТ:

№ 4. Решите систему уравнений
{ х – 3у = –3,
{ 5х – 2у = 11.
Решение и ОТВЕТ:

№ 5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение первого и третьего из этих чисел на 17 меньше произведения второго и четвёртого.
Решение и ОТВЕТ:

№ 6. Решите уравнение x² + y² + 4x – 8y + 20 = 0.
Решение и ОТВЕТ:

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 8 Варианты 1-2 из 4-х вариантов. Итоговая контрольная работа по алгебре в 7 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 8 тут:

К-8 Варианты 3-4

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольная работа по алгебре в 7 классе с ответами «Системы линейных уравнений с двумя переменными» (варианты 1, 2) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 7 (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 7

Тема: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 7 тут:

К-7 Варианты 3-4

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Решите методом подстановки систему уравнений
{ х + 3у = 13, { 2х + у = 6.
Решение и ОТВЕТ:

№ 2. Решите методом сложения систему уравнений
{ 2х + 3у = 7, { 7x – 3y = 11
Решение и ОТВЕТ:

№ 3. Решите графически систему уравнений
{ х + у = 5, { 4х – у = 10.
Решение и ОТВЕТ:

№ 4. За 5 кг огурцов и 4 кг помидоров заплатили 220 р. Сколько стоит килограмм огурцов и сколько стоит килограмм помидоров, если 4 кг огурцов дороже кило грамма помидоров на 50 р.?
Решение и ОТВЕТ:

№ 5. Решите систему уравнений:
1) { 6х + 11у = 107,   { 5х – 2у = 11;
2) { 5х – 6у = 9,   { 15х – 18у = 26.
Решение и ОТВЕТ:

№ 6. При каком значении а система уравнений
{ 4х – aу = 3,   { 20х + 10у = 15
имеет бесконечно много решений?
Решение и ОТВЕТ:

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Решите методом подстановки систему уравнений
{ х + 5у = 15,   { 2х – у = 8.
Решение и ОТВЕТ:

№ 2. Решите методом сложения систему уравнений
{ 4х – 7у = 1,   { 2x + 7y = 11.
Решение и ОТВЕТ:

№ 3. Решите графически систему уравнений
{ х – у = 3,   { 3х – у = 13.
Решение и ОТВЕТ:

№ 4. Масса 2 слитков олова и 5 слитков свинца равна 33 кг. Какова масса слитка олова и какова масса слитка свинца, если масса 6 слитков олова на 19 кг больше массы слитка свинца?
Решение и ОТВЕТ:

№ 5. Решите систему уравнений:
1) { 5х – 3у = 21,   { 3х + 2 у = 5;
2) { 2х – 3у = 2,  { 8х – 12у = 7.
Решение и ОТВЕТ:

№ 6. При каком значении а система уравнений
{ 3х + ау = 4,   { 6х – 2у = 8
имеет бесконечно много решений?
Решение и ОТВЕТ:

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 7 Варианты 1-2 из 4-х вариантов. Контрольная работа по алгебре в 7 классе «Системы линейных уравнений с двумя переменными» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 7 тут:

К-7 Варианты 3-4

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольная работа по алгебре в 7 классе с ответами «Функции» (варианты 1, 2) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 6 (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 6 Варианты 1-2

Тема: Функции

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 6 тут:

К-6 Варианты 3-4

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1.  Функция задана формулой y = –3x + 1. Определите:
1) значение функции, если значение аргумента равно 4;
2) значение аргумента, при ко то ром значение функции равно –5;
3) проходит ли график функции через точку A (–2; 7).
ОТВЕТ: 1) у = –11 при х = 4;  2) х = 2 при у = –5;  3) проходит.
Решение:

№ 2.  Постройте график функции y = 2x – 5. Пользуясь графиком, найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно 3;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно –1.
ОТВЕТ: 1) y = 1 при x = 3;  2) x = 2 при y = –1.

№ 3.  Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции y = –0,6x + 3 с осями координат.
ОТВЕТ: (5; 0) и (0; 3).
Решение:

№ 4.  При каком значении k график функции y = kx + 5 проходит через точку D (6; –19)?
ОТВЕТ: k = –4.
Решение:

№ 5.  Постройте график функции у =
{ х/3, если x ≤ 3;
{ 1, если х > 3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ задачи № 5

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1.  Функция задана формулой y = –2x + 3. Определите:
1) значение функции, если значение аргумента равно 3;
2) значение аргумента, при ко то ром значение функции равно 5;
3) проходит ли график функции через точку B (–1; 5).
ОТВЕТ: 1) y = –3;  2) x = –1;  3) проходит.
Решение:

№ 2.  Постройте график функции y = 5x – 4. Пользуясь графиком, найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно 1;
2) значение аргумента, при ко то ром значение функции равно 6.
ОТВЕТ: 1) x = 1 ⇒ y = 1;   2) y = 6 ⇒ x = 2.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ задачи № 2

№ 3.  Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции y = 0,2x – 10 с осями координат.
ОТВЕТ: (50; 0) и (0; –10).
Решение:

№ 4.  При каком значении k график функции y = kx – 15 проходит через точку C (–2; –3)?
ОТВЕТ: k = –6.
Решение:

№ 5.  Постройте график функции у =
{ х/2, если х ≤ 4;
{ 2, если х > 4.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ задачи № 5

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 6 Варианты 1-2 из 4-х вариантов. Контрольная работа по алгебре в 7 классе «Функции» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 6 тут:

К-6 Варианты 3-4

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольная работа по алгебре в 7 классе с ответами «Сумма и разность кубов двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители» (варианты 1, 2) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 5 (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 5 Варианты 1-2

Сумма и разность кубов двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 5 тут:

К-5 Варианты 3-4

РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Разложите на множители: 1) a³ + 8b³;   2) x²y – 36y³;   3) –5m² + 10mn – 5n²;   4) 4ab – 28b + 8a – 56;   5) a⁴ – 81.

РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ:
1) а³ + 8b³ = (а + 2b)(а² – 2аb + 4b²).
2) х²у – 36y³ = у(х² – З6y²) = у(х – 6у)(х + 6у).
3) –5m² + 10mn – 5n² = –5 • (m² – 2mn + n²) = –5 • (m – n)(m – n).
4) 4аb – 28b + 8а – 56 = 4b(а – 7) + 8(а – 7) = (а – 7)(4b + 8) = 4 • (а – 7)(b + 2).
5) а⁴ – 81 = (а² – 9) (а² + 9) = (а – 3)(а + 3)(а² + 9).

№ 2. Упростите выражение a(a + 2)(a – 2) – (a – 3)(a² + 3a + 9).
РЕШЕНИЕ и ОТВЕТ:
а(а + 2)(а – 2) – (а – 3)(а² + За + 9) = а(а² – 4) – (а³ – 27) = а³ – 4а – а³ + 27 = –4а + 27.

№ 3. Разложите на множители: 1) x – 3y + x² – 9y²;   2) 9m² + 6mn + n² – 25;   3) ab⁵ – b⁵ – ab³ + b³;   4) 1 – x² + 10xy – 25y².
РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ:
1) х – 3у + х² – 9у² = (х – 3у) + (x – 3у)(х + 3у) = (х – 3у)(1 + х + 3у).
2) 9m² + 6mn + n² – 25 = (Зm + n)² – 5² = (3m + n – 5)(3m + n + 5).
3) аb⁵ – b⁵ – ab³ + b³ = b⁵(а – 1) – b³(а – 1) = (а – 1)(b⁵ – b³) = b³(b² – 1)(а – 1) = b³(b – 1)(b + 1)(а – 1).
4) 1 – х² + 10ху – 25y² = 1 – (х² – 10xy + 25y²) = 1² – (х – 5у)² = (1 – х + 5у)(1 + х – 5у).

№ 4. Решите уравнение: 1) 3x³ – 12x = 0;   2) 49x³ + 14x² + x = 0;   3) x³ – 5x² – x + 5 = 0.

№ 5. Докажите, что значение выражения 3⁶ + 5³ делится нацело на 14.
Ответ: 3⁶ + 5³ делится нацело на 14.
Доказательство: З⁶ + 5³ = (З²)³ + 5³ = 9³ + 5³ (сумма кубов)
9³ + 5³ = (9 + 5) • (81 – 45 + 25) = 14 • 61.
Так как один из множителей делится нацело на 14, то и все выражение делится на 14. Что и требовалось доказать.

№ 6. Известно, что a – b = 6, ab = 5. Найдите значение выражения (a + b)².
Указание к решению: a – b = 6; ab = 5; (а + b)² = ?
(а + b)² = (а – b)² + 4аb = 6² + 4 • 5 = 36 + 20 = 56.
ОТВЕТ: 56.

РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Разложите на множители: 1) 27x³ – y³;   2) 25a³ – ab²;   3) –3x² – 12x – 12;   4) 3ab – 15a + 12b – 60;   5) a⁴ – 625.

Открыть РЕШЕНИЕ задачи № 1

№ 2. Упростите выражение x(x – 1)(x – 1) – (x – 2)(x² + 2x + 4).

Открыть РЕШЕНИЕ задачи № 2

№ 3. Разложите на множители: 1) 7m – n + 49m² – n²;   2) 4x² – 4xy + y² – 16;   3) xy⁴ – 2y⁴ – xy + 2y;   4) 9 – x² – 2xy – y².

Открыть РЕШЕНИЕ задачи № 3

№ 4. Решите уравнение: 1) 5x³ – 5x = 0; 2) 64x³ – 16x² + x = 0; 3) x³ – 3x² – 4x + 12 = 0.

Открыть РЕШЕНИЕ задачи № 4

№ 5. Докажите, что значение выражения 4⁶ – 7³ делится нацело на 9.

Открыть РЕШЕНИЕ задачи № 5

№ 6. Известно, что a + b = 4, ab = –6. Найдите значение выражения (a – b)².

Открыть РЕШЕНИЕ задачи № 6

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 5 Варианты 1-2 из 4-х вариантов. Контрольная работа по алгебре в 7 классе «Сумма и разность кубов двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Смотрите также варианты 3 и 4 контрольной работы № 5 тут:

К-5 Варианты 3-4