Геометрия 8 Контрольная 4 (Мерзляк)

Геометрия 8 Контрольная 4 (Мерзляк) + Ответы и решения (варианты 1, 2). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольная работа № 4 (В-1, В-2)

Тема: Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

КР-4 Варианты 1-2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Справочный материал по теме:

• Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу.
• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: h² = c_a • c_b.
• Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: a² = c • c_a; b² = c • c_b.
• Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с² = a² + b².
• Теорема о высоте прямоугольного треугольника. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
  

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

ОТВЕТЫ и решения на Вариант 1

№ 1. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а его проекция на гипотенузу – 8 см. Найдите гипотенузу треугольника.
ОТВЕТ: 12,5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: ∠C = 90°, ∠H = 90° (т.к CH — высота △ABC), CB = 10 (см), HB = 8 (см).
Найти: AB — ?

Решение: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
b² = c • c_b  ⇒  CB² = AB * HB;
AB = CB² / HB = 10² : 8 = 12,5 (см)

№ 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 20 см и 21 см. Найдите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 70 см.

Дано: △АВС, а = 20 см, b = 21 см, ∠C = 90°.
Найти: Р = ?
Решение: По теореме Пифагора найдем гипотенузу:
c² = a² + b² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.
c = √841 = 29 (см)
Р = a + b + c = 20 + 21 + 29 = 70 (см).

№ 3. Сторона ромба равна 3√5 см, а одна из диагоналей – 12 см. Найдите вторую диагональ ромба.
ОТВЕТ: 6 см.

Решение: Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения О делятся пополам. Значит АО = АС/2 = 12 : 2 = 6 (см). По теореме Пифагора получим: DO² = AD² — AO² = (3√5)² — 6² = 45 — 36 = 9. Следовательно, DO = √9 = 3 (см). Отсюда DB = 2 • DO = 6 (см).

№ 4. Основания равнобокой трапеции равны 33 см и 51 см, а её диагональ – 58 см. Найдите боковую сторону трапеции.
ОТВЕТ: 41 см.
Решение:

№ 5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 11 см и 16 см. Найдите проекции данных наклонных, если одна из проекций на 9 см меньше другой.
ОТВЕТ: 3 см, 12 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

АВ = 11 см и АС = 16 см — наклонные к прямой а,
АН — перпендикуляр к прямой а, тогда
ВН и СН — проекции соответствующих наклонных.
Большей наклонной соответствует большая проекция.
Пусть ВН = х см, тогда СН = (х + 9) см.
Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим АН:
АН² = АВ² — ВН²
АН² = 11² — x² = 121 — x²
И выразим АН по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСН:
AH² = AC² — CH²
AH² = 16² — (x + 9)² = 256 — (x² + 18x + 81) =
= 256 — x² — 18x — 81 = 175 — x²- 18х
Приравняем правые части получившихся равенств:
121 — x² = 175 — x²- 18х
18x = 54
x = 3
ВН = 3 см
СН = 3 + 9 = 12 см

№ 6. Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 18 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
ОТВЕТ: 6 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 Дано: ABCD — трапеция (AD ║ BC, AB = CD), ∠ABD = ∠ACD = 90°, BC = 14 см, AD = 18 см.
Найти: AB — ?
Решение:

1) ΔAOD подобен ΔCOB (1-й признак подобия, по 2-м углам: ∠ВОС = ∠AOD — вертикальные, ∠ВСО = ∠OAD и ∠СВО = ODA — внутренние накрест лежащие), причем коэффициент подобия равен AD / BC = 18 / 14 = 9 / 7.
2) ΔАВО и ΔOCD равные (2-й признак равенства: AB = CD и ∠ABD = ∠ACD — по условию, ∠ВОА = ∠COD — вертикальные => ∠ВАО = ∠CDO), следовательно, BO = OC и AO = OD, то есть треугольники ΔAOD и ΔCOB — равнобедренные!
3) Обозначим за х — коэффициент пропорциональности, тогда BO = 7x, AO = OD = 9x. Теперь рассмотрим ΔABO (∠ABO=90°) и ΔABD (∠ABD=90°) — применяем к ним теорему Пифагора:
AO² = AB² + BO²; 81x² = AB² + 49x²; AB² = 32x² (*); AB = 4x√2
AD² = AB² + BD²; 324 = AB² + (7x + 9x)²; AB² = 324 — 256x² (**)
Приравнивая правые части (*) и (**) получаем: 32x² = 324 — 256x²
288x² = 324
x² = 324 ÷ 288
x² = 9/8; x = 3/(2√2)
AB = 4x√2 = 4·3·√2 / (2√2) = 6 (см) 

 

ОТВЕТЫ и решения на Вариант 2

№ 1. Катет прямоугольного треугольника равен 16 см, а гипотенуза – 20 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.
ОТВЕТ: 12,8 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: ∠C = 90°, ∠H = 90° (т.к CH — высота △ABC), CB = 16 (см), АB = 20 (см).
Найти: HB — ?

Решение: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
b² = c • c_b  ⇒  CB² = AB * HB;
HB = CB² / AB = 16² : 20 = 12,8 (см)

№ 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 41 см, а один из катетов – 9 см. Найдите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 90 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

  Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 41 см, ВС = 9 см.
Найти: АС — ?

Решение: По теореме Пифагора найдем второй катет:
AB² = AC² + BC²
AC² = AB² – BC²
AC = √[AB² – BC²]
Воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов»:
AC = √[41² – 9²] = √[(41 – 9)(41 + 9)] = √[32 • 50] = √[16 • 2 • 25 • 2] = 4 • 5 • 2 = 40 (см);
P_abc = AB + AC + BC = 41 + 40 + 9 = 90 (см).

№ 3. Диагонали ромба равны 16 см и 8 см. Найдите сторону ромба.
ОТВЕТ: 4√5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Обозначим вершины ромба –  А, В, С, D. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения О делятся пополам, поэтому АО = ОС = 16/2 = 8 см, BO = OD = 8/2 = 4 см.
Из прямоугольного △АОВ по теореме Пифагора:
АВ = √(АО² + ВО²) = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5 (см).

№ 4. Основания равнобокой трапеции равны 21 см и 11 см, а боковая сторона – 13 см. Найдите диагональ трапеции.
ОТВЕТ: 20 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Трапеция равнобокая. Значит, АВ = СD = 13 см,
АН = Н1D = (АD – ВC)/2 = (21–11)/2 = 5 см.
Из △АВН по т.Пифагора : ВH² = АB² – АH² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144
ВН = √144 = 12 (см)
Из △ВDН по т.Пифагора : ВD² = ВH² + НD² = ВН² + (АD – АН)² = 12² + (21 – 5)² = 144 + 16² = 144 + 256 = 400
ВD = √400 = 20 (см).

№ 5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 15 см и 6 см. Найдите данные наклонные, если одна из них на 7 см больше другой.
ОТВЕТ: 10 см, 17 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Обозначим: х – наклонная, у – наклонная, тогда у = х+7, h – высота от точки до прямой.
h = √x² – 6², и h = √(x+7)² – 15²
(√х² – 6) = (√(х+7)² – 15²)), возведем обе части ур–я в квадрат
х² – 6² = (х+7)² – 15²
х² – 36 = х² + 14х + 49 – 225
14х = 140
х = 10 (см)
у = 10 + 7 = 17 (см).

№ 6. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
ОТВЕТ: 6 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: АВСД – трапеция, АВ = СД, ВС = 5 см, АД = 13 см, ∠АВД = ∠АСД = 90°.
Найти: АВ и ВН – ?
Решение: Проведем высоты ВН и СК.
Тогда КН = ВС = 5 см, АН = КД = (13 – 5) : 2 = 4 см.
Рассмотрим ΔАВД – прямоугольный. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ВН² = АН • ДН.
ДН = КН + КД = 5 + 4 = 9.
ВН² = 4 * 9 = 36; ВН = √36 = 6 (см).

 

---

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 4 В12 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора» (варианты 1, 2) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

Ещё 2 варианта контрольной № 4 из Дидактики

Вернуться к Списку работ из Методички (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.