Геометрия 8 Контрольная 4 В34 (Мерзляк)

Контрольная работа по геометрии 8 класс с ответами и решениями «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора» (варианты 3, 4) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Геометрия 8 Контрольная 4 В34 Методическое пособие + Ответы и решения.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-4 Варианты 1-2

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Контрольная работа № 4 (В-3, В-4)

Геометрия 8 класс (УМК Мерзляк)
Тема: Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

КР-4 Варианты 3-4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Справочный материал по теме:

• Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу.
• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: h² = c_a • c_b.
• Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: a² = c • c_a; b² = c • c_b.
• Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с² = a² + b².
• Теорема о высоте прямоугольного треугольника. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
  

 

ОТВЕТЫ и решения на Вариант 3

№ 1. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу – 10 см. Найдите гипотенузу треугольника.
ОТВЕТ: 14,4 см.
Решение: квадрат катета (b) равен произведению гипотенузы (c) и проекции этого катета на гипотенузу (c_b):
b² = c • c_b  ⇒  c = b² / c_b = 12² : 10 = 14,4 (см).

№ 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 60 см.
Решение: в прямоугольном △АВС по теореме Пифагора определим длину гипотенузы АВ:
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 225 + 400 = 625
AB = √625 = 25 (см)
Определим периметр треугольника:
Равс = АВ + АС + ВС = 25 + 15 + 20 = 60 (см)

№ 3. Сторона ромба равна – √34 см, а одна из диагоналей – 6 см. Найдите вторую диагональ ромба.
ОТВЕТ: 10 см.
Решение: обозначим вершины ромба – А, В, С, D. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения О делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Тогда ОВ = ОD = ВD/2 = 6/2 = 3 см, а треугольники АОВ, ВОС, СОD и АОD —  прямоугольные. В прямоугольном треугольнике АОВ, по теореме Пифагора, AO^2 = AB^ – BO^2 = 34 – 9 = 25. AO = √25 = 5 см. Тогда АС = 2 • АО = 2 • 5 = 10 см.

№ 4. Основания равнобокой трапеции равны 6 см и 34 см, а диагональ – 52 см. Найдите боковую сторону трапеции.
ОТВЕТ: 50 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 25 см и 17 см. Найдите проекции данных наклонных, если их длины относятся как 5 : 2.
ОТВЕТ: 8 см, 20 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Выразим отношение как 5х : 2х, тогда проекции будут равны 5х и 2х. Перпендикуляр из точки напрямую можно выразить по т. Пифагора из двух треугольников с общим катетом (высотой).
h² = 25² – (5x)²,
h² = 17² – (2х)²,
625 – 25х² = 289 – 4х²,
21х² = 336,
х = 4  ⇒  5х = 20 см  ⇒  2х = 8 см.

№ 6. Найдите диагональ равнобокой трапеции, основания которой равны 20 см и 12 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
ОТВЕТ: 8√5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: обозначим нижнее основание a, верхнее основание b, диагональ d, боковую сторону с. По формуле диагонали равнобокой трапеции d² = c² + ab, так как диагональ ⊥ боковой стороне то треугольник ACD прямоугольный к нему можно применить теорему Пифагора (квадрат гипотенузы = сумме квадратов катетов) катеты c и d, гипотенуза a, по теореме Пифагора a² = с² + d² объединим эти уравнения в систему:
{ d² = c² + ab
{ a² = с² + d²
выразим с² из обоих уравнений
с² = d² – ab
c² = a² – d²
приравняем правые части
d² – ab = a² – d²;
2d² = a² + ab;
d² = (a² + ab)/2 = (20² + 20 • 12)/2 = (400 + 240)/2 = 320
d = √320 = √(64 • 5) = 8√5 (см). 

Геометрия 8 Контрольная 4 в34

ОТВЕТЫ и решения на Вариант 4

№ 1. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза – 9 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.
ОТВЕТ: 4 см.

Решение: квадрат катета (b) равен произведению гипотенузы (c) и проекции этого катета на гипотенузу (c_b):
b² = c • c_b  ⇒ CA² = AB * AH;
AH = CA² / AB = 6² : 9 = 4 (см).

№ 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 37 см, а один из катетов – 35 см. Найдите периметр треугольника.
ОТВЕТ: 84 см.
Решение: по т. Пифагора второй катет равен √(37² – 35²) = √(2·72) = 12 см. Тогда периметр треугольника (сумма его трех сторон) равен : 37 + 35 + 12 = 84 см.

№ 3. Диагонали ромба равны 4 см и 20 см. Найдите сторону ромба.
ОТВЕТ: 2√26 см.

Решение: обозначим вершины ромба – А, В, С, D. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения О делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Тогда в прямоугольном треугольнике АВО : катеты АО = 10 см, ВО = 2 см  =>  гипотенуза АВ = √(10² – 2²) = 2√26 см.

№ 4. Основания равнобокой трапеции равны 18 см и 30 см, а её боковая сторона – 2√34 см. Найдите диагональ трапеции.
ОТВЕТ: 26 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: Проведем из вершин В и С высоты так, что ВН⊥AD СК⊥АD.
Треугольники АВН = СКD, ВН = КД = (30–18)/2 = 6
АК = 30 – 6 = 24
из △СКД СК = √[136 – 36] = 10 (см)
из △АСК АС = √[576 + 100] = 26 (см).

№ 5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 12 см и 30 см. Найдите данные наклонные, если их длины относятся как 10 : 17.
ОТВЕТ: 20 см, 34 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: Пусть меньшая из наклонных будет равняться выражению 10m.
Тогда, в соответствии с условием, другую наклонную можно записать в виде 17m.
Так как по условию нам известны длины их проекции, то возможно записать равенство, частями которого будут два уравнения по теореме Пифагора: (10m)² – 12² = (17m)² – 30²;
100m² – 144 = 289m² – 900;
189m² = 756;
m² = 4; m₁ = 2; m₂ = –2 (не подходит по условию);
2 • 10 = 20 см (первая наклонная)
2 • 17 = 34 см (вторая наклонная).

№ 6. Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
ОТВЕТ: 15 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано : СКМТ – трапеция, СК = МТ, СМ⊥МТ, КТ⊥КС, КМ = 7 см, СТ = 25 см.
Найти Р(СКМТ).
Решение: Проведем высоты КН и МЕ.
КМЕН – прямоугольник, поэтому ЕН = МК = 7 см.
ΔСКН = ΔТМЕ по гипотенузе и острому углу, поэтому и СН = ТЕ = (25 – 7) : 2 = 9 см.
СЕ = СН + ЕН = 9 + 7 = 16 см.
По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, МЕ = √(СЕ • ЕТ) = √(16 • 9) = 4 • 3 = 12 см.
Рассмотрим ΔЕМТ, по теореме Пифагора МТ = √(МЕ² + ЕТ²) = √(144 + 81) = √225 = 15 см.

 

---

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 4 В34 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора» (варианты 3, 4) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-4 Варианты 1-2

Ещё 2 варианта контрольной работы № 4 (с ответами)

Вернуться к Списку работ из Методички (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.