Геометрия 10 Контрольная 2 Мерзляк

Контрольная работа # 2 по геометрии в 10 классе с ответами (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» Варианты 1-2 из 4-х для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 Мерзляк.

Геометрия 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2

Тема: Параллельность в пространстве

Вариант 1 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Точки M, N, P и Q — середины отрезков BC, BD, AD и AC соответственно, AB = 14 см, CD = 18 см (рис. 9). Определите вид четырёхугольника MNPQ и вычислите его периметр.
ОТВЕТ: 1) параллелограмм, 2) Р = 32 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Плоскость а пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно и параллельна стороне AC, MK = 4 см, MB : MА = 2 : 3. Найдите сторону AC треугольника.
ОТВЕТ: АС = 10 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 10). Постройте изображение высоты треугольника, опущенной на сторону A₁C₁.
Пояснение: так как A₁B₁C₁ – правильный треугольник, то высота, опущенная на А₁С₁, является медианой => высота делит сторону АС пополам.

№ 4. Плоскости а и b параллельны. Из точки M, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости a и b в точках А₁ и B₁, а другой — в точках А₂ и B₂ соответственно. Найдите отрезок В₁В₂, если он на 2 см больше отрезка А₁А₂, МВ₁ = 7 см, А₁B₁ = 4 см.
ОТВЕТ: В₁В₂ = 3,5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, являются параллельными проекциями трёх последовательных вершин правильного шестиугольника. Постройте изображение этого шестиугольника.
Подсказки к решению: Угол правильного шестиугольника = ∠В = 120°  ⇒  ∠АВН = ∠СВН = 60°.

 

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ПОСТРОЕНИЕ

 

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

Вариант 2 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Точки F, M, N и C — середины отрезков BS, DB, AD и AS соответственно, SD = 30 см, AB = 36 см (рис. 11). Определите вид четырёхугольника FMNC и вычислите его периметр.
Решение. В четырёхугольнике ASBD:
► F — середина BS, C — середина AS ⇒ FC — средняя линия ΔABS ⇒ FC ∥ AB и FC = AB/2 = 36/2 = 18 см.
► N — середина AD, M — середина DB ⇒ NM — средняя линия ΔADB ⇒ NM ∥ AB и NM = AB/2 = 18 см.
► F — середина BS, M — середина DB ⇒ FM — средняя линия ΔBSD ⇒ FM ∥ SD и FM = SD/2 = 30/2 = 15 см.
► C — середина AS, N — середина AD ⇒ CN — средняя линия ΔASD ⇒ CN ∥ SD и CN = SD/2 = 15 см.
Получили: FC ∥ NM (оба ∥ AB), FM ∥ CN (оба ∥ SD).
Противоположные стороны параллельны ⇒ FMNC — параллелограмм.
P = 2·(FM + FC) = 2·(15 + 18) = 66 см.
Ответ: FMNC — параллелограмм, P = 66 см.

№ 2. Плоскость β пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках N и D соответственно и параллельна стороне BC, AD = 6 см, DN : CB = 3 : 4. Найдите сторону AC треугольника.
Решение:
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми:
DN ∥ BC ⇒ ΔADN ∼ ΔACB.
Коэффициент подобия k = AD/AC = DN/CB.
Дано DN/CB = 3/4 ⇒ AD/AC = 3/4.
AD = 6 см ⇒ 6/AC = 3/4 ⇒ AC = 8 см.
Ответ: AC = 8 см.

№ 3. Треугольник MNK является изображением правильного треугольника M₁N₁K₁ (рис. 12). Постройте изображение биссектрисы треугольника, проведённой из вершины M₁.
Решение: В параллельной проекции правильного треугольника биссектриса, медиана и высота совпадают.
Построение:
1) Провести отрезок от вершины M к середине стороны NK (если N, K изображены так, что NK — сторона).
2) В изображении не сохраняются углы, но сохраняется простое отношение: медиана из M делит сторону NK пополам. Строим середину отрезка NK — точку P. Проводим MP — это изображение биссектрисы.
Ответ: (рисунок) MP, где P — середина NK.

№ 4. Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках А₁ и B₁, а другая — в точках А₂ и B₂ соответственно. Найдите отрезок А₁А₂, если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂, MA₂ = 4 см, А₂B₂ = 10 см.
Ответ: A₁A₂ = 2 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

№ 5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин квадрата и его центра. Постройте изображение квадрата.
Решение:
1) O — проекция центра квадрата, значит, в оригинале O — середина диагоналей.
2) A и B — проекции двух вершин. Если A и B — соседние вершины, то центр — пересечение диагоналей, не середина AB. Если A и B — противоположные вершины, то O — середина AB.
Поскольку A, B, O не лежат на одной прямой, они не могут быть проекциями двух противоположных вершин и центра, иначе O лежал бы на AB. Значит, A и B — соседние вершины.
Построение:
─ Найти середину отрезка AB — это не центр, а проекция середины стороны.
─ Центр O лежит на прямой, проходящей через середину AB и перпендикулярной AB в оригинале, но в проекции направление перпендикуляра задаётся параллельным проектированием.
─ Зная O, можно построить диагонали: AO и BO продолжить за O на такую же длину, получим вершины C и D.
─ Проверить: в квадрате диагонали равны и в параллельной проекции сохраняется отношение длин на прямой, поэтому откладываем OA’ = AO по прямой AO, получаем вершину C; OB’ = BO по прямой BO, получаем вершину D.
─ Соединяем A, B, C, D — параллелограмм (в проекции — параллелограмм, в оригинале — квадрат).
Ответ: Квадрат строится как параллелограмм ABCD, где O — пересечение диагоналей, OA = OC, OB = OD, и AB — одна сторона.

 

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 Мерзляк.

Смотреть аналогичную контрольную № 2 с решениями (2 варианта)

Вернуться к Списку контрольных работ (по 2 варианта)

 

(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.