Мерзляк 8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4 с ответами

Мерзляк 8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4. Контрольная работа по алгебре в 8 классе по теме «Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Методическое пособие (4 варианта).

СОДЕРЖАНИЕ (быстрый переход) Скрыть

Алгебра 8 класс (УМК Мерзляк) Контрольная № 1

КР-1 Вариант 3 (задания)

КР-1 Вариант 4 (задания)

Ответы на Вариант 3

Ответы на Вариант 4

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 8 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 1

по теме «Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей»

КР-1 Вариант 3 (задания)

Мерзляк 8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4

КР-1 Вариант 4 (задания)

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-1 Варианты 1-2

8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4

Ответы на Вариант 3

№ 1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение 3/(y + 7) ?
ОТВЕТ: Выражение имеет смысл при любом y, кроме у = –7.

№ 2. Сократите дробь:
1) 15x⁷y⁵ / 55x⁴y⁶; 2) (18ab – 6b) / 6ab;
3) (a² – 1) / (3a + 3); 4) (x² – 16x + 64) / (64 – x²).
ОТВЕТ: 1) 3x³/11y; 2) (3a – 1)/a; 3) (a – 1)/3; 4) (8 – x)/(8 + x).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) (15x^7y^5)/(55x^4y^6)
Числитель и знаменатель делим на 5: (3x^7y^5)/(11x^4y^6)
Сокращаем x^7 / x^4 = x^3 , y^5 / y^6 = y^{─1} = 1/y
Получаем (3x^3)/11y
2) (18ab ─ 6b)/6ab
В числителе выносим 6b : 6b(3a ─ 1)
Дробь: (6b(3a ─ 1))/6ab
Сокращаем 6b с 6ab остается (3a ─ 1)/a
3) (a^2 ─ 1)/(3a + 3)
Числитель: a^2 ─ 1 = (a ─ 1)(a + 1)
Знаменатель: 3(a + 1)
Сокращаем на (a + 1) получаем (a ─ 1)/3
4) (x^2 ─ 16x + 64)/(64 ─ x^2)
Числитель: x^2 ─ 16x + 64 = (x ─ 8)^2
Знаменатель: 64 ─ x^2 = (8 ─ x)(8 + x)
Заметим: (x ─ 8)^2 = (8 ─ x)^2
Сокращаем одну скобку (8 ─ x) остается (8 ─ x)/(8 + x)

№ 3. Выполните вычитание:
1) (a – 5)/5a³ – (1 – a)/a⁴; 2) 9/a – 18/(a² + 2a);
3) x²/(x² — 49) – x/(x + 7); 4) 7b – 21b²/(3b + 4).
ОТВЕТ: 1) (a² – 5)/5a⁴; 2) 9/(a + 2); 3) 7x/(x² – 49); 4) 28b/(3b + 4).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) (a ─ 5)/(5a^3) ─ (1 ─ a)/(a^4)
Общий знаменатель 5a^4 :
((a ─ 5)a)/(5a^4) ─ (5(1 ─ a))/(5a^4) = (a^2 ─ 5a ─ 5 + 5a)/(5a^4) = (a^2 ─ 5)/(5a^4)
2) 9/a ─ 18/(a^2 + 2a)
Знаменатель второй дроби: a(a + 2)
Общий знаменатель a(a + 2) :
(9(a + 2))/(a(a + 2)) ─ 18/(a(a + 2)) = (9a + 18 ─ 18)/(a(a + 2)) = 9a/(a(a + 2)) = 9/(a + 2)
3) (x^2) / (x^2 – 49) – x/(x + 7)
Заметим, что x^2 – 49 — это разность квадратов:
x^2 – 49 = (x – 7)(x + 7)
Теперь выражение принимает вид:
(x^2) / ((x – 7)(x + 7)) – x/(x + 7)
Общий знаменатель для обеих дробей — (x – 7)(x + 7).
Вторая дробь уже имеет знаменатель x + 7. Чтобы получить общий знаменатель, умножим её числитель и знаменатель на (x – 7):
x / (x + 7) = (x • (x – 7)) / ((x + 7)(x – 7)) = (x(x – 7)) / ((x – 7)(x + 7))
Запишем выражение с общим знаменателем
(x^2) / ((x – 7)(x + 7)) – (x(x – 7)) / ((x – 7)(x + 7))
Так как знаменатели одинаковые, вычитаем числители:
(x^2 – x(x – 7)) / ((x – 7)(x + 7))
Раскроем скобки в числителе:
x^2 – x(x – 7) = x^2 – x^2 + 7x = 7x
7x / ((x – 7)(x + 7))
Или, если вернуться к разности квадратов…
Ответ: 7x / (x^2 – 49)
4) 7b ─ (21b^2)/(3b + 4)
Приводим к общему знаменателю 3b + 4 :
(7b(3b + 4) ─ 21b^2)/(3b + 4) = (21b^2 + 28b ─ 21b^2)/(3b + 4) = 28b/(3b + 4)

№ 4. Упростите выражение:
1) (a–18)/(2a–12) – (a–6)/(2a+12) + 50/(a²–36);
2) (6c³ + 3c)/(c³ – 1) – (3c²)/(c² + c + 1).
ОТВЕТ: 1) 22/(36 – a²); 2) 3c/(c – 1).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) (a ─ 18)/(2a ─ 12) ─ (a ─ 6)/(2a + 12) + 50/(a^2 ─ 36)
Знаменатели: 2a ─ 12 = 2(a ─ 6) , 2a + 12 = 2(a + 6) , a^2 ─ 36 = (a ─ 6)(a + 6)
Общий знаменатель 2(a ─ 6)(a + 6) :
Первая дробь: (a ─ 18)/(2(a ─ 6)) = (a ─ 18)(a + 6)/(2(a ─ 6)(a + 6))
Вторая дробь: (a ─ 6)/(2(a + 6)) = ((a ─ 6)^2)/(2(a ─ 6)(a + 6))
Третья дробь: 50/(a ─ 6)(a + 6) = 100/(2(a ─ 6)(a + 6))
Числитель: (a ─ 18)(a + 6) ─ (a ─ 6)^2 + 100
= a^2 + 6a ─ 18a ─ 108 ─ (a^2 ─ 12a + 36) + 100
= a^2 ─ 12a ─ 108 ─ a^2 + 12a ─ 36 + 100
= (─108 ─ 36 + 100) = ─44
Итого: (─44)/(2(a^2 ─ 36)) = (─22)/(a^2 ─ 36)
Можно записать как 22/(36 ─ a^2).
2) (6c^3 + 3c)/(c^3 ─ 1) ─ (3c^2)/(c^2 + c + 1)
Знаменатель первой дроби: c^3 ─ 1 = (c ─ 1)(c^2 + c + 1)
Числитель первой дроби: 3c(2c^2 + 1) — но лучше поделить числитель на знаменатель?
Проверим иначе: приведём к общему знаменателю (c ─ 1)(c^2 + c + 1) :
Первая дробь: (6c^3 + 3c)/(c ─ 1)(c^2 + c + 1)
Вторая дробь: (3c^2)/(c^2 + c + 1) = (3c^2(c ─ 1))/(c ─ 1)(c^2 + c + 1)
Числитель: 6c^3 + 3c ─ 3c^2(c ─ 1) = 6c^3 + 3c ─ 3c^3 + 3c^2
= 3c^3 + 3c^2 + 3c = 3c(c^2 + c + 1)
Делим на знаменатель: (3c(c^2 + c + 1))/(c ─ 1)(c^2 + c + 1) = 3c/(c ─ 1).

№ 5. Известно, что (m + 3n)/n = 2. Найдите значение выражения: 1) m/n; 2) (m – 5n)/m.
ОТВЕТ: 1) m/n = –1; 2) 6.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) Найдём m/n. Дано: (m + 3n)/n = 2
Разделим почленно дробь:
m/n + 3n/n = 2
m/n + 3 = 2
m/n = 2 – 3
m/n = – 1
2) Найдём (m – 5n)/m. Мы уже знаем m/n = – 1 , значит m = –n.
Преобразуем искомое выражение:
(m – 5n)/m = m/m – 5n/m = 1 – 5 • n/m
Но n/m = 1/(m/n) = 1/(– 1) = – 1.
Подставляем: – 5 • (– 1) = 1 + 5 = 6.

№ 6. Постройте график функции у = (2x² + 5x)/x – (x² – 9)/(x – 3).
ОТВЕТ: y = x + 2; x ≠ 0; x ≠ 3.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 6 в тетради

8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4

Ответы на Вариант 4

№ 1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение 5/(x – 2) ?
ОТВЕТ: Выражение имеет смысл при любом x, кроме х = 2.

№ 2. Сократите дробь:
1) 26a⁵b⁸ / 39a⁷b⁴; 2) (10mn – 25n) / 5mn;
3) (x² – 16)/(2x + 8); 4) (x² – 18x + 81)/(81 – x²).
ОТВЕТ: 1) 2b⁴/3a²; 2) (2m – 5)/m; 3) (x – 4)/2; 4) (9 – x)/(9 + x).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) 26a⁵b⁸ / 39a⁷b⁴
Сокращаем числовые коэффициенты: 26/39 = 2/3.
Сокращаем степени a: a⁵ / a⁷ = 1 / a².
Сокращаем степени b: b⁸ / b⁴ = b⁴.
Результат: (2b⁴) / (3a²).
2) (10mn – 25n) / 5mn
В числителе выносим общий множитель 5n: 5n(2m ─ 5).
Получаем: [5n(2m ─ 5)] / (5mn).
Сокращаем 5 и n: (2m ─ 5) / m.
3) (x² ─ 16)/(2x + 8)
Числитель: x² ─ 16 = (x ─ 4)(x + 4).
Знаменатель: 2x + 8 = 2(x + 4).
Сокращаем на (x + 4): (x ─ 4) / 2.
4) (x² – 18x + 81)/(81 – x²)
Числитель: x² ─ 18x + 81 = (x ─ 9)².
Знаменатель: 81 – x² = (9 ─ x)(9 + x) = ─(x ─ 9)(9 + x).
Сокращаем (x ─ 9)² и ─(x ─ 9)(9 + x).
Остается: (x ─ 9) / [─(9 + x)] = (9 ─ x) / (9 + x).

№ 3. Выполните вычитание:
1) (3 – 2y)/y² – (y – 12)/6y; 2) 20/(a² + 5a) – 4/a;
3) y/(y – 10) – y²/(y² – 100); 4) 12c²/(2c – 3) – 6c.
ОТВЕТ: 1) (18 – y²)/6y²; 2) –4/(a + 5); 3) 10y/(y² – 100); 4) 18c/(2c – 3).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) (3 – 2y)/y² – (y – 12)/6y
Находим общий знаменатель: 6y².
Приводим дроби:
Первая дробь: (3 – 2y)/y² = (6(3 – 2y)) / 6y² = (18 – 12y) / 6y².
Вторая дробь: (y – 12)/6y = (y(y – 12)) / 6y² = (y² – 12y) / 6y².
Вычитаем: [(18 – 12y) ─ (y² – 12y)] / 6y² = (18 – 12y – y² + 12y) / 6y² = (18 – y²) / 6y².
2) 20/(a² + 5a) – 4/a
Разложим знаменатель первой дроби: a² + 5a = a(a + 5).
Общий знаменатель: a(a + 5).
Приводим дроби:
Первая дробь: 20/(a(a+5)).
Вторая дробь: 4/a = (4(a+5)) / (a(a+5)) = (4a + 20) / (a(a+5)).
Вычитаем: [20 ─ (4a + 20)] / (a(a+5)) = (20 ─ 4a ─ 20) / (a(a+5)) = (─4a) / (a(a+5)).
Сокращаем на a, получаем ─4/(a+5).
3) y/(y ─ 10) – y²/(y² ─ 100)
Разложим знаменатель второй дроби: y² ─ 100 = (y ─ 10)(y + 10).
Общий знаменатель: (y ─ 10)(y + 10).
Приводим дроби:
Первая дробь: y/(y─10) = (y(y+10)) / ((y─10)(y+10)) = (y² + 10y) / ((y─10)(y+10)).
Вторая дробь: y²/((y─10)(y+10)).
Вычитаем: [(y² + 10y) ─ y²] / ((y─10)(y+10)) = (10y) / ((y─10)(y+10)) = 10y/(y² ─ 100).
4) 12c²/(2c ─ 3) – 6c
Представим 6c как дробь со знаменателем 1: 6c/1.
Общий знаменатель: (2c ─ 3).
Вторая дробь: (6c(2c ─ 3)) / (2c ─ 3) = (12c² ─ 18c) / (2c ─ 3).
Вычитаем из первой дроби: [12c² ─ (12c² ─ 18c)] / (2c ─ 3) = (12c² ─ 12c² + 18c) / (2c ─ 3) = (18c) / (2c ─ 3).

№ 4. Упростите выражение:
1) (a – 15)/(4a – 20) – (a – 5)/(4a + 20) + 30/(a² – 25);
2) (8a³ + 100a)/(a³ + 125) – (4a²)/(a² – 5a + 25).
ОТВЕТ: 1) 5/(a² – 25); 2) 4a/(a + 5).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) (a – 15)/(4a – 20) – (a – 5)/(4a + 20) + 30/(a² – 25)
Разложим знаменатели:
4a ─ 20 = 4(a ─ 5)
4a + 20 = 4(a + 5)
a² ─ 25 = (a ─ 5)(a + 5)
Общий знаменатель: 4(a ─ 5)(a + 5).
Приведем каждую дробь:
1. (a – 15)/(4(a ─ 5)) = ((a – 15)(a + 5)) / (4(a ─ 5)(a + 5))
2. (a – 5)/(4(a + 5)) = ((a – 5)(a ─ 5)) / (4(a ─ 5)(a + 5)) = ((a – 5)²) / (4(a ─ 5)(a + 5))
3. 30/((a ─ 5)(a + 5)) = (30 * 4) / (4(a ─ 5)(a + 5)) = 120 / (4(a ─ 5)(a + 5))
Записываем выражение:
[ (a – 15)(a + 5) ─ (a – 5)² + 120 ] / [4(a ─ 5)(a + 5)]
Упростим числитель:
(a² + 5a ─ 15a ─ 75) ─ (a² ─ 10a + 25) + 120 = (a² ─ 10a ─ 75) ─ a² + 10a ─ 25 + 120.
a² и ─a² уничтожаются. ─10a и +10a уничтожаются.
Остается: ─75 ─ 25 + 120 = ─100 + 120 = 20.
Получаем: 20 / [4(a ─ 5)(a + 5)] = 5 / [(a ─ 5)(a + 5)] = 5/(a² ─ 25).
2) (8a³ + 100a)/(a³ + 125) ─ (4a²)/(a² – 5a + 25)
Разложим знаменатели и числители.
Числитель первой дроби: 8a³ + 100a = 4a(2a² + 25).
Знаменатель первой дроби: a³ + 125 = a³ + 5³ = (a + 5)(a² ─ 5a + 25).
Знаменатель второй дроби: a² – 5a + 25 (остаётся как есть).
Общий знаменатель: (a + 5)(a² ─ 5a + 25).
Приведем дроби:
1. (4a(2a² + 25)) / ((a+5)(a²─5a+25))
2. (4a²)/(a²─5a+25) = (4a²(a+5)) / ((a+5)(a²─5a+25))
Вычитаем: [4a(2a² + 25) ─ 4a²(a+5)] / [(a+5)(a²─5a+25)].
Упростим числитель: Вынесем 4a за скобку.
4a [ (2a² + 25) ─ a(a+5) ] = 4a [ 2a² + 25 ─ a² ─ 5a ] = 4a [ a² ─ 5a + 25 ].
Теперь дробь имеет вид: [4a (a² ─ 5a + 25)] / [(a+5)(a²─5a+25)].
Сокращаем на (a² ─ 5a + 25) и получаем 4a / (a+5).

№ 5. Известно, что (k – 2p)/p = 3. Найдите значение выражения: 1) p/k; 2) (6p – 7k)/p.
ОТВЕТ: 1) p/k = 1/5; 2) –29.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Упростим данное условие: (k – 2p)/p = k/p ─ 2 = 3 → k/p = 3 + 2 = 5 → k/p = 5 → p/k = 1/5.
1) Ответ: p/k = 1/5.
2) Выразим (6p – 7k)/p = 6 ─ 7*(k/p). Мы знаем, что k/p = 5.
Подставляем: 6 ─ 7*5 = 6 ─ 35 = ─29.

№ 6. Постройте график функции у = (x² – 36)/(x + 6) – (3x² + 2x)/x.
ОТВЕТ: y = –2x – 8; x ≠ 0; x ≠ –6.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 6 в тетради

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4. Контрольная работа по математике в 8 классе «Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей» (варианты 3-4) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-1 Варианты 1-2

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Мерзляк 8 класс Контрольная 1 Варианты 3-4

Алгебра 8 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 1

КР-1 Вариант 3 (задания)

КР-1 Вариант 4 (задания)

Ответы на Вариант 3

Ответы на Вариант 4

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Добавить комментарий Отменить ответ