Геометрия 9 Контрольная 2 (Мерзляк)

Геометрия 9 Контрольная 2 В12 (Мерзляк) с ответами. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Правильные многоугольники» Варианты 1-2 из 4-х для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Методическое пособие для учителей и родителей.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2

Тема: Правильные многоугольники

К-2 Вариант 1 (задания)

К-2 Вариант 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

Справочная информация
для решения задач

 

Решения и ОТВЕТЫ:

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Найдите углы правильного сорокаугольника.
ОТВЕТ: 171°.
Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 40 угол равен 180° × 38/40 = 171°.

№ 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см.
ОТВЕТ: 4π√3 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник: r = S / p,
где S – площадь треугольника, p – полупериметр треугольника
Формула площади правильного треугольника:
S = (a² • √3) / 4, где a – сторона треугольника,
S = (12² • √3) / 4 = 36√3 (см)
Найдем периметр треугольника: Р = 12+12+12 = 36 (см),
соответственно полупериметр р = Р/2 = 36/2 = 18 (см).
Теперь можем найти радиус окружности, вписанной в треугольник: r = 36√3 / 18 = 2√3 (см).
Подставляем в формулу длины окружности:
С = 2πr = 2π • 2√3 = 4π√3 (см). 

№ 3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.
ОТВЕТ: (8√6)/3 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1) Квадрат вписан в окружность, следовательно диагональ квадрата DC – это диаметр окружности d (2R).
Подробней: поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой DС (диагональ квадрата).
2) сторона квадрата a = 8 см, значит диагональ квадрата DC = 8√2 см => диаметр d = 8√2 см => радиус окружности R = (8√2)/2 = 4√2 см.
Подробней: по условию а = 8см, подставляете в формулу т.Пифагора (d = √[a² + a²] = √[2a²] = a√2) и получите d = 8√2 см.
3) Дан правильный шестиугольник => △АОВ – равносторонний. Правильный шестиугольник описан около окружности => высота ОН (h) = радиусу окружности (R) = 4√2 см. Далее:

№ 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника – 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.
ОТВЕТ: 1) 2 см;  2) 3 стороны.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Сторона треугольника равна 6√3 см, а прилежащие к ней углы равны 40° и 80°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
ОТВЕТ: 8π/3 см, 16π/3 см, 4π см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Третий угол = 180 – 40 – 80 = 60⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 80⁰, 160⁰ и 120⁰.
Радиус описанной окр. R = (6√3) / (2 sin 60°) = (6√3) / (√3) = 6 см. Длина всей окружности l = 2πR = 12π (см)
Дуги:
1) (80/360)*12π = 8π/3 (см)
2) (160/360)*12π = 16π/3 (см)
3) (120/360)*12π = 4π (см)

№ 6. Углы правильного треугольника со стороной 6 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдите сторону образовавшегося шестиугольника.
ОТВЕТ:  2 см.
Подсказка: Так как отрезанные части углов — это тоже правильные треугольники, то их боковые стороны равны стороне правильного шестиугольника. Отсюда получаем, что сторона исходного треугольника разделена на 3 части. Следовательно, сторона образовавшегося шестиугольника равна 6/3 = 2 (см).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

---

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Найдите углы правильного сорокапятиугольника.
ОТВЕТ: 172°.
Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для n = 45 угол равен 180°×43/45 = 172°.

№ 2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.
ОТВЕТ: 75π см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
ОТВЕТ: 3√6 см (≈ 7,34847 см)
Решение: радиус окружности, около которой описан правильный треугольник, равен:
R = a/(2√3) = 18/(2√3) = 9/√3 = 3√3 (см).
Сторона квадрата, вписанного в эту окружность, равна:
а = R√2 = 3√3 * √2 = 3√6 (см).

№ 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника – 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.
ОТВЕТ: 1) 5√2 см;  2) 4 стороны.
Дано: r = 5 см; a_n = 10 см;
Найти: 1) R; 2) n – ?
Решение: 1) a_n = 2r tg (180°/n)
10 = 2 • 5 • tg (180°/n)  ⇒  1 = tg (180°/n).
По таблице находим 1 = tg 45°
==>  180°/n = 45°  ⇒  n = 4 (квадрат).
2) a_n = 2R sin (180°/n)
10 = 2R sin 45°  ⇒  R = 5/sin45° = 5•2/√2 = 5√2 (см).

№ 5. Сторона треугольника равна 8√2 см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 100°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
ОТВЕТ: 80π/9 см; 28π/9 см; 4π см.
Решение: Третий угол = 180 – 100 – 35 = 45⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 90⁰, 70⁰ и 200⁰.
Радиус описанной окр. R = (8√2)/(2sin45⁰) = (8√2)/√2 = 8 (см)
Длина всей окружности l = 2πR = 16π (см)
Дуги: (90/360)*16π = 4π (см)
(70/360)*16π = 28π/9 (см)
(200/360)*16π = 80π/9 (см).

№ 6. Углы квадрата со стороной 8 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону образовавшегося восьмиугольника.
ОТВЕТ: ≈ 3,3137 см.
Возможный вариант решения: Радиус вписанной окружности и для квадрата и для восьмиугольника = 4 см. Диагональ квадрата = 8√2 см. Половина диагонали квадрата (расстояние из центра вписанной окружности до угла квадрата) = 4√2 см. Срезанный уголок — это равнобедренный прямоугольный треугольник, высота которого = 4√2 — 4 (половина диагонали квадрата минус радиус окружности). Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна удвоенной высоте к гипотенузе, это и есть сторона образовавшегося восьмиугольника
х = 2 * (4√2 — 4) = 8√2 — 8 = 3,3137 (см)
Другой вариант решения: х = 8 / (√2 + 1) = 3,3137 (см) Смотри рисунок ниже.

---

 

 

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-2 Варианты 3-4

 

---

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 2 (Мерзляк) Варианты 1 и 2. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Методическое пособие.

Вернуться к Списку контрольных из Методички (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Смотреть похожие контрольные работы:

Контрольная №2 с ответами (2 варианта) УМК Мерзляк

Контрольная №4 с ответами (6 вариантов) УМК Атанасян

 

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.