Геометрия 9 Контрольная 5 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Геометрические преобразования» с ответами для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.
Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 5
Справочный материал по теме «Геометрические преобразования (Движения)»
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть СПРАВКУ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам M(–6; 8) и K(0; –2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) M1(–6; –8) и K1(0; 2); 2) M2(6; 8) и K2(0; 2); 3) M3(–6; 8) и K3(0; –2).
№ 2. Начертите треугольник ABC. Постройте образ треугольника ABC: 1) при параллельном переносе на вектор AB; 2) при симметрии относительно точки B; 3) при симметрии относительно прямой AC.
ОТВЕТ: 1) ВВ1С1; 2) ВВ1К; 3) АСМ.
№ 3. Точка A1 (x; – 4) является образом точки A (2; у) при гомотетии с центром H (1; –2) и коэффициентом k = –3. Найдите x и у.
ОТВЕТ: х = –2; у = –4/3.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC – в точке K. Найдите площадь трапеции AMKC, если BM = 4 см, AM = 8 см, а площадь треугольника MBK равна 5 см2.
ОТВЕТ: SAMKC = 40 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Параллельные отсекают от угла подобные треугольники (соответственные углы при параллельных равны).
MK||AC => MBK ~ ABC
Коэффициент подобия BМ/AB = ВМ/(ВМ+АМ) = 4/12 = 1/3.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
SMBK / SABC = (1/3)2 = 1/9.
SMBK = SABC • 9 = 5 • 9 = 45 (см2)
SAMKC = SMBK – SABC = 45 – 5 = 40 (см2)
№ 5. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой а, опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на эту прямую. Известно, что AA1 = 4 см, BB1 = 2 см, A1B1 = 3 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма AX + XB, где X – точка, принадлежащая прямой а?
ОТВЕТ: наименьшая сумма (AX + XB) = √20 + √5 ≈ 6,708.
Решение: Отметим точку В2 симметрично точке В относительно прямой а. Получим △ХВВ1 = △ХВ1В2, в том числе и XB2 = XB. Понятно, что сумма АХ + ХВ2 будет наименьшей, если точки А, Х и В2 лежат на одной прямой АВ2. При пересечении прямых а и АВ2 углы АХА1 и В1ХВ2 равны (как вертикальные). А так как ещё и прямые углы АА1Х и ХВ1В2 равны то, следовательно, треугольники АХА1 и В1ХВ2 подобны (по двум углам). Определим коэффициент подобия, AA1 : BB1 = 4 : 2 = 2 : 1. Получаем, что точка Х делит отрезок А1В1 в соотношении 2 к 1. Следовательно, А1Х = 2 см, ХВ1 = 1 см. Находим длины гипотенуз АХ и ХВ2:
АХ = √[A1A2 + A1X2] = √[42 + 22] = √20.
ХВ2 = √[B1X2 + B1B22] = √[12 + 22] = √5.
Отсюда AX + XB = АХ + ХВ2 = √20 + √5 ≈ 6,708.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть альтернативное РЕШЕНИЕ
Решение с помощью функции:
По условию у нас 2 прямоугольных треугольника – △АXА1 и △ВXВ1. Нужно найти наименьшую сумму гипотенуз АX (у △АXА1) и BX (у △ВXВ1). Обозначим катет ХА1 = х, тогда катет ХВ1 = 3–х, так как A1B1 = ХА1 + ХВ1 = 3 (см). По т.Пифагора выразим гипотенузы и подставим значения из условия:
АХ = √[AA12 + ХА12] = √[AA12 + x2] = √[42 + x2] = √[16 + x2],
BX = √[BB12 + ХВ12] = √[22 + (3–x)2] = √[4 + x2 –6x + 9] = √[x2 –6x + 13], AX + XB = √[16 + x2] + √[x2 –6x + 13].
Найдем наименьшее значение функции f(x) = √[16 + x2] + √[x2 –6x + 13] на отрезке от 0 до 3. Применяем необходимое и достаточное условия экстремума функции, находим точку локального (глобального) минимума функции. Для этого находим производную функции и приравниваем её к нулю:
Решаем и находим х = 2. Отсюда f(2) = 6,708. Мы нашли наименьшее значение суммы AX + XB. Для проверки вычислим значения функции на концах интервала: f(0) = 7,61; f(3) = 7. Проверим также построив график функции f(x) = √[16 + x2] + √[x2 –6x + 13]:
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам C(4; –3) и D(8; 0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) C1(–4; –3) и D1(–8; 0); 2) C2(4; 3) и D2(8; 0); 3) C3(–4; 3) и D3(–8; 0).
№ 2. Начертите треугольник DEF. Постройте образ треугольника DEF:
1) при параллельном переносе на вектор DF; 2) при симметрии относительно точки D; 3) при симметрии относительно прямой EF.
ОТВЕТ: 1) FE1F1; 2) DE2F2; 3) D1FE.
№ 3. Точка M1 (3; y) является образом точки M (x; –5) при гомотетии с центром H (2; 3) и коэффициентом k = 2. Найдите x и у.
ОТВЕТ: х = 2,5; y = –13. Решение: векторное равенство для данной гомотетии ЗМ1 = ЗМ * 2. Двойку пишем впереди 2 * ЗМ = ЗМ1.
Переходим к координатам.
{3–2; y–3} = 2 • {x–2 ; –5–3}
2 • (х–2) = 1, х = 2,5
у–3 = 2 • (–8), у = –13.
№ 4. Прямая, параллельная стороне MF треугольника MNF, пересекает его сторону MN в точке D, а сторону NF – в точке K. Найдите площадь трапеции MDKF, если DK = 9 см, MF = 27 см, а площадь треугольника MNF равна 72 см2.
ОТВЕТ: SMDKF = 64 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Из точек M и K, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой b, опущены перпендикуляры MM1 и KK1 на эту прямую. Известно, что MM1 = 5 см, KK1 = 3 см, M1K1 = 4 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма MX + XK, где X – точка, принадлежащая прямой b?
ОТВЕТ: МX + XК = √31,25 + √11,25 ≈ 8,94.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Отметим точку К2 симметрично точке К относительно прямой b. Получим △ХКК1 = △ХК1К2, в том числе и XК2 = XК. Понятно, что сумма МХ + ХК2 будет наименьшей, если точки М, Х и К2 лежат на одной прямой МК2. При пересечении прямых b и МК2 углы МХМ1 и К1ХК2 равны (как вертикальные). А так как по условию ещё и прямые углы ММ1Х и ХК1К2 равны то, следовательно, треугольники МХМ1 и К1ХК2 подобны (по двум углам). Определим коэффициент подобия, ММ1 : КК1 = 5 : 3. Получаем, что точка Х делит отрезок М1К1 в соотношении 5 к 3. Следовательно, М1Х = 2,5 см, ХК1 = 1,5 см. Находим длины гипотенуз МХ и ХК2:
МХ = √[М1М2 + М1X2] = √[52 + 2,52] = √31,25.
ХК2 = √[К1X2 + К1К22] = √[32 + 1,52] = √11,25.
Отсюда МX + XК = МХ + ХК2 = √31,25 + √11,25 ≈ 5,59 + 3,35 = 8,94.
ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам A(7; –9) и B(0; 6) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) A1(7; 9) и B1(0; –6); 2) A2(–7; 9) и B2(0; 6); 3) A3(–7; 9) и B3(0; –6).
№ 2. Начертите треугольник BCD. Постройте образ треугольника BCD: 1) при параллельном переносе на вектор CD; 2) при симметрии относительно точки B; 3) при симметрии относительно прямой BC.
ОТВЕТ: 1) DC1B1; 2) BKN; 3) BK1C.
№ 3. Точка C1 (x; – 8) является образом точки C (5; у) при гомотетии с центром H (–3; 1) и коэффициентом k = –1/4. Найдите x и у.
ОТВЕТ: x = 3; y = 5.
№ 4. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке F, а сторону BC – в точке D. Найдите площадь трапеции AFDB, если CD = 6 см, DB = 9 см, а площадь треугольника FCD равна 20 см2.
ОТВЕТ: SAFDB = 105 см2.
№ 5. Из точек C и D, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой с, опущены перпендикуляры CC1 и DD1 на эту прямую. Известно, что CC1 = 3 см, DD1 = 6 см, C1D1 = 2 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма CX + XD, где X – точка, принадлежащая прямой с?
ОТВЕТ: СX + XD = (√85 + √340) / 3 ≈ 9,22.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Отметим точку D2 симметрично точке D относительно прямой c. Получим △ХDD1 = △ХD1D2, в том числе и XD2 = XD. Понятно, что сумма СХ + ХD2 будет наименьшей, если точки С, Х и D2 лежат на одной прямой СD2. При пересечении прямых c и СD2 углы СХС1 и D1ХD2 равны (как вертикальные). А так как по условию ещё и прямые углы СС1Х и ХD1D2 равны то, следовательно, треугольники СХС1 и D1ХD2 подобны (по двум углам). Определим коэффициент подобия, СС1 : DD1 = 3 : 6. Получаем, что точка Х делит отрезок С1D1 в соотношении 3 к 6. Следовательно, С1Х = 2/3 см, ХD1 = 4/3 см. Находим длины гипотенуз СХ и ХD2:
СХ = √[С1С2 + С1X2] = √[32 + (2/3)2] = √[9 + 4/9] = √[85/9] = √85 / 3.
ХD2 = √[D1X2 + D1D22] = √[62 + (4/3)2] = √[36 + 16/9] = √[340/9] = √340 / 3.
Отсюда СX + XD = СХ + ХD2 = √85 / 3 + √340 / 3 ≈ 3,07 + 6,15 = 9,22.
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам E(9; –5) и F(–4; 0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.
ОТВЕТ: 1) E1(–9; –5) и F1(4; 0); 2) E2(9; 5) и F2(–4; 0); 3) E3(–9; 5) и F1(4; 0).
№ 2. Начертите треугольник MNK. Постройте образ треугольника MNK: 1) при параллельном переносе на вектор MK; 2) при симметрии относительно точки K; 3) при симметрии относительно прямой NK.
ОТВЕТ: 1) KPQ; 2) KDQ; 3) NKF.
№ 3. Точка B1 (–8; y) является образом точки B (x; 6) при гомотетии с центром H (–2; 1) и коэффициентом k = 1/3. Найдите x и у.
ОТВЕТ: x = 13; y = 4 3/4.
№ 4. Прямая, параллельная стороне DM треугольника DKM, пересекает его сторону DK в точке P, а сторону MK – в точке N. Найдите площадь трапеции DPNM, если KP = 8 см, PD = 20 см, а площадь треугольника DKM равна 98 см2.
ОТВЕТ: SDPNM = 1102,5 см2.
№ 5. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой m, опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на эту прямую. Известно, что AA1 = 2 см, BB1 = 8 см, A1B1 = 5 см. Какое наименьшее значение может принимать сумма AX + XB, где X – точка, принадлежащая прямой m?
ОТВЕТ: AX + XB = √5 + √80 ≈ 11,18.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Отметим точку B2 симметрично точке B относительно прямой m. Получим △ХВВ1 = △ХВ1В2, в том числе и XB2 = XB. Понятно, что сумма AХ + ХB2 будет наименьшей, если точки A, Х и B2 лежат на одной прямой AB2. При пересечении прямых m и AB2 углы AХA1 и B1ХB2 равны (как вертикальные). А так как по условию ещё и прямые углы AA1Х и ХB1B2 равны то, следовательно, треугольники AХA1 и B1ХB2 подобны (по двум углам). Определим коэффициент подобия, AA1 : BB1 = 2 : 8. Получаем, что точка Х делит отрезок A1B1 в соотношении 2 к 8. Следовательно, A1Х = 1 см, ХB1 = 4 см. Находим длины гипотенуз AХ и ХB2:
AХ = √[A1A2 + A1X2] = √[22 + 12] = √5.
ХB2 = √[B1X2 + B1B22] = √[82 + 42] = √[64 + 16] = √80.
Отсюда AX + XB = AХ + ХB2 = √5 + √80 ≈ 2,236 + 8,944 = 11,18
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 5 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Геометрические преобразования» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.
Добавьте, пожалуйста, решения данных заданий
Добавили к 1-му варианту
а можно в 4?
Все хорошо. Можете пожалуйста только решение добавить в 2, 3 и 4 варианте. А то смысл ответов без решения.