Геометрия 9 Контрольная 1 В12 Мерзляк

Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 1-2 из 4-х. Ответы и решения на все варианты. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 1 В12 Мерзляк.
Вернуться к Списку контрольных.

Геометрия 9 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 1. Варианты 1-2

Тема: Решение треугольников

Вариант 1 (задания)

Вариант 2 (задания)

Справочный материал:

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-1 Варианты 3-4

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
РЕШЕНИЕ: Обозначим а = 6 см, b = 8 см, α = 60°.
а) Применим теорему косинусов a² = c² + b² – 2bc·cos α.
а² = 36 + 64 – 2•6•8•0,5 = 100 – 48 = 52,
а = √52 = 2√13 (см).
б) S = 1/2 • ab sin α  = 1/2•6•8•(√3)/2 = 12√3 (см²).
ОТВЕТ: третья сторона 2√13 см; площадь 12√3 см².

№ 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 3√2 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону BC треугольника.
ОТВЕТ: 3√3 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ задания № 2

По теореме синусов АВ/sin С = ВС/sin А
ВС = АВ • sin A : sin C = 3√2 • (√2/2) : (√3/2) = 3√3 (см).

№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см.
Подсказка: Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то △ – прямоугольный. Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то △ – остроугольный. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то △ – тупоугольный.
РЕШЕНИЕ. Наибольшая сторона = 13 см, следовательно
13² = 169 (см) –  квадрат наибольшей стороны,
10² + 7² = 100 + 49 = 149 (см) – сумма квадратов двух других сторон,
169 > 149, значит: треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.

№ 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см.
ОТВЕТ: 60 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ задания № 4

Составим уравнение: АС = х, тогда СВ = (х + 8), теперь можем решать по теореме косинусов:
AB² = AC² + BC² – 2 • AС • BC • cos 120° =
= x² + (x + 8)² – 2x(x + 8)(–1/2) =
= x² + x² + 16x + 64 + x² + 8x = 3x² + 24x + 64.
Теперь приведем к уравнению:
3x² + 24x + 64 = 28² = 784
3x² + 24x – 720 = 0 (/3)
x² + 8x – 240 = 0
D = 1024, √1024 = 32;
x₁ = (–8 + 32)/2 = 12; x₂ = (–8 – 32)/2 = –20.
–20 не удовлетворяет решению так как оно меньше 0,
значит АС будет = 12 см.
ВС = х + 8 = 12 + 8 = 20 (см)
Р = АВ + АС + ВС = 28 + 12 + 20 = 60 (см).

№ 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

ОТВЕТ: 65/6 см или 10 ⁵/₆ см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ задания № 5

№ 6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, – √14 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.
ОТВЕТ: 12 см.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 6 в тетради

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними – 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
ОТВЕТ: 2√91 см; 30√3 см².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 5√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите сторону AB треугольника.
ОТВЕТ: 5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

∠A = 180° ─ 45° ─ 30° = 105°.
По теореме синусов:
AB/sin C = AC/sin B
AB/sin 30° = 5√2/sin 45°
sin 30° = (1/2), sin 45° = √2/2
AB = (5√2 • 1/2) / (√2/2) = (5√2 • 1/2 • 2)/√2 = 5 см.

№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 11 см.
Решение:
Проверим квадрат наибольшей стороны: 11² = 121
6² + 8² = 36 + 64 = 100
121 > 100 ⇒ треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.

№ 4. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.
ОТВЕТ: 20 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 1 3 см и 1 5 см.
ОТВЕТ: 1,5 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Полупериметр: p = (4 + 13 + 15)/2 = 16 см.
Площадь по формуле Герона:
S = √{16 • (16─4) • (16─13) • (16─15)}
S = √{16 • 12 • 3 • 1} = √576 = 24 см².
Радиус вписанной окружности: r = S/p = 24/16 = 1,5 см.

№ 6. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 7 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его меньшей стороне.
ОТВЕТ: √33 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Меньшая сторона a = 4 см. Медиана к стороне a :
Формула медианы: m_a = 1/2 • √{2b² + 2c² ─ a²}.
Здесь a = 4, b = 5, c = 7 :
m_a = 1/2 • √{2 • 25 + 2 • 49 ─ 16}
m_a = 1/2 • √{50 + 98 ─ 16} = 1/2 • √132 = 1/2 • 2√33 = √33 см. 

 

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-1 Варианты 3-4

 

---

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 1 В12 Мерзляк. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах (Буцко, Методическое пособие).

Смотреть аналогичную контрольную № 1 в 2-х вариантах

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички (4 варианта)

 

Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.