Контрольная работа по геометрии с ответами 9 класс Базовый уровень «Решение треугольников» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 1 В34 + Решения.
Вернуться к спику контрольных
Геометрия 9 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 1. Варианты 3-4
Тема: Решение треугольников
Вариант 3 (задания)
Вариант 4 (задания)
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-1 Варианты 1-2
Справочный материал:
ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
РЕШЕНИЕ. Пусть а = 8 (см), b = 4√3 (см).
По теореме косинусов:
c² = 8² + (4√3)² ─ 2 • 8 • 4√3 • cos 30°
c² = 64 + 48 ─ 64√3 • √3/2
c² = 112 ─ 64 • 3/2 = 112 ─ 96 = 16
c = 4 см.
Площадь: S = 1/2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(γ) = 1/2 • 8 • 4√3 • sin 30°
S = 1/2 • 32√3 • 1/2 = 8√3 см²
ОТВЕТ: третья сторона 4 см, площадь 8√3 см².
№ 2. В треугольнике ABC известно, что BC = 7√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC треугольника.
ОТВЕТ: 7 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
∠C = 180° ─ 135° ─ 30° = 15°По теореме синусов: BC / sin A = AC / sin B
7√2 / sin 135° = AC / sin 30°
(7√2) / (√2/2) = AC / (1/2)
14 = AC / 0,5 ⇒ AC = 7 см.
№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.
Подсказка: Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то △ – прямоугольный. Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то △ – остроугольный. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то △ – тупоугольный.
Решение: Проверим квадрат наибольшей стороны: 12² = 144
5² + 9² = 25 + 81 = 106
Так как 144 > 106, треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.
№ 4. Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 21 см.
ОТВЕТ: 45 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 18 см, 20 см и 34 см.
ОТВЕТ: 21,25 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Сначала проверим, прямоугольный ли треугольник:18² + 20² = 324 + 400 = 724, 34² = 1156
Не прямоугольный.
Площадь по формуле Герона:
Полупериметр равен p = (18+20+34)/2 = 36
S = √{36 • (36─18) • (36─20) • (36─34)}
S = √{36 • 18 • 16 • 2}
S = √{36 • 18 • 32} = √{36 • 576} = 6 • 24 = 144
Радиус описанной окружности:
R = abc/4S = 18 • 20 • 34/4 • 144
R = 12240/576 = 21,25 см
Ответ: R = 21,25 см.
№ 6. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, – √29 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.
ОТВЕТ: 12 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Формула медианы к стороне a: m_a² = (b² + c²)/2 ─ (a²)/4Пусть b=7, c=9, m_a =√29, a — неизвестная сторона.
29 = (7² + 9²)/2 ─ (a²)/4
29 = (49 + 81)/2 ─ (a²)/4
29 = 130/2 ─ (a²)/4
29 = 65 ─ (a²)/4
(a²)/4 = 65 ─ 29 = 36
a² = 144 ⇒ a = 12
Проверка: Если медиана к стороне a=12:
m_a² = (7² + 9²)/2 ─ (12²)/4 = 130/2 ─ 36 = 65 ─ 36 = 29
Верно. Ответ: третья сторона 12 см.
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
ОТВЕТ: третья сторона 2√29 см, площадь 12 см².
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
По теореме косинусов:c² = 6² + (4√2)² ─ 2 • 6 • 4√2 • cos 135°
cos 135° = ─cos 45° = ─√2/2
c² = 36 + 32 ─ 48√2 • (─√2/2)
c² = 68 + 48 • 2/2 = 68 + 48 = 116
c = √116 = 2√29 см.
Площадь:
S = (1/2) • 6 • 4√2 • sin 135°
sin 135° = sin 45° = √2/2
S = 12√2 • √2/2 = 12 см².
№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 9√3 см, ∠B = 60°, ∠C = 45°. Найдите сторону AB треугольника.
ОТВЕТ: 9√2 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Сумма углов: ∠A = 180° ─ 60° ─ 45° = 75°По теореме синусов: AB / sin C = AC / sin B
AB / sin 45° = (9√3) / sin 60°
AB / (√2/2) = (9√3) / (√3/2)
AB / (√2/2) = 18
AB = 18 • √2/2 = 9√2 см. .
№ 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 14 см.
Решение: Проверим квадрат наибольшей стороны: 14² = 196
Сумма квадратов двух других:
9² + 10² = 81 + 100 = 181
Так как 196 > 181, треугольник тупоугольный.
ОТВЕТ: тупоугольный.
№ 4. Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.
ОТВЕТ: 36 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Меньшая неизвестная сторона (х-10) = 16-10 = 6 (см)
Периметр = 16 + 6 + 14 = 36 (см)
№ 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 15 см.
ОТВЕТ: (√11) / 2 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Полупериметр:p = (5 + 12 + 15)/2 = 16
Площадь по формуле Герона:
S = √{16 • (16 ─ 5) • (16 ─ 12) • (16 ─ 15)}
S = √{16 • 11 • 4 • 1} = √704 = 8√11
Радиус вписанной окружности:
r = S/p = (8√11) / 16 = √11/2 см.
№ 6. Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.
ОТВЕТ: медиана = 2√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Медиана к стороне c вычисляется по формуле:m_c = (1/2) √{2a² + 2b² ─ c²}
Здесь a = 5, b = 7, c = 10:
m_c = (1/2) √{2 • 25 + 2 • 49 ─ 100}
m_c = (1/2) √{50 + 98 ─ 100} = (1/2) √48 = (1/2) • 4√3 = 2√3 см.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-1 Варианты 1-2
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 1 В34. Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 3-4 (авторы: Буцко и др.).
Смотреть аналогичную контрольную № 1 в 2-х вариантах
Вернуться к Списку контрольных из Методички (4 варианта)
