Контрольная работа № 3 по геометрии в 10 классе с ответами Базовый уровень «Перпендикулярность прямой и плоскости» Варианты 1-2 УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 3 Мерзляк.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 3. Варианты 1-2
Перпендикулярность прямой и плоскости
Вариант 1 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. На рисунке 17 изображена трапеция ABCD, у которой боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC. Через вершину B проведена прямая BF, которая перпендикулярна прямой BC. Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости ABF.
Доказательство см. в спойлере.
№ 2. Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая DA, перпендикулярная плоскости треугольника. Вычислите расстояние от точки D до прямой BC, если AD = 3 см, AB = 6 см.
ОТВЕТ: 6 см.
№ 3. Точка D находится на расстоянии 4 см от каждой вершины правильного треугольника ABC, сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
ОТВЕТ: 2 см.
№ 4. Через вершину D прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр DE. Точка E удалена от стороны AB на 10 см, а от стороны BC — на 17 см. Найдите диагональ прямоугольника, если DE = 8 см.
ОТВЕТ: √261 см (=3√29 см).
№ 5. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 30 см и 17 см соответственно. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 2√5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
ОТВЕТ: (√95)/4 см.
[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»]
[/su_spoiler]
Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-3 Варианты 3-4
Вариант 2 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. На рисунке 18 изображён равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), точка M — середина стороны AC. Через точку M проведена прямая MO, перпендикулярная прямой BM. Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости AOC.
Решение:
1. Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. BM — медиана к основанию AC, значит, BM ⊥ AC (в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой).
2. По условию MO ⊥ BM.
3. Прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и MO, лежащим в плоскости AOC (точка M принадлежит AC и MO).
4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
Следовательно, BM ⊥ плоскости AOC.
Ответ: Доказано.
№ 2. Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная плоскости квадрата. Вычислите расстояние от точки M до прямой BD, если MC = 1 см, CD = 4 см.
Решение:
1. MC ⊥ плоскости квадрата ⇒ MC ⊥ любой прямой в плоскости квадрата, в том числе MC ⊥ CO, если O — точка пересечения диагоналей квадрата.
2. В квадрате ABCD сторона CD = 4 см ⇒ диагональ BD = 4√2 см, половина диагонали CO = BD/2 = 2√2 см.
3. Точка O — проекция точки M на плоскость квадрата, так как MC ⊥ плоскости, а O ∈ плоскости.
4. Расстояние от M до прямой BD — это длина перпендикуляра из M к BD. В пространстве это длина отрезка MH, где H — основание перпендикуляра из M к BD.
5. Так как MC ⊥ плоскости, а BD лежит в плоскости, то MH — наклонная, её проекция на плоскость — OH, причём OH ⊥ BD.
6. В квадрате O — центр, OH — расстояние от центра до BD, но BD проходит через O, значит OH = 0? Нет, BD проходит через O, поэтому расстояние от O до BD равно 0, тогда H совпадает с O.
Проверим: O — точка пересечения диагоналей, лежит на BD, значит OH = 0.
7. Тогда MH — гипотенуза прямоугольного треугольника MOH, где MO = MC = 1 см (неверно, MO — наклонная, MC вертикаль, CO горизонталь).
На самом деле: проекция M на плоскость — C, а не O. Ошибка: MC ⊥ плоскости, значит проекция M — точка C. Тогда расстояние от M до BD ищем как длину перпендикуляра из M к BD.
Проведём CH ⊥ BD. В квадрате диагонали перпендикулярны, значит BD ⊥ AC. AC проходит через C, значит CH — часть диагонали AC.
В квадрате AC и BD пересекаются в O, причём AC ⊥ BD. Тогда H = O, так как из C к BD можно провести только один перпендикуляр в плоскости квадрата, и это CO.
CO = 2√2 см.
8. Тогда в прямоугольном треугольнике MCO: MC = 1 см, CO = 2√2 см, MO = √{MC² + CO²} = √{1 + 8} = √9 = 3 см.
MO и есть расстояние от M до BD, так как CO ⊥ BD и MC ⊥ плоскости ⇒ MO ⊥ BD (теорема о трёх перпендикулярах: если CO ⊥ BD, то наклонная MO ⊥ BD).
Ответ: 3 см.
№ 3. Точка K находится на расстоянии 4 см от каждой вершины правильного треугольника ABC. Найдите сторону треугольника, если точка K удалена от плоскости ABC на 2 см.
Решение:
1. KA = KB = KC = 4 см, KO ⊥ плоскости ABC, KO = 2 см.
2. O — проекция K на плоскость ⇒ OA = OB = OC = R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
3. Из прямоугольного треугольника KOA: R = √{KA² ─ KO²} = √{16 ─ 4} = √12 = 2√3 см.
4. Для правильного треугольника со стороной a: R = a/√3.
Тогда a = R√3 = 2√3 • √3 = 2 • 3 = 6 см.
Ответ: 6 см.
№ 4. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр AP. Найдите расстояние от точки P до прямой CD, если BC = 12 см, BD = 13 см, а точка P удалена от прямой BC на √106 см.
Решение:
1. Прямоугольник ABCD: BC = 12 см, BD = 13 см ⇒ по теореме Пифагора:
CD = √{BD² ─ BC²} = √{169 ─ 144} = √25 = 5 см.
Тогда AB = CD = 5 см, AD = BC = 12 см.
2. AP ⊥ плоскости прямоугольника ⇒ AP ⊥ AB и AP ⊥ AD.
3. Расстояние от P до BC: BC ∥ AD, AD лежит в плоскости, AP ⊥ AD ⇒ расстояние от P до BC равно длине отрезка, проведённого из P к BC перпендикулярно.
Так как BC ∥ AD, а AD ⊥ AP, то плоскость PAD ⊥ BC? Лучше: BC ∥ AD, значит расстояние от P до BC равно расстоянию от P до AD? Нет, это неверно.
Дано: расстояние от P до BC = √106 см.
Проведём PH ⊥ BC (H на BC). Точка H будет лежать на прямой BC, её проекция на плоскость — точка H’, причём AH’ ⊥ BC. В прямоугольнике AH’ = AB = 5 см (так как AB ⊥ BC).
Тогда в прямоугольном треугольнике APH’: AP — вертикальный катет, AH’ = 5 см, PH = √106 см.
PH — наклонная, её проекция AH’ = 5 см.
По теореме Пифагора: AP = √{PH² ─ AH’²} = √{106 ─ 25} = √81 = 9 см.
4. Теперь ищем расстояние от P до CD.
CD ∥ AB, AB ⊥ AP? Нет, AB в плоскости, AP ⊥ AB, так как AP ⊥ плоскости.
Проведём PK ⊥ CD (K на CD). Проекция K на плоскость — точка K’, причём AK’ ⊥ CD. В прямоугольнике AK’ = AD = 12 см (так как AD ⊥ CD).
Тогда в прямоугольном треугольнике APK’: AP = 9 см, AK’ = 12 см ⇒
PK = √{AP² + AK’²} = √{81 + 144} = √225 = 15 см.
Это и есть искомое расстояние.
Ответ: 15 см.
№ 5. Высота и основание равнобедренного треугольника равны 8 см и 12 см соответственно. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника и равноудалена от его сторон. Найдите расстояние от этой точки до сторон треугольника.
Решение:
1. Равнобедренный треугольник: основание a = 12 см, высота h = 8 см, проведённая к основанию.
Боковая сторона b: половина основания = 6 см, тогда b = √{6² + 8²} = √{36 + 64} = √100 = 10 см.
2. Точка K удалена от плоскости треугольника на 4 см и равноудалена от сторон треугольника ⇒ её проекция O на плоскость треугольника — центр вписанной окружности.
3. Радиус вписанной окружности r = S / p, где p — полупериметр.
S = (1/2) * основание * высота = (1/2)*12*8 = 48 см².
p = (10 + 10 + 12)/2 = 16 см.
r = 48 / 16 = 3 см.
4. Расстояние от точки K до стороны треугольника — длина наклонной, проведённой из K к стороне, перпендикулярно ей.
Проекция этого расстояния на плоскость равна r = 3 см, а перпендикуляр от K до плоскости KO = 4 см.
Тогда расстояние от K до стороны = √{KO² + r²} = √{16 + 9} = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см.
Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-3 Варианты 3-4
Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии 10 класс (Мерзляк, базовый уровень)
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Перпендикулярность прямой и плоскости» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 3 Мерзляк.
