Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Перпендикулярность прямой и плоскости» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 3 В34 + Решения.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 3. Варианты 3-4
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Вариант 3 (задания)
Ответы на вариант 3
№ 1. На рисунке 19 изображён квадрат ABCD. Через точку O пересечения диагоналей проведена прямая OP, перпендикулярная прямой BD. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости APC.
Решение:
1. В квадрате диагонали перпендикулярны: AC ⊥ BD.
2. По условию OP ⊥ BD.
3. Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и OP , лежащим в плоскости APC.
4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: BD ⊥ (APC).
Ответ: доказано.
№ 2. Через вершину B равнобедренного треугольника ABC проведена прямая KB, перпендикулярная плоскости треугольника, AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Найдите расстояние от точки K до прямой AC, если KB = 4 см.
Решение:
1. Расстояние от K до AC — длина перпендикуляра из K на AC.
2. Так как KB ⊥ (ABC) , то KB ⊥ любой прямой в плоскости, в том числе BH , где BH — высота к AC.
3. В равнобедренном треугольнике высота BH к основанию AC:
AH = HC = 6 см, BH = √{AB² ─ AH²} = √{100 ─ 36} = √64 = 8 см.
4. Точка H — проекция K на плоскость, значит KH ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах, т.к. BH ⊥ AC и KB ⊥ плоскости).
5. KH — гипотенуза в прямоугольном треугольнике KBH:
KH = √{KB² + BH²} = √{4² + 8²} = √{16 + 64} = √80 = 4√5 см.
Ответ: 4√5 см.
№ 3. Точка M находится на расстоянии 8 см от каждой вершины квадрата ABCD. Найдите сторону квадрата, если точка M удалена от его плоскости на 4√3 см.
Решение:
1. Пусть O — центр квадрата (пересечение диагоналей).
2. MO ⊥ плоскости квадрата, MO = 4√3.
3. MA = 8 см, OA — половина диагонали квадрата.
4. Из прямоугольного треугольника MOA:
OA = √{MA² ─ MO²} = √{64 ─ 48} = √16 = 4 см.
5. Диагональ квадрата d = 2 • OA = 8 см.
6. Сторона квадрата a = d/√2 = 8/√2 = 4√2 см.
Ответ: 4√2 см.
№ 4. Через вершину B прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр MB. Точка M удалена от стороны AD на 25 см, а от стороны CD — на 10√5 см. Найдите диагональ прямоугольника, если AB = 15 см.
Решение:
1. Проведём BH ⊥ AD (H на AD), тогда BH = AB = 15.
MB ⊥ (ABC) ⇒ MB ⊥ BH.
Расстояние от M до AD = длина MH, где MH ⊥ AD.
По теореме о трёх перпендикулярах: если BH ⊥ AD, то MH ⊥ AD.
Дано: MH = 25 см.
Из прямоугольного треугольника MBH:
MB² = MH² ─ BH² = 625 ─ 225 = 400 , MB = 20 см.
2. Расстояние от M до CD: CD || AB, AB ⊥ BC, проведём BK ⊥ CD (K на CD), тогда BK = BC.
MB ⊥ (ABC) ⇒ MB ⊥ BK.
Расстояние от M до CD = MK, где MK ⊥ CD.
Дано: MK = 10√5 см.
Из прямоугольного треугольника MBK:
BK² = MK² ─ MB² = (10√5)² ─ 20² = 500 ─ 400 = 100 , BK = 10 см.
3. BK = BC = 10 см, AB = 15 см.
Диагональ прямоугольника:
AC = √{AB² + BC²} = √{225 + 100} = √325 = 5√13 см.
Ответ: 5√13 см.
№ 5. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 12 см и 10 см соответственно. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
Решение:
1. Пусть треугольник ABC: AB = BC = 10, AC = 12.
Высота BH к основанию AC:
AH = 6 , BH = √{100 ─ 36} = 8 см.
Площадь S = 1/2 • 12 • 8 = 48 см².
2. Точка M находится на равном расстоянии d = 5 см от каждой стороны треугольника ⇒ её проекция H’ на плоскость треугольника — центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности r = S/p , где p = (10 + 10 + 12)/2 = 16 см.
r = 48/16 = 3 см.
3. Расстояние от M до стороны — длина перпендикуляра из M на сторону.
Если MH’ = r = 3 (расстояние от проекции до стороны), а расстояние от M до стороны = 5, то в прямоугольном треугольнике (M — вершина, H’ — проекция на плоскость, K — проекция на сторону):
MK = 5, H’K = r = 3, MH’ — искомое расстояние до плоскости.
MH’ = √{MK² ─ H’K²} = √{25 ─ 9} = √16 = 4 см.
Ответ: 4 см.
[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»]
[/su_spoiler]
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2
Вариант 4 (задания)
Ответы на вариант 4
№ 1. На рисунке 20 изображён прямоугольник ABCD. Через вершину А проведена прямая AK, которая перпендикулярна прямой AD. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости AKB.
Решение:
1. По условию AK ⊥ AD (дано).
2. Так как ABCD — прямоугольник, AD ⊥ AB.
3. Получаем: AD ⊥ AK и AD ⊥ AB , причём AK и AB пересекаются в точке A и лежат в плоскости AKB.
4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
Следовательно, AD ⊥ пл. AKB.
Ответ: Доказано.
№ 2. Через вершину B ромба ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости ромба. Найдите расстояние от точки M до прямой AC, если MB = 12 см, DC = 16 см, AC = 20 см.
Решение:
1. BM ⟂ плоскости ромба ⇒ BM ⟂ любой прямой в плоскости ромба, в том числе BM ⟂ AC.
2. Расстояние от M до AC — длина перпендикуляра из M на AC.
3. Так как BM ⟂ AC, то перпендикуляр из M на AC лежит в плоскости, содержащей BM и перпендикуляр к AC в плоскости ромба.
4. В ромбе диагонали перпендикулярны: AC ⊥ BD (проверим: стороны DC = 16, AC = 20, BD найдём из свойств ромба: диагонали пересекаются в точке O, AO = 10, DO = √(DC² ─ AO²) = √(256 ─ 100) = √156 = 2√39, тогда BD = 4√39, но нам это не нужно, главное — AC ⟂ BD).
5. BO — проекция наклонной MO на плоскость, но BM ⟂ плоскости, значит BM ⟂ BO.
6. Расстояние от M до AC = длина отрезка MH, где H — основание перпендикуляра из M на AC.
В плоскости (AOC) через B проведём BH ⟂ AC, тогда BH — проекция MH, и MH — гипотенуза в прямоугольном треугольнике MBH, где MB ⟂ BH (т.к. MB ⟂ плоскости, BH в плоскости).
7. Найдём BH: в ромбе площадь S = (1/2)·AC·BD = (1/2)·d₁·d₂.
Но BD неизвестна, найдём через другую формулу: S = сторона²·sinα или S = (1/2)·AC·BD.
По формуле Герона для треугольника ADC: стороны 16, 16, 20 ⇒ полупериметр p = 26, S(ADC) = √(26·10·10·6) = √15600 = 20√39.
Тогда S(ромба) = 2·S(ADC) = 40√39.
С другой стороны, S = (1/2)·AC·BD = (1/2)·20·BD = 10·BD ⇒ 10·BD = 40√39 ⇒ BD = 4√39.
Тогда BO = BD/2 = 2√39.
Но BH — это расстояние от B до AC, т.е. BO? Нет, в треугольнике ABO: BH — высота к AC.
В треугольнике ABO: AO = 10, BO = 2√39, AB = 16.
Площадь ABO: S = (1/2)·AO·BO = (1/2)·10·2√39 = 10√39.
С другой стороны, S = (1/2)·AC(BH)/2? Нет, в треугольнике ABO сторона AO = 10, AB = 16, OB = 2√39, но BH — высота из B на AO (AO — часть AC).
Лучше: расстояние от B до AC = высота из B в треугольнике ABC.
Площадь ABC = половина площади ромба = 20√39.
Основание AC = 20 ⇒ BH = 2S/AC = (40√39)/20 = 2√39.
То есть BH = BO, значит O и H совпадают (т.к. в ромбе диагонали перпендикулярны, BO ⟂ AC).
8. Тогда в прямоугольном треугольнике MBH: MB = 12, BH = 2√39.
MH = √(MB² + BH²) = √(144 + 4·39) = √(144 + 156) = √300 = 10√3 см.
Ответ: 10√3 см.
[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»]
[/su_spoiler]
№ 3. Точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точки F до плоскости квадрата.
Решение:
1. FA = FB = FC = FD = 5√3.
2. Значит, проекция F на плоскость квадрата — точка O, равноудалённая от вершин, т.е. центр квадрата (пересечение диагоналей).
3. AO = половина диагонали квадрата: диагональ = 10√2 ⇒ AO = 5√2.
4. В прямоугольном треугольнике AOF: AF = 5√3, AO = 5√2 ⇒ FO = √(AF² ─ AO²) = √(75 ─ 50) = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см.
№ 4. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр AK. Точка K удалена от стороны BC на 15 см. Найдите расстояние от точки K до стороны CD, если BD = √337 см, AK = 12 см.
Решение:
1. AK ⟂ плоскости прямоугольника ⇒ AK ⟂ AB, AK ⟂ AD.
2. Расстояние от K до BC = расстояние от K до AD? Нет, BC параллельна AD, но не совпадает.
Рассмотрим плоскость ABK: AB ⟂ BC, BC ⟂ AK (т.к. AK ⟂ плоскости и BC в плоскости) ⇒ BC ⟂ плоскости ABK ⇒ BC ⟂ BK.
Значит, расстояние от K до BC = BK.
По условию: BK = 15 см.
3. Из прямоугольного треугольника ABK: AB² = BK² ─ AK² = 225 ─ 144 = 81 ⇒ AB = 9 см.
4. Из прямоугольного треугольника ABD: BD² = AB² + AD² ⇒ 337 = 81 + AD² ⇒ AD² = 256 ⇒ AD = 16 см.
5. Расстояние от K до CD: CD ⟂ AD, AD ⟂ AK ⇒ AD ⟂ плоскости ADK ⇒ AD ⟂ DK.
В плоскости ADK: AD ⟂ DK, но расстояние от K до CD — длина перпендикуляра KH₂, где H₂ ∈ CD.
Так как CD ⟂ AD и CD ⟂ AK ⇒ CD ⟂ плоскости ADK ⇒ CD ⟂ DK.
Значит, расстояние от K до CD = DK.
6. Из прямоугольного треугольника ADK: DK² = AD² + AK² = 256 + 144 = 400 ⇒ DK = 20 см.
Ответ: 20 см.
№ 5. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.
Решение:
1. Точка O’ находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника ⇒ её проекция O на плоскость треугольника — центр вписанной окружности (равноудалена от сторон).
2. Радиус вписанной окружности r = расстояние от O до стороны.
По формуле Герона: полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
Площадь S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².
r = S/p = 84/21 = 4 см.
3. Расстояние от O’ до стороны = 5 см — это длина наклонной от O’ к стороне.
Перпендикуляр из O’ на сторону имеет длину 5, его проекция на плоскость = r = 4.
Тогда расстояние от O’ до плоскости h = √(5² ─ 4²) = √(25 ─ 16) = √9 = 3 см.
Ответ: 3 см.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Перпендикулярность прямой и плоскости» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 3 В34.
Вернуться к Списку контрольных работ из Методички
(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.
