Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Параллельность в пространстве» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 2 В34 + Решения.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 2. Варианты 3-4
Тема: Параллельность в пространстве
Вариант 3 (задания)
Ответы на вариант 3
№ 1. Точки N, M, C и K — середины отрезков BD, DF, FA и AB соответственно, BF = 24 см, AD = 18 см (рис. 13). Определите вид четырёхугольника NMCK и вычислите его периметр.
Решение:
─ В четырёхугольнике AFBD диагонали AB и DF пересекаются в точке O.
─ K — середина AB , M — середина DF , C — середина FA , N — середина BD.
─ KMC — средняя линия треугольника ABF (параллельна BF), KMC = BF/2 = 12 см.
─ KNC — средняя линия треугольника ABD (параллельна AD), KNC = AD/2 = 9 см.
─ NM — средняя линия треугольника BDF (параллельна BF), NM = BF/2 = 12 см.
─ MC — средняя линия треугольника DFA (параллельна AD), MC = AD/2 = 9 см.
─ Получили: KM = NC = 12 см, KN = MC = 9 см.
─ Противоположные стороны равны, значит, NMCK — параллелограмм.
─ Периметр: P = 2 • (12 + 9) = 42 см.
Ответ: параллелограмм, P = 42 см.
№ 2. Плоскость α пересекает стороны MF и MK треугольника MFK в точках A и B соответственно и параллельна стороне FK, AB = 12 см, AM : AF = 3 : 5. Найдите сторону FK треугольника.
Решение:
─ AB ∥ FK (т.к. плоскость α ∥ FK и проходит через A, B).
─ Треугольник MFK ∼ MAB по двум углам.
─ AM/AF = 3/5 ⇒ AM/MF = 3/8.
─ Коэффициент подобия k = MF/MA = 8/3.
─ FK/AB = k ⇒ FK = 12 • 8/3 = 32 см.
Ответ: FK = 32 см.
№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 14). Постройте изображение центра вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
Решение:
─ В правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и точкой пересечения медиан.
─ В параллельной проекции сохраняется простое отношение точек на прямой, поэтому изображение центра — точка пересечения медиан треугольника ABC.
─ Строим медианы AA₀ , BB₀ , CC₀ (где A₀, B₀, C₀ — середины противоположных сторон).
─ Их пересечение O — изображение центра вписанной окружности.
Ответ: точка пересечения медиан треугольника ABC.
№ 4. Плоскости α и β параллельны. Из точки O, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости α и β в точках C1 и D1, а другой — в точках C2 и D2 соответственно. Найдите отрезок C1C2, если он на 5 см меньше отрезка D1D2, OC1 = 4 см, C1D1 = 10 см.
Решение:
─ Плоскости α ∥ β , лучи из O пересекают их в точках C₁, D₁ и C₂, D₂.
─ По теореме Фалеса для параллельных плоскостей:
OC₁/OD₁ = OC₂/OD₂
─ OD₁ = OC₁ + C₁D₁ = 4 + 10 = 14 см.
─ Пусть C₁C₂ = x , тогда D₁D₂ = x + 5.
─ OC₂ = OC₁ + C₁C₂ = 4 + x , OD₂ = OD₁ + D₁D₂ = 14 + x + 5 = 19 + x.
─ Из пропорции: 4/14 = (4 + x)/(19 + x)
─ 4(19 + x) = 14(4 + x)
─ 76 + 4x = 56 + 14x
─ 20 = 10x
─ x = 2 см.
Ответ: C₁C₂ = 2 см.
№ 5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин правильного треугольника и его центра. Постройте изображение этого треугольника.
Решение:
─ В правильном треугольнике центр O делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
─ A и B — проекции двух вершин, O — проекция центра.
─ Строим середину M отрезка AB. В правильном треугольнике центр лежит на медиане из третьей вершины, и OM : MC = 1 : 2 (если C — третья вершина, M — середина AB).
─ Зная O и M , находим C на луче MO за точкой O так, что MO : OC = 1 : 2.
─ Тогда треугольник ABC — искомое изображение.
Ответ: треугольник ABC , где C строится по правилу: M — середина AB , C на луче MO за точкой O так, что OC = 2 • MO.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2
Вариант 4 (задания)
Ответы на вариант 4
№ 1. Точки A, B, K, T — середины отрезков MF, PF, PN, MN соответственно, MP = 10 см, FN = 16 см (рис. 15). Определите вид четырёхугольника ABKT и вычислите его периметр.
Решение:
1. В четырёхугольнике FNPM диагонали MN и FP пересекаются.
2. A — середина MF, B — середина PF, K — середина PN, T — середина MN.
3. По теореме о средней линии треугольника:
─ AB — средняя линия △ MFP: AB ∥ MP и AB = 1/2 MP = 5 см.
─ TK — средняя линия △ MNP: TK ∥ MP и TK = 1/2 MP = 5 см.
─ BT — средняя линия △ FPN: BT ∥ FN и BT = 1/2 FN = 8 см.
─ AK — средняя линия △ MFN: AK ∥ FN и AK = 1/2 FN = 8 см.
4. Противоположные стороны ABKT попарно равны и параллельны ⇒ ABKT — параллелограмм.
5. Периметр: P = 2 • (5 + 8) = 26 см.
Ответ: ABKT — параллелограмм, P = 26 см.
№ 2. Плоскость β пересекает стороны CF и CD треугольника CDF в точках M и N соответственно и параллельна стороне FD, MN = 6 см, FD = 21 см, MC = 10 см. Найдите сторону FC треугольника.
Решение:
1. β ∥ FD, значит MN ∥ FD.
2. В △ CDF: MN ∥ FD ⇒ △ CMN \sim △ CFD по двум углам.
3. Коэффициент подобия: k = MN/FD = 6/21 = 2/7.
4. Отношение сходственных сторон: CM/CF = k = 2/7.
5. CM = 10 см ⇒ CF = CM/k = 10/(2/7) = 35 см.
Ответ: FC = 35 см.
№ 3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 16). Постройте изображение центра описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
Решение:
1. В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести (точкой пересечения медиан).
2. На изображении ABC строим медианы:
─ Проводим медиану из A к середине BC.
─ Проводим медиану из B к середине AC.
3. Точка пересечения медиан O — изображение центра описанной окружности.
Ответ: точка O — пересечение медиан треугольника ABC.
№ 4. Плоскости α и β параллельны. Через точку D, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках M₁ и N₁, а другая — в точках M₂ и N₂ соответственно. Найдите отрезок M₁M₂, если он на 8 см больше отрезка N₁N₂, N₁M₁ = 30 см, DN₁ = 5 см.
Решение:
1. Плоскости α ∥ β, прямые M₁N₁ и M₂N₂ пересекаются в D.
2. По теореме Фалеса: DM₁/DN₁ = DM₂/DN₂ = M₁M₂/N₁N₂.
3. N₁M₁ = DM₁ + DN₁ = 30 см, DN₁ = 5 см ⇒ DM₁ = 25 см.
4. Пусть N₁N₂ = x, тогда M₁M₂ = x + 8.
5. Из подобия: DM₁/DN₁ = M₁M₂/N₁N₂ ⇒ 25/5 = (x + 8)/x ⇒ 5 = (x + 8)/x ⇒ 5x = x + 8 ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2.
6. M₁M₂ = 2 + 8 = 10 см.
Ответ: M₁M₂ = 10 см.
№ 5. Точки A, B, M, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух соседних вершин параллелограмма и середины его противолежащей стороны. Постройте изображение этого параллелограмма.
Решение:
1. Пусть A, B — проекции соседних вершин, M — проекция середины противолежащей стороны.
2. В параллелограмме ABCD: M — середина CD.
3. Строим:
─ Проводим прямую AM и продолжаем за M на такую же длину: MC = MD.
─ Откладываем D на продолжении AM так, что M — середина CD.
─ Соединяем B → C и D → A, получаем параллелограмм ABCD.
Ответ: параллелограмм ABCD, где C симметричен D относительно M, и AB ∥ CD, BC ∥ AD.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2 Варианты 1-2
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Параллельность в пространстве» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 2 В34.
Смотреть аналогичную контрольную № 2 с решениями
Вернуться к Списку контрольных работ из Методички
(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.
