Контрольная работа по алгебре в 10 классе с решениями «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» Варианты 3, 4 для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Базовый уровень. Код материалов: Мерзляк 10 Контрольная 2 В34.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (Мерзляк, Баз.)
Контрольная № 2. Варианты 3-4
Тема: Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства
Вариант 3 (задания)
Вариант 4 (задания)
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2. Варианты 1-2
Ответы на вариант 3
№ 1. Функция задана формулой \( f(x) = x^{20} \). Сравните:
1) \( f(2,4) \) и \( f(3,6) \)
Степень 20 — чётная, поэтому функция чётная и возрастает при \( x > 0 \).
Так как \( 2,4 < 3,6 \), то \( f(2,4) < f(3,6) \).
Ответ: \( f(2,4) < f(3,6) \).
2) \( f(-2,5) \) и \( f(-3,1) \)
Функция чётная, поэтому \( f(-x) = f(x) \).
Сравниваем модули: \( |-2,5| = 2,5 \), \( |-3,1| = 3,1 \), \( 2,5 < 3,1 \).
Значит, \( f(-2,5) < f(-3,1) \).
Ответ: \( f(-2,5) < f(-3,1) \).
3) \( f(-4,7) \) и \( f(4,7) \)
Функция чётная, поэтому \( f(-4,7) = f(4,7) \).
Ответ: \( f(-4,7) = f(4,7) \).
4) \( f(0,8) \) и \( f(-0,6) \)
Функция чётная, поэтому \( f(-0,6) = f(0,6) \).
Сравниваем \( f(0,8) \) и \( f(0,6) \): \( 0,8 > 0,6 \Rightarrow f(0,8) > f(0,6) \).
Ответ: \( f(0,8) > f(-0,6) \).
№ 2. Найдите значение выражения:
1) \( \sqrt[4]{5^2 \cdot 32} + \sqrt[4]{256} — 3\sqrt[3]{-125} \)
2) \( \sqrt[4]{625 \cdot 0{,}0016} \)
\( 625 = 5^4 \), \( 0{,}0016 = 16 \cdot 10^{-4} = 2^4 \cdot 10^{-4} \).
Произведение: \( 5^4 \cdot 2^4 \cdot 10^{-4} = (5 \cdot 2 \cdot 10^{-1})^4 = (10 \cdot 0{,}1)^4 = 1^4 = 1 \).
Корень 4-й степени из 1 = 1.
Ответ: \( 1 \).
3) \( \sqrt[8]{5^{24} \cdot 2^{16}} \)
\( (5^{24} \cdot 2^{16})^{1/8} = 5^{24/8} \cdot 2^{16/8} = 5^3 \cdot 2^2 = 125 \cdot 4 = 500 \).
Ответ: \( 500 \).
4) \( \dfrac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{729}} \)
\( \sqrt[5]{729} = \sqrt[5]{3^6} = 3^{6/5} \).
Тогда \( \dfrac{3^{1/5}}{3^{6/5}} = 3^{1/5 — 6/5} = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \).
Ответ: \( \dfrac{1}{3} \).
№ 3. Решите уравнение:
1) \( x^9 = 11 \)
\( x = \sqrt[9]{11} \).
Ответ: \( x = \sqrt[9]{11} \).
2) \( x^4 = 81 \)
\( x^4 = 3^4 \Rightarrow |x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3 \).
Ответ: \( x = 3 \), \( x = -3 \).
3) \( x^3 = -125 \)
\( x^3 = (-5)^3 \Rightarrow x = -5 \).
Ответ: \( x = -5 \).
4) \( x^6 = -64 \)
Чётная степень не может быть отрицательной.
Ответ: нет решений.
5) \( \sqrt[3]{x} = 5 \)
\( x = 5^3 = 125 \).
Ответ: \( x = 125 \).
6) \( \sqrt[4]{x} = -2 \)
Арифметический корень чётной степени неотрицателен, равенство невозможно.
Ответ: нет решений.
№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^{-5} \) на промежутке \( [2; 3] \):
Функция \( y = x^{-5} = \frac{1}{x^5} \) убывает при \( x > 0 \), так как производная \( y’ = -5x^{-6} < 0 \).
Наибольшее значение при \( x = 2 \): \( y_{\text{наиб}} = 2^{-5} = \frac{1}{32} \).
Наименьшее значение при \( x = 3 \): \( y_{\text{наим}} = 3^{-5} = \frac{1}{243} \).
Ответ: \( y_{\text{наиб}} = \frac{1}{32} \), \( y_{\text{наим}} = \frac{1}{243} \).
№ 5. Упростите выражение:
1) \( \sqrt[35]{x^5} \)
\( (x^5)^{1/35} = x^{5/35} = x^{1/7} = \sqrt[7]{x} \).
Ответ: \( \sqrt[7]{x} \).
2) \( \sqrt[7]{a^4 \sqrt[3]{a^2}} \)
\( \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3} \), тогда \( a^4 \cdot a^{2/3} = a^{4 + 2/3} = a^{14/3} \).
Корень 7-й степени: \( (a^{14/3})^{1/7} = a^{14/21} = a^{2/3} \).
Ответ: \( a^{2/3} \).
3) \( \sqrt[10]{c^{10}} \), если \( c \ge 0 \)
\( \sqrt[10]{c^{10}} = |c| = c \) (так как \( c \ge 0 \)).
Ответ: \( c \).
4) \( \sqrt[12]{(y — 7)^{12}} \), если \( y \le 7 \)
\( \sqrt[12]{(y — 7)^{12}} = |y — 7| \).
При \( y \le 7 \) имеем \( y — 7 \le 0 \), поэтому \( |y — 7| = 7 — y \).
Ответ: \( 7 — y \).
№ 6. Определите графически количество решений системы уравнений
\[
\begin{cases}
y = x^{-3}, \\
y = x^2 + 4.
\end{cases}
\]
Решение:
\( y = x^{-3} \) — гипербола в 1-й и 3-й четвертях.
\( y = x^2 + 4 \) — парабола с вершиной в (0;4), ветви вверх.
В 1-й четверти: \( x^{-3} = x^2 + 4 \) при \( x > 0 \) левая часть убывает от \( +\infty \), правая ≥ 4, есть одно пересечение.
В 3-й четверти: \( x < 0 \), \( x^{-3} < 0 \), \( x^2 + 4 \ge 4 \) — пересечений нет.
Ответ: одно решение.
№ 7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) \( \dfrac{1}{\sqrt[5]{2}} \)
Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[5]{2^4} \):
\( \dfrac{\sqrt[5]{16}}{2} \).
Ответ: \( \dfrac{\sqrt[5]{16}}{2} \).
2) \( \dfrac{6}{\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{3}} \)
\( x — y \), где \( x = a^2 \), \( y = a \), тогда \( x^3 — y^3 = a^6 — a^3 = (a^3)^2 — a^3 = 9 — 3 = 6 \).
Множитель: \( x^2 + xy + y^2 = a^4 + a^3 + a^2 = a \cdot a^3 + a^3 + a^2 = 3a + 3 + a^2 \).
Тогда:
\( \dfrac{6}{\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{3}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}} \).
Но \( \sqrt[3]{81} = 3\sqrt[3]{3} \), \( \sqrt[3]{27} = 3 \), \( \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} \).
В знаменателе: \( (\sqrt[3]{9})^3 — (\sqrt[3]{3})^3 = 9 — 3 = 6 \).
Сократим 6: останется \( \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9} = 3\sqrt[3]{3} + 3 + \sqrt[3]{9} \).
Ответ: \( 3 + \sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3} \).
№ 8. Упростите выражение:
\[
\left( \frac{\sqrt[8]{x} + 12}{\sqrt[8]{x} + 4} — \frac{\sqrt[8]{x} + 8}{\sqrt[8]{x} — 4} + \frac{4}{\sqrt[4]{x} — 16} \right) : \frac{15}{\sqrt[4]{x} — 16}.
\]
Обозначим \( t = \sqrt[8]{x} \), тогда \( \sqrt[4]{x} = t^2 \).
Выражение примет вид:
\[
\left( \frac{t + 12}{t + 4} — \frac{t + 8}{t — 4} + \frac{4}{t^2 — 16} \right) : \frac{15}{t^2 — 16}.
\]
Приведём первые две дроби к общему знаменателю \( (t + 4)(t — 4) = t^2 — 16 \):
\[
\frac{(t + 12)(t — 4) — (t + 8)(t + 4)}{t^2 — 16} + \frac{4}{t^2 — 16}.
\]
Числитель первой разности:
\[
(t^2 + 8t — 48) — (t^2 + 12t + 32) = -4t — 80 = -4(t + 20).
\]
Тогда сумма первых двух дробей: \( \frac{-4(t + 20)}{t^2 — 16} \).
Прибавим \( \frac{4}{t^2 — 16} \):
\( \frac{-4(t + 20) + 4}{t^2 — 16} = \frac{-4t — 80 + 4}{t^2 — 16} = \frac{-4t — 76}{t^2 — 16} = \frac{-4(t + 19)}{t^2 — 16} \).
Теперь делим на \( \frac{15}{t^2 — 16} \):
\( \frac{-4(t + 19)}{t^2 — 16} \cdot \frac{t^2 — 16}{15} = \frac{-4(t + 19)}{15} \).
Возвращаем \( t = \sqrt[8]{x} \):
Ответ: \( -\frac{4(\sqrt[8]{x} + 19)}{15} \).
Мерзляк 10 Контрольная 2 В34
Ответы на вариант 4
1. Функция задана формулой \( f(x) = x^{22} \). Сравните:
Степень 22 — чётная, поэтому \( f(x) \geq 0 \) и \( f(-a) = f(a) \).
1) \( f(7{,}7) > f(2{,}9) \), т.к. \( 7{,}7 > 2{,}9 > 0 \).
2) \( f(-1{,}9) > f(-2{,}4) \), т.к. \( |-1{,}9| = 1{,}9 < 2{,}4 = |-2{,}4| \).
3) \( f(-6{,}2) = f(6{,}2) \), т.к. чётная степень.
4) \( f(-0{,}1) < f(0{,}6) \), т.к. \( |-0{,}1| = 0{,}1 < 0{,}6 \).
Ответы:
1) \( f(7{,}7) > f(2{,}9) \)
2) \( f(-1{,}9) > f(-2{,}4) \)
3) \( f(-6{,}2) = f(6{,}2) \)
4) \( f(-0{,}1) < f(0{,}6) \)
№ 2. Найдите значение выражения:
1) \( 4^{\frac{6}{4}} \sqrt[4]{64} — 4^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{625} — 5^{\frac{3}{5}} \sqrt[5]{-27} \)
\( 4^{\frac{6}{4}} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^3 = 8 \)
\( \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{1{,}5} = 2\sqrt{2} \)
Первое слагаемое: \( 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \)
\( 4^{\frac{4}{5}} = (2^2)^{4/5} = 2^{8/5} \)
\( \sqrt[5]{625} = \sqrt[5]{5^4} = 5^{4/5} \)
Второе слагаемое: \( 2^{8/5} \cdot 5^{4/5} = (2^2 \cdot 5)^{4/5} = (4 \cdot 5)^{4/5} = 20^{4/5} \)
\( 5^{\frac{3}{5}} \sqrt[5]{-27} = 5^{3/5} \cdot (-27)^{1/5} = 5^{3/5} \cdot (-3^3)^{1/5} = 5^{3/5} \cdot (-3)^{3/5} = -(5 \cdot 3)^{3/5} = -15^{3/5} \)
Итого: \( 16\sqrt{2} — 20^{4/5} + 15^{3/5} \) (численно ≈ \(22{,}627 — 10{,}871 + 5{,}848 \approx 17{,}604\)).
Ответ: \( 16\sqrt{2} — 20^{4/5} + 15^{3/5} \)
2) \( \sqrt[3]{0{,}216 \cdot 8} \)
\( 0{,}216 = \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3} \)
\( 0{,}216 \cdot 8 = \frac{6^3}{10^3} \cdot 2^3 = \left( \frac{6 \cdot 2}{10} \right)^3 = \left( \frac{12}{10} \right)^3 = \left( \frac{6}{5} \right)^3 \)
Кубический корень: \( \frac{6}{5} = 1{,}2 \).
Ответ: \( 1{,}2 \)
3) \( \sqrt[10]{5^{20} \cdot 2^{30}} \)
\( (5^{20} \cdot 2^{30})^{1/10} = 5^{20/10} \cdot 2^{30/10} = 5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200 \).
Ответ: \( 200 \)
4) \( \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} \)
\( \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\frac{625}{5}} = \sqrt[3]{125} = 5 \).
Ответ: \( 5 \).
№ 3. Решите уравнение:
1) \( x^{11} = 5 \)
Нечётная степень ⇒ \( x = \sqrt[11]{5} \).
Ответ: \( x = \sqrt[11]{5} \)
2) \( x^{4} = 625 \)
\( x^4 = 5^4 \) ⇒ \( |x| = 5 \) ⇒ \( x = \pm 5 \).
Ответ: \( x = \pm 5 \)
3) \( x^{7} = -128 \)
\( x^7 = -2^7 \) ⇒ \( x = -2 \).
Ответ: \( x = -2 \)
4) \( x^{4} = -256 \)
Чётная степень не может быть отрицательной.
Ответ: нет решений
5) \( \sqrt[9]{x} = -1 \)
\( x = (-1)^9 = -1 \).
Ответ: \( x = -1 \)
6) \( \sqrt[4]{x} = -4 \)
Корень чётной степени неотрицателен.
Ответ: нет решений.
№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^{-6} \) на промежутке \( [-2; -1] \):
\( y = \frac{1}{x^6} \), чётная степень ⇒ убывает на \( (0, +\infty) \), возрастает на \( (-\infty, 0) \).
На \( [-2; -1] \) \( x < 0 \), при увеличении \( x \) модуль \( |x| \) уменьшается ⇒ \( x^6 \) уменьшается ⇒ \( y \) увеличивается.
Наименьшее: \( x = -2 \), \( y = \frac{1}{64} \)
Наибольшее: \( x = -1 \), \( y = 1 \).
Ответ: наим. \( \frac{1}{64} \), наиб. \( 1 \)
№ 5. Упростите выражение:
1) \( \sqrt[36]{b^{9}} \)
\( b^{9/36} = b^{1/4} = \sqrt[4]{b} \).
Ответ: \( \sqrt[4]{b} \)
2) \( \sqrt[4]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a} \)
\( a^{5/4} \cdot a^{1/3} = a^{5/4 + 1/3} = a^{15/12 + 4/12} = a^{19/12} \).
Ответ: \( a^{19/12} \)
3) \( \sqrt[12]{z^{12}} \), если \( z \le 0 \)
\( \sqrt[12]{z^{12}} = |z| = -z \) (т.к. \( z \le 0 \)).
Ответ: \( -z \)
4) \( \sqrt[8]{(x+3)^8} \), если \( x \ge -3 \)
\( x+3 \ge 0 \) ⇒ \( \sqrt[8]{(x+3)^8} = x+3 \).
Ответ: \( x+3 \)
№ 6. Определите графически количество решений системы уравнений
\[
\begin{cases}
y = x^{-4} \\
y = x^{4} — 3
\end{cases}
\]
Решение:
\( x^{-4} = x^{4} — 3 \) ⇒ \( \frac{1}{x^4} = x^4 — 3 \).
Пусть \( t = x^4 \ge 0 \), тогда \( \frac{1}{t} = t — 3 \) ⇒ \( 1 = t^2 — 3t \) ⇒ \( t^2 — 3t — 1 = 0 \).
Дискриминант: \( 9 + 4 = 13 \), корни \( t = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \).
\( \frac{3 — \sqrt{13}}{2} < 0 \) — не подходит.
\( \frac{3 + \sqrt{13}}{2} > 0 \) ⇒ \( x^4 = t \) ⇒ \( x = \pm \sqrt[4]{t} \).
Два решения по \( x \).
Ответ: 2 решения
№ 7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) \( \frac{1}{\sqrt[5]{16}} \)
\( \sqrt[5]{16} = 2^{4/5} \), домножим на \( 2^{1/5} \):
\( \frac{1}{2^{4/5}} \cdot \frac{2^{1/5}}{2^{1/5}} = \frac{2^{1/5}}{2} = \frac{\sqrt[5]{2}}{2} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt[5]{2}}{2} \)
2) \( \frac{10}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} \)
Используем тождество \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = \sqrt[3]{6} \), \( b = \sqrt[3]{4} \).
\( a^3 + b^3 = 6 + 4 = 10 \).
\( a^2 — ab + b^2 = \sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} \).
Домножим числитель и знаменатель на это выражение:
\( \frac{10 \cdot (\sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16})}{10} = \sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} \)
№ 8. Упростите выражение
\[
\left( \frac{\sqrt[10]{x} + 3}{\sqrt[10]{x} — 3} \cdot \frac{\sqrt[10]{x} + 9}{\sqrt[10]{x} + 3} + \frac{4}{\sqrt[5]{x} — 9} \right) : \frac{8}{\sqrt[5]{x} — 9}
\]
Заметим: \( \sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2 \), пусть \( t = \sqrt[10]{x} \), тогда \( \sqrt[5]{x} = t^2 \).
Первое слагаемое в скобках:
\( \frac{t + 3}{t — 3} \cdot \frac{t + 9}{t + 3} = \frac{t + 9}{t — 3} \).
Второе слагаемое: \( \frac{4}{t^2 — 9} = \frac{4}{(t — 3)(t + 3)} \).
Сумма: \( \frac{t + 9}{t — 3} + \frac{4}{(t — 3)(t + 3)} = \frac{(t + 9)(t + 3) + 4}{(t — 3)(t + 3)} \).
Числитель: \( t^2 + 12t + 27 + 4 = t^2 + 12t + 31 \).
Выражение в скобках: \( \frac{t^2 + 12t + 31}{(t — 3)(t + 3)} \).
Деление на \( \frac{8}{t^2 — 9} = \frac{8}{(t — 3)(t + 3)} \):
\( \frac{t^2 + 12t + 31}{(t — 3)(t + 3)} \cdot \frac{(t — 3)(t + 3)}{8} = \frac{t^2 + 12t + 31}{8} \).
Подставляем \( t^2 = \sqrt[5]{x} \):
\( \frac{\sqrt[5]{x} + 12\sqrt[10]{x} + 31}{8} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt[5]{x} + 12\sqrt[10]{x} + 31}{8} \).
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2. Варианты 1-2
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Базовый уровень. Код материалов: Мерзляк 10 Контрольная 2 В34.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.
