Самостоятельная работа № 16 по геометрии в 9 классе «Скалярное произведение векторов» с ответами (вариант 1), упражнения №№ 221-243. Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 16.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная работа № 16
№ 221. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если:
1) | а| = 2, | b| = 5, ∠( а, b) = 60°;
2) | а| = 4, | b| = 7, ∠( а, b) = 135°;
3) | а| = 9, | b| = 8, ∠( а, b) = 90°.
Решение: Скалярное произведение векторов: a • b = |a| • |b| • cos ∠(a,b).
1) a • b = 2 • 5 • cos 60° = 10 • (1/2) = 5.
2) a • b = 4 • 7 • cos 135° = 28 • (─ √2/2) = ─14√2.
3) a • b = 9 • 8 • cos 90° = 72 • 0 = 0.
Ответ: 1) 5; 2) ─14√2; 3) 0.
№ 222. Угол между векторами а и b равен 120°, |а| = 5, | b| = 6.
Найдите: 1) а • b; 2) (2а + 3b) • а.
Решение:
1) a • b = 5 • 6 • cos 120° = 30 • (─1/2) = ─15.
2) Раскроем:
(2a + 3b) • a = 2a • a + 3b • a = 2|a|² + 3(a • b).
= 2 • 25 + 3 • (─15) = 50 ─ 45 = 5.
Ответ: 1) ─15; 2) 5.
№ 223. Угол между векторами а и b равен 30°, |а| = |b| = 1. Найдите скалярное произведение (а – 2b) (а + b).
Решение:
a • b = |a||b|cos 30° = 1 • 1 • √3/2 = √3/2.
Раскроем:
(a ─ 2b) • (a + b) = a • a + a • b ─ 2b • a ─ 2b • b.
= |a|² + a • b ─ 2(a • b) ─ 2|b|² = 1 + √3/2 ─ 2• √3/2 ─ 2• 1.
= 1 + √3/2 ─ √3 ─ 2 = ─1 ─ √3/2.
Ответ: ─1 ─ √3/2.
№ 224. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если: 1) а(3; 4), b(5; 2); 2) а(4; –3), b(–6; 1).
Решение:
Скалярное произведение в координатах: a • b = x₁x₂ + y₁y₂.
1) 3 • 5 + 4 • 2 = 15 + 8 = 23.
2) 4 • (─6) + (─3) • 1 = ─24 ─ 3 = ─27.
Ответ: 1) 23; 2) ─27.
№ 225. Даны векторы а(3; –2) и b(x; 4). При каком значении х выполняется равенство а • b = 15?
Решение: a • b = 3 • x + (─2) • 4 = 3x ─ 8.
Уравнение: 3x ─ 8 = 15,
3x = 23,
x = 23/3.
Ответ: x = 23/3.
№ 226. Найдите косинус угла между векторами а(–2; 3) и b(3; –4).
Решение:
a • b = (─2) • 3 + 3 • (─4) = ─6 ─ 12 = ─18.
|a| = √{(─2)² + 3²} = √{4 + 9} = √13.
|b| = √{3² + (─4)²} = √{9 + 16} = 5.
cos ∠(a, b) = a • b/|a||b| = (─18)/5√13 = ─18/5√13.
Ответ: ─18/5√13.
№ 227. Медианы ВМ и CD правильного треугольника АВС со стороной 18 см пересекаются в точке О. Найдите скалярное произведение векторов:
1) AB и AC; 2) AB и BC; 3) BM и AC;
4) OM и OC; 5) CD и OM; 6) OB и OM.
Решение:
Сторона a = 18. В правильном треугольнике все углы 60°, медианы = высоты = биссектрисы, точка О — центр пересечения медиан (центр тяжести), делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
1) AB • AC = |AB| • |AC| • cos 60° = 18 • 18 • (1/2) = 162.
2) AB • BC : угол между AB и BC равен 120° (векторы направлены от B к C, а AB к B — сдвинем начало: AB и BC угол 120°).
AB • BC = 18 • 18 • cos 120° = 324 • (─(1/2)) = ─162.
3) BM — медиана из B к середине AC. Угол между BM и AC : BM перпендикулярна AC (в правильном треугольнике медиана — высота). Значит, cos 90° = 0, произведение 0.
4) OM и OC : O — точка пересечения медиан, M — середина AC, C — вершина.
OM = (1/3) BM (от M к O). OC = (2/3) CD (от O к C).
Но проще: OM направлен от O к M (от центра к середине AC), OC от O к C. Угол между ними: в треугольнике OMC угол MOC?
Лучше координатный метод:
Поместим A(0;0), B(18;0), C(9; 9√3) — высота √3/2 • 18 = 9√3.
M — середина AC: M((0 + 9)/2; (0 + 9√3)/2) = (4.5; 4.5√3).
O — центр медиан: O((0 + 18 + 9)/3; (0 + 0 + 9√3)/3) = (9; 3√3).
Тогда: OM = (4.5 ─ 9; 4.5√3 ─ 3√3) = (─4.5; 1.5√3).
OC = (9 ─ 9; 9√3 ─ 3√3) = (0; 6√3).
Скалярное произведение: (─4.5)• 0 + (1.5√3)• (6√3) = 0 + 1.5• 6 • 3 = 27.
5) CD и OM : D — середина AB: D(9;0).
CD = (9 ─ 9; 0 ─ 9√3) = (0; ─9√3).
OM = (─4.5; 1.5√3).
Произведение: (─4.5)• 0 + (1.5√3)• (─9√3) = 0 ─ 1.5• 9• 3 = ─40.5.
6) OB и OM :
OB = (18 ─ 9; 0 ─ 3√3) = (9; ─3√3).
OM = (─4.5; 1.5√3).
Произведение: 9• (─4.5) + (─3√3)• (1.5√3) = ─40.5 ─ 3• 1.5• 3 = ─40.5 ─ 13.5 = ─54.
Ответы: 1) 162; 2) ─162; 3) 0; 4) 27; 5) ─40.5; 6) ─54.
№ 228. Даны векторы а(5; 2) и b(–4; у). При каком значении у векторы а и b перпендикулярны?
Решение:
Условие перпендикулярности: a • b = 0.
5 • (─4) + 2 • y = 0,
─20 + 2y = 0,
2y = 20,
y = 10.
Ответ: y = 10.
№ 229. Даны векторы а(3; –5) и b(x; 6). При каких значениях х угол между векторами а и b: 1) острый; 2) прямой; 3) тупой?
Решение:
a • b = 3x + (─5)• 6 = 3x ─ 30.
Угол острый: a • b > 0 (и не коллинеарные особо, но здесь просто >0).
3x ─ 30 > 0, x > 10.
Угол прямой: 3x ─ 30 = 0, x = 10.
Угол тупой: 3x ─ 30 < 0, x < 10.
Ответ: 1) x > 10; 2) x = 10; 3) x < 10.
№ 230. Найдите координаты вектора m коллинеарного вектору n(–3; 1), если m • n = 24.
Решение:
Коллинеарность: m = k • n = (─3k; k).
m • n = (─3k)•(─3) + k • 1 = 9k + k = 10k.
Уравнение: 10k = 24, k = 2.4.
Тогда m = (─3• 2.4; 2.4) = (─7.2; 2.4).
Ответ: (─7.2; 2.4).
№ 231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору m(2; 5), модуль которого равен модулю вектора m.
Решение:
Пусть искомый вектор p(x; y).
1) Перпендикулярность: 2x + 5y = 0.
2) Модуль равен модулю m: √{x² + y²} = √{2² + 5²} = √29.
Из первого: x = ─ 5/2y.
Подставим во второе:
25/4y² + y² = 29,
29/4y² = 29,
y² = 4,
y = ± 2.
При y = 2 : x = ─5.
При y = ─2 : x = 5.
Два вектора: (─5; 2) и (5; ─2).
Ответ: (─5; 2) или (5; ─2).
№ 232. Даны векторы а(–2; 3) и b(1; –3). Найдите значение m, при котором векторы а + mb и b перпендикулярны.
Решение:
1. Найдём вектор a + mb :
a + mb = (─2; 3) + m(1; ─3) = (─2 + m; 3 ─ 3m).
2. Условие перпендикулярности: (a + mb) • b = 0.
(─2 + m; 3 ─ 3m) • (1; ─3) = (─2 + m)• 1 + (3 ─ 3m)• (─3) = ─2 + m ─ 9 + 9m = ─11 + 10m = 0.
3. Решаем: 10m = 11, m = 1,1.
Ответ: m = 1,1.
№ 233. Даны векторы а и b, | а| = 3, | b| = 2, ∠( а, b) = 60°. Найдите: 1) |а + b|; 2) |2а – 3 b|.
Решение:
1. |a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos 60° = 9 + 4 + 2• 3• 2• (1/2) = 13 + 6 = 19.
|a + b| = √19.
2. |2a ─ 3b|² = (2a ─ 3b)² = 4|a|² + 9|b|² ─ 12|a||b|cos 60° = 4• 9 + 9• 4 ─ 12• 3• 2• (1/2) = 36 + 36 ─ 36 = 36.
|2a ─ 3b| = 6.
Ответ: 1) √19; 2) 6.
№ 234. Найдите косинус угла между векторами а = m + 3 n и b = 2 m – n, если | m| = | n| = 1 и m ⊥ n.
Решение:
1. m • n = 0.
2. a • b = (m + 3n) • (2m ─ n) = 2m² ─ m•n + 6m•n ─ 3n² = 2• 1 ─ 0 + 0 ─ 3• 1 = ─1.
3. |a|² = (m + 3n)² = m² + 6m•n + 9n² = 1 + 0 + 9 = 10, |a| = √10.
|b|² = (2m ─ n)² = 4m² ─ 4m•n + n² = 4 ─ 0 + 1 = 5, |b| = √5.
4. cos φ = a • b/|a||b| = (─1)/√10 • √5 = ─ 1/√50 = ─ 1/5√2 = ─ √2/10.
Ответ: cos φ = ─ √2/10.
№ 235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор АВ, если А(–5; 4), В(1; –4), с положительными направлениями координатных осей.
Решение:
1. AB = (1 ─ (─5); ─4 ─ 4) = (6; ─8).
2. |AB| = √{6² + (─8)²} = √{36 + 64} = √100 = 10.
3. Косинус угла с осью Ox: cosα = 6/10 = 0,6.
Косинус угла с осью Oy: cosβ = (─8)/10 = ─0,8.
Ответ: cosα = 0,6, cosβ = ─0,8.
№ 236. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А(–2; 1), В(2; 5), С(5; 2) и D(1; –2) является прямоугольником.
Решение:
1. AB = (4; 4), BC = (3; ─3), CD = (─4; ─4), DA = (─3; 3).
2. AB = ─CD, BC = ─DA ⇒ противоположные стороны параллельны и равны ⇒ параллелограмм.
3. AB • BC = 4• 3 + 4• (─3) = 12 ─ 12 = 0 ⇒ угол B прямой.
В параллелограмме один прямой угол ⇒ прямоугольник.
Ответ: Доказано.
№ 237. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А(–2; 3), В(2; 7), С(6; 3) и D(2; –1) является квадратом.
Решение:
1. AB = (4; 4), BC = (4; ─4), CD = (─4; ─4), DA = (─4; 4).
2. AB = ─CD, BC = ─DA ⇒ параллелограмм.
3. |AB| = √{16 + 16} = √32 = 4√2, |BC| = √{16 + 16} = 4√2 ⇒ смежные стороны равны ⇒ ромб.
4. AB • BC = 4• 4 + 4• (─4) = 16 ─ 16 = 0 ⇒ угол B прямой.
Ромб с прямым углом ⇒ квадрат.
Ответ: Доказано.
№ 238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник АВС, если А(–3; 2), В(5; 3), С(–4; –3)?
Решение:
1. AB = (8; 1), BC = (─9; ─6), CA = (1; 5).
2. Найдём квадраты длин сторон:
AB² = 64 + 1 = 65,
BC² = 81 + 36 = 117,
CA² = 1 + 25 = 26.
3. Проверим теорему Пифагора: наибольшая сторона BC, BC² = 117, AB² + CA² = 65 + 26 = 91.
117 > 91 ⇒ угол напротив BC тупой ⇒ треугольник тупоугольный.
Ответ: тупоугольный.
№ 239. Найдите косинус угла между векторами а и b, если |а| – | b| = 1, а векторы а + 2 b и 3а + b перпендикулярны.
Ответ: –1/2.
№ 240. Найдите геометрическое место точек К (х; у) координатной плоскости таких, что для точек А (3; –2) и В (5; 4) выполняется равенство: 1) А K • АВ = 0; 2) АК • ВК = 4.
Решение:
1. AB = (2; 6), AK = (x ─ 3; y + 2).
Условие AK • AB = 0 : 2(x ─ 3) + 6(y + 2) = 0 ⇒ 2x ─ 6 + 6y + 12 = 0 ⇒ 2x + 6y + 6 = 0 ⇒ x + 3y + 3 = 0.
Это прямая, проходящая через A перпендикулярно AB.
2. BK = (x ─ 5; y ─ 4).
AK • BK = (x ─ 3)(x ─ 5) + (y + 2)(y ─ 4) = 4.
Раскроем: x² ─ 8x + 15 + y² ─ 2y ─ 8 = 4 ⇒ x² + y² ─ 8x ─ 2y + 3 = 0.
Выделим полные квадраты: (x ─ 4)² ─ 16 + (y ─ 1)² ─ 1 + 3 = 0 ⇒ (x ─ 4)² + (y ─ 1)² = 14.
Это окружность с центром (4; 1) и радиусом √14.
Ответы: 1) прямая x + 3y + 3 = 0; 2) окружность (x ─ 4)² + (y ─ 1)² = 14.
№ 241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром М (3; –1) в точке Е (2; 4).
Ответ: 5y — x — 18 = 0
№ 242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту АН треугольника АВС, если А (4; 5), В (–3; 1), С (–5; –6).
№ 243. Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD. Найдите косинус угла между прямыми АС и DM.
Вы смотрели: Самостоятельная работа № 16 по геометрии в 9 классе «Скалярное произведение векторов» с ответами (вариант 1). Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 16.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
