Контрольно-измерительные материалы: Контрольная работа № 3 по геометрии 9 класс с ответами «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» (составитель вопросов — А.Н. Рурукин). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 3 (2 варианта).
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс
Контрольная работа № 3
Тема учебника: Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Упростите выражение
(sin3 α + cos3 α + 3 sin2 α • cos α + 3 sin α • cos2 а) / (sin α + cos α) – 2 sin α • cos а.
ОТВЕТ: 1.
[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»]
[/su_spoiler]
№ 2. В треугольнике ΑBC ∠Α = α, ∠B = β, ΑB = c. Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.
ОТВЕТ: S = (c2 sin α sin β) / (2 sin (α+β)).
Решение. По теореме синусов:
AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R.
Угол C = 180° ─ (α + β), sin C = sin(α + β).
Сторона BC = c sin α/(sin(α + β)).
Площадь:
S = (1/2) • AB • BC • sin B = (1/2) • c • c sin α/(sin(α + β)) • sin β
= (c² sin α sin β)/(2 sin(α + β)).
Радиус описанной окружности:
2R = AB/sin C = c/(sin(α + β)) ⇒ R = c/(2 sin(α + β)).
№ 3. В параллелограмме ABCD даны стороны AB = 4 см, AD = 5√2 см и угол ∠A = 45°. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.
ОТВЕТ: AC = √106 см, BD = √26 см и S = 20 см2.
Решение. Площадь:
S = AB • AD • sin 45° = 4 • 5√2 • √2/2 = 4 • 5 • 1 = 20 см².
Диагонали: По теореме косинусов:
AC² = AB² + AD² + 2 • AB • AD • cos 45° (угол между AB и AD 45°).
AC² = 4² + (5√2)² + 2 • 4 • 5√2 • √2/2
= 16 + 50 + 2 • 4 • 5 • 1
= 66 + 40 = 106.
AC = √106 см.
BD² = AB² + AD² ─ 2 • AB • AD • cos 45°
= 16 + 50 ─ 40 = 26.
BD = √26 см.
№ 4. Найдите координаты вектора b, если |b| = √136, b ⊥ а, а{3; – 5}, а угол между вектором b и положительным направлением оси абсцисс острый.
ОТВЕТ: b{10; 6}.
Решение: Пусть b = (x; y).
Условие перпендикулярности: 3x ─ 5y = 0 ⇒ y = 3/5x.
Длина: x² + y² = 136.
Подставляем:
x² + 9/25x² = 136 ⇒ 34/25x² = 136 ⇒ x² = 100 ⇒ x = ± 10.
Угол с осью абсцисс острый ⇒ x > 0, значит x = 10, y = 6.
№ 5. Вычислите скалярное произведение векторов m = 3а – 2b и n = 2а + 5b, если а{–3; 1}, b{2; – 2}.
ОТВЕТ: –108.
Решение. Сначала найдём m и n :
m = 3(─3; 1) ─ 2(2; ─2) = (─9; 3) + (─4; 4) = (─13; 7).
n = 2(─3; 1) + 5(2; ─2) = (─6; 2) + (10; ─10) = (4; ─8).
Скалярное произведение:
m • n = (─13) • 4 + 7 • (─8) = ─52 ─ 56 = ─108.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Упростите выражение
─2 sin α cos α ─ (sin³α ─ cos³α ─ 3 sin²α cos α + 3 sin α cos²α)/(sin α ─ cos α)
ОТВЕТ: –1.
[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ»]
[/su_spoiler]
№ 2. В треугольнике ΑBC ∠Α = α, ∠B = β, BC = а. Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.
ОТВЕТ: S = (α2 sin β sin (α+β)) / (2 sin α) и R = α/(2 sin α).
Решение. По теореме синусов:
BC/sin A = AC/sin B = AB/sin C = 2R
Здесь BC = a, ∠A = α, ∠B = β, ∠C = π ─ α ─ β.
1) Радиус описанной окружности:
2R = a/sinα ⇒ R = a/2sinα
2) Площадь:
S = (1/2) • AB • AC • sin A
Но проще: S = (1/2) • BC • AC • sin C
Из теоремы синусов: AC = a sinβ / sinα
S = (1/2) • a • a sinβ/sinα • sin(π ─ α ─ β) = (a² sinβ sin(α + β))/2sinα
№ 3. В параллелограмме ABCD даны стороны AB = 8 см, AD = 3√3 см и угол ∠A = 60°. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.
ОТВЕТ: AC = √163 см, BD = √19 см и S = 36 см2.
Примечание: с данным условием задача не может иметь такие ответы. Чтобы избежать вложенные корни в ответе, рекомендуем изменить условие так, чтобы оно было равнозначно варианту 1:
№ 3. В параллелограмме ABCD даны стороны AB = 6 см, AD = 6√2 см и угол ∠A = 45°. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.
ОТВЕТ: AC = 6√5 см, BD = 6 см, S = 36 см².
№ 4. Найдите координаты вектора b, если |b| = √117, b ⊥ а, а{–3; 2}, а угол между вектором b и положительным направлением оси ординат тупой.
ОТВЕТ: b{–6; –9}.
Решение: Пусть b = {x; y}.
1) b ⊥ a ⇒ ─3x + 2y = 0 ⇒ 2y = 3x ⇒ y = 1.5x.
2) |b|² = x² + y² = 117.
Подставляем: x² + (2.25x²) = 3.25x² = 117 ⇒ x² = 36 ⇒ x = ± 6.
Тогда y = ± 9 (соответственно).
Угол между b и осью ординат тупой ⇒ cosγ < 0, где γ — угол с осью Oy.
cosγ = b• (0,1)/|b| = y/√117.
Чтобы cosγ < 0, нужно y < 0.
Если x = 6, y = 9 — не подходит (y>0).
Если x = ─6, y = ─9 — подходит (y<0).
№ 5. Вычислите скалярное произведение векторов m = 2а – 3b и n = 3а + 4b, если а{–2; 3}, b{3; – 1}.
ОТВЕТ: –33.
Решение. Скалярное произведение:
m• n = (2a ─ 3b)•(3a + 4b) = 6(a• a) + 8(a• b) ─ 9(b• a) ─ 12(b• b)
= 6|a|² ─ (a• b) ─ 12|b|²
Вычисляем:
a• a = (─2)² + 3² = 4 + 9 = 13
b• b = 9 + 1 = 10
a• b = (─2)• 3 + 3•(─1) = ─6 ─ 3 = ─9
Тогда:
m• n = 6• 13 ─ (─9) ─ 12• 10 = 78 + 9 ─ 120 = ─33
Ответы в графическом виде:
Вы смотрели: Контрольная работа № 3 по геометрии 9 класс. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 9 КИМ Контрольная 3 (2 варианта).
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
