Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк)

Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме учебника «Многоугольники. Площадь многоугольника» с ответами для УМК Мерзляк, Полонский, Якир (4 варианта).

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 8 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 6

Многоугольники. Площадь многоугольника

КР-6 Варианты 1-4 (задания)

 

Ответы на контрольную № 6

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 12–угольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (12–2) = 1800°.
ОТВЕТ: сумма углов выпуклого 12–угольника = 1800°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 144 см2, а одна из его высот – 16 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
Решение
: S = ah  =>  a = S/h = 144 : 16 = 9 (см).
ОТВЕТ: 9 см.

№ 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов – 12 см.
Решение: 1) а = √[132 – 122] = √[169 – 144] = 5 (см)
2) S = ab/2 = 5 • 12 : 2 = 30 (см2)
ОТВЕТ: 30 см2.

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей – 28 см.
Дано: ромб ABCD, АВ = 10 см, АС+BD = 28 см, АС ∩ BD = О.
Найти: SABCD – ?
Решение: 1) АО + ОВ = 28 / 2 = 14 (см).
Пусть АО – это х, тогда ОВ = 14 – х,
2) △АОВ:  100 = х2 + (14 – х)2 = х2 + 196 – 28х + х2
2 – 28х + 96 = 0   =>  х2 – 14х + 48 = 0
Д = 196 – 192 = 4
х = (14 – 2)/2 = 6  =>
AO = 6 (см); OB = 14 – 6 = 8 (см)
АС = АО • 2 = 12 (см); BD = ОВ • 2 = 16 (см)
3) S = 1/2 • АС • BD = 1/2 • 12 • 16 = 96 (см2)
ОТВЕТ: площадь ромба = 96 см2.

№ 5. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12 √2 см, а острый угол – 45°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
Решение: По теореме синусов
СК = CD • sin D = 12√2 • sin 45° = (12√2) • (√2/2) = 12см.
СК – высота трапеции. В трапецию можно вписать окружность тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
АВ + CD = BC + AD
АВ = СК = 2  ⇒  AB + CD = 12 + 12√2 = 12(1+√2) (cм) ⇒
BC + AD = 12(1+√2)
Sтрап = 1/2 • (ВС + AD) • СК = 1/2 • 12 • (1+√2) • 12 = 72(1+√2) (см²)
ОТВЕТ: площадь трапеции = 72 + 72√2 см2.

№ 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Найдите площадь треугольника.
Дано: △АВС, AD – биссектриса, BD = 17 см, DC = 8 см,
Найти: SABC – ?
Решение № 1: BC = BD + DC = 25 (см)
Проведем DH – высота на AB
Биссектриса — геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Точка D лежит на биссектрисе, DH = DC = 8
BH = √[BD2 – DH2] = √[172 – 82] = √[9 • 25] =15
△ABC ~ △DBH (по двум углам)
k = BC/BH = 25/15 = 5/3
SDBH = BH • DH / 2 = 15 • 8 / 2 = 60
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
SABC = SDBH • k2 = 60 • 25 / 9 = 500/3 = 166 3/4 ≈ 166,67 (см2)

Решение № 2: △ADH и △ADC равны по острому углу и гипотенузе.
DH = DC = 8, AH = AC
Из △DBH по теореме Пифагора находим BH = 15
AB = AH + BH = AC + 15
AC2 + BC2 = AB2  =>  AC2 + 252 = (AC + 15)2  =>
AC2 + 252 = AC2 + 30AC + 152  =>
AC = (252 – 152) / 30 = 10 • 40 / 30 = 40 / 3
SABC = AC • BC / 2 = 40 • 25 / 3 • 2 = 500/3 = 166 3/4 ≈ 166,67 (см2)
ОТВЕТ: площадь треугольника = 166 2/3 см2.


ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 17–угольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (17–2) = 2700°.
ОТВЕТ: 2700
°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 104 см2, а одна из его сторон – 13 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
Решение: S = ah  =>  h = S/a = 104 : 13 = 8 (см).
ОТВЕТ: 8 см.

№ 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 30 см, а боковая сторона – 17 см.
Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 17 см, ВН – высота к основанию АС, АС = 30 см.
Найти: SАВС – ?

Решение:
1) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, ΔАВН = ΔВНС (по 1–му признаку).
AC = АН + НС = 2НС  =>  НС = 1/2 • АС = 15 (см)
2) ВН2 = ВС2 – НС2 = 172 – 152.
ВН = √[172 – 152] = √[289 – 225] = 8 (см);
3) SАВС = 1/2 • АС • ВН = 1/2 • 30 • 8 = 120 (см2)
ОТВЕТ: 120 см2.

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей – 6 см.
Решение: Обозначим D – большая диагональ, d – меньшая,
тогда D = d + 6. Определим длину меньшей диагонали через теорему Пифагора: ((d + 6) / 2)2 + (d/2)2 = 152,
(d2 + 12d + 36 + d2) / 4 = 225,
d2 + 6d + 18 = 225*2,
d2 + 6d – 432 = 0,
Д = 62 – 4 * 1 * (–432) = 1764
d1 = (–6 + √1764) / 2 * 1 = 18,
d2 < 0 – корень не подходит. Значит d = 18.
Тогда S = ((18 + 6) * 18) / 2 = 216 (см2)
ОТВЕТ:
площадь ромба = 216 см2.

№ 5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Решение: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
AD + BC = AB + CD = 10 • 2 = 20 (см)
в ΔАВН:  ∠AHB = 90°, sin ∠A = BH / AB
BH = AB • sin ∠A = 10 • sin 60° = 10 • √3/2 = 5√3 (см)
SABCD = 0,5 • (AD + BC) • BH = 0,5 • 20 • 5√3 = 50√3 см²
ОТВЕТ: 50√3 см2.

№ 6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите площадь треугольника.
Краткое решение: По св–ву биссектрисы  AC/CB = 30/40
Запишем теорему Пифагора: 9x2 + 16x2 = 702
Откуда x2 = 196
S = 1/2 • 3x • 4x = 6x2 = 1176 (см2)
ОТВЕТ: 1176 см2.


ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 22–угольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (22–2) = 3600°.
ОТВЕТ: 3600
°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 112 см2, а одна из его высот – 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
Решение: S = ah  =>  a = S/h = 112 : 14 = 8 (см).
ОТВЕТ: 8 см.

№ 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а один из катетов – 10 см.
Решение: 1) а = √[262 – 102] = √[676 – 100] = 24 (см)
2) S = ab/2 = 10 • 24 : 2 = 120 (см2)
ОТВЕТ: 120 см2.

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 70 см.
Решение: x2 + (35 – x)2 = 625
x = 20 или х = 15
площадь равна половине произведения диагоналей
S1 = 40 • 30 : 2 = 600 (см2);   S2 = 30 • 40 : 3 = 600 (см2)
ОТВЕТ: 600 см2.

№ 5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8√3 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
Решение: Площадь трапеции – это полусумма оснований на высоту.
S =1/2 • (BC + AD) • h
Высота известна: так как трапеция прямоугольная, меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям h = AB = 8√3.
Трапеция описанная. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны BC + AD = AB + CD.
Найдем CD. Опустим высоту CH и рассмотрим треугольник CDH.
∠HСD = 90°– 60° = 30°
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы, HD = CD/2
Пусть HD = x, CD = 2x, тогда по т.Пифагора
CH = √[CD2 – HD2] = x • √[4 – 1] = x√3.
CH/CD = √3/2 => CD = 8√3 : √3/2 =16
Таким образом S = 1/2 • (8√3 + 16) • 8√3 = 96 + 64√3 (см2)
ОТВЕТ: 96 + 64√3 см2.

№ 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.
Решение: Обозначим a, b – катеты, с – гипотенуза, тогда S = 1/2 • ab.
Один катет нам известен: b = 5 + 13 = 18 (см).
Вспомним свойство биссектрисы: Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам,
т.е. а/5 = с/13, отсюда с = 13а/5.
Воспользуемся т. Пифагора (13а/5)2 = 182 + а2
(169а2)/25 – а2 = 182
(144а2)/25 = 324
(4а2)/25 = 9
2 = 225
а2 = 56,25 => a = 7,5
S = 1/2 • ab = 1/2 • 7,5 • 18= 67,5 (см2)
ОТВЕТ: 67,5 см2.

 


ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого двадцатисемиугольника?
Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (27–2) = 4500°.
ОТВЕТ: 4500
°.

№ 2. Площадь параллелограмма равна 108 см2, а одна из его сторон – 18 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
Решение: Для нахождения высоты параллелограмма, проведённой к стороне, необходимо разделить площадь параллелограмма на длину этой стороны.
S = ah  =>  h = S/a = 108 : 18 = 6 (см).
ОТВЕТ: 6 см.

№ 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, высота которого, проведённая к основанию, равна 12 см, а боковая сторона – 37 см.
Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 37 см, ВН – высота к основанию АС, ВН = 12 см.
Найти: SАВС – ?

Решение: 1) НС2 = ВС2 – ВН2 = 372 – 122.
НС = √[372 – 122] = √[1369 – 144] = 35 (см);
2) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, ΔАВН = ΔВНС (по 1–му признаку). AC = АН + НС = 2НС = 70 (см)
3) SАВС = 1/2 • АС • ВН = 1/2 • 70 • 12 = 420 (см2)
ОТВЕТ: 420 см2.

№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 17 см, а разность диагоналей – 14 см.

Решение: Стороны ромба равны, диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половины диагоналей х и у.
Если 2у – 2х = 14, то у – х = 7.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора: АВ2 = АО2 + ВО2.
Получаем систему уравнений: у – х = 7 и у2 + х2 = 289.
Возведем обе части первого уравнения в квадрат: у2 + х2 – 2ху = 49
Подставим значение суммы квадратов из второго уравнения: 289 – 2ху = 49.
2ху = 289 – 49
2ху = 240
SABCD = 1/2 • АС • BD = 1/2 • 2х • 2у = 2ху = 240 (см2)
ОТВЕТ: 240 см2.

№ 5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√3 см, а острый угол – 30°. Найдите площадь этой трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
ОТВЕТ: 150 см2.

№ 6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 240 см2.


 

Смотрите также похожую работу:
Контрольная № 6 из Дидактических материалов (2 варианта) с ответами

 


Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме учебника «Многоугольники. Площадь многоугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Дидактические материалы для учителей, родителей и учащихся.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии 8 класс

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк): 10 комментариев

  1. 3 вариант 1 задание ошибка
    в задаче 22х угольник, а в решении 12ти угольник
    и в 4 варианте 1 задание какой гений решал?
    там в 27ми угольник будет 4500, а не 900

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней