Геометрия 8 Контрольная 5 (Мерзляк)

Геометрия 8 Контрольная 5 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе с ответами по теме «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 8 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 5

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников

КР-5 Варианты 1-4 (задания)

 

Справочный материал для решения задач

Ещё 2 варианта контрольной работы № 5 (с ответами)

 

Ответы на контрольную № 5

Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 13 см, AC = 5 см. Найдите: 1) sin B; 2) tg A.
Решение: AC² = AB² – BC²  =>  BC = √[13² – 5²] = √144 = 12 (см).
1) sin В = АC/AB = 5 : 13 = 0,3846.
2) tg A = BC/AC = 12 : 5 = 2,4.
ОТВЕТ:  1) 5/13 или 0,3846;  2) 2,4.

№ 2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если BC = 6 см, cos B = 3/7.
Решение: cos B = BC/AB => AB = BC / cos B = 6 / (3/7) = 42/3 = 14 (cм)
ОТВЕТ: 14 см.

№ 3. Найдите значение выражения sin² 37° + cos² 37° – sin² 45°.
Решение: Преобразуем данное выражение, используя основное тригонометрическое тождество: sin² а + cos² а = 1. Значит и sin² 37° + cos² 37° = 1, получим тождественное выражение 1 – sin² 45°. Значение sin 45° = √[2/2], поэтому sin² 45° = 2/4 = 1/2. Подставляем это значение в выражение 1- sin² 45° = 1 – 1/2 = 1/2.
ОТВЕТ: 0,5.

№ 4. В равнобокой трапеции ABCD AB = CD = 6 см, BC = 8 см, AD = 12 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла A трапеции.
Решение: Построим эту равнобедренную трапецию и проведем ее высоты с вершин В и С. Чтобы найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции достаточно найти эти тригонометрические величины угла А треугольника АВН. Для этого нужно прежде найти BH.
ВС = HК = 8, АH = КD = (АD – ВС)/2 = (12 – 8)/2 = 2 (см).
BH = √[AB² – AH²) = √[36 – 4] = √32 (см).
Тогда cos A = AH/AB = 2/6 = 1/3; sin A = BH/AB = √32/6;
tg A = BH/AH = √32/2,  ctg A = AH/BH = 2/√32.

ОТВЕТ: cos A = 1/3; sin A = √32/6; tg A = √32/2, ctg A = 2/√32.

№ 5. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если AB = 2√3 см, BC = 7 см, ∠A = 60°.
Решение: ∠ABD = 90° – 60° = 30°. Тогда AD = 2√3/2 = √3 (см), как катет, лежащий против угла 30°.
BD = √[АВ² – AD²] = √[(2√3)² – (√3)²] = √[12 – 3] = √9 = 3 (см).
CD = √[ВС² – BD²] = √[7² – 3²] = √[49 – 9] = √40 = 2 • √10.
ОТВЕТ: CD = 2√10.

№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
ОТВЕТ: h = R • Sin 2α.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через тангенс угла α.
Дано: трапеция ABCD, AB=CD, d = AC — диагональ, AC ⊥ CD, α — угол между h и d, R — радиус окружности, описанной около трапеции.
Найти: h (высота трапеции) — ?
Решение: 1) проведем высоту h (CН), из условия следует: ∠ACD = 90°, ∠AHC = 90°, ∠CHD = 90°;
2) так как △ACD прямоугольный, то центр описанной около равнобокой трапеции окружности лежит на середине большего основания, так как вписанный угол ACD опирается на диаметр.  =>  AD = 2R.

3) ∠АСН = α (из условия), тогда в прямоугольном △АСН Cos α = h/d (отношение прилежащего катета h к гипотенузе d).  => h = d•Cos α  (1).
4) Высота СН делит прямоугольный △АСD на подобные треугольники АСН и CDH (см. Теорему о высоте прямоугольного треугольника)  =>  ∠ACH = ∠CDH = α. Тогда в прямоугольном △АСD Sin α = d/2R (отношение противолежащего катета d к гипотенузе AD = 2R).  =>  d = 2R•Sin α. (2)
5) подставим (2) в (1): h = 2R • Sin α • Cos α. Так как Sin α • Cos α = 1/2 • Sin 2α, то h = R • Sin 2α.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. В треугольнике ABC ∠B = 90°, AC = 17 см, BC = 8 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg A.
ОТВЕТ: 1) 8/17; 2) 1 ⁷/₈.

№ 2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника MNK (∠N = 90°), если MN = 10 см, sin K = 5/9.
ОТВЕТ: 18 см.

№ 3. Найдите значение выражения cos² 45° + sin² 74° + cos² 74°.
ОТВЕТ: 1,5.

№ 4. В прямоугольной трапеции ABCD (BC || AD, ∠A = 90°) AB = 4 см, BC = 7 см, AD = 9 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла D трапеции.
ОТВЕТ: sin D = 2√5/5; cos D = √5/5; tg D = 2, ctg D = 1/2.

№ 5. Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK. Найдите сторону MN, если FK = 6√3 см, MF = 8 см, ∠K = 30°.
ОТВЕТ: 10 см.

№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между диагональю и высотой трапеции равен α. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.
ОТВЕТ: R = h / Sin 2α.
Примечание: возможны и другие варианты решений, например, через тангенс угла α. Тогда ответ будет: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.
Дано: трапеция ABCD, AB=CD, d = AC — диагональ, h — высота трапеции, AC ⊥ CD, α — угол между h и d.
Найти: R (радиус окружности, описанной около трапеции) — ?
Решение: 1) проведем высоту h (CН), из условия следует: ∠ACD = 90°, ∠AHC = 90°, ∠CHD = 90°;
2) так как △ACD прямоугольный, то центр описанной около равнобокой трапеции окружности лежит на середине большего основания, так как вписанный угол ACD опирается на диаметр.  =>  AD = 2R.

3) ∠АСН = α (из условия), тогда в прямоугольном △АСН Cos α = h/d (отношение прилежащего катета h к гипотенузе d).  => h = d•Cos α  (1).
4) Высота СН делит прямоугольный △АСD на подобные треугольники АСН и CDH (см. Теорему о высоте прямоугольного треугольника)  =>  ∠ACH = ∠CDH = α. Тогда в прямоугольном △АСD Sin α = d/2R (отношение противолежащего катета d к гипотенузе AD = 2R).  =>  d = 2R•Sin α. (2)
5) подставим (2) в (1): h = 2R • Sin α • Cos α. Отсюда R = h / (2 • Sin α • Cos α).
6) Так как Sin α • Cos α = 1/2 • Sin 2α, то R = h / Sin 2α.

ОТВЕТ: R = h / Sin 2α или R = h / (2 • Sin α • Cos α).

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 26 см, BC = 10 см. Найдите: 1) sin A; 2) tg B.
ОТВЕТ: 1) 5/13; 2) 2,4.

№ 2. Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), если AC = 12 см, cos C = 2/3.
ОТВЕТ: 8 см.

№ 3. Найдите значение выражения sin² 61° + cos² 61° – cos² 60°.
ОТВЕТ: 3/4.

№ 4. В равнобокой трапеции FKPE FK = EP = 9 см, FE = 20 см, KP = 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F трапеции.
ОТВЕТ: sin F = √5/3; cos F = 2/3; tg F = √5/2, ctg F = 2√5/5.

№ 5. Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB = 10√2 см, AC = 26 см, ∠B = 45°.
ОТВЕТ: 24 см.

№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между большим основанием и боковой стороной равен α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через тангенс угла α.
Решение: 1) построим высоту h (CН), из условия следует: ∠ACD = 90°, ∠AHC = 90°, ∠CHD = 90°;
2) так как △ACD прямоугольный, то центр описанной около равнобокой трапеции окружности лежит на середине большего основания, так как вписанный угол ACD опирается на диаметр.  =>  AD = 2R.

3) ∠АDС = α (из условия), тогда в прямоугольном △АСD Sin α = d/2R (отношение противолежащего катета d к гипотенузе AD = 2R).  =>  d = 2R • Sin α. (1)
4) Высота СН делит прямоугольный △АСD на подобные треугольники АСН и CDH (см. Теорему о высоте прямоугольного треугольника)  =>  ∠ACH = ∠CDH = α. Тогда в прямоугольном △АСН Cos α = h/d (отношение прилежащего катета h к гипотенузе d).  => h = d • Cos α  (2).
5) подставим (1) в (2): h = 2R • Sin α • Cos α. Так как Sin α • Cos α = 1/2 • Sin 2α, то h = R • Sin 2α.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, AC = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B.
ОТВЕТ: 1) 0,6; 2) 1 ¹/₃.

№ 2. Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 см, tg A = 1/4.
ОТВЕТ: 2 см.

№ 3. Найдите значение выражения cos² 42° + sin² 42° + sin² 30°.
ОТВЕТ: 1 ¹/₄.

№ 4. В прямоугольной трапеции KDMT (DM || KT, ∠D = 90°) DM = 6 см, KT = 21 см, MT = 20 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла T трапеции.
ОТВЕТ: sin T = √7/4; cos T = 3/4; tg T = √7/3, ctg T = 3√7/7.

№ 5. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.
Решение:

NE по теореме Пифагора: NE² = NP² – EP² = 17² – 8² = 225
∠FNE = 180° – ∠NFP — ∠FEN = 180° – 60° – 90° = 30°
NF² = FE² + NE²
FE = NF / 2 (так как ∠FNE равен 30°)
NF² = (NF / 2)² + 225 = NF² / 4 + 225
3 • NF² / 4 = 225
NF² = 225 * 4 : 3 = 300
NF = √300 = 10√3
ОТВЕТ: 10√3 см.

№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и высотой трапеции равен α. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.
ОТВЕТ: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через синус угла α. Тогда ответ будет: R = h / Sin 2α.
Дано: трапеция ABCD, ∠ABD = 90°, ∠BHD = 90°, ∠DBH = α, BH = h.

Решение: ∠A = 180° – ∠ABD – ∠BDA = 180° – 90° – ∠BDA = 90° – ∠BDA;
∠DBH = 180° – ∠BHD – ∠ BDA = 180° – 90° – ∠ BDA = 90° – ∠BDA. Следовательно, ∠A = ∠DBH.
△BHD:  tg α  = HD/BH  =>  HD = h • tg α
△AHB:  ctg α = AH/BH  =>  AH = h • ctg α
AD = AH + HD = h • (tg α + ctg α )
Трапеция ABCD — равнобедренная, следовательно ее можно вписать в окружность. Угол ABD — прямой, следовательно опирается на диаметр окружности (AD), описанной около треугольника ABD и трапеции ABCD.
R = AD / 2 = (h • (tg α + ctg α )) / 2.
ОТВЕТ: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.

 

Примечание: для проверки правильности решения задачи № 6 во всех 4-х вариантах можете использовать следующий реальный пример: d = 4; AD = 5; боковая сторона = 3; h = 2,4; R = 2,5; α = 53,1°; Sin α = 0,8; Cos α = 0,6; Tg α = 1,33; Ctg α = 0,75.
Теорема о высоте прямоугольного треугольника:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

 

---

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 5 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии 8 класс

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.