Алгебра 10 Мерзляк КР-5

Контрольная работа № 5 по алгебре с ответами для 10 класса «Соотношение между тригонометрическими функциями. Формулы сложения и их следствия» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир) Цитаты использованы в учебных целях. Алгебра 10 Мерзляк КР-5 + ОТВЕТЫ.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 10 класс

Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 5.

Тема: Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия.

КР-5. Вариант 1 (задания).

КР-5. Вариант 2 (задания).

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Упростите выражение: 1) (cos² 6a – 1) / (1 – sin² 6a) – tg 12a • ctg 12a; 2) sin 8a • cos 3a – cos 8a • sin 3a; 3) (4 cos² 7а) / (sin 14а); 4) (sin 14а – sin 10а) / (cos 3a – cos 7a); 5) cos² (π/2 – За) – cos² (π + 3a); 6) 2 • cos 8a • cos 9a – cos 17a.

ОТВЕТЫ:
1) (cos² 6a – 1)/(1 – sin² 6a) – tg 12a • ctg 12a = –1/(cos²6a);
2) sin 8a • cos 3a – cos 8a • sin 3a = sin 5a;
3) (4 cos²7а)/(sin 14а) = 2ctg 7a;
4) (sin 14а – sin 10а)/(cos 3a – cos 7a) = (cos 12a)/(sin 5a);
5) cos² (π/2 – За) – cos² (π + 3a) = sin² 3a – sin² 3a = 0;
6) 2 cos 8a • cos 9a – cos 17a = cos a.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Дано: tg a = 5, tg b = 1,5, 0 < a < π/2, 0 < b < π/2. Найдите a + b.
ОТВЕТ: a + b = 3π/4.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ в тетради

№ 3. Докажите тождество:  1) ctg 2b – ctg 4b = 1/(sin 4b);
2) ((cos (π/2 – 5a) – sin (π + 3a)) (sin (π/2 + 3a) – cos (π + 5a))) / (1 + cos (2π – 2a)) = sin 8a.

Доказательство:
1) ctg 2b – ctg 4b = ctg 2b – (ctg² 2b – 1)/(2ctg² b) =
= (2ctg² 2b – ctg² 2b + 1)/(2ctg² b) = (ctg² 2b + 1)/(2ctg² b) =
= 1/(2sin² 2b • (cos 2b)/(sin 2b)) =
= 1/(2sin² b • cos² b) = 1/(sin 4b). Тождество доказано.
2) ((cos (π/2 – 5a) – sin (π + 3a)) • (sin (π/2 + 3a) – cos (π + 5a))) / (1 + cos (2π – 2a)) =
= ((sin 5a + sin 3a) • (cos 3a + cos 5a)) / (1 + cos 2a) =
= (2sin 4a • cos a • 2cos 4a • cos a) / (2cos² a) =
= 2sin 4a cos 4a = sin 8a. Тождество доказано.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ в тетради

№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 4 sin 2a ctg a – 1.
ОТВЕТ: у_наим = –1; у_наиб = 7.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Упростите выражение: 1) (1 – sin² 8а)/(cos² 8а –1) – tg 11а  • ctg 11а; 2) cos Зb • cos 5b – sin Зb • sin 5b; 3) (6sin² 10а)/(sin 20а); 4) (sin 12а + sin 8а)/(cos 11а + cos 7а); 5) sin² (π + 2а) – sin² (3π/2 + 2а); 6) 2sin 11а • cos 5а – sin 6а.
ОТВЕТЫ: 1) (1 – sin² 8а)/(cos² 8а –1) – tg 11а • ctg 11а = 1/( sin² 8а);
2) cos Зb • cos 5b – sin Зb • sin 5b = cos 8b;
3) (6sin² 10а)/(sin 20а) = 3tg 10a;
4) (sin 12а + sin 8а)/(cos 11а + cos 7а) = (sin 10a)/(cos 9a);
5) sin² (π + 2а) – sin² (3π/2 + 2а) = cos² 2a – cos² 2a = 0 (это правильно?);
6) 2sin 11а • cos 5а – sin 6а = sin 16a.

№ 2. Дано: tg a = 1,25, tg b = 9, 0 < a < π/2, 0 < b < π/2. Найдите a + b.
ОТВЕТ: a + b = 3π/4.

№ 3. Докажите тождество:
1) 1 + tg 5b • tg 10b = 1/(cos 10b);
2) ((cos (2π + 6a) – sin (π/2 – 8a)) • (cos (3π/2 + 8a) – sin (π – 6a)) / (1 + sin (3π/2 – 2a)) = sin 14a.
Доказательство: 1) Используем формулу сложения tg(a–b):
1 + tg 5b • tg 10b = (tg 5b – tg 10b) : tg (5b – 10b) =
= (sin 10b / cos 10b – sin 5b / cos 5b) • ctg 5b =
= (sin 10b • cos 5b – cos 10b • sin 5b)/(cos 10b •cos 5b) • (cos 5b/sin 5b) =
= sin 5b / (cos 10b • cos 5b) • (cos 5b/sin 5b) = 1/(cos 10b). Тождество доказано.
2) Упростим левую часть, применяя формулы приведения
((cos 6a – cos 8a) • (sin 8a – sin 6a) / (1 – cos 2a) = sin 14a
Далее в числителе применим формулы суммы и разности синусов (косинусов), а в знаменателе – формулу понижения степени
(2sin (6a + 8а)/2 • sin (8а – 6a)/2) • (2sin (8a – 6a)/2 • cos (8a + 6a)/2) / (2 sin² a) =
= (2sin 7a • sin а) • (2sin a • cos 7a) / (2 sin² a) =
= (4 • sin 7a • sin а • sin a • cos 7a) / (2 sin² a) =
= (2 • sin 7a • sin² а • cos 7a) / (sin² a) =
= 2 • sin 7a • cos 7a = sin 14a. Тождество доказано.

№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 3sin 2a • tg a – 2.
ОТВЕТ: у_наим = 2, у_наиб = 4.

Вы смотрели: Контрольная работа № 5 по алгебре «Соотношение между тригонометрическими функциями. Формулы сложения и их следствия» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Алгебра 10 Мерзляк КР-5 + ответы.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 10 класс

(с) Цитаты из пособия «Дидактические материалы.  Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень» использованы в учебных целях.