Метка: углубленный

Контрольная работа № 5 по математике 6 класс «Пропорциональные величины» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-5.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Контрольная работа № 5

Вариант 1

№ 1. Юля купила 8 тетрадей по цене 9 руб. Сколько ручек сможет купить Оля на эти деньги, если ручка стоит 6 руб.?
Решение: Сначала найдём, сколько денег потратила Юля:
8 × 9 = 72 руб.
Теперь найдём, сколько ручек по 6 руб. можно купить на 72 руб.:
72 : 6 = 12 ручек.
Ответ: 12 ручек.

№ 2. Ученик сделал 42 детали, изготовляя 12 деталей в час. Сколько деталей сделает мастер за это же время, если его производительность в три раза больше производительности ученика?
Решение: Время работы ученика:
42 : 12 = 3,5 часа.
Производительность ученика — 12 дет./ч, производительность мастера:
12 × 3 = 36 дет./ч.
За 3,5 часа мастер сделает:
36 × 3,5 = 126 деталей.
Ответ: 126 деталей.

№ 3. Длины сторон прямоугольника пропорциональны числам 7 и 9. Найди площадь этого прямоугольника, если известно, что его периметр равен 96 см.
Решение: Пусть стороны равны 7k и 9k.
Периметр:
2 × (7k + 9k) = 32k = 96
k = 3.
Стороны:
7k = 21 см, 9k = 27 см.
Площадь: 21 × 27 = 567 см².
Ответ: 567 см².

№ 4. Реши уравнение: (8у – 2)/(1 2/3) = (3у + 1)/(0,8).
Ответ: 7/3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Раздели число: а) 91 в отношении 8 : 18; б) 129,6 в отношении 7 : 12 : 2,6.
Решение:
► а) 8 + 18 = 26 частей.
Одна часть: 91 : 26 = 3,5.
Первое число: 8 × 3,5 = 28.
Второе число: 18 × 3,5 = 63.
Проверка: 28 + 63 = 91.
Ответ: 28 и 63.
► б) 7 + 12 + 2,6 = 21,6 частей.
Одна часть: 129,6 : 21,6 = 6.
Первое: 7 × 6 = 42.
Второе: 12 × 6 = 72.
Третье: 2,6 × 6 = 15,6.
Проверка: 42 + 72 + 15,6 = 129,6.
Ответ: 42; 72; 15,6.

№ 6. Найди длины сторон треугольника АВС, если известно, что AB : BC = 3 : 2, BC : AC = 5 : 4 , а периметр равен 49,5 м.
Решение:
Приведём общее отношение.
Из AB : BC = 3 : 2 и BC : AC = 5 : 4 нужно, чтобы BC в обоих отношениях выражалось одним числом.
Первое отношение умножим на 5: AB : BC = 15 : 10.
Второе отношение умножим на 2: BC : AC = 10 : 8.
Итак: AB : BC : AC = 15 : 10 : 8.
Сумма частей: 15 + 10 + 8 = 33.
Одна часть: 49,5 : 33 = 1,5 м.
AB = 15 × 1,5 = 22,5 м,
BC = 10 × 1,5 = 15 м,
AC = 8 × 1,5 = 12 м.
Проверка периметра: 22,5 + 15 + 12 = 49,5 — верно.
Ответ: AB = 22,5 м, BC = 15 м, AC = 12 м.

Вариант 2

№ 1. Автомобилист проехал 195 км со скоростью 78 км/ч. Какое расстояние проедет мотоциклист за это же время, если его скорость в два раза меньше скорости автомобилиста?
Решение:
1. Время автомобилиста:
t = S/v = 195/78 = 2,5 ч.
2. Скорость мотоциклиста:
v_m = 78/2 = 39 км/ч.
3. Расстояние мотоциклиста:
S_m = v_m • t = 39 • 2,5 = 97,5 км.
Ответ: 97,5 км.

№ 2. Ширина одного прямоугольника 9 м, а длина 12 м. Найди ширину второго прямоугольника, если его длина равна 18 м, а площади этих прямоугольников равны.
Решение:
1. Площадь первого:
S₁ = 9 • 12 = 108 м².
2. Площадь второго:
S₂ = 108 = 18 • b₂.
3. Ширина второго:
b₂ = 108/18 = 6 м.
Ответ: 6 м.

№ 3. Ширина и длина прямоугольника пропорциональны числам 6 и 11, а его периметр равен 68 см. Найди площадь квадрата, если его сторона равна ширине данного прямоугольника.
Решение:
1. Пусть ширина = 6k , длина = 11k.
2. Периметр:
2 • (6k + 11k) = 68
34k = 68
k = 2.
3. Ширина: 6k = 12 см.
4. Сторона квадрата равна ширине прямоугольника = 12 см.
5. Площадь квадрата:
S = 12² = 144 см².
Ответ: 144 см².

№ 4. Реши уравнение: (1 1/3)/(6х – 4) = (0,6)/(3х – 4).
Решение: 1 1/3 = 4/3 , 0,6 = 3/5.
Уравнение: (4/3) / (6x ─ 4) = (3/5) / (3x ─ 4)
4/(3(6x ─ 4)) = 3/(5(3x ─ 4))
3. Перемножим крест─накрест:
4 • 5(3x ─ 4) = 3 • 3(6x ─ 4)
20(3x ─ 4) = 9(6x ─ 4)
60x ─ 80 = 54x ─ 36
60x ─ 54x = 80 ─ 36
6x = 44
x = 44/6 = 22/3.
Проверка:
6x ─ 4 = 6 • 22/3 ─ 4 = 44 ─ 4 = 40
3x ─ 4 = 3 • 22/3 ─ 4 = 22 ─ 4 = 18
Левая часть: (4/3)/40 = 4/120 = 1/30
Правая часть: 0,6/18 = (3/5)/18 = 3/90 = 1/30 — верно.
Ответ: x = 22/3.

№ 5. Раздели число:
а) 63 в отношении 6 : 21.
Решение:
1. Сумма частей: 6 + 21 = 27.
2. Одна часть: 63/27 = 7/3.
3. Первое число: 6 • 7/3 = 14.
4. Второе число: 21 • 7/3 = 49.
Ответ: 14 и 49.
б) 182,4 в отношении 5 : 3,8 : 14.
Решение:
1. Сумма частей: 5 + 3,8 + 14 = 22,8.
2. Одна часть: 182,4/22,8 = 8.
3. Первое: 5 • 8 = 40.
4. Второе: 3,8 • 8 = 30,4.
5. Третье: 14 • 8 = 112.
Ответ: 40; 30,4; 112.

№ 6. Найди длины сторон треугольника АВС, если известно, что АВ так относится к ВС, как 7 к 4, ВС так относится к АС, как 6 к 5, а его периметр равен 64,5 м.
Решение:
1. Дано: AB/BC = 7/4, BC/AC = 6/5.
2. Приведём к общему BC:
Из первого: AB = 7/4 BC.
Из второго: AC = 5/6 BC.
3. Периметр:
AB + BC + AC = 7/4BC + BC + 5/6BC = 64,5.
Приведём к общему знаменателю 12:
21/12BC + 12/12BC + 10/12BC = 43/12BC = 64,5.
4. BC = 64,5 • 12/43 = 129/2 • 12/43 = 129 • 12/86 = 1548/86 = 18.
5. Тогда:
AB = 7/4 • 18 = 31,5
AC = 5/6 • 18 = 15.
Проверка: 31,5 + 18 + 15 = 64,5 — верно.
Ответ: AB = 31,5} м, BC = 18 м, AC = 15 м.

Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-5.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 20 по математике 6 класс «Противоположные числа и модуль» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-20.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 19

Проверяемая тема: Противоположные числа и модуль.

Вариант 1

№ 1. Запиши число, противоположное данному: + 25; –7,3; + 1 2/5; 0; + 1,36; –1/19; –305.
Решение: Противоположное число — число с противоположным знаком (кроме нуля, противоположное ему само 0).
+ 25 → –25
–7,3 → + 7,3
+ 1 2/5 → –1 2/5
0 → 0
+ 1,36 → –1,36
–1/19 → + 1/19
–305 → + 305
Ответ: –25; 7,3; –1 2/5; 0; –1,36; 1/19; 305.

№ 2. Раскрой скобки: а) + (–12); б) –(–3,1); в) + (+ 6/7); г) –(+ 8); д) –(+ (–1)); е) –(+ (+ 4)).
Решение:
а) + (–12) = –12
б) –(–3,1) = + 3,1
в) + (+ 6/7) = + 6/7
г) –(+ 8) = –8
д) –(+ (–1)) = –(–1) = + 1
е) –(+ (+ 4)) = –(+ 4) = –4
Ответ: а) –12; б) 3,1; в) 6/7; г) –8; д) 1; е) –4.

№ 3. Сравни модули чисел а) –9 и 4; б) –1,85 и –3,2; в) 5/8 и –5/4; г) –7 и 4,99.
Решение:
Сравниваем модули: |a| и |b|.
а) |–9| = 9, |4| = 4 → 9 > 4
б) |–1,85| = 1,85, |–3,2| = 3,2 → 1,85 < 3,2
в) |5/8| = 5/8 = 0,625, |–5/4| = 5/4 = 1,25 → 0,625 < 1,25
г) |–7| = 7, |4,99| = 4,99 → 7 > 4,99
Ответ:
а) |–9| > |4|;
б) |–1,85| < |–3,2|;
в) |5/8| < |–5/4|;
г) |–7| > |4,99|.

№ 4. Найди значения выражений: а) |–2 3/4| + |–6,2|; б) |–8 4/7| : |1,5|.
Решение:
а) |–2 3/4| = 2 3/4 = 2,75; |–6,2| = 6,2.
2,75 + 6,2 = 8,95.
б) |–8 4/7| = 8 4/7 = 60/7; |1,5| = 3/2.
(60/7) : (3/2) = (60/7) × (2/3) = (60×2)/(7×3) = 120/21 = 40/7 = 5 5/7 ≈ 5,714.
Ответ: а) 8,95; б) 40/7 (или 5 5/7).

№ 5. Реши уравнения: а) |4х| = –2; б) |х – 4| = 1.
Решение:
а) Модуль числа не может быть равен отрицательному числу. Нет решений.
б) |x – 4| = 1 ⇒ x – 4 = 1 или x – 4 = –1.
x = 5 или x = 3.
Проверка:
|5 – 4| = |1| = 1 — верно.
|3 – 4| = |–1| = 1 — верно.
Ответ: а) нет решений; б) x = 5, x = 3.

Вариант 2

№ 1. Запиши число, противоположное данному: –8; + 902; + 14; –1,92; –7/23; + 3,2; + 4 3/11.
Решение: Противоположное число получается изменением знака на противоположный.
–8 → 8
+ 902 → –902
+ 14 → –14
–1,92 → 1,92
–7/23 → 7/23
+ 3,2 → –3,2
+ 4 3/11 → –4 3/11
Ответ: 8; –902; –14; 1,92; 7/23; –3,2; –4 3/11.

№ 2. Раскрой скобки: а) –(–2); б) –(+ 4,5); в) + (+ 3/8); г) + (–24); д) + (–(+ 3)); е) + (–(–6)).
Решение:
а) –(–2) = 2
б) –(+ 4,5) = –4,5
в) + (+ 3/8) = 3/8
г) + (–24) = –24
д) + (–(+ 3)) = + (–3) = –3
е) + (–(–6)) = + (+ 6) = 6
Ответ: а) 2; б) –4,5; в) 3/8; г) –24; д) –3; е) 6.

№ 3. Сравни модули чисел: а) –2 и –10; б) 6/7 и –8/7; в) 0,94 и –3; г) –8,1 и 1,8.
Решение. Сравниваем модули:
а) |–2| = 2, |–10| = 10 → 2 < 10
б) |6/7| = 6/7, |–8/7| = 8/7 → 6/7 < 8/7
в) |0,94| = 0,94, |–3| = 3 → 0,94 < 3
г) |–8,1| = 8,1, |1,8| = 1,8 → 8,1 > 1,8
Ответ:
а) |–2| < |–10|
б) |6/7| < |–8/7|
в) |0,94| < |–3|
г) |–8,1| > |1,8|

№ 4. Найди значения выражений: а) |–6 4/5| – |5,75|; б) |–2 3/11| • |–4,4|.
Решение:
а) |–6 4/5| = 6 4/5 = 6,8; |5,75| = 5,75
6,8 – 5,75 = 1,05
б) |–2 3/11| = 2 3/11 = 25/11; |–4,4| = 4,4 = 44/10 = 22/5
(25/11) • (22/5) = (25•22)/(11•5) = (25•2)/5 = 50/5 = 10
Ответ: а) 1,05; б) 10.

№ 5. Реши уравнения: а) |5х| = 20; б) |х + 3| = –2.
Решение:
а) |5х| = 20 ⇒ 5|х| = 20 ⇒ |х| = 4 ⇒ х = 4 или х = –4.
Проверка: |5•4| = 20, |5•(–4)| = 20 — верно.
б) |х + 3| = –2 — модуль не может быть равен отрицательному числу.
Ответ: а) х = 4, х = –4; б) нет решений.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-20.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 18 по математике 6 класс «Пропорциональное деление» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-18.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 18

Проверяемая тема: Пропорциональное деление.

Вариант 1

№ 1. Раздели число:
► а) 192 в отношении 7 : 9;
Решение: Сумма частей: 7 + 9 = 16
Одна часть: 192 : 16 = 12
Первое число: 12 × 7 = 84
Второе число: 12 × 9 = 108
Ответ: 84 и 108.
► б) 107 в отношении 1,2 : 7/12.
Решение: Приведём к общему знаменателю или целым числам:
1,2 = 6/5
Отношение: 6/5 : 7/12
Умножим на 60 (НОК 5 и 12): 6/5 × 60 = 72 , 7/12 × 60 = 35
Получаем отношение 72 : 35.
Сумма частей: 72 + 35 = 107
Одна часть: 107 : 107 = 1
Первое число: 72 × 1 = 72
Второе число: 35 × 1 = 35
Ответ: 72 и 35.

№ 2. Упрости отношения:
► а) 3 : 8 : 27
Решение: НОД(3, 8, 27) = 1, упростить нельзя.
Ответ: 3 : 8 : 27.
► б) 6 : 5/9
Решение: Умножим оба члена на 9: 54 : 5
Ответ: 54 : 5.
► в) 0,12 : 3,6
Решение: Умножим на 100: 12 : 360
Делим на 12: 1 : 30
Ответ: 1 : 30.
► г) 1 2/3 : 1/2
Решение: 1 2/3 = 5/3
Отношение: 5/3 : 1/2
Умножим на 6: 10 : 3
Ответ: 10 : 3.

№ 3. Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 5 и 8. Найди сумму меньшей и большей сторон треугольника, если его периметр равен 80 см.
Решение: Пусть стороны 3k, 5k, 8k.
Периметр: 3k + 5k + 8k = 16k = 80
k = 5
Меньшая сторона: 3k = 15 см
Большая сторона: 8k = 40 см
Сумма: 15 + 40 = 55 см
Ответ: 55 см.

№ 4. * Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как 4 : 3, второе к третьему – как 9 : 5, а разность первого и третьего равна 2,1.
Решение: Пусть первое 4x , второе 3x.
Второе к третьему 9 : 5 , значит 3x : z = 9 : 5
3x/z = 9/5
z = 3x • 5/9 = 15x/9 = 5x/3 — третье число.
Разность первого и третьего: 4x ─ 5x/3 = (12x ─ 5x)/3 = 7x/3
7x/3 = 2,1
7x = 6,3
x = 0,9
Первое: 4 × 0,9 = 3,6
Второе: 3 × 0,9 = 2,7
Третье: 5 × 0,9/3 = 1,5
Проверка: 3,6 ─ 1,5 = 2,1 — верно.
Ответ: 3,6; 2,7; 1,5.

Вариант 2

№ 1. Раздели число:
► а) 153 в отношении 6 : 11;
Решение: Сумма частей: 6 + 11 = 17
Одна часть: 153 : 17 = 9
Первое число: 9 × 6 = 54
Второе число: 9 × 11 = 99
Ответ: 54 и 99.
► б) 166 в отношении 3/8 : 1,7.
Решение: 1,7 = 17/10
Отношение: 3/8 : 17/10
Умножим на 40 (НОК 8 и 10): 3/8 × 40 = 15 , 17/10 × 40 = 68
Получаем отношение 15 : 68
Сумма частей: 15 + 68 = 83
Одна часть: 166 : 83 = 2
Первое число: 15 × 2 = 30
Второе число: 68 × 2 = 136
Ответ: 30 и 136.

№ 2. Упрости отношения:
► а) 4 : 20 : 48
Решение: Делим на 4: 1 : 5 : 12
Ответ: 1 : 5 : 12.
► б) 3/7 : 8
Решение: Умножим на 7: 3 : 56
Ответ: 3 : 56.
► в) 3,8 : 0,19
Решение: Умножим на 100: 380 : 19
Делим на 19: 20 : 1
Ответ: 20 : 1.
► г) 2 1/4 : 2/3
Решение: 2 1/4 = 9/4
Отношение: 9/4 : 2/3
Умножим на 12: 27 : 8
Ответ: 27 : 8.

№ 3. Длины сторон треугольника пропорциональны числам 4, 7 и 14. Найди разность большей и меньшей сторон треугольника, если его периметр равен 75 см.
Решение: Пусть стороны 4k, 7k, 14k.
Периметр: 4k + 7k + 14k = 25k = 75
k = 3
Меньшая сторона: 4k = 12 см
Большая сторона: 14k = 42 см
Разность: 42 ─ 12 = 30 см
Ответ: 30 см.

№ 4. * Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как 7 : 12, второе к третьему – как 3 : 5, а разность первого и третьего равна 5,2.
Решение: Пусть первое 7x , второе 12x.
Второе к третьему 3 : 5 , значит 12x : z = 3 : 5
12x/z = 3/5
z = 12x • 5/3 = 20x — третье число.
Разность первого и третьего: 7x ─ 20x = ─13x
По условию: 20x ─ 7x = 13x = 5,2
x = 0,4
Первое: 7 × 0,4 = 2,8
Второе: 12 × 0,4 = 4,8
Третье: 20 × 0,4 = 8
Проверка: 8 ─ 2,8 = 5,2 — верно.
Ответ: 2,8; 4,8; 8.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-18.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 17 по математике 6 класс «Решение задач с помощью пропорций» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-17.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 17

Проверяемая тема: Решение задач с помощью пропорций.

Вариант 1

№ 1. На 8 костюмов уходит 34,8 м ткани. Сколько ткани уйдет на 50 таких костюмов?
Решение.На 1 костюм: 34,8 : 8 = 4,35 м.
На 50 костюмов: 4,35 × 50 = 217,5 м.
Ответ: 217,5 м.

№ 2. Если Вера будет читать 36 страниц в день, то она прочитает книгу за 7 дней. Сколько дней уйдет на прочтение этой книги, если Вера будет читать 42 страницы в день?
Решение:
Объём книги: 36 × 7 = 252 страницы.
При чтении 42 страницы в день: 252 : 42 = 6 дней.
Ответ: 6 дней.

№ 3. Предприниматель вложил в свое дело 45 000 руб. и через месяц получил 32% прибыли. Какую прибыль получил предприниматель?
Решение:
Прибыль = 45 000 × 0,32 = 14 400 руб.
Ответ: 14 400 руб.

№ 4. Найди число, если 30% от его трети составляют число, 42% которого равны 3,36.
Решение:
1) Найдём число, 42% которого равны 3,36:
0,42x = 3,36
x = 3,36 : 0,42 = 8.
2) Пусть искомое число y.
Треть числа y — это y/3.
30% от трети: 0,3 × y/3 = 0,1y.
По условию это равно 8:
0,1y = 8
y = 8 : 0,1 = 80.
Проверка: Треть от 80 = 80/3.
30% от 80/3 = 0,3 × 80/3 = 0,1 × 80 = 8.
42% от 8 = 0,42 × 8 = 3,36 — верно.
Ответ: 80.

Вариант 2

№ 1. Автобус проезжает расстояние от города до деревни со скоростью 60 км/ч за 3,6 ч. Сколько времени затратит на этот путь автомобилист, если будет ехать со скоростью 90 км/ч?
Решение:
1. Найдём расстояние:
S = v₁ • t₁ = 60 • 3,6 = 216 км.
2. Время для автомобилиста:
t₂ = S/v₂ = 216/90 = 2,4 ч.
Ответ: 2,4 часа.

№ 2. Машинистка печатает 4 страницы за 26 мин. За какое время она сможет напечатать 100 страниц?
Решение:
1. Скорость печати:
26/4 = 6,5 мин/страницу.
2. Время на 100 страниц:
6,5 • 100 = 650 мин.
Переведём в часы и минуты:
650 : 60 = 10 ч 50 мин.
Ответ: 10 часов 50 минут.

№ 3. Вкладчик положил деньги в банк под 7% годовых и через год получил прибыль 315 руб. Сколько денег он положил в банк?
Решение:
Пусть сумма вклада x руб.
Прибыль за год:
0,07x = 315
x = 315/0,07 = 31500/7 = 4500 руб.
Проверка:
7 % от 4500: 0,07 • 4500 = 315 — верно.
Ответ: 4500 рублей.

№ 4. Найди число, если 40% от его четверти составляют 42% от 75.
Решение:
1. Найдём 42% от 75:
0,42 • 75 = 31,5.
2. Пусть искомое число y.
Четверть числа: y/4.
40% от четверти: 0,4 • y/4 = 0,1y.
3. Уравнение:
0,1y = 31,5
y = 31,5/0,1 = 315.
Проверка: Четверть числа 315: 78,75.
40% от 78,75: 0,4 • 78,75 = 31,5.
42% от 75: 31,5 — совпадает.
Ответ: 315.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-17.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 16 по математике 6 класс «Графики прямой и обратной пропорциональности» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-16.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 16

Проверяемая тема: Графики прямой и обратной пропорциональности.

Вариант 1

№ 1. Запиши формулу, описывающую зависимость между величинами. Построй таблицу и график этой зависимости. Реши по графику данную задачу:
«Турист идет со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние пройдет турист за 1,5 ч?»
Решение:
Формула зависимости пути S от времени t при постоянной скорости v = 4 км/ч:
S = 4t
Таблица для t = 0, 1, 2, 3 ч:
| t (ч)     | 0 | 1  | 2 | 3  |
| S (км) | 0 | 4 | 8 | 12 |
График — прямая, проходящая через точки (0,0), (1,4), (2,8) и т.д.
По графику при t = 1,5 ч находим S = 6 км.
Ответ: 6 км.

№ 2. Реши уравнение: 4х/2,8 = (2 5/12) / (1 5/24).
Решение:
1. Преобразуем смешанные числа:
2 5/12 = 29/12,  1 5/24 = 29/24
2. Правая часть:
(29/12) / (29/24) = 29/12 • 24/29 = 24/12 = 2
3. Уравнение: 4x/2,8 = 2
4x = 2 • 2,8 = 5,6
x = 5,6/4 = 1,4
Проверка: Левая часть: 4 • 1,4/2,8 = 5,6/2,8 = 2 , правая часть = 2. Верно.
Ответ: x = 1,4.

№ 3. Докажи, что а/c = b/d ⇔ (a – 5c)/c = (b – 5d)/d.
Решение:
1. Пусть a/c = b/d = k. Тогда a = kc , b = kd.
Левые части преобразуем:
(a ─ 5c)/c = (kc ─ 5c)/c = k ─ 5
(b ─ 5d)/d = (kd ─ 5d)/d = k ─ 5
Равенство выполняется.
2. Обратно: если (a ─ 5c)/c = (b ─ 5d)/d , то
a/c ─ 5 = b/d ─ 5
a/c = b/d
Доказано.

Вариант 2

№ 1. Запиши формулу, описывающую зависимость между величинами. Построй таблицу и график этой зависимости. Реши по графику данную задачу:
«Мастер делает 6 деталей в час. Сколько деталей сделает мастер за 2 ч?»
Решение: Формула зависимости количества деталей N от времени t часов при производительности 6 дет./ч:
N = 6t
Таблица для t = 0, 1, 2, 3 ч:
| t (ч)         | 0 | 1  |  2  |  3  |
| N (дет.) | 0 | 6 | 12 | 18 |
График — прямая через (0,0), (1,6), (2,12).
При t = 2 ч получаем N = 12 деталей.
Ответ: 12 деталей.

№ 2. Реши уравнение: 6х/(1 7/15) = 8,6 / 1,72.
Решение:  1 7/15 = 22/15.
Правая часть:
8,6/1,72 = 86/10 • 100/172 = 8600/1720 = 5
(Можно проще: 8,6 : 1,72 = 5 , т.к. 1,72 • 5 = 8,6).
Уравнение: 6x / (22/15) = 5
6x • 15/22 = 5
90x/22 = 5
90x = 110
x = 110/90 = 11/9 = 1 2/9
Проверка:
Левая часть: (6 • 11/9) / (22/15) = (66/9) / (22/15) = 66/9 • 15/22 = 66 • 15/9 • 22  = 990/198 = 5 , правая часть = 5. Верно.
Ответ: x = 11/9 или 1 2/9.

№ 3. Докажи, что а/c = b/d ⇔ (a + 9c)/c = (b + 9d)/d.
Решение:
1. Пусть a/c = b/d = k. Тогда a = kc , b = kd.
(a + 9c)/c = (kc + 9c)/c = k + 9
(b + 9d)/d = (kd + 9d)/d = k + 9
Равенство выполняется.
2. Обратно: если (a + 9c)/c = (b + 9d)/d , то
a/c + 9 = b/d + 9
a/c = b/d
Доказано.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-16.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 15 по математике 6 класс «Зависимости между величинами. Прямая и обратная пропорциональности» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-15.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 15

Проверяемая тема: Зависимости между величинами. Прямая и обратная пропорциональности.

Вариант 1

№ 1. Саша купил x ручек по цене y руб.:
а) построй формулу зависимости стоимости всех ручек c от x и y;
б) какие из величин x , y и c прямо пропорциональны, а какие обратно пропорциональны?
в) вырази из этой формулы величины x и y.
Решение:
а) c = x • y.
б) c прямо пропорциональна x при постоянном y; c прямо пропорциональна y при постоянном x.
Между x и y при постоянном c — обратная пропорциональность.
в) x = c/y , y = c/x.
Ответ: а) c = xy;
б) c прямо пропорциональна x и y; x и y обратно пропорциональны при постоянном c;
в) x = c/y , y = c/x.

№ 2. Какие из формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем ни другим? Найди коэффициент пропорциональности.
а) A = 3t; б) a = 70/n; в) s = d + 9; г) v = s/4; д) t = 0,7y; е) b = 16 : a.
Решение:
Прямая пропорциональность: y = kx (k ≠ 0), график проходит через (0,0).
Обратная пропорциональность: y = k/x (k ≠ 0).
а) A = 3t — прямая, k = 3.
б) a = 70/n — обратная, k = 70.
в) s = d + 9 — не прямая и не обратная (есть свободный член).
г) v = s/4 — прямая, k = (1/4) (можно записать v = (1/4) s).
д) t = 0,7y — прямая, k = 0,7.
е) b = 16 : a или b = 16/a — обратная, k = 16.
Ответ:
Прямая пропорциональность: а) k = 3 , г) k = (1/4) , д) k = 0,7.
Обратная пропорциональность: б) k = 70 , е) k = 16.
Ни то, ни другое: в).

№ 3. Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем ни другим:
а) скорость и время движения велосипедиста на участке пути 7 км;
б) площадь прямоугольника и его длина, если ширина прямоугольника равна 15 см;
в) масса портфеля и количество учебников в нем.
Решение:
а) Путь S = v • t , S = 7 км (постоянно). Тогда v = 7/t — обратная пропорциональность.
б) Площадь S = a • b , b = 15 см (постоянно). Тогда S = 15a — прямая пропорциональность.
в) Масса портфеля зависит от массы учебников и массы самого портфеля. Если масса каждого учебника одинакова, то масса портфеля прямо пропорциональна количеству учебников, но обычно есть постоянная составляющая (масса пустого портфеля), поэтому не является прямой пропорциональностью в строгом смысле (не проходит через ноль). В школьном курсе часто считают, что если масса каждого учебника одинакова, то это прямая пропорциональность, но строго — нет, если есть постоянная слагаемая.
Ответ:
а) обратная пропорциональность;
б) прямая пропорциональность;
в) не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью (если учитывать массу пустого портфеля).

№ 4. Найди трехзначное число, которое делится одновременно на 6, 40 и 45.
Решение: Найти НОК(6, 40, 45).
6 = 2 • 3
40 = 2³ • 5
45 = 3² • 5
НОК = 2³ • 3² • 5 = 8 • 9 • 5 = 360.
Трёхзначные числа, кратные 360: 360, 720, 1080 (1080 уже четырёхзначное).
Подходят 360 и 720.
Проверка:
360 : 6 = 60, 360 : 40 = 9, 360 : 45 = 8 — делится.
720 : 6 = 120, 720 : 40 = 18, 720 : 45 = 16 — делится.
Ответ: 360 и 720.

Вариант 2

№ 1. Дима прошел a км за b ч:
а) построй формулу, выражающую зависимость скорости v , с которой шел Дима, от a и b;
б) какие из величин a, b и v прямо пропорциональны, а какие обратно пропорциональны?
в) вырази из этой формулы величины a и b.
Решение:
а) v = a/b (км/ч).
б)
─ a и v прямо пропорциональны при постоянном b.
─ b и v обратно пропорциональны при постоянном a.
─ a и b прямо пропорциональны при постоянном v.
в) a = v • b
b = a/v
Ответ: а) v = a/b
б) a и v — прямая пропорциональность (при b = const); b и v — обратная пропорциональность (при a = const); a и b — прямая пропорциональность (при v = const).
в) a = v • b , b = a/v.

№ 2. Какие из формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем ни другим? Найди коэффициент пропорциональности.
а) c = 5/n; б) s = 8b; в) t = s : 7; г) t = 12 ─ x; д) A = 1,8t; е) y = 3/x.
Решение:
Прямая пропорциональность: y = kx (k ≠ 0), график проходит через (0,0).
Обратная пропорциональность: y = k/x.
а) c = 5/n — обратная пропорциональность, k = 5.
б) s = 8b — прямая пропорциональность, k = 8.
в) t = s : 7 или t = 1/7s — прямая пропорциональность, k = 1/7.
г) t = 12 ─ x — линейная, но не прямая пропорциональность (свободный член 12 ≠ 0).
д) A = 1,8t — прямая пропорциональность, k = 1,8.
е) y = 3/x — обратная пропорциональность, k = 3.
Ответ:
Прямая пропорциональность: б) k = 8 , в) k = 1/7 , д) k = 1,8.
Обратная пропорциональность: а) k = 5 , е) k = 3.
Не является ни тем ни другим: г).

№ 3. Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем ни другим:
а) стоимость всех книг и их количество, если цена книги 75 руб.;
б) количество учителей и учеников в школе;
в) время изготовления двухсот деталей и скорость их изготовления.
Решение:
а) Стоимость C = 75 • n — прямая пропорциональность.
б) Количество учителей и учеников — нет строгой пропорциональности (зависит от наполняемости классов, нагрузки учителей и т.д.).
в) Время t = 200/v — обратная пропорциональность.
Ответ:
а) прямая пропорциональность;
б) не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью;
в) обратная пропорциональность.

№ 4. Найди трехзначное число, которое делится одновременно на 15, 20 и 27.
Решение: Найдем НОК(15, 20, 27):
15 = 3 • 5
20 = 2² • 5
27 = 3³
НОК = 2² • 3³ • 5 = 4 • 27 • 5 = 540.
540 — трехзначное число.
Следующее общее кратное: 540 • 2 = 1080 — уже четырехзначное.
Проверка:
540 : 15 = 36
540 : 20 = 27
540 : 27 = 20
Верно.
Ответ: 540.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-15.

Вернуться к Списку работ

Входная контрольная работа № 7 по математике 5 класс Глава 3 Дроби § 2. Арифметика дробей. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев КР-7.
Вернуться к Списку работ

Математика 5 класс (Угл. ур.)
Контрольная работа № 7

Вариант 1

№ 1. Выполни действия:
► а) 5/9 + 11/27
Решение:
Приводим к общему знаменателю 27:
5/9 = 15/27
15/27 + 11/27 = 26/27
Ответ: 26/27
► б) 2/3 ─ 3/5
Решение:
Общий знаменатель 15:
2/3 = 10/15 , 3/5 = 9/15
10/15 ─ 9/15 = 1/15
Ответ: 1/15
► в) 7 ─ 3 3/4
Решение: 3 3/4 = 15/4
7 = 28/4
28/4 ─ 15/4 = 13/4 = 3 1/4
Ответ: 3 1/4
► г) 4 5/6 + 8 4/15
Решение:
4 5/6 = 29/6 , 8 4/15 = 124/15
Общий знаменатель 30:
29/6 = 145/30 , 124/15 = 248/30
145/30 + 248/30 = 393/30 = 131/10 = 13 1/10
Ответ: 13 1/10
► д) 1 7/12 ─ 5/18
Решение: 1 7/12 = 19/12
Общий знаменатель 36:
19/12 = 57/36 , 5/18 = 10/36
57/36 ─ 10/36 = 47/36 = 1 11/36
Ответ: 1 11/36
► е) 2 1/8 ─ 1 9/20
Решение:
2 1/8 = 17/8 , 1 9/20 = 29/20
Общий знаменатель 40:
17/8 = 85/40 , 29/20 = 58/40
85/40 ─ 58/40 = 27/40
Ответ: 27/40

№ 2. Найди произведение:
► а) 11/12 • 24/55
Решение:
Сокращаем: 11 и 55 на 11 , 24 и 12 на 12 :
1/1 • 2/5 = 2/5
Ответ: 2/5
► б) 7/15 • 51/28 • 60/17
Решение:
Сокращаем множители:
7 и 28 на 7 , 51 и 17 на 17 , 60 и 15 на 15 :
1/1 • 3/4 • 4/1 = 3
Ответ: 3
► в) 9 • 13/18
Решение:
Сокращаем 9 и 18 на 9 :
1 • 13/2 = 13/2 = 6 1/2
Ответ: 6 1/2
► г) 1 1/4 • 2 2/15
Решение:
1 1/4 = 5/4 , 2 2/15 = 32/15
5/4 • 32/15 = 5 • 32/4 • 15
Сокращаем: 5 и 15 на 5 , 32 и 4 на 4 :
1 • 8/1 • 3 = 8/3 = 2 2/3
Ответ: 2 2/3

№ 3. Реши уравнение: 1 2/3 + (x ─ 4 7/9) = 4 1/3
Решение:
1 2/3 = 5/3 , 4 7/9 = 43/9 , 4 1/3 = 13/3
Уравнение: 5/3 + x ─ 43/9 = 13/3
Приводим к общему знаменателю 9:
15/9 + x ─ 43/9 = 39/9
x ─ 28/9 = 39/9
x = 39/9 + 28/9 = 67/9 = 7 4/9
Проверка:
1 2/3 + (7 4/9 ─ 4 7/9) = 1 2/3 + 2 6/9 = 1 2/3 + 2 2/3 = 4 1/3 — верно.
Ответ: x = 7 4/9

№ 4. Высота прямоугольного параллелепипеда 7/9 м, а его длина на 4 2/9 м больше. Найди объем параллелепипеда, если известно, что его ширина на 3 5/7 м меньше длины.
Решение.
1. Исходные данные:
Высота h = 7/9 м
Длина на 4 2/9 м больше высоты:
l = h + 4 2/9 = 7/9 + 38/9 = 45/9 = 5 м
2. Ширина на 3 5/7 м меньше длины:
b = l ─ 3 5/7 = 5 ─ 26/7 = 35/7
b = 35/7 ─ 26/7 = 9/7 м
3. Объем: V = l • b • h = 5 • 9/7 • 7/9
Замечаем, что 9/7 • 7/9 = 1, поэтому
V = 5 • 1 = 5 м³
Ответ: 5.

№ 5. Найдите значение выражения:
(9 ─ 3 4/5) • (1 5/6 + 1/9) ─ 2/3
Решение:
9 ─ 3 4/5 = 9 ─ 19/5 = 45/5 ─ 19/5 = 26/5
1 5/6 + 1/9 = 11/6 + 1/9 = 33/18 + 2/18 = 35/18
Произведение: 26/5 • 35/18 = 26 • 35/5 • 18
Сокращаем: 35 и 5 на 5 , 26 и 18 на 2 :
13 • 7/1 • 9 = 91/9
Вычитаем 2/3 = 6/9 :
91/9 ─ 6/9 = 85/9 = 9 4/9
Ответ: 9 4/9.

№ 6. * Представь в виде дроби:
► а) 3/c + 5/b
Решение. Общий знаменатель bc :
3b/bc + 5c/bc = (3b + 5c)/bc
Ответ: (3b + 5c)/bc
► б) 3/a ─ 4/9a
Решение. Общий знаменатель 9a :
27/9a ─ 4/9a = 23/9a
Ответ: 23/9a
► в) 1/(n²) + 5b/9n
Решение. Общий знаменатель 9n² :
9/(9n²) + 5b • n/(9n²) = (9 + 5bn)/(9n²)
Ответ: (9 + 5bn)/(9n²)
► г) 4/ab + 3a/7bc
Решение. Общий знаменатель 7abc :
4 • 7c/7abc + 3a • a/7abc = (28c + 3a²)/7abc
Ответ: (28c + 3a²)/7abc

№ 7. * Продолжи ряд: 2, 5, 12, 27, 58, …
Решение. Ищем закономерность:
2 • 2 + 1 = 5
5 • 2 + 2 = 12
12 • 2 + 3 = 27
27 • 2 + 4 = 58
Следующее: 58 • 2 + 5 = 116 + 5 = 121
Ответ: 121.

Вариант 2

№ 1. Выполни действия:
► а) 4/5 + 7/40
Решение. Приведём к общему знаменателю 40:
4/5 = 32/40
32/40 + 7/40 = 39/40
Ответ: 39/40
► б) 6/7 ─ 1/2
Решение:
Общий знаменатель 14:
6/7 = 12/14, 1/2 = 7/14
12/14 ─ 7/14 = 5/14
Ответ: 5/14
► в) 5 ─ 4 6/11
Решение:
5 = 55/11, 4 6/11 = 50/11
55/11 ─ 50/11 = 5/11
Ответ: 5/11
► г) 1 15/16 + 7 1/6
Решение:
1 15/16 = 31/16, 7 1/6 = 43/6
Общий знаменатель 48:
31/16 = 93/48, 43/6 = 344/48
93/48 + 344/48 = 437/48 = 9 5/48
Ответ: 9 5/48
► д) 4 7/12 ─ 1 7/30
Решение: 4 7/12 = 55/12, 1 7/30 = 37/30
Общий знаменатель 60:
55/12 = 275/60, 37/30 = 74/60
275/60 ─ 74/60 = 201/60 = 67/20 = 3 7/20
Ответ: 3 7/20
► е) 2 3/25 ─ 1 7/15
Решение: 2 3/25 = 53/25, 1 7/15 = 22/15
Общий знаменатель 75:
53/25 = 159/75, 22/15 = 110/75
159/75 ─ 110/75 = 49/75
Ответ: 49/75.

№ 2. Найди произведение:
► а) 9/26 • 13/45
Решение. Сокращаем:
9/26 • 13/45 = 9 • 13/26 • 45 = 1 • 1/2 • 5 = 1/10
Ответ: 1/10
► б) 49/18 • 9/19 • 38/7
Решение. Сокращаем:
49/18 • 9/19 • 38/7 = 49 • 9 • 38/18 • 19 • 7
49 и 7 : 49/7 = 7
9 и 18 : 9/18 = 1/2
38 и 19 : 38/19 = 2
Получаем: 7 • 1/2 • 2 = 7
Ответ: 7
► в) 5 • 7/15
Решение: 5 • 7/15 = 35/15 = 7/3 = 2 1/3
Ответ: 2 1/3.
► г) 1 2/9 • 1 8/11
Решение: 1 2/9 = 11/9, 1 8/11 = 19/11
11/9 • 19/11 = 19/9 = 2 1/9
Ответ: 2 1/9.

№ 3. Реши уравнение:
3 1/4 ─ (x ─ 5/8) = 2 3/4
Решение: 3 1/4 = 13/4,  2 3/4 = 11/4
13/4 ─ (x ─ 5/8) = 11/4
─ (x ─ 5/8) = 11/4 ─ 13/4 = ─ 2/4 = ─½
x ─ 5/8 = ½
x = (1/2) + 5/8 = 4/8 + 5/8 = 9/8 = 1 1/8
Проверка:
3 1/4 ─ (1 1/8 ─ 5/8) = 13/4 ─ (9/8 ─ 5/8) = 13/4 ─ 4/8 = 13/4 ─ (1/2) = 13/4 ─ 2/4 = 11/4 = 2(3/4) — верно.
Ответ: x = 1 1/8.

№ 4. Объём параллелепипеда
Дано: Ширина: b = 11/4 = 5/4 см
Длина на 23 / 4 см больше ширины:
l = b + 23/4 = 5/4 + 11/4 = 16/4 = 4 см
Высота меньше длины на 2 / 5 см:
h = l ─ 2/5 = 4 ─ 2/5 = 20/5 ─ 2/5 = 18/5 см
Объем V = l • b • h
V = 4 • 5/4 • 18/5 = 5 • 18/5 = 18
Ответ: Объем 18 см³.

№ 5. Найди значение выражения:
12(1/4) ─ (8 + 4(3/8)) • (3(2/9) ─ 2 5/11)
Решение:
8 + 4(3/8) = 8 + 35/8 = 64/8 + 35/8 = 99/8
3(2/9) = 29/9, 2 5/11 = 27/11
29/9 ─ 27/11 = (319 ─ 243)/99 = 76/99
99/8 • 76/99 = 76/8 = 19/2 = 9½
12(1/4) = 49/4
49/4 ─ 19/2 = 49/4 ─ 38/4 = 11/4 = 2 3/4
Ответ: 2 3/4

№ 6. * Представь в виде дроби:
► а) 8/b + 6/c
Решение: (8c + 6b)/bc
Ответ: (8c + 6b)/bc
► б) 5/7a ─ 3/7
Решение: 5/7a ─ 3/7 = (5 ─ 3a)/7a
Ответ: (5 ─ 3a)/7a
► в) 2/(x²) + 3a/5x
Решение. Общий знаменатель 5x² :
10/(5x²) + 3ax/(5x²) = (10 + 3ax)/(5x²)
Ответ: (10 + 3ax)/(5x²)
► г) 8/xy + 9a/2xc
Решение. Общий знаменатель 2xyc :
16c/2xyc + 9ay/2xyc = (16c + 9ay)/2xyc
Ответ: (16c + 9ay)/2xyc

№ 7. * Продолжи ряд: 8, 3, 18, 9, 28, 27,…
Решение. Разобьём на две подпоследовательности:
Нечётные позиции (1, 3, 5, …): 8, 18, 28, … — увеличивается на 10 → следующее 38.
Чётные позиции (2, 4, 6, …): 3, 9, 27, … — умножается на 3 → следующее 81.
Значит, ряд: 8, 3, 18, 9, 28, 27, 38, 81.
Ответ: 38, 81

Вы смотрели: Входная контрольная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев КР-7.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 20 по математике 5 класс с ответами варианты 1-2. Умножение дробей. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-20.
Вернуться к Списку работ

Математика 5 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная № 20. Вариант 1

Проверяемая тема: Глава 3. Дроби. § 2. Арифметика дробей (Умножение дробей).

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Найди произведение:
► а) 14/17 • 34/21
Решение:
Сокращаем: 14 и 21 на 7 → 2/17 • 34/3.
34 и 17 на 17 → 2/1 • 2/3 = 4/3.
Ответ: 4/3 или 1 1/3.
► б) 12/25 • 5/19 • 57/36
Решение:
Сокращаем 12 и 36 на 12 → 1/25 • 5/19 • 57/3.
Сокращаем 5 и 25 на 5 → 1/5 • 1/19 • 57/3.
Сокращаем 57 и 19 на 19 → 1/5 • 1/1 • 3/3 = 1/5 • 1 = 1/5.
Ответ: 1/5.
► в) 3 4/7 • 8 2/5
Решение:
Переводим в неправильные дроби:
3 4/7 = 25/7 , 8 2/5 = 42/5.
Умножаем: 25/7 • 42/5.
Сокращаем 25 и 5 на 5 → 5/7 • 42/1.
Сокращаем 42 и 7 на 7 → 5/1 • 6/1 = 30.
Ответ: 30.

► г) 8/11 • 12 5/6
Решение:
12 5/6 = 77/6.
Умножаем: 8/11 • 77/6.
Сокращаем 8 и 6 на 2 → 4/11 • 77/3.
Сокращаем 77 и 11 на 11 → 4/1 • 7/3 = 28/3.
Ответ: 28/3 или 9 1/3.
► д) 7/15 • 35
Решение:
7/15 • 35 = 7 • 35/15.
Сокращаем 35 и 15 на 5 → 7 • 7/3 = 49/3.
Ответ: 49/3 или 16 1/3.
► е) 1 7/9 • 5
Решение: 1 7/9 = 16/9.
16/9 • 5 = 80/9.
Ответ: 80/9 или 8 8/9.

№ 2. Упрости выражение и найди его значение:
7/18a ─ 1/12a + 5/18a , если a = 1 5/7.
Решение:
Приводим подобные слагаемые:
(7/18 ─ 1/12 + 5/18) a.
Сначала 7/18 + 5/18 = 12/18 = 2/3.
Теперь 2/3 ─ 1/12 = 8/12 ─ 1/12 = 7/12.
Выражение упрощается до 7/12a.
Подставляем a = 1 5/7 = 12/7 :
7/12 • 12/7 = 1.
Ответ: 1.

№ 3. Построй математическую модель задачи:
«Ширина прямоугольного параллелепипеда a дм, а его длина на 3/7 дм больше ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его высота на 1 2/3 дм меньше ширины».
Решение: Ширина = a дм.
Длина = a + 3/7 дм.
Высота = a ─ 1 2/3 = a ─ 5/3 дм.
Объем V = длина × ширина × высота :
V = a • (a + 3/7) • (a ─ 5/3)
Это и есть математическая модель.
Ответ: V = a (a + 3/7) (a ─ 5/3).

№ 4. 
► а) Представь в виде несократимой дроби: 24%, 35%.
Решение:
24 % = 24/100 = 6/25.
35 % = 35/100 = 7/20.
Ответ: 6/25 , 7/20.
► б) Вырази в процентах дроби: 7/10 , 6/25.
Решение:
7/10 = 0,7 = 70 %.
6/25 = 0,24 = 24 %.
Ответ: 70 % , 24 %.

Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Найди произведение:
► а) 18/55 • 11/24
Решение:
Сокращаем: 18 и 24 делим на 6 → 3/55 • 11/4.
11 и 55 делим на 11 → 3/5 • 1/4 = 3/20.
Ответ: 3/20.
► б) 9/28 • 7/2 • 8/81
Решение:
Сокращаем: 9 и 81 → 1/28 • 7/2 • 8/9.
7 и 28 → 1/4 • 1/2 • 8/9.
8 и 4 → 1/1 • 1/2 • 2/9.
2 и 2 сокращаются → 1/9.
Ответ: 1/9.
► в) 6 2/3 • 1 1/5
Решение: 6 2/3 = 20/3 , 1 1/5 = 6/5.
20/3 • 6/5 = 20 • 6/3 • 5.
Сокращаем: 20 и 5 → 4 • 6/3 • 1 = 24/3 = 8.
Ответ: 8.

► г) 14/15 • 9 2/7
Решение: 9 2/7 = 65/7.
14/15 • 65/7.
Сокращаем: 14 и 7 → 2/15 • 65/1.
65 и 15 делим на 5 → 2/3 • 13/1 = 26/3 = 8 2/3.
Ответ: 8 2/3.
► д) 3/16 • 24
Решение: 3/16 • 24 = 3 • 24/16.
24 и 16 делим на 8 → 3 • 3/2 = 9/2 = 4 1/2.
Ответ: 4 1/2.
► е) 1/8 • 3
Решение: 1/8 • 3 = 3/8.
Ответ: 3/8.

№ 2. Упрости выражение и найди его значение:
1/12b ─ 5/12b + 2/15b , если b = 2 1/2.
Решение:
Приводим подобные:
1/12 ─ 5/12 = ─ 4/12 = ─ 1/3.
Теперь ─ 1/3b + 2/15b.
Общий знаменатель 15 : ─ 5/15b + 2/15b = ─ 3/15b = ─ 1/5b.
Подставляем b = 5/2 :
─ 1/5 • 5/2 = ─ 1/2.
Ответ: ─ 1/2.

№ 3. Построй математическую модель задачи:
«Высота прямоугольного параллелепипеда c м, а его ширина на 2 1/6 м меньше высоты. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина на 3/4 м больше высоты».
Решение:
Высота h = c м.
Ширина w = c ─ 2 1/6 = c ─ 13/6 м.
Длина l = c + 3/4 м.
Объем V = l • w • h = (c + 3/4) • (c ─ 13/6) • c.
Ответ: V = c • (c + 3/4) • (c ─ 13/6) (куб. м).

№ 4.
► а) Представь в виде несократимой дроби: 18%, 55%.
Решение:
18 % = 18/100 = 9/50.
55 % = 55/100 = 11/20.
Ответ: 9/50 , 11/20.
► б) Вырази в процентах дроби: 11/20 , 3/40.
Решение:
11/20 = 0,55 = 55 %.
3/40 = 0,075 = 7,5 %.
Ответ: 55 % , 7,5 %.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-20.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 19 по математике 5 класс с ответами варианты 1-2. Сложение и вычитание дробей. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-19.
Вернуться к Списку работ

Математика 5 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная № 19. Вариант 1

Проверяемая тема: Глава 3. Дроби. § 2. Арифметика дробей (Сложение и вычитание смешанных чисел)

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Выполни действия:
► а) 9 7/15 + 2 1/5
Решение:
9 7/15 = (9•15 + 7)/15 = 142/15
2 1/5 = 11/5 = 33/15
142/15 + 33/15 = 175/15 = 35/3 = 11 2/3
Ответ: 11 2/3
► б) 2 5/32 – 1 7/36
Решение:
2 5/32 = 69/32
1 7/36 = 43/36
НОК(32,36) = 288
69/32 = 621/288
43/36 = 344/288
621/288 ─ 344/288 = 277/288
Ответ: 277/288

► в) 2 7/16 – (2 3/8 – 1 2/3) + 2 7/12
Решение:
1) 2 3/8 = 19/8
1 2/3 = 5/3
НОК(8,3) = 24
19/8 = 57/24
5/3 = 40/24
57/24 ─ 40/24 = 17/24
2) 2 7/16 = 39/16
2 7/12 = 31/12
3) 39/16 ─ 17/24 + 31/12
НОК(16,24,12) = 48
39/16 = 117/48
17/24 = 34/48
31/12 = 124/48
4) 117/48 ─ 34/48 + 124/48 = 207/48 = 69/16 = 4 5/16
Ответ: 4 5/16.

№ 2. Реши уравнение: 3 – (x + 1 1/5) = 1 3/25
Решение: 1 1/5 = 6/5
1 3/25 = 28/25
3 ─ x ─ 6/5 = 28/25
3 ─ 6/5 = 15/5 ─ 6/5 = 9/5
9/5 ─ x = 28/25
─x = 28/25 ─ 9/5 = 28/25 ─ 45/25 = ─ 17/25
x = 17/25
Проверка:
3 ─ (17/25 + 6/5) = 3 ─ (17/25 + 30/25) = 3 ─ 47/25 = 75/25 ─ 47/25 = 28/25 = 1 3/25 — верно.
Ответ: x = 17/25.

№ 3. Сократи дроби:
► а) (a¹⁷ • b⁴)/(a¹² • b)
Решение:
a^{17 ─ 12} = a⁵ , b^{4 ─ 1} = b³
(a⁵b³)/1
Ответ: a⁵b³.
► б) (x⁸ • d⁶)/(x⁷ • d¹⁵)
Решение:
x^{8 ─ 7} = x^1 , d^{6 ─ 15} = d^{─9}
x/(d⁹)
Ответ: x / d⁹.
► в) (bⁿ⁺²)/bⁿ.
Решение: b^{(n + 2) ─ n} = b²
Ответ: b².

Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Выполни действия:
► а) 3 10/21 + 6 2/7
Решение: 3 10/21 = 73/21
6 2/7 = 44/7 = 132/21
73/21 + 132/21 = 205/21 = 9 16/21
Ответ: 9 16/21
► б) 3 1/24 – 2 11/42
Решение: 3 1/24 = 73/24
2 11/42 = 95/42
НОК(24,42) = 168
73/24 = 511/168
95/42 = 380/168
511/168 ─ 380/168 = 131/168
Ответ: 131/168

► в) 6 7/25 + (3 1/6 – 1 4/5 – 2/3)
Решение:
1) 3 1/6 = 19/6
1 4/5 = 9/5
НОК(6,5,3) = 30
19/6 = 95/30
9/5 = 54/30
2/3 = 20/30
95/30 ─ 54/30 ─ 20/30 = 21/30 = 7/10
2) 6 7/25 = 157/25
3) 157/25 + 7/10
НОК(25,10) = 50
157/25 = 314/50
7/10 = 35/50
314/50 + 35/50 = 349/50 = 6 49/50
Ответ: 6 49/50.

№ 2. Реши уравнение: 3 7/18 + (x + 2/3) = 5
Решение: 3 7/18 = 61/18
61/18 + x + 2/3 = 5
61/18 + 2/3 = 61/18 + 12/18 = 73/18
73/18 + x = 5
x = 5 ─ 73/18 = 90/18 ─ 73/18 = 17/18
Проверка:
61/18 + (17/18 + 12/18) = 61/18 + 29/18 = 90/18 = 5 — верно.
Ответ: x = 17/18.

№ 3. Сократи дроби:
► а) (a¹⁵ • b⁸)/(a⁷ • b⁷)
Решение:
a^{15 ─ 7} = a⁸ , b^{8 ─ 7} = b^1
Ответ: a⁸b.
► б) (x³ • d⁴)/(x • d¹²)
Решение:
x^{3 ─ 1} = x² , d^{4 ─ 12} = d^{─8}
Ответ: (x²) / (d⁸)
► в) (bⁿ⁺⁷)/bⁿ.
Решение: b^{(n + 7) ─ n} = b⁷
Ответ: b⁷.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-19.

Вернуться к Списку работ

Самостоятельная работа № 18 по математике 5 класс с ответами варианты 1-2. Сложение и вычитание дробей. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-18.
Вернуться к Списку работ

Математика 5 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная № 18. Вариант 1

Проверяемая тема: Глава 3. Дроби. § 2. Арифметика дробей (Сложение и вычитание дробей)

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Выполни действия:
► а) 4/7 + 7/12
Решение:
Наименьший общий знаменатель 7 и 12 = 84.
4/7 = 48/84, 7/12 = 49/84
48/84 + 49/84 = 97/84 = 1 13/84
Ответ: 1 13/84.
► б) 37/75 ─ 9/25
Решение: 9/25 = 27/75
37/75 ─ 27/75 = 10/75 = 2/15
Ответ: 2/15.
► в) 9/32 ─ 7/36
Решение: НОК(32, 36) = 288.
9/32 = 81/288, 7/36 = 56/288
81/288 ─ 56/288 = 25/288
Ответ: 25/288.

► г) 19/37 ─ 1/2
Решение:
(1/2) = 37/74, 19/37 = 38/74
38/74 ─ 37/74 = 1/74
Ответ: 1/74.
► д) 7/15 + 7/30 ─ 3/8
Решение:
Приведём к общему знаменателю 120.
7/15 = 56/120, 7/30 = 28/120, 3/8 = 45/120
56/120 + 28/120 ─ 45/120 = 39/120 = 13/40
Ответ: 13/40.
► е) (1/2) + (2/3) ─ \frac34
Решение:
Общий знаменатель 12.
(1/2) = 6/12, (2/3) = 8/12, (3/4) = 9/12
6/12 + 8/12 ─ 9/12 = 5/12
Ответ: 5/12.

№ 2. Реши уравнение: 3/7 ─ (x ─ (1/8)) = (3/4) ─ 1/2
Решение:
Упростим правую часть:
(3/4) ─ (1/2) = (3/4) ─ (2/4) = \frac14
Уравнение:
3/7 ─ (x ─ (1/8)) = \frac14
3/7 ─ x + (1/8) = \frac14
─x = (1/4) ─ (1/8) ─ 3/7
Приведём к общему знаменателю 56:
(1/4) = 14/56, (1/8) = 7/56, 3/7 = 24/56
─x = 14/56 ─ 7/56 ─ 24/56 = (─17)/56
x = 17/56
Проверка:
3/7 ─ (17/56 ─ (1/8)) = 3/7 ─ (17/56 ─ 7/56) = 3/7 ─ 10/56
3/7 = 24/56, 24/56 ─ 10/56 = 14/56 = 1/4
Правая часть (3/4) ─ (1/2) = (1/4) , верно.
Ответ: x = 17/56.

№ 3. Вычисли наиболее удобным способом:
► а) (17/35 + (1/9)) ─ 12/35
Решение:
Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем:
17/35 ─ 12/35 + (1/9) = 5/35 + (1/9) = 1/7 + 1/9
1/7 + (1/9) = 9/63 + 7/63 = 16/63
Ответ: 16/63.
► б) (18/75 + 9/22) + (5/22 + 32/75)
Решение: Перегруппируем:
(18/75 + 32/75) + (9/22 + 5/22)
50/75 + 14/22 = 2/3 + 7/11
2/3 = 22/33, 7/11 = 21/33
22/33 + 21/33 = 43/33 = 1 10/33
Ответ: 1 10/33.

№ 4. * Продолжи ряд: 2/3, 5/7, 11/13, 17/19, …
Решение:
Заметим, что числители: 2, 5, 11, 17 — это простые числа (или числа, отличающиеся на 3, 6, 6…).
Знаменатели: 3, 7, 13, 19 — тоже простые числа, на 1 больше числителя.
Проверим:
2 и 3, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 — это пары простых чисел─близнецов.
Следующая пара простых чисел─близнецов после (17, 19) — это (29, 31).
Значит, следующая дробь: 29/31
Ответ: 29/31.

Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Выполни действия:
а) 37/84 ─ 5/42
Решение:
Приведём к общему знаменателю 84:
5/42 = 5 • 2/42 • 2 = 10/84
37/84 ─ 10/84 = 27/84 = 9/28
Ответ: 9/28
► б) 9/14 + 3/5
Решение:
Общий знаменатель 70:
9/14 = 45/70 , 3/5 = 42/70
45/70 + 42/70 = 87/70 = 1 17/70
Ответ: 87/70 или 1 17/70
► в) 23/35 ─ 4/15
Решение:
Общий знаменатель 105:
23/35 = 69/105 , 4/15 = 28/105
69/105 ─ 28/105 = 41/105
Ответ: 41/105
► г) 25/37 ─ 2/3
Решение:
Общий знаменатель 111:
25/37 = 75/111 , 2/3 = 74/111
75/111 ─ 74/111 = 1/111
Ответ: 1/111
► д) 5/12 + 5/36 ─ 4/15
Решение:
Общий знаменатель 180:
5/12 = 75/180 , 5/36 = 25/180 , 4/15 = 48/180
75 + 25 ─ 48 = 52
52/180 = 13/45
Ответ: 13/45
► е) 2/5 + 1/6 ─ 1/3
Решение:
Общий знаменатель 30:
2/5 = 12/30 , 1/6 = 5/30 , 1/3 = 10/30
12 + 5 ─ 10 = 7
7/30
Ответ: 7/30

№ 2. Реши уравнение: 2/3 + (1/7 + x) = 5/6 + 1/12
Решение:
1. Упростим правую часть:
5/6 + 1/12 = 10/12 + 1/12 = 11/12
2. Уравнение:
2/3 + 1/7 + x = 11/12
3. Найдём 2/3 + 1/7 :
Общий знаменатель 21:
14/21 + 3/21 = 17/21
4. Получаем:
17/21 + x = 11/12
x = 11/12 ─ 17/21
5. Общий знаменатель 84:
11/12 = 77/84 , 17/21 = 68/84
x = (77 ─ 68)/84 = 9/84 = 3/28
Проверка:
2/3 + (1/7 + 3/28) = 2/3 + (4/28 + 3/28) = 2/3 + 7/28 = 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12
Правая часть: 5/6 + 1/12 = 10/12 + 1/12 = 11/12 — верно.
Ответ: x = 3/28

№ 3. Вычисли наиболее удобным способом:
► а) (1/3 + 19/32) ─ 5/32
Решение:
Используем сочетательный закон:
1/3 + (19/32 ─ 5/32) = 1/3 + 14/32 = 1/3 + 7/16
Общий знаменатель 48:
16/48 + 21/48 = 37/48
Ответ: 37/48
► б) (11/18 + 7/14) + (7/18 + 3/28)
Решение:
Перегруппируем:
(11/18 + 7/18) + (7/14 + 3/28)
18/18 = 1
7/14 = 1/2 = 14/28 , 14/28 + 3/28 = 17/28
Итого: 1 + 17/28 = 1 17/28
Ответ: 1 17/28.

№ 4. * Продолжи ряд: 4/6, 8/9, 10/12, 14/15,…
Решение:
Числитель и знаменатель — последовательные числа с пропуском:
4 и 6 (разница 2),
8 и 9 (разница 1),
10 и 12 (разница 2),
14 и 15 (разница 1),
… чередование разниц 2 и 1.
Следующая разница 2: числитель 16, знаменатель 18 → 16/18 = 8/9.
Ответ: 16/18 (или 8/9)

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-18.

Вернуться к Списку работ