Рубрика: Математика

Итоговая контрольная работа по математике за курс 6 класса УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-10.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Итоговая контрольная работа

Вариант 1

№ 1. Найди значения выражений:
► а) 2,4 • (─1 1/3)
Решение:
1 1/3 = 4/3
2,4 = 24/10 = 12/5
Умножаем:
12/5 • (─ 4/3) = ─ 12 • 4/5 • 3 = ─ 48/15 = ─ 16/5 = ─3,2
✅ Ответ: ─3,2
► б) (4,75 ─ 8,2) : (─0,01)
Решение:
4,75 ─ 8,2 = ─3,45
Делим на ─0,01:
─3,45 : (─0,01) = 3,45 • 100 = 345
✅ Ответ: 345

► в) 2,56 • (─40,5) ─ 6,38
Решение:
Сначала умножение:
2,56 • 40,5 = 2,56 • 40 + 2,56 • 0,5 = 102,4 + 1,28 = 103,68
С учётом знака: ─103,68
Теперь вычитаем 6,38:
─103,68 ─ 6,38 = ─110,06
✅ Ответ: ─110,06
► г) 14,07 : 3,5 + [(3,36 + 3/8 ─ 3,36 ─ 0,125) : 1/4 • 0,8 ─ 0,072] • (5,8 + 4 1/2)
Решение по шагам:
1). 14,07 : 3,5 = 4,02
2). В скобках (3,36 + 3/8 ─ 3,36 ─ 0,125) :
3,36 ─ 3,36 = 0
Остаётся 3/8 ─ 0,125
3/8 = 0,375, 0,375 ─ 0,125 = 0,25
3). Делим на 1/4 : 0,25 : 1/4 = 0,25 • 4 = 1
4). Умножаем на 0,8: 1 • 0,8 = 0,8
5). Вычитаем 0,072: 0,8 ─ 0,072 = 0,728
6). Вторая скобка: 5,8 + 4 1/2 = 5,8 + 4,5 = 10,3
7). Умножаем: 0,728 • 10,3 = 7,4984
8). Прибавляем к 4,02: 4,02 + 7,4984 = 11,5184
✅ Ответ: 11,5184

№ 2. Реши уравнения:
► а) 2,4 + 3/5x = 1 1/15x + 1,56
Решение:
3/5 = 0,6, 1 1/15 = 16/15 ≈ 1,0666…
Переведём всё в десятичные дроби:
2,4 + 0,6x = 16/15x + 1,56
Умножим всё на 15, чтобы избавиться от дроби:
36 + 9x = 16x + 23,4
36 ─ 23,4 = 16x ─ 9x
12,6 = 7x
x = 1,8
✅ Ответ: x = 1,8
► б) 5(y + 2) = 9y ─ 6(y ─ 1)
Решение:
Раскрываем скобки:
5y + 10 = 9y ─ 6y + 6
5y + 10 = 3y + 6
5y ─ 3y = 6 ─ 10
2y = ─4
y = ─2
✅ Ответ: y = ─2

№ 3. Сумма трех чисел равна 80. Первое число составляет 15% всей суммы, но 40% второго числа. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.
Решение. Сумма трёх чисел: S = 80
Первое число: a = 15 % от 80 = 0,15 • 80 = 12
По условию a = 40 % от второго числа b :
12 = 0,4b ⇒ b = 12 : 0,4 = 30
Третье число: c = 80 ─ a ─ b = 80 ─ 12 ─ 30 = 38
Среднее арифметическое a и c :
(a + c)/2 = (12 + 38)/2 = 50/2 = 25
✅ Ответ: 25

№ 4. Когда велосипедист выехал из деревни на станцию, пешеход уже находился на расстоянии 2 км 400 м от деревни. На станцию они прибыли одновременно через 15 мин после выезда велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист, если скорость пешехода была 6 км/ч?
Решение:
Пусть расстояние от деревни до станции S км.
Пешеход был в момент выезда велосипедиста на расстоянии 2,4 км от деревни, значит ему осталось пройти S ─ 2,4 км.
Скорость пешехода v_p = 6 км/ч.
Время движения пешехода от момента выезда велосипедиста до станции: t = 15 мин = 0,25 ч.
Уравнение для пешехода:
S ─ 2,4 = 6 • 0,25 = 1,5
Отсюда S = 1,5 + 2,4 = 3,9 км.
Велосипедист проехал S = 3,9 км за 0,25 ч.
Его скорость:
v_b = 3,9/0,25 = 15,6 км/ч
✅ Ответ: 15,6 км/ч.

№ 5. Одна сторона прямоугольника a м, а другая в 9 раз больше. Меньшую сторону увеличили в 2 раза, а большую уменьшили в 3 раза. Увеличился или уменьшился периметр прямоугольника и во сколько раз?
Решение. Исходные стороны: a и 9a
Периметр: P₁ = 2(a + 9a) = 2 • 10a = 20a
После изменений:
Меньшая сторона a → 2a
Большая сторона 9a → 9a : 3 = 3a
Новый периметр: P₂ = 2(2a + 3a) = 2 • 5a = 10a
Сравниваем: P₂ = 10a, P₁ = 20a
P₂ меньше P₁ в 20a/10a = 2 раза.
✅ Ответ: Периметр уменьшился в 2 раза.

№ 6. Определи, истинны или ложны данные высказывания. Построй отрицания ложных высказываний:
► а) ∃ n ∈ N: 3n ─ 7 = 19
Решение:
3n ─ 7 = 19 ⇒ 3n = 26 ⇒ n = 26/3 ∉ N
Высказывание ложно.
Отрицание: ∀ n ∈ N: 3n ─ 7 ≠ 19
► б) ∀ a, b ∈ R: a + b = b + a
Решение:
Это переместительный закон сложения, верный для всех действительных чисел.
Высказывание истинно.
► в) ∃ c, d ∈ N: c² + d² = 5
Решение:
Натуральные числа c, d ≥ 1.
Проверим: 1² + 1² = 2, 1² + 2² = 5 — подходит c = 1, d = 2 или c = 2, d = 1.
Высказывание истинно.
► г) ∀ x, y ∈ N: x + 1 > y ─ 1
Решение:
Это неверно. Контрпример: x = 1, y = 100
1 + 1 = 2, 100 ─ 1 = 99, 2 > 99 — ложно.
Высказывание ложно.
Отрицание: ∃ x, y ∈ N: x + 1 ≤ y ─ 1
✅ Ответ:
а) Ложно, отрицание: ∀ n ∈ N: 3n ─ 7 ≠ 19
б) Истинно
в) Истинно
г) Ложно, отрицание: ∃ x, y ∈ N: x + 1 ≤ y ─ 1

---

 

Вариант 2

№ 1. Найди значения выражений:
► а) (─2 1/7) • (─3,5)
Решение:
1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
─2 1/7 = ─ 15/7.
2. ─3,5 = ─ 7/2.
3. Умножаем:
(─ 15/7) • (─ 7/2) = 15 • 7/7 • 2 = 15/2 = 7,5.
✅ Ответ: 7,5.
► б) (─9,8 + 25,06) : (─0,1)
Решение:
1. Сначала сложим:
─9,8 + 25,06 = 15,26.
2. Делим на ─0,1:
15,26 : (─0,1) = ─152,6.
✅ Ответ: ─152,6.
► в) (─3,45) • 8,06 ─ 22,83
Решение:
1. Умножение:
─3,45 • 8,06 = ─27,807.
2. Вычитаем:
─27,807 ─ 22,83 = ─50,637.
✅ Ответ: ─50,637.

► г) 75,6 : 1,5 ─ [(2,48 + 1/8 ─ 2,48 + 0,125) : 1/4 ─ 4/7] • 23 1/3 • (1/2 ─ 0,026)
Решение:
1. 75,6 : 1,5 = 50,4.
2. В скобках: 2,48 + 1/8 ─ 2,48 + 0,125.
1/8 = 0,125, значит:
2,48 ─ 2,48 = 0, остаётся 0,125 + 0,125 = 0,25.
3. Делим на 1/4: 0,25 : 1/4 = 0,25 • 4 = 1.
4. Вычитаем 4/7: 1 ─ 4/7 = 3/7.
5. 23 1/3 = 70/3.
6. 1/2 ─ 0,026 = 0,5 ─ 0,026 = 0,474.
7. Умножаем: 3/7 • 70/3 • 0,474.
3/7 • 70/3 = 10.
10 • 0,474 = 4,74.
8. Вычитаем из 50,4: 50,4 ─ 4,74 = 45,66.
✅ Ответ: 45,66.

№ 2. Реши уравнения:
► а) 16/21 • x ─ 2,48 = 3/7 • x ─ 1,18
Решение:
1. Переносим x влево, числа вправо:
16/21x ─ 3/7x = 2,48 ─ 1,18.
2. 3/7 = 9/21, значит:
16/21x ─ 9/21x = 7/21x = 1/3x.
3. 2,48 ─ 1,18 = 1,3.
4. Уравнение: 1/3x = 1,3.
5. x = 1,3 • 3 = 3,9.
✅ Ответ: x = 3,9.
► б) 5(1 ─ 2y) = 7 ─ 4(3y + 1)
Решение:
1. Раскрываем скобки:
5 ─ 10y = 7 ─ 12y ─ 4.
2. Упрощаем правую часть: 7 ─ 4 = 3, значит:
5 ─ 10y = 3 ─ 12y.
3. Переносим:
─10y + 12y = 3 ─ 5.
2y = ─2.
4. y = ─1.
✅ Ответ: y = ─1.

№ 3. Сумма трех чисел равна 120. Первое число составляет 25% всей суммы, но 60% второго числа. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.
Решение:
1). Первое число: 25 % от 120:
0,25 • 120 = 30.
2). Первое число равно 60 % второго:
30 = 0,6 • b ⇒ b = 30 : 0,6 = 50.
3). Третье число: 120 ─ 30 ─ 50 = 40.
4). Среднее арифметическое первого и третьего:
(30 + 40) : 2 = 35.
✅ Ответ: 35.

№ 4. По шоссе в одном направлении едут мотоциклист и автобус. Скорость автобуса 80 км/ч. Когда мотоциклист подъехал к мосту, автобус еще не доехал до моста 4 км 800 м, а через 12 мин автобус догнал мотоциклиста. С какой скоростью ехал мотоциклист?
Решение:
1). 4,8 км = 4800 м.
2). 12 мин = 0,2 часа.
3). Пусть скорость мотоциклиста v км/ч.
Когда мотоциклист у моста, расстояние между ним и автобусом 4,8 км.
Через 0,2 ч автобус догнал мотоциклиста, значит за это время автобус проехал на 4,8 км больше, чем мотоциклист.
4). Уравнение:
80 • 0,2 ─ v • 0,2 = 4,8.
16 ─ 0,2v = 4,8.
─0,2v = 4,8 ─ 16 = ─11,2.
v = 56 км/ч.
✅ Ответ: 56 км/ч.

№ 5. Одна сторона прямоугольника a м, а другая в 6 раз больше. Меньшую сторону увеличили в 3 раза, а большую уменьшили в 2 раза. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и во сколько раз?
Решение:
1). Исходные стороны: a и 6a.
Площадь S₁ = a • 6a = 6a².
2). После изменений: меньшая 3a, большая 6a : 2 = 3a.
Получился квадрат со стороной 3a.
Площадь S₂ = 3a • 3a = 9a².
3). Сравниваем: 9a² / 6a² = 1,5.
✅ Ответ: площадь увеличилась в 1,5 раза.

№ 6. Определи, истинны или ложны данные высказывания. Построй отрицания ложных высказываний:
► а) ∀ x ∈ N: x² = 2x
Решение:
Проверим:
x = 1: 1² = 1, 2• 1 = 2 — не равно.
Значит, не для всех x верно.
✅ Ответ: Ложное.
Отрицание: ∃ x ∈ N: x² ≠ 2x.
► б) ∃ m ∈ N: 5m + 1 = 16
Решение:
5m + 1 = 16 ⇒ 5m = 15 ⇒ m = 3 ∈ N.
✅ Ответ: Истинное.
► в) ∀ a, b ∈ R: ab = ba
Решение:
Умножение чисел коммутативно, всегда ab = ba.
✅ Ответ: Истинное.
► г) ∃ c, d ∈ R: c + d < 2
Решение:
Например, c = 0, d = 0: 0 + 0 < 2 — верно.
✅ Ответ: Истинное.

---

 

Для учителя:

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по математике за курс 6 класса Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-10.

Вернуться к Списку работ

 

 

Контрольная работа № 9 по математике 6 класс «Геометрические фигуры в пространстве. Геометрические величины и их измерение» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-9.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Контрольная работа № 9

Вариант 1

№ 1. Выполни действия: а) 0,4 м + 31,6 см – 150,4 мм;
б) (238 га 50 а : 1,5 + 4 км^2 2 га) : 1,87 – 2 500 000 м^2.

Решение:
► а) 0,4 м + 31,6 см ─ 150,4 мм
Приведём всё к одной единице (например, метрам):
─ 0,4 м = 0,4 м
─ 31,6 см = 0,316 м
─ 150,4 мм = 0,1504 м
Теперь: 0,4 + 0,316 = 0,716 м
0,716 ─ 0,1504 = 0,5656 м
✅ Ответ: 0,5656 м (можно записать как 56,56 см).
► б) б) (238 га 50 а : 1,5 + 4 км² 2 га) : 1,87 ─ 2 500 000 м²
Сначала переведём всё в гектары (1 га = 100 а, 1 км² = 100 га):
─ 238 га 50 а = 238 + 0,5 = 238,5 га
─ 4 км² 2 га = 4 × 100 + 2 = 402 га
Теперь:
238,5 : 1,5 = 159 га
159 + 402 = 561 га
561 : 1,87 = 300 га
Переведём 2 500 000 м² в гектары:
1 га = 10 000 м², значит 2 500 000 м² = 250 га
Вычитаем:
300 ─ 250 = 50 га
✅ Ответ: 50 га.

№ 2. Ширина прямоугольника на 30% меньше длины, а его периметр равен 40,8 см. Найди площадь прямоугольника. Вырази эту площадь в квадратных дециметрах.
Решение:
Пусть длина a см, тогда ширина b = a ─ 0,3a = 0,7a см.
Периметр: P = 2(a + b) = 2(a + 0,7a) = 2 × 1,7a = 3,4a.
По условию 3,4a = 40,8, значит a = 40,8 : 3,4 = 12 см.
Тогда b = 0,7 × 12 = 8,4 см.
Площадь: S = a × b = 12 × 8,4 = 100,8 см².
Переведём в квадратные дециметры: 1 дм² = 100 см², значит 100,8 см² = 1,008 дм².
✅ Ответ: 1,008 дм².

№ 3. Сравни объемы куба и прямоугольного параллелепипеда, если ребро куба равно 20 м, а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 км, 18 м, 260 см.
Решение. Объём куба: V₁ = 20³ = 8000 м³.
Приведём измерения параллелепипеда к метрам:
─ 0,2 км = 200 м
─ 18 м
─ 260 см = 2,6 м
Объём параллелепипеда: V₂ = 200 × 18 × 2,6 = 200 × 46,8 = 9360 м³.
Сравниваем: 9360 > 8000, значит V₂ > V₁.
✅ Ответ: объём параллелепипеда больше объёма куба.

№ 4. Лучи, исходящие из вершины развернутого угла, делят его на три части. Первые два угла относятся как 4 : 3, а третий на 25% больше первого. Найди величины этих углов и сделай чертеж.
Решение: Развёрнутый угол = 180°.
Пусть первый угол 4x, второй 3x.
Третий угол на 25% больше первого: 4x + 0,25 × 4x = 5x.
Сумма: 4x + 3x + 5x = 12x = 180°
x = 15°.
Тогда:
первый угол 4 × 15 = 60°,
второй угол 3 × 15 = 45°,
третий угол 5 × 15 = 75°.
Проверка: 60 + 45 + 75 = 180°.
Чертеж:
─ Начертите горизонтальную прямую AB.
─ Отметьте точку O в середине.
─ Проведите из O луч OC так, чтобы ∠AOC = 60°.
─ Проведите из O луч OD так, чтобы ∠COD = 45° (тогда ∠DOB = 75°).
─ Подпишите углы: ∠AOC = 60°, ∠COD = 45°, ∠DOB = 75°.
✅ Ответ: 60°, 45°, 75°.

№ 5. Начерти куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и назови:
а) одну видимую и одну невидимую вершину;
б) одно видимое и одно невидимое ребро;
в) одну видимую и одну невидимую грань.
Решение:
Куб чертим в перспективе (параллелепипед с равными рёбрами).
Обычно видимыми считаются вершины A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, но D₁ часто не видна, если куб нарисован с передней верхней стороны.
► а) Видимая вершина: A; невидимая вершина: D₁.
► б) Видимое ребро: AB; невидимое ребро: D₁C₁.
► в) Видимая грань: ABCD; невидимая грань: A₁B₁C₁D₁.
✅ Ответ:
а) A(видимая), D₁ (невидимая);
б) AB(видимое), D₁C₁ (невидимое);
в) ABCD(видимая), A₁B₁C₁D₁ (невидимая).

№ 6*. Составь формулы для вычисления объема и площади поверхности закрашенной фигуры:

Решение. Объём закрашенной фигуры равен половине объёма самого параллелепипеда, то есть V = abc/2.
Площадь поверхности этой фигуры состоит из площади двух треугольников по бокам параллелепипеда, площади его основания, боковой стороны и площади диагонального сечения, то есть S=ab+ac+bc+dc.

 

Вариант 2

№ 1. Выполни действия: а) 31,8 дм – 902,3 мм + 0,5 м;
б) (8 га 3 а – 841 а 50 м^2: 4,5): 1,54 + 26 000 000 дм^2.
Решение:
► а) 31,8 дм ─ 902,3 мм + 0,5 м
Приведём всё к одной единице, например, к метрам:
31,8 дм = 3,18 м
902,3 мм = 0,9023 м
0,5 м = 0,5 м
Выполняем по порядку:
3,18 ─ 0,9023 = 2,2777 м
2,2777 + 0,5 = 2,7777 м
✅ Ответ а): 2,7777 м
► б) (8 га 3 а ─ 841 а 50 м² : 4,5) : 1,54 + 26 000 000 дм²
Сначала переведём всё в квадратные метры:
8 га 3 а = 8 • 10000 + 3 • 100 = 80000 + 300 = 80300 м²
841 а 50 м² = 841 • 100 + 50 = 84100 + 50 = 84150 м²
Действия по порядку:
1) 84150 : 4,5 = 18700 м²
2) 80300 ─ 18700 = 61600 м²
3) 61600 : 1,54 = 40000 м²
Теперь 26 000 000 дм² = 26 000 000 : 100 = 260 000 м²
4) 40000 + 260000 = 300000 м²
✅ Ответ б): 300000 м²

№ 2. Длина прямоугольника на 30% больше ширины, а его периметр равен 36,8 м. Найди площадь прямоугольника. Вырази эту площадь в квадратных дециметрах.
Решение: Пусть ширина x м, тогда длина 1,3x м.
Периметр: 2 • (x + 1,3x) = 2 • 2,3x = 4,6x
Уравнение: 4,6x = 36,8
x = 36,8 : 4,6 = 8 м — ширина.
Длина: 1,3 • 8 = 10,4 м.
Площадь: 8 • 10,4 = 83,2 м²
В квадратных дециметрах: 83,2 • 100 = 8320 дм²
✅ Ответ: 8320 дм²

№ 3. Сравни объемы куба и прямоугольного параллелепипеда, если ребро куба равно 10 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда 1,5 м, 1,2 см. 40 мм.
Решение. Приведём всё к см:
Куб: ребро 10 см, объём 10³ = 1000 см³
Параллелепипед:
1,5 м = 150 см
1,2 см = 1,2 см
40 мм = 4 см
Объём параллелепипеда: 150 • 1,2 • 4 = 150 • 4,8 = 720 см³
Сравнение: 1000 > 720, значит, объём куба больше.
✅ Ответ: объём куба больше объёма параллелепипеда.

№ 4. Лучи, исходящие из вершины развернутого угла, делят его на три части. Первые два угла относятся как 5 : 4, а третий на 75% меньше второго. Найди величины этих углов и сделай чертеж.
Решение. Развёрнутый угол = 180°.
Пусть первый угол 5k, второй 4k.
Третий угол на 75% меньше второго, значит, он составляет 100 % ─ 75 % = 25 % от второго.
Третий угол = 0,25 • 4k = 1k.
Сумма: 5k + 4k + 1k = 10k = 180°
k = 18°
Углы:
первый 5 • 18 = 90°
второй 4 • 18 = 72°
третий 1 • 18 = 18°
Чертеж:
Нарисуй горизонтальную прямую AB, точка O — её середина (вершина угла). Проведи луч OC вертикально вверх (угол AOC = 90°), затем луч OD так, чтобы угол COD = 72° (тогда угол DOB = 18°). Угол AOD = 90° + 72° = 162°, угол DOB = 18°, в сумме 180°.
✅ Ответ: 90°, 72°, 18°

№ 5. Начерти параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и назови:
а) одну видимую и одну невидимую вершину;
б) одно видимое и одно невидимое ребро;
в) одну видимую и одну невидимую грань.
Решение. Рисуем стандартный прямоугольный параллелепипед:
Нижняя грань ABCD(A — ближний слева, B — ближний справа, C — дальний справа, D — дальний слева).
Верхняя грань A₁B₁C₁D₁ над соответствующими точками.
Видимость: обычно передняя грань ABB₁A₁ и верхняя грань видимы, задняя грань DCC₁D₁ и нижняя грань не видны.
► а) Видимая вершина: A(или B₁). Невидимая вершина: C(или D₁).
► б) Видимое ребро: AA₁. Невидимое ребро: DC.
► в) Видимая грань: ABB₁A₁. Невидимая грань: DCC₁D₁.

№ 6*. Составь формулы для вычисления объема и площади поверхности закрашенной фигуры:

Решение:
Так как все ребра равны a, то объем закрашенной половины куба V = (a³)/2.
Площадь поверхности этой фигуры состоит из площади двух квадратов, площади прямоугольника со сторонами a и k, площади 2 треугольников.
S = 2a² + ak + (2a²)/2 = 3a² + ak
✅ Ответ: 3a² + ak.

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-9.

Вернуться к Списку работ

 

 

Самостоятельная работа № 36 по математике 6 класс (Глава 4, §4) по теме «Красота и симметрия. Правильные многоугольники» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-36.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 36

Проверяемая тема: Глава 4, §4 – Красота и симметрия. Правильные многоугольники.

Вариант 1

№ 1. Нарисуй равносторонний треугольник и отметь все его оси симметрии.
Решение: Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.
Как нарисовать лучше всего:
1. Начерти равносторонний треугольник (например, со стороной 6 см).
2. Проведи отрезок из вершины A к середине стороны BC — это первая ось симметрии.
3. Проведи отрезок из вершины B к середине стороны AC — вторая ось.
4. Проведи отрезок из вершины C к середине стороны AB — третья ось.
Все три оси пересекаются в одной точке (центре треугольника).
✅ Ответ: У равностороннего треугольника 3 оси симметрии — это медианы (они же высоты и биссектрисы).

№ 2. Вычисли периметр правильного восьмиугольника со стороной 3,8 см.
Решение: Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон.
Периметр P = 8 × a, где a — длина стороны.
P = 8 × 3,8 = 30,4 (см).
✅ Ответ: 30,4 см.

№ 3. Периметр правильного семиугольника равен 12 дм. Чему равна длина его стороны?
Решение: Правильный семиугольник имеет 7 равных сторон.
Периметр P = 7 × a, значит a = P : 7.
a = 12 : 7 = 12/7 = 1 5/7 (дм).
✅ Ответ: 1 5/7 дм.

№ 4. Величина угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: a = (180(n – 2))/n. Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного десятиугольника.
Решение: Для десятиугольника n = 10.
a = (180 × (10 ─ 2))/10 = 180 × 8/10 = 1440/10 = 144 (градуса).
✅ Ответ: 144°.

№ 5*. Начерти произвольный треугольник ABC. Построй треугольник, симметричный треугольнику ABC:
а) относительно прямой АВ;
б) относительно произвольной точки М;
в) относительно прямой ВМ.

Решение. Как построить лучше всего:
1. Начерти треугольник ABC(например, разносторонний) и отметь точку M где─нибудь рядом с ним.
2. ► а) Симметрия относительно прямой AB:
─ Прямая AB — ось симметрии.
─ Точка C симметрична сама себе? Нет, только если она лежит на AB, но она не лежит (треугольник произвольный).
─ Чтобы построить точку C₁, симметричную C относительно AB:
Проведи из C перпендикуляр к AB, продли его за AB на такое же расстояние.
─ Точки A и B останутся на месте, потому что лежат на оси.
─ Искомый треугольник — ABC₁, но это вырожденный? Нет, это треугольник AB и новая вершина C₁, но так как A и B неподвижны, то треугольник ABC₁ совпадает с ABC только если C на оси, иначе C₁ — новая точка.
На самом деле: при осевой симметрии относительно AB точка A переходит в A, B в B, C в C₁.
Искомый треугольник — A B C₁, но он будет совпадать с исходным? Нет, он будет зеркальным относительно AB.
3. ► б) Симметрия относительно точки M(центральная симметрия):
─ Для каждой вершины A, B, C: проведи луч из вершины через M и отложи за M отрезок, равный расстоянию от вершины до M.
─ Получишь точки A₂, B₂, C₂.
─ Соедини их — получится треугольник A₂B₂C₂, центрально─симметричный исходному относительно M.
4. ► в) Симметрия относительно прямой BM:
─ Прямая BM — ось симметрии.
─ Точка B останется на месте (лежит на оси).
─ Точка M не является вершиной треугольника, но ось проходит через B и M.
─ Строим симметричные точки для A и C относительно прямой BM.
─ Получаем точки A₃ и C₃.
─ Треугольник B A₃ C₃ симметричен ABC относительно прямой BM.
✅ Ответ:
Построения выполняются с помощью циркуля и линейки:
► а) треугольник ABC₁ (где C₁ симметрична C относительно AB);
► б) треугольник A₂B₂C₂ (симметрия относительно точки M);
► в) треугольник BA₃C₃ (симметрия относительно прямой BM).

---

 

Вариант 2

№ 1. Нарисуй квадрат и отметь все его оси симметрии.
Решение: Квадрат имеет 4 оси симметрии:
► 1) две прямые, проходящие через середины противоположных сторон (вертикальная и горизонтальная оси);
► 2) две прямые, проходящие через противоположные вершины (диагонали квадрата).
Как нарисовать лучше всего:
1. Начерти квадрат (например, со стороной 4 клетки в тетради).
2. Проведи вертикальную линию через середины левой и правой сторон.
3. Проведи горизонтальную линию через середины верхней и нижней сторон.
4. Проведи прямую из левого верхнего угла в правый нижний угол (первая диагональ).
5. Проведи прямую из правого верхнего угла в левый нижний угол (вторая диагональ).
Все эти линии — оси симметрии квадрата.

№ 2. Вычисли периметр правильного семиугольника со стороной 4,3 дм.
Решение:
Правильный семиугольник — это многоугольник с 7 равными сторонами.
Периметр P = 7 × a, где a — длина стороны.
a = 4,3 дм.
P = 7 × 4,3 = 30,1 дм.
✅ Ответ: 30,1 дм.

№ 3. Периметр правильного шестиугольника равен 15 см. Чему равна длина его стороны?
Решение: Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон.
Периметр P = 6 × a, где a — длина стороны.
6a = 15
a = 15 : 6 = 2,5 см.
✅ Ответ: 2,5 см.

№ 4. Величина угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: a = (180(n – 2))/n. Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного восьмиугольника.
Решение: У восьмиугольника n = 8.
Подставляем в формулу:
a = (180 × (8 ─ 2))/8 = 180 × 6/8 = 1080/8 = 135.
✅ Ответ: 135°.

№ 5*. Начерти произвольный треугольник ABC. Построй треугольник, симметричный треугольнику ABC:
а) относительно прямой АВ;
б) относительно произвольной точки М;
в) относительно прямой ВМ.

Указание к выполнению:
► а) Относительно прямой АВ:
Прямая АВ — ось симметрии.
Точки А и В лежат на оси, поэтому они остаются на месте.
Точка С отражается относительно прямой АВ:
1) Провести из С перпендикуляр к прямой АВ.
2) Продлить перпендикуляр за прямую АВ на такое же расстояние.
3) Полученная точка C₁ — образ точки С.
Треугольник ABC₁ (или BAC₁) симметричен треугольнику ABC относительно АВ (на самом деле, если А и В на оси, то треугольник ABC₁ будет совпадать с отражением, но вершины А и В те же, третья — C₁).
► б) Относительно произвольной точки М:
Это центральная симметрия относительно точки М.
Для каждой вершины A, B, C:
1) Провести прямую через вершину и точку М.
2) На продолжении прямой за точку М отложить отрезок, равный расстоянию от вершины до М.
3) Получить точки A₁, B₁, C₁.
Треугольник A₁B₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно точки М.
► в) Относительно прямой ВМ:
Прямая ВМ — ось симметрии.
Точка В лежит на оси, остаётся на месте.
Точка М лежит на оси, остаётся на месте (но М не вершина треугольника, а внешняя точка).
Вершины А и С отражаем относительно прямой ВМ:
1) Провести перпендикуляры из А и С к прямой ВМ.
2) На продолжении перпендикуляров за ось отложить равные расстояния.
3) Получить точки A₁ и C₁.
Треугольник A₁ B C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой ВМ.
Как лучше начертить:
1. Нарисуй треугольник ABC(например, разносторонний).
2. Отметь точку М где─нибудь вне треугольника.
3. Для каждого пункта используй циркуль и линейку для точного построения симметричных точек.
4. Подпиши полученные треугольники.

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-36.

Вернуться к Списку работ

 

 

Самостоятельная работа № 35 по математике 6 класс (Глава 4, §3 п.2) по теме «Измерение углов. Транспортир» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-35.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 35

Проверяемая тема: Глава 4, §3, п.2 – Измерение углов. Транспортир.

Вариант 1

№ 1. Начерти луч АВ. С помощью транспортира отложи от него угол, равный 55°. Приведи все возможные варианты решения этой задачи.
Решение: Угол можно отложить от луча АВ в двух направлениях: по часовой стрелке и против часовой стрелки.
► 1. Первый вариант (стандартный):
─ Начертим луч АВ вправо.
─ Совместим центр транспортира с точкой А, а нулевую линию шкалы (отметка 0) — с лучом АВ.
─ На шкале транспортира найдём отметку 55° на внешней шкале, та как луч направлен вправо. Отметка будет без цифр ровно посередине между цифрами 50 и 60.
─ Поставим точку С напротив этой отметки.
─ Проведём луч АС.
Получим угол ВАС = 55°, отложенный против часовой стрелки от луча АВ.
► 2. Второй вариант:
─ Оставим луч АВ направленным вправо.
─ Совместим центр транспортира с точкой А, нулевую линию — с лучом АВ.
─ Найдём отметку 55° на другой шкале транспортира (внутренняя шкала, если луч вправо).
─ Поставим точку D против этой отметки снизу от луча АВ.
─ Проведём луч AD.
Получим угол ВАD = 55°, отложенный по часовой стрелке от луча АВ.
✅ Ответ: Есть два варианта: угол 55° отложен от луча АВ вверх (против часовой стрелки) или вниз (по часовой стрелке).

№ 2. Построй с помощью транспортира два смежных угла, если один из этих углов равен 3/4 развернутого угла.
Решение: Развёрнутый угол = 180°.
3/4 от 180° = 180° × 3/4 = 135°.
Смежные углы в сумме дают 180°, значит второй угол = 180° ─ 135° = 45°.
Построение:
1. Начертим луч ОА горизонтально вправо.
2. Совместим центр транспортира с точкой О, нулевую линию — с лучом ОА.
3. Найдём на шкале транспортира отметку 135° (обычно внешняя шкала, если луч вправо).
4. Поставим точку В и проведём луч ОВ. Угол АОВ = 135°.
5. Теперь от луча ОВ (или от луча ОА) можно отложить второй смежный угол, но проще:
─ Луч ОВ и продолжение луча ОА за точку О не дадут смежный угол, потому что смежный к углу АОВ — это угол ВОС, где луч ОС является продолжением луча ОА в противоположную сторону.
─ На самом деле, если есть угол АОВ = 135°, то смежный с ним угол ВОС будет равен 45°, и луч ОС будет направлен влево от точки О (продолжение луча ОА за точку О в другую сторону).
─ Чтобы построить его транспортиром: от луча ОВ (внутренняя сторона угла 135°) отложим 45° по часовой стрелке, получим луч ОС.
✅ Ответ: Один угол 135°, второй 45°, они смежные.

№ 3. Луч, исходящий из вершины угла АОВ, равного 168°, делит его на две части, которые относятся друг к другу как 3:4. Найди величины этих углов и сделай чертеж.

Решение: Пусть части угла равны 3x и 4x.
Их сумма: 3x + 4x = 7x = 168°.
Тогда x = 168° : 7 = 24°.
Углы: 3x = 3 × 24° = 72°, 4x = 4 × 24° = 96°.
Чертеж:
1. Начертим луч ОА горизонтально вправо.
2. Отложим от него ∠АОВ = 168° (против часовой стрелки), получим луч ОВ.
3. Внутри угла АОВ проведём луч ОС так, чтобы угол АОС = 72° (тогда угол СОВ = 96°).
Или наоборот: ∠АОС = 96°, тогда ∠СОВ = 72° — оба варианта соответствуют отношению 3:4, но порядок частей зависит от того, какая часть считается первой.
Обычно подразумевается: части в порядке от луча ОА к лучу ОВ: 3:4, значит от ОА к ОС — 3 части (72°), от ОС к ОВ — 4 части (96°).
✅ Ответ: Углы 72° и 96°.

№ 4*. В треугольнике ABC угол А на 20% больше угла В, а угол С на 80% меньше угла В. Построй треугольник ABC, считая, что сумма его углов равна 180°.

Решение: Пусть угол В = x°.
Тогда угол А = x + 20% от x = x + 0,2x = 1,2x.
Угол С = x ─ 80% от x = x ─ 0,8x = 0,2x.
Сумма углов треугольника:
1,2x + x + 0,2x = 2,4x = 180°.
x = 180° : 2,4 = 75°.
Углы:
∠В = 75°,
∠А = 1,2 × 75° = 90°,
∠С = 0,2 × 75° = 15°.
Построение:
1. Начертим отрезок АВ произвольной длины (например, 6 см).
2. В точке А построим угол ВАС = 90° (с помощью транспортира или угольника).
3. В точке В построим угол АВС = 75° (транспортиром).
4. Лучи из точек А и В (стороны углов 90° и 75°) пересекутся в точке С.
5. Проверим: угол С должен быть около 15° (можно измерить транспортиром).
✅ Ответ. Углы треугольника: А = 90°, В = 75°, С = 15°.

---

 

Вариант 2

№ 1. Начерти луч АВ. С помощью транспортира отложи от него угол, равный 115°. Приведи все возможные варианты решения этой задачи.
Решение: Угол 115° можно отложить от луча АВ в двух направлениях: по часовой стрелке и против часовой стрелки (если смотреть на луч как на начальную сторону угла).
► 1. Первый вариант (обычный, против часовой стрелки):
─ Начертим луч АВ вправо.
─ Совместим центр транспортира с точкой А, а нулевую шкалу (0°) — с лучом АВ.
─ На шкале транспортира находим 115° (это посередине между цифрами 110 и 120).
─ Ставим точку С по этой отметке.
─ Проводим луч АС.
Получим ∠ВАС = 115°.
► 2. Второй вариант (по часовой стрелке, то есть в другую сторону от луча АВ):
─ Луч АВ снова вправо.
─ Совмещаем центр транспортира с точкой А, нулевая шкала — с лучом АВ, но смотрим на шкалу, идущую в другую сторону (обычно внутренняя шкала транспортира показывает углы в обратном направлении).
─ Находим 115° на этой шкале (или можно просто отложить 115° по часовой стрелке, что соответствует 360° – 115° = 245° на обычной шкале против часовой стрелки, но проще использовать вторую шкалу транспортира).
─ Ставим точку D и проводим луч AD.
Получим ∠ВАD = 115°, но отложенный вниз от луча АВ.
✅ Ответ: Возможны два угла с вершиной А и начальной стороной АВ: один направлен против часовой стрелки (115°), другой — по часовой стрелке (115°). На чертеже это будут два разных луча из точки А.

№ 2. Построй с помощью транспортира два смежных угла, если один из этих углов равен 3/5 прямого угла.

Решение: Прямой угол = 90°.
3/5 от 90° = 3/5 × 90 = 54°.
Смежные углы в сумме дают 180°.
Второй угол = 180° – 54° = 126°.
Построение:
1. Начертим луч ОА горизонтально вправо.
2. Приложим транспортир центром к точке О, луч ОА совместим с 0°.
3. Отметим 54° и проведем луч ОВ. Угол АОВ = 54°.
4. Теперь от луча ОА в другую сторону (по часовой стрелке, или просто продолжив луч ОА в обратную сторону как луч ОС, но удобнее от луча ОВ продолжить построение) можно построить второй угол 126° как смежный с углом 54°.
Проще: от луча ОВ отложим угол 126° внутри смежной пары.
Но если строить от общего луча ОА: один угол 54° (луч ОВ), другой угол 126° (луч ОС) с общей стороной ОА, тогда углы ВОА и АОС будут смежными (их сумма 54° + 126° = 180°).
✅ Ответ: Один угол 54°, второй 126°, они смежные.

№ 3. Луч, исходящий из вершины угла АОВ, равного 84°, делит его на две части, которые относятся друг к другу как 5:2. Найди величины этих углов и сделай чертеж.

Решение:
Пусть меньшая часть = 2х, большая = 5х.
Их сумма: 2х + 5х = 7х = 84° ⇒ х = 12°.
Тогда углы: 2х = 24°, 5х = 60°.
Чертеж:
1. Начертим угол АОВ = 84° (луч ОА горизонтально вправо, луч ОВ под углом 84° к нему против часовой стрелки).
2. Из вершины О проводим луч ОС внутри угла АОВ так, чтобы угол АОС = 24° (или угол СОВ = 60°).
3. Тогда второй угол будет 60° (или 24° соответственно).
Проверка: 24° + 60° = 84°.
✅ Ответ: Углы 24° и 60°.

№ 4*. В треугольнике ABC угол А на 60% меньше угла В, а угол С на 60% больше угла В. Построй треугольник ABC, считая, что сумма его углов равна 180°.
Решение: Пусть угол В = х градусов.
Угол А на 60% меньше угла В ⇒ А = х – 0,6х = 0,4х.
Угол С на 60% больше угла В ⇒ С = х + 0,6х = 1,6х.
Сумма углов треугольника: 0,4х + х + 1,6х = 3х = 180° ⇒ х = 60°.
Тогда:
∠А = 0,4 × 60 = 24°,
∠В = 60°,
∠С = 1,6 × 60 = 96°.
Построение треугольника:
1. Начертим отрезок AB произвольной длины (например, 6 см).
2. В точке A построим угол 24° от AB (луч под 24°).
3. В точке B построим угол 60° от BA (луч под 60° в ту же сторону от AB, что и луч из A).
4. Лучи из A и B пересекутся в точке C.
5. Угол при C должен получиться 96° (можно проверить транспортиром).
✅ Ответ: Углы треугольника: 24°, 60°, 96°.

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-35.

Вернуться к Списку работ

 

 

Самостоятельная работа № 34 по математике 6 класс (Глава 4, §3 п.1) по теме «Измерение величин. Длина, площадь, объем» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-34.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 34

Проверяемая тема: Глава 4, §3, п.1 – Измерение величин. Длина, площадь, объем.

Вариант 1

№ 1. Выполни действия:
а) 2,6 м + 34 см – 25,1 дм; б) 9,6 м^2 : 4 + 3,2 дм^2 – 2 м^2 1 дм^2.

Решение:
► а) 2,6 м + 34 см – 25,1 дм;
Приведём всё к одной единице (например, к метрам):
2,6 м = 2,6 м
34 см = 0,34 м
25,1 дм = 2,51 м (т.к. 1 дм = 0,1 м)
Теперь:
2,6 + 0,34 = 2,94
2,94 ─ 2,51 = 0,43 м
✅ Ответ а: 0,43 м (или 4,3 дм, или 43 см).
► б) 9,6 м^2 : 4 + 3,2 дм^2 – 2 м^2 1 дм^2.
9,6 м² : 4 = 2,4 м²
3,2 дм² = 0,032 м² (т.к. 1 дм² = 0,01 м²)
2 м² 1 дм² = 2,01 м²
Теперь:
2,4 + 0,032 = 2,432
2,432 ─ 2,01 = 0,422 м²
✅ Ответ б: 0,422 м² (или 42,2 дм²).

№ 2. Прямоугольник имеет ширину 2,4 м и длину 35 дм. Ширину этого прямоугольника увеличили на 25%, а длину уменьшили на 20 см. На сколько квадратных метров уменьшилась или увеличилась площадь этого прямоугольника?

Решение:
1. Переведём всё в метры:
Ширина b = 2,4 м
Длина a = 35 дм = 3,5 м
2. Начальная площадь:
S₀ = a × b = 3,5 × 2,4 = 8,4 м²
3. Новая ширина: увеличение на 25%
b_{нов} = 2,4 + 2,4 × 0,25 = 2,4 + 0,6 = 3,0 м
4. Новая длина: уменьшение на 20 см = 0,2 м
a_{нов} = 3,5 ─ 0,2 = 3,3 м
5. Новая площадь:
S_{нов} = 3,3 × 3,0 = 9,9 м²
6. Изменение площади:
9,9 ─ 8,4 = 1,5 м² (увеличилась).
✅ Ответ: площадь увеличилась на 1,5 м².

№ 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 дм, 15 см, 50 мм. Найди объем этого параллелепипеда.
Решение: Приведём все измерения к одной единице (например, см):
2 дм = 20 см
15 см = 15 см
50 мм = 5 см
Объём:
V = 20 × 15 × 5 = 1500 см³
✅ Ответ: 1500 см³ (или 1,5 дм³).

№ 4*. Сравни площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если ребро куба равно 6 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 дм, 15 см, 50 мм.

Решение:
1. Площадь поверхности куба (ребро a = 6 см):
S_{куб} = 6 × a² = 6 × 6² = 6 × 36 = 216 см²
2. Площадь поверхности параллелепипеда:
Измерения в см: 20 см, 15 см, 5 см
Формула: S_{пар} = 2(ab + bc + ac)
a = 20, b = 15, c = 5
ab = 20 × 15 = 300
bc = 15 × 5 = 75
ac = 20 × 5 = 100
Сумма: 300 + 75 + 100 = 475
S_{пар} = 2 × 475 = 950 см²
3. Сравнение:
950 см² > 216 см²
Площадь поверхности параллелепипеда больше.
✅ Ответ: площадь поверхности параллелепипеда больше площади поверхности куба (950 см² > 216 см²).
Примечание по рисованию (если требуется):
Для наглядности в задании №4 можно нарисовать куб с подписью «6 см» на ребре и прямоугольный параллелепипед с подписями «20 см», «15 см», «5 см» на рёбрах. Лучше рисовать их рядом, подписать площади поверхностей и сравнить числа.

---

 

Вариант 2

№ 1. Выполни действия:
а) 98см + 18,3 дм – 1,9 м; б) 4,2 см^2 : 3 – 1 см^2 5 мм^2 + 5,6 мм^2.

Решение
► а) 98см + 18,3 дм – 1,9 м
Переведём всё в одну единицу (например, в метры, но можно и в сантиметры).
Переведём в сантиметры:
1 дм = 10 см ⇒ 18,3 дм = 18,3 × 10 = 183 см.
1 м = 100 см ⇒ 1,9 м = 1,9 × 100 = 190 см.
Теперь:
98 см + 183 см = 281 см.
281 см – 190 см = 91 см.
Можно перевести в метры: 91 см = 0,91 м.
✅ Ответ а): 91 см (или 0,91 м).
► б) 4,2 см^2 : 3 – 1 см^2 5 мм^2 + 5,6 мм^2
Переведём всё в мм², потому что есть мм².
1 см² = 100 мм².
4,2 см² = 4,2 × 100 = 420 мм².
420 мм² : 3 = 140 мм².
1 см² 5 мм² = 1 × 100 + 5 = 105 мм².
Теперь по порядку:
140 мм² – 105 мм² = 35 мм².
35 мм² + 5,6 мм² = 40,6 мм².
Можно перевести в см²: 40,6 мм² = 0,406 см².
✅ Ответ б): 40,6 мм² (или 0,406 см²).

№ 2. Прямоугольник имеет длину 42 дм и ширину 1,5 м. Длину этого прямоугольника увеличили на 80 см, а ширину уменьшили на 20%. На сколько квадратных метров уменьшилась или увеличилась площадь этого прямоугольника?

Решение:
Приведём всё к метрам.
42 дм = 4,2 м (т.к. 1 дм = 0,1 м).
Ширина 1,5 м.
Начальная площадь:
S₁ = 4,2 × 1,5 = 6,3 м².
Новые размеры:
Длина увеличилась на 80 см = 0,8 м.
Новая длина: 4,2 + 0,8 = 5,0 м.
Ширина уменьшили на 20% ⇒ осталось 80% от начальной.
Новая ширина: 1,5 × 0,8 = 1,2 м.
Новая площадь:
S₂ = 5,0 × 1,2 = 6,0 м².
Изменение площади:
S₂ ─ S₁ = 6,0 ─ 6,3 = ─0,3 м².
Площадь уменьшилась на 0,3 м².
✅ Ответ: площадь уменьшилась на 0,3 м².

№ 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 м, 25 дм, 70 см. Найди объем этого параллелепипеда.
Решение: Переведём всё в метры:
4 м = 4 м.
25 дм = 2,5 м (т.к. 1 дм = 0,1 м).
70 см = 0,7 м.
Объём:
V = 4 × 2,5 × 0,7.
Сначала 4 × 2,5 = 10.
Потом 10 × 0,7 = 7.
✅ Ответ: 7 м³.

№ 4*. Сравни площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если ребро куба равно 10 дм, а измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 м, 25 дм, 70 см.

Решение:
1. Куб:
Ребро a = 10 дм = 1 м.
Площадь поверхности куба:
S_{куб} = 6a² = 6 × 1² = 6 м².
2. Параллелепипед:
Измерения: 4 м
25 дм = 2,5 м
70 см = 0,7 м.
Площадь поверхности:
S_{пар} = 2(ab + bc + ac),
где a = 4, b = 2,5, c = 0,7.
Считаем:
ab = 4 × 2,5 = 10
bc = 2,5 × 0,7 = 1,75
ac = 4 × 0,7 = 2,8
Сумма: 10 + 1,75 + 2,8 = 14,55
S_{пар} = 2 × 14,55 = 29,1 м².
3. Сравнение:
29,1 м² > 6 м².
✅ Ответ: площадь поверхности параллелепипеда (29,1 м²) больше площади поверхности куба (6 м²).
Если нужно нарисовать: Для наглядности можно нарисовать куб с подписью «ребро = 1 м» и прямоугольный параллелепипед с подписями сторон 4 м, 2,5 м, 0,7 м. Под каждым подписать формулу площади поверхности и результат. Лучше рисовать от руки в тетради в клетку, соблюдая примерные пропорции (параллелепипед будет вытянутым).

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-34.

Вернуться к Списку работ

 

 

Самостоятельная работа № 33 по математике 6 класс (Глава 4, § 2) по теме «Пространственные фигуры и их изображение. Многогранники» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-33.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 33

Проверяемая тема: Глава 4, §21 – Пространственные фигуры и их изображение. Многогранники.

Вариант 1

№ 1. Начерти параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и назови:
а) два его видимых и два невидимых ребра;
б) одну видимую и одну невидимую грань.

Решение:
1. Рисуем параллелепипед так, чтобы три его грани были видны спереди, сверху и сбоку.
─ Нижнее основание: ABCD(видимое).
─ Верхнее основание: A₁B₁C₁D₁ (видимое сверху).
─ Боковые рёбра: AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
─ На чертеже обычно видны рёбра: AB, BC, AA₁, BB₁, B₁C₁ и т.д.
─ Не видны рёбра: CD(может быть скрыто передней гранью), DD₁ (может быть за передней гранью), C₁D₁ (сзади сверху).
2. а) Видимые рёбра (например): AB и BB₁.
Невидимые рёбра (например): CD и D₁C₁.
► б) Видимая грань (например): ABB₁A₁.
Невидимая грань (например): DCC₁D₁ (задняя грань).
✅ Ответ:
► а) Видимые: AB, BB₁; невидимые: CD, C₁D₁.
► б) Видимая: ABB₁A₁; невидимая: DCC₁D₁.

№ 2. Изобрази пирамиду, в основании которой лежит четырехугольник. Сколько у этой пирамиды всего:
а) вершин; б) ребер; в) граней?

Решение:
1. Рисуем четырёхугольную пирамиду:
─ Внизу квадрат или произвольный четырёхугольник ABCD.
─ Вершина пирамиды S над основанием, не в плоскости основания.
─ Соединяем S с A, B, C, D.
2. Считаем:
► а) Вершины: A, B, C, D, S — всего 5 вершин.
► б) Рёбра: AB, BC, CD, DA(4 ребра основания) и SA, SB, SC, SD(4 боковых ребра) — всего 8 рёбер.
► в) Грани: ABCD(1 основание) и SAB, SBC, SCD, SDA(4 боковых грани) — всего 5 граней.
✅ Ответ: а) 5 вершин; б) 8 рёбер; в) 5 граней.

№ 3*. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Построй сечение куба плоскостью α, проходящей через точки М, N и К, если M ∈ A₁B₁; N ∈ B₁B; К ∈ B₁C₁.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

Вариант 2

№ 1. Начерти куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и назови:
а) два его видимых и два невидимых ребра;
б) одну видимую и одну невидимую грань.

Решение: Рисуем куб так:
─ Основание ABCD рисуем как параллелограмм (обычно квадрат, но под углом, чтобы было видно 3 грани).
─ Из вершин A, B, C, D проводим вертикальные или наклонные равные отрезки вверх─вправо (или вверх─влево) — это рёбра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
─ Соединяем концы A₁, B₁, C₁, D₁ в том же порядке, получаем верхнее основание A₁B₁C₁D₁.
─ Пунктиром рисуем рёбра, которые не видны с выбранной точки зрения (обычно задние рёбра AD, DD₁, D₁C₁, C₁C и грань ADD₁A₁).
► а) Видимые рёбра (пример): AA₁, AB.
Невидимые рёбра (пример): AD, D₁C₁.
► б) Видимая грань (пример): AA₁B₁B.
Невидимая грань (пример): CC₁D₁D(задняя боковая грань).

№ 2. Изобрази пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Сколько у этой пирамиды всего:
а) вершин; б) ребер; в) граней?

Решение: 1) Рисуем треугольник ABC(основание).
Выбираем точку S(вершина пирамиды) не в плоскости треугольника, обычно выше центра основания.
Соединяем S с A, B, C — получаем боковые рёбра.
► а) Вершин: A, B, C, S — всего 4 вершины.
► б) Рёбер: AB, BC, CA(основание) и SA, SB, SC(боковые) — всего 6 рёбер.
► в) Граней: ABC(основание), SAB, SBC, SCA(боковые) — всего 4 грани.

№ 3*. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Построй сечение куба плоскостью α, проходящей через точки М, N и К, если M ∈ С₁С; N ∈ CD; К ∈ ВС.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-33.

Вернуться к Списку работ

 

 

Самостоятельная работа № 32 по математике 6 класс (Глава 4, § 1) по теме «Классификация геометрических фигур. Задачи на построение» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-32.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 32

Проверяемая тема: Глава 4, § 1 – Классификация геометрических фигур. Задачи на построение.

Вариант 1

№ 1. По определению сделай рисунок, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются.

► а) Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на противолежащую сторону треугольника.
Решение и ответ:
1. Определяемое понятие: высота треугольника.
2. Понятия, на которые опирается определение:
─ треугольник,
─ вершина треугольника,
─ противолежащая сторона,
─ перпендикуляр,
─ опущенный (проведённый) из точки к прямой.
Как сделать рисунок: Нарисуй любой треугольник ABC. Выбери вершину, например A. Противолежащая сторона — BC. Из точки A проведи перпендикуляр к прямой BC так, чтобы он упал на сторону BC(или её продолжение, если треугольник тупоугольный и высота падает вне стороны). Обозначь основание перпендикуляра как H. Отрезок AH — высота.

► б) Треугольник, имеющий тупой угол, называется тупоугольным треугольником.
Решение и ответ:
1. Определяемое понятие: тупоугольный треугольник.
2. Понятия, на которые опирается определение:
─ треугольник,
─ тупой угол (угол больше 90°, но меньше 180°).
Как сделать рисунок: Нарисуй треугольник, у которого один угол явно больше прямого (например, 100°). Подпиши: «тупоугольный треугольник».

№ 2. Дан угол AВС. Построй угол А₁В₁С₁, равный углу AВС.
Решение:
1. Начерти луч B₁A₁ (начало в точке B₁, направление любое).
2. С помощью циркуля:
─ Из вершины B данного угла ABC проведи дугу окружности произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны BA и BC в точках M и N.
─ Не меняя раствора циркуля, из точки B₁ проведи дугу того же радиуса, пересекающую луч B₁A₁ в точке M₁.
─ Измерь циркулем расстояние MN.
─ Из точки M₁ сделай засечку на дуге радиусом MN, получи точку N₁.
─ Проведи луч B₁N₁.
─ Угол A₁B₁C₁ равен углу ABC.
✅ Ответ: Угол построен.

№ 3*. Дан прямоугольный треугольник AВС с прямым углом A. Построй медиану AM треугольника AВС. (Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.)

Решение:
1. Нарисуй прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 90°.
2. Противолежащая сторона к вершине A — это BC.
3. Найди середину стороны BC :
─ Измерь отрезок BC линейкой, раздели пополам или
─ Построй серединный перпендикуляр к BC(циркулем и линейкой) — точка пересечения перпендикуляра с BC и будет серединой M.
4. Соедини вершину A с точкой M.
5. Отрезок AM — медиана.
✅ Ответ: Медиана AM построена.

---

 

Вариант 2

№ 1. По определению сделай рисунок, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются.

► а) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Решение и ответ:
1. Определяемое понятие: медиана треугольника.
2. Понятия, на которые опирается определение:
─ треугольник,
─ вершина треугольника,
─ противолежащая сторона,
─ середина отрезка,
─ отрезок.
Как сделать рисунок: Нарисуй треугольник ABC. Выбери вершину A. Противолежащая сторона — BC. Найди середину M стороны BC. Соедини A и M. Отрезок AM — медиана.

► б) Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным треугольником.
Решение и ответ:
1. Определяемое понятие: остроугольный треугольник.
2. Понятия, на которые опирается определение:
─ треугольник,
─ острый угол (угол меньше 90°).
Как сделать рисунок: Нарисуй треугольник, у которого все три угла явно меньше прямого (например, равносторонний треугольник). Подпиши: «остроугольный треугольник».

№ 2. Дан угол AВС. Построй биссектрису ВК угла AВС. (Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит его пополам.)
Решение:
1. Из вершины B проведи дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны BA и BC в точках P и Q.
2. Из точек P и Q проведи две дуги одинакового радиуса (больше половины PQ) так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке R.
3. Проведи луч BR.
4. Луч BR — биссектриса угла ABC, обозначь её BK.
✅ Ответ: Биссектриса построена.

№ 3*. Дан тупоугольный треугольник AВС с тупым углом A. Построй медиану AM треугольника AВС.
Решение:
1. Нарисуй треугольник ABC, где угол A тупой (больше 90°).
2. Противолежащая сторона к вершине A — BC.
3. Найди середину M стороны BC(линейкой или построением серединного перпендикуляра).
4. Соедини A и M.
5. Отрезок AM — медиана.
✅ Ответ: Медиана AM построена.

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-32.

Вернуться к Списку работ

 

 

Самостоятельная работа № 31 по математике 6 класс (Глава 3, § 5) по теме «Логическое следование» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-31.
Вернуться к Списку работ

Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 31

Проверяемая тема: Глава 3, § 5 – Логическое следование.

Вариант 1

№ 1. Запиши высказывания на математическом языке. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их.
а) Если целое число меньше 1, то оно меньше или равно 0.
б) Если первое число на 4 больше второго, то второе на 4 меньше первого..
в) Если сумма двух чисел равна натуральному числу, то каждое из этих чисел является натуральным числом.

Решение:
► а) Математическая запись:
Пусть x ∈ Z.
Высказывание: x < 1 ⇒ x ≤ 0.
Проверим истинность:
Если x — целое и x < 1, то возможные целые числа: 0, ─1, ─2,…
Все они действительно ≤ 0.
Значит, высказывание истинно.
Отрицание строить не нужно, так как оно не ложное.
✅ Ответ для (а): Высказывание истинно, отрицание не требуется.
► б) Математическая запись:
Пусть a — первое число, b — второе число.
Высказывание: a = b + 4 ⇒ b = a ─ 4.
Проверим истинность:
Если a = b + 4, то, вычитая 4 из обеих частей, получим b = a ─ 4.
Это всегда верно для любых чисел a, b.
Значит, высказывание истинно.
Отрицание не требуется.
✅ Ответ для (б): Высказывание истинно, отрицание не требуется.
► в) Математическая запись:
Пусть x, y — числа (не обязательно натуральные).
Высказывание: x + y ∈ N ⇒ x ∈ N и y ∈ N.
Проверим истинность:
Контрпример: x = 2.5, y = 0.5, тогда x + y = 3 (натуральное), но x и y не натуральные (не целые положительные).
Значит, высказывание ложно.
Отрицание ложного высказывания:
Отрицаем импликацию A ⇒ B, где
A : «сумма двух чисел — натуральное число»,
B : «каждое из этих чисел — натуральное число».
Отрицание импликации: A и не B.
То есть: «Сумма двух чисел является натуральным числом, и при этом хотя бы одно из этих чисел не является натуральным числом».
Обоснование:
Мы привели пример (2.5; 0.5), для которого A истинно, а B ложно, значит исходное высказывание ложно, а его отрицание истинно.
✅ Ответ для (в): Высказывание ложно.
Отрицание: «Сумма двух чисел является натуральным числом, и хотя бы одно из этих чисел не является натуральным числом».
Обоснование: пример 2.5 + 0.5 = 3.

№ 2. Запиши высказывания на математическом языке. Найди взаимно обратные высказывания и определи, являются ли они равносильными.
а) Из равенства двух чисел следует равенство их модулей.
б) Если произведение двух чисел делится на 7, то хотя бы одно из этих чисел делится на 7.
в) Если модули двух чисел равны, то эти числа равны.

Решение:
► а)
Исходное: a = b ⇒ |a| = |b|.
Обратное: |a| = |b| ⇒ a = b.
Проверим равносильность:
Исходное истинно (если числа равны, модули равны).
Обратное ложно (пример: a = 2, b = ─2, модули равны, но числа не равны).
Значит, не равносильны.
✅ Ответ для (а): Исходное истинно, обратное ложно, не равносильны.
► б)
Исходное: 7 | (a • b) ⇒ (7 | a) $\vee$ (7 | b)
Расшифровка символов:
$7\mid x$ — «7 делит $x$ без остатка», то есть $x$ кратно 7;
$a\cdot b$ — произведение чисел $a$ и $b$;
$\Rightarrow$ — импликация («если …, то …»);
$\vee$ — дизъюнкция («ИЛИ»).
Полная формулировка исходного: «Если произведение $a\cdot b$делится на 7, то хотя бы одно из чисел $a$или $b$делится на 7».
Обратное: (7 | a) или (7 | b) ⇒ 7 | (a • b).
Формулировка обратного: «Если хотя бы одно из чисел $a$или $b$делится на 7, то их произведение $a\cdot b$делится на 7».
Проверим: Исходное истинно для целых чисел (свойство простого числа 7).
Обратное тоже истинно: если хотя бы один множитель делится на 7, то произведение делится на 7.
Значит, равносильны (оба истинны, но вообще равносильность означает одинаковую истинность при всех значениях переменных — здесь это так).
✅ Ответ для (б): Исходное и обратное истинны, равносильны.
► в)
Исходное: |a| = |b| ⇒ a = b.
Обратное: a = b ⇒ |a| = |b|.
Проверим:
Исходное ложно (пример a = 5, b = ─5).
Обратное истинно. Не равносильны.
✅ Ответ для (в): Исходное ложно, обратное истинно, не равносильны.

№ 3*. Запиши, используя знак Df, определение:
а) неправильной дроби; б) прямого угла.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

Вариант 2

№ 1. Запиши высказывания на математическом языке. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их.
а) Если каждое из двух чисел является натуральным числом, то их разность является целым числом.
б) Если рациональное число больше 1, то оно больше или равно 2.
в) Если первое число в 7 раз больше второго, то второе в 7 раз меньше первого.

Решение:
► а) Если каждое из двух чисел является натуральным числом, то их разность является целым числом.
На математическом языке:
Пусть a ∈ N, b ∈ N, тогда a ─ b ∈ Z.
Это высказывание истинно, потому что натуральные числа — это целые положительные числа, разность любых двух целых чисел — целое число (даже если результат отрицательный или ноль).
Отрицание строить не нужно, так как высказывание истинно.
► б) Если рациональное число больше 1, то оно больше или равно 2.
На математическом языке:
Пусть r ∈ Q, если r > 1, то r ≥ 2.
Это высказывание ложно, потому что можно привести контрпример: r = 1,5 — рациональное число, больше 1, но не больше или равно 2.
Отрицание:
«Существует рациональное число, большее 1, но меньшее 2».
Обоснование: действительно, 1,5 удовлетворяет этому условию, поэтому исходное утверждение ложно, а отрицание истинно.
► в) Если первое число в 7 раз больше второго, то второе в 7 раз меньше первого.
На математическом языке:
Пусть a, b ∈ R, если a = 7b, то b = a/7.
Это высказывание истинно, так как «в 7 раз больше» означает a = 7b, отсюда b = a / 7, что и означает «в 7 раз меньше».
Отрицание строить не нужно.
✅ Ответы:
а) Истинно, отрицание не строим.
б) Ложно, отрицание: «Существует рациональное число r > 1 и r < 2 ».
в) Истинно, отрицание не строим.

№ 2. Запиши высказывания на математическом языке. Найди взаимно обратные высказывания и определи, являются ли они равносильными.
а) Если квадраты двух чисел равны, то их модули равны.
б) Если разность двух чисел кратна 5, то каждое из этих чисел кратно 5.
в) Из равенства модулей двух чисел следует равенство квадратов этих чисел.

Решение:
► а) Если квадраты двух чисел равны, то их модули равны.
На математическом языке:
Если a² = b², то |a| = |b|.
Обратное высказывание:
Если |a| = |b|, то a² = b².
Проверим равносильность:
Прямое: a² = b² ⇒ |a| = |b| — истинно.
Обратное: |a| = |b| ⇒ a² = |a|² = |b|² = b² — истинно.
Значит, они равносильны.
► б) Если разность двух чисел кратна 5, то каждое из этих чисел кратно 5.
На математическом языке:
Если a ─ b ⋮ 5, то a ⋮ 5 и b ⋮ 5.
Обратное высказывание:
Если a ⋮ 5 и b ⋮ 5, то a ─ b ⋮ 5.
Проверим равносильность:
Прямое — ложно (пример: a = 7, b = 2, разность 5 кратна 5, но сами числа не кратны 5).
Обратное — истинно (если оба кратны 5, их разность кратна 5).
Значит, не равносильны.
► в) Из равенства модулей двух чисел следует равенство квадратов этих чисел.
На математическом языке:
Если |a| = |b|, то a² = b².
Обратное высказывание:
Если a² = b², то |a| = |b|.
Проверим равносильность:
Прямое — истинно (возведём в квадрат: |a|² = a², |b|² = b², из |a| = |b| следует a² = b²).
Обратное — истинно (из a² = b² следует |a| = |b|, так как модуль — корень из квадрата).
Значит, равносильны.
✅ Ответы:
а) Прямое: a² = b² ⇒ |a| = |b|, обратное: |a| = |b| ⇒ a² = b², равносильны.
б) Прямое: a ─ b ⋮ 5 ⇒ a ⋮ 5 и b ⋮ 5 (ложно), обратное: a ⋮ 5 и b ⋮ 5 ⇒ a ─ b ⋮ 5 (истинно), не равносильны.
в) Прямое: |a| = |b| ⇒ a² = b², обратное: a² = b² ⇒ |a| = |b|, равносильны.

№ 3*. Запиши, используя знак Df, определение:
а) взаимно простых чисел; б) острого угла.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-31.

Вернуться к Списку работ

 

 

Итоговая контрольная работа № 11 по математике 5 класс  УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев КР-11.
Вернуться к Списку работ

Математика 5 класс (Угл. ур.)
Итоговая контрольная работа

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Среди чисел 3 6/11; 17; 3,012; 4/5; 0; 5,25; 1/141; 1; 321/1000 найди: а) натуральные числа; б) обыкновенные дроби; в) смешанные числа; г) десятичные дроби.
Решение:
► а) Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, …
Из списка: 17, 1.
► б) Обыкновенные дроби — это дроби вида m/n, где n ≠ 1.
Из списка: 4/5, 1/141, 321/1000.
► в) Смешанные числа — состоят из целой части и обыкновенной дроби.
Из списка: 3 6/11.
► г) Десятичные дроби — запись через запятую.
Из списка: 3,012; 5,25.
(Число 321/1000 = 0,321 тоже десятичное, но в списке оно записано как обыкновенная дробь, поэтому в этот пункт берём только те, что даны в десятичной форме.)
✅ Ответ: а) 17; 1; б) 4/5; 1/141; 321/1000; в) 3 6/11; г) 3,012; 5,25.

№ 2. В записи числа 41*5673* поставь вместо звёздочек цифры так, чтобы получилось число: а) кратное 2; б) кратное 3; в) кратное 5; г) кратное 10; д) кратное 9; е) кратное 2 и 3.
Решение:
Пусть первая звёздочка (после 41) — цифра a, вторая звёздочка (после 3) — цифра b. Число: 41a5673b.
► а) Кратное 2: последняя цифра b чётная: b = 0, 2, 4, 6, 8.
Пример: a = 0, b = 0 → 41056730 — чётное.
► б) Кратное 3: сумма цифр кратна 3.
Сумма известных цифр: 4 + 1 + a + 5 + 6 + 7 + 3 + b = 26 + a + b.
Надо 26 + a + b делилось на 3.
Пример: a = 1, b = 0 → сумма 26 + 1 + 0 = 27 (27:3 = 9) → кратно 3.
► в) Кратное 5: последняя цифра b = 0 или b = 5.
Пример: a = 0, b = 0 → 41056730 — кратно 5.
► г) Кратное 10: последняя цифра b = 0.
Пример: a = 0, b = 0 → 41056730 — кратно 10.
► д) Кратное 9: сумма цифр кратна 9.
Сумма 26 + a + b должна делиться на 9.
Пример: a = 1, b = 0 → сумма 27 (27:9 = 3) → кратно 9.
► е) Кратное 2 и 3 (то есть кратно 6): чётное и сумма цифр кратна 3.
Пример: a = 1, b = 0 → чётное (b = 0), сумма 27 (кратно 3) → подходит.
✅ Ответ: Можно выбрать разные цифры, например:
► а) a = 0, b = 0;
► б) a = 1, b = 0;
► в) a = 0, b = 0;
► г) a = 0, b = 0;
► д) a = 1, b = 0;
► е) a = 1, b = 0.

№ 3. Реши уравнение: 111,11 : (21,45 ─ 1,9x) ─ 3,2 = 51.
Решение:
► 1) Перенесём 3,2 вправо:
111,11 : (21,45 ─ 1,9x) = 51 + 3,2
111,11 : (21,45 ─ 1,9x) = 54,2.
► 2) Разделим 111,11 на 54,2:
21,45 ─ 1,9x = 111,11 : 54,2.
Посчитаем: 54,2 × 2 = 108,4, остаток 2,71.
54,2 × 0,05 = 2,71.
Значит, 2 + 0,05 = 2,05.
Проверим: 54,2 × 2,05 = 54,2 × 2 + 54,2 × 0,05 = 108,4 + 2,71 = 111,11.
Верно.
Итак: 21,45 ─ 1,9x = 2,05.
► 3) Переносим:
─1,9x = 2,05 ─ 21,45
─1,9x = ─19,4.
► 4) Делим на ─1,9:
x = 19,4 : 1,9.
1,9 × 10 = 19, остаток 0,4.
1,9 × 0,2 = 0,38, остаток 0,02.
1,9 × 0,01 ≈ 0,019, остаток 0,001 — можно округлить.
Более точно: 19,4 : 1,9 = 194 : 19 = 10,2105… Проверим: 1,9 × 10,2105 ≈ 19,4.
Но проще: 19,4 : 1,9 = (194/10) : (19/10) = 194/19 = 10 4/19.
В десятичном виде 194 : 19 = 10,210526…
Округлим до сотых: x ≈ 10,21.
Проверка:
21,45 ─ 1,9 × 10,21 = 21,45 ─ 19,399 = 2,051.
111,11 : 2,051 ≈ 54,2.
54,2 ─ 3,2 = 51. Всё верно.
✅ Ответ: x = 10 4/19 или x ≈ 10,21.

№ 4. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 50 дм, ширина составляет 80% длины, а высота составляет 2/5 длины. Найди объём параллелепипеда.
Решение:
► 1) Длина a = 50 дм.
► 2) Ширина b = 80 % от 50 = 0,8 × 50 = 40 дм.
► 3) Высота c = 2/5 × 50 = 20 дм.
► 4) Объём V = a × b × c = 50 × 40 × 20.
Сначала 50 × 40 = 2000, потом 2000 × 20 = 40000 дм³.
✅ Ответ: V = 40000 дм³.

№ 5. Вычисли: 3 5/6 : (2 7/12 + 4 3/4 ─ 3 1/2) : 5/19.
Решение:
► 1) Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
3 5/6 = 23/6.
2 7/12 = 31/12.
4 3/4 = 19/4.
3 1/2 = 7/2.
► 2) Выражение в скобках:
31/12 + 19/4 ─ 7/2.
Приведём к общему знаменателю 12:
31/12 + 57/12 ─ 42/12 = (31 + 57 ─ 42)/12 = 46/12 = 23/6.
► 3) Теперь: 3 5/6 : 23/6 = 23/6 : 23/6 = 1.
(Потому что деление числа на само себя даёт 1.)
► 4) Дальше: 1 : 5/19 = 1 × 19/5 = 19/5 = 3 4/5.
✅ Ответ: 3 4/5.

№ 6. Сравни числа: а) 4/15 и 7/15; б) 5 2/23 и 4 19/23; в) 31/70 и 45/89; г) 11/6 и 88/90; д) 1,8 и 1,089; е) 21,56 и 2,561; ж) 1,03 и 1,0078; з) 3,701 и 3,0701.
Решение:
► а) 4/15 < 7/15 (одинаковые знаменатели).
► б) 5 2/23 > 4 19/23 (целая часть больше).
► в) Сравним 31/70 и 45/89.
Приведём к общему знаменателю или сравним через десятичные:
31/70 ≈ 0,442857, 45/89 ≈ 0,505618.
Значит, 31/70 < 45/89.
► г) 11/6 ≈ 1,8333, 88/90 ≈ 0,9778.
Значит, 11/6 > 88/90.
► д) 1,8 > 1,089 (целая часть одинакова, десятые: 8 > 0).
► е) 21,56 > 2,561 (целая часть 21 > 2).
► ж) 1,03 > 1,0078 (десятые одинаковы, сотые: 3 > 0).
► з) 3,701 > 3,0701 (десятые одинаковы, сотые: 7 > 0).
✅ Ответ: а) <; б) >; в) <; г) >; д) >; е) >; ж) >; з) >.

№ 7. Запиши выражение: «Сумма квадрата числа a и разности чисел b и c».
Решение: Квадрат числа a = a².
Разность чисел b и c = b ─ c.
Сумма: a² + (b ─ c).
✅ Ответ: a² + (b ─ c).

№ 8. Продолжи ряд: 18; 0,5; 3,6; 1; 0,72; 2; 0,144; 4;…
Решение:
Разобьём на пары:
(18; 0,5), (3,6; 1), (0,72; 2), (0,144; 4), …
Заметим:
18 × 0,5 = 9, но это не связано явно со следующей парой.
Проверим другое:
18 ÷ 0,5 = 36, но 36 не равно 3,6.
А если посмотреть: 18 → 0,5 (делим на 36),
3,6 → 1 (делим на 3,6),
0,72 → 2 (умножаем на ~2,777? нет).
Лучше так:
Первое число пары уменьшается: 18; 3,6; 0,72; 0,144 — каждый раз ÷5?
18 ÷ 5 = 3,6, 3,6 ÷ 5 = 0,72, 0,72 ÷ 5 = 0,144.
Второе число пары: 0,5; 1; 2; 4 — каждый раз ×2.
Значит, следующая пара:
Первое число: 0,144 ÷ 5 = 0,0288.
Второе число: 4 × 2 = 8.
Ряд продолжается: 0,0288; 8.
✅ Ответ: 0,0288; 8.

 

Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Среди чисел 1/218; 0; 1,514; 7 2/5; 93; 8,01; 89/100; 2; 2 9/11 найди: а) натуральные числа; б) обыкновенные дроби; в) смешанные числа; г) десятичные дроби.
Решение:
► а) Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, …
Из списка: 93, 2.
0 — не натуральное.
► б) Обыкновенные дроби — запись вида m/n, где n ≠ 1.
Из списка: 1/218, 89/100.
► в) Смешанные числа — целая часть + обыкновенная дробь.
Из списка: 7 2/5, 2 9/11.
► г) Десятичные дроби — запись с запятой.
Из списка: 1,514; 8,01.
✅ Ответ: а) 93; 2; б) 1/218; 89/100; в) 7 2/5; 2 9/11; г) 1,514; 8,01.

№ 2. В записи числа 7*03582* поставь вместо звёздочек цифры так, чтобы получилось число: а) кратное 2; б) кратное 3; в) кратное 5; г) кратное 10; д) кратное 9; е) кратное 2 и 3.
Решение:
Пусть число имеет вид 7a03582b, где a — цифра сотен тысяч, b — цифра единиц.
► а) Кратное 2: последняя цифра b чётная: 0, 2, 4, 6, 8. a — любая цифра 0 – 9.
Пример: a = 1, b = 0 → 71035820.
► б) Кратное 3: сумма цифр кратна 3.
Сумма известных цифр: 7 + 0 + 3 + 5 + 8 + 2 = 25.
Общая сумма: 25 + a + b должна делиться на 3.
Пример: a = 2, b = 0 → сумма 27, делится на 3.
► в) Кратное 5: последняя цифра b 0 или 5.
Пример: a = 0, b = 5 → 70035825.
► г) Кратное 10: последняя цифра b = 0.
Пример: a = 0, b = 0 → 70035820.
► д) Кратное 9: сумма цифр кратна 9.
Сумма известных: 25. 25 + a + b делится на 9.
Пример: a = 2, b = 0 → сумма 27, делится на 9.
► е) Кратное 2 и 3 (т.е. кратное 6): чётное и сумма цифр кратна 3.
Пример: a = 2, b = 0 → 72035820 — чётное, сумма цифр 27, делится на 3.
✅ Ответ:
► а) a = 1, b = 0 → 71035820
► б) a = 2, b = 0 → 72035820
► в) a = 0, b = 5 → 70035825
► г) a = 0, b = 0 → 70035820
► д) a = 2, b = 0 → 72035820
► е) a = 2, b = 0 → 72035820

№ 3. Реши уравнение: 0,8 • (4,7y ─ 0,38) + 40,04 = 45.
Решение:
► 1) 0,8 • (4,7y ─ 0,38) = 45 ─ 40,04
0,8 • (4,7y ─ 0,38) = 4,96
► 2) 4,7y ─ 0,38 = 4,96 : 0,8
4,96 : 0,8 = 6,2
4,7y ─ 0,38 = 6,2
► 3) 4,7y = 6,2 + 0,38
4,7y = 6,58
► 4) y = 6,58 : 4,7
y = 1,4
Проверка:
0,8 • (4,7 • 1,4 ─ 0,38) + 40,04 = 0,8 • (6,58 ─ 0,38) + 40,04 = 0,8 • 6,2 + 40,04 = 4,96 + 40,04 = 45. Верно.
✅ Ответ: y = 1,4.

№ 4. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 25 м, ширина составляет 20% высоты, а длина составляет 4/5 высоты. Найди объем параллелепипеда.
Решение:
Высота h = 25 м.
Ширина b = 20 % от высоты: b = 0,2 • 25 = 5 м.
Длина a = 4/5 высоты: a = 4/5 • 25 = 20 м.
Объем V = a • b • h = 20 • 5 • 25 = 100 • 25 = 2500 м³.
✅ Ответ: 2500 м³.

№ 5. Вычисли: 1 11/35 : (3 1/6 ─ 2 19/24 + 1/5) : 3 3/7.
Решение:
► 1) Переведём в неправильные дроби:
1 11/35 = 46/35
3 1/6 = 19/6
2 19/24 = 67/24
3 3/7 = 24/7
► 2) Выражение в скобках:
19/6 ─ 67/24 + 1/5
Приведём к общему знаменателю 120:
19/6 = 380/120
67/24 = 335/120
1/5 = 24/120
(380 ─ 335 + 24)/120 = 69/120 = 23/40.
► 3) Теперь: 46/35 : 23/40 : 24/7
Сначала 46/35 : 23/40 = 46/35 • 40/23 = 46 • 40/35 • 23.
Сократим 46 и 23: 46/23 = 2, получаем 2 • 40/35 = 80/35 = 16/7.
► 4) 16/7 : 24/7 = 16/7 • 7/24 = 16/24 = 2/3.
✅ Ответ: 2/3.

№ 6. Сравни числа: а) 11/19 и 9/19; б) 6 34/35 и 8 17/35; в) 30/63 и 27/50; г) 99/131 и 12/5; д) 3,1 и 3,073; е) 37,86 и 7,386; ж) 0,02 и 0,0089; з) 12,903 и 12,9003.
Решение:
► а) 11/19 > 9/19 (одинаковые знаменатели)
► б) 6 34/35 < 8 17/35 (целая часть меньше)
► в) 30/63 ≈ 0,476, 27/50 = 0,54 → 30/63 < 27/50
► г) 99/131 < 1, 12/5 = 2,4 > 1 → 99/131 < 12/5
► д) 3,1 > 3,073
► е) 37,86 > 7,386
► ж) 0,02 > 0,0089
► з) 12,903 > 12,9003 (сравниваем по разрядам: 12,903 = 12,9030, 12,9003 = 12,9003, на третьем разряде после запятой 3 > 0)
✅ Ответ: а) >; б) <; в) <; г) <; д) >; е) >; ж) >; з) >.

№ 7. Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв: «Разность суммы чисел a и b и квадрата числа c ».
(Значения обычно даются в условии, здесь не указаны, придумаем свои для примера: a = 5, b = 7, c = 3)
Решение:
Выражение: (a + b) ─ c².
Подставим a = 5, b = 7, c = 3 :
(5 + 7) ─ 3² = 12 ─ 9 = 3.
✅ Ответ: Выражение (a + b) ─ c², при a = 5, b = 7, c = 3 равно 3.

№ 8. Продолжи ряд: 4; 2,5; 4 2/3; 7,5; 5 1/3; 22,5; 6; 67,5;…
Решение: Разобьём на пары:
(4; 2,5) → 4 × 0,625 = 2,5
(4 2/3; 7,5) → 4 2/3 × 1,607… некрасиво.
Может быть, два чередующихся правила:
Нечётные позиции (1─я, 3─я, 5─я, 7─я): 4; 4 2/3; 5 1/3; 6 — увеличиваются на 2/3 :
4 = 12/3
4 2/3 = 14/3
5 1/3 = 16/3
6 = 18/3
Следующее нечётное (9─е) = 20/3 = 6 2/3.
Чётные позиции (2─я, 4─я, 6─я, 8─я): 2,5; 7,5; 22,5; 67,5 — умножаем на 3:
2,5 × 3 = 7,5
7,5 × 3 = 22,5
22,5 × 3 = 67,5
67,5 × 3 = 202,5 — следующее чётное (10─е).
Значит, ряд продолжается: после 67,5 идёт 9─й член 6 2/3, потом 10─й 202,5.
✅ Ответ: 6 2/3; 202,5.

 

---

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев КР-11.

Вернуться к Списку работ

 

Контрольная работа № 10 по математике 5 класс Глава 4 Десятичные дроби § 2. Арифметика десятичных дробей. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев КР-10.
Вернуться к Списку работ

Математика 5 класс (Угл. ур.)
Контрольная работа № 10

Проверяемые темы: § 2. Арифметика десятичных дробей — Сложение и вычитание десятичных дробей, Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Вычисли:
► а) 53,6 + 7,421
Решение:
Складываем по разрядам, записывая запятые под запятыми:
53,600
+ 7,421
61,021
✅ Ответ: 61,021
► б) 22,3 – 9,03
Решение:
22,30
– 9,03
13,27
✅ Ответ: 13,27
► в) 17 – 8,888
Решение:
17,000
– 8,888
8,112
✅ Ответ: 8,112
► г) 0,56 : 100
Решение:
При делении на 100 запятая сдвигается на 2 знака влево:
0,56 → 0,0056
✅ Ответ: 0,0056
► д) 6,1 • 0,1
Решение:
При умножении на 0,1 запятая сдвигается на 1 знак влево:
6,1 → 0,61
✅ Ответ: 0,61
► е) 4,01 • 3,75
Решение:
Умножим без запятых:
401 • 375 = 401 • (300 + 75) = 401 • 300 + 401 • 75 = 120300 + 30075 = 150375
В 4,01 — два знака после запятой, в 3,75 — два знака после запятой, всего 4 знака.
150375 → 15,0375
✅ Ответ: 15,0375
► ж) 0,014 • 5200
Решение:
0,014 • 5200 = 0,014 • 52 • 100 = (0,014 • 52) • 100
0,014 • 52 = 0,728
0,728 • 100 = 72,8
✅ Ответ: 72,8
► 3) 21,672 : 0,72
Решение:
Делим на десятичную дробь: переносим запятую в делителе и делимом на 2 знака вправо:
2167,2 : 72
72 • 30 = 2160, остаток 7,2
72 • 0,1 = 7,2
Итого 30,1
✅ Ответ: 30,1
► и) 0,21042 : 5,01
Решение:
Переносим запятую на 2 знака вправо: 21,042 : 501
501 • 0,042 = 21,042
Значит, 21,042 : 501 = 0,042
✅ Ответ: 0,042

№ 2. Реши уравнение: 0,24 : (0,7 – 0,02x) – 0,5 = 0,3
Решение:
► 1) Перенесём 0,5 вправо:
0,24 : (0,7 – 0,02x) = 0,3 + 0,5
0,24 : (0,7 – 0,02x) = 0,8
► 2) (0,7 – 0,02x) = 0,24 : 0,8
0,7 – 0,02x = 0,3
► 3) 0,7 – 0,3 = 0,02x
0,4 = 0,02x
► 4) x = 0,4 : 0,02
x = 40 : 2
x = 20
Проверка:
0,7 – 0,02 • 20 = 0,7 – 0,4 = 0,3
0,24 : 0,3 = 0,8
0,8 – 0,5 = 0,3 — верно.
✅ Ответ: x = 20

№ 3. Вырази в метрах и найди значение выражения:
3 м 4 см + 7 м 5 дм 6 см – 7 см + 67 см – 5 м 7 дм
Решение:
Переведём всё в метры:
3 м 4 см = 3,04 м
7 м 5 дм 6 см = 7,56 м
7 см = 0,07 м
67 см = 0,67 м
5 м 7 дм = 5,7 м
Теперь подставим:
3,04 + 7,56 – 0,07 + 0,67 – 5,7
Сначала сложим положительные:
3,04 + 7,56 = 10,6
10,6 + 0,67 = 11,27
Теперь вычтем:
11,27 – 0,07 = 11,2
11,2 – 5,7 = 5,5
✅ Ответ: 5,5 м

№ 4. Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого 60 км/ч, что составляет 3/4 скорости второго. Через сколько времени произойдет встреча? Какое расстояние будет между ними через 0,5 часа после начала движения?
Решение:
► 1) Скорость второго:
60 = (3/4) • v₂
v₂ = 60 • 4/3 = 80 км/ч
► 2) Скорость сближения:
60 + 80 = 140 км/ч
► 3) Время до встречи:
t = 420 : 140 = 3 часа
► 4) Через 0,5 часа после начала:
Они сблизятся за 0,5 часа на:
140 • 0,5 = 70 км
Осталось между ними:
420 – 70 = 350 км
✅ Ответ: встреча через 3 часа; через 0,5 часа расстояние 350 км.

№ 5. Сравни (укажи знак >, < или =):
► а) a + 3,1 и a + 2,9
3,1 > 2,9 ⇒ a + 3,1 > a + 2,9
► б) b – 4,25 и b – 4,61
–4,25 > –4,61 ⇒ b – 4,25 > b – 4,61
► в) 4,5 • c и 4,08 • c
Если c > 0, то 4,5c > 4,08c
Если c = 0, то равны
Если c < 0, то 4,5c < 4,08c
В общем случае без знания знака c сравнить нельзя, но обычно в 5 классе c > 0 (положительное), тогда 4,5 • c > 4,08 • c
► г) 7,01 : d и 6,989 : d
Если d > 0, то 7,01 : d > 6,989 : d
Если d < 0, то наоборот
Обычно d > 0 ⇒ 7,01 : d > 6,989 : d
► д) k • 0,2 и k
0,2 < 1 ⇒ k • 0,2 < k при k > 0; если k < 0, то наоборот; если k = 0, равны.
Обычно k > 0 ⇒ k • 0,2 < k
► е) n : 2,4 и n : 1,6
2,4 > 1,6 ⇒ при n > 0: n : 2,4 < n : 1,6
Обычно n > 0 ⇒ n : 2,4 < n : 1,6
✅ Ответ: а) >; б) >; в) > (при c > 0); г) > (при d > 0); д) < (при k > 0); е) < (при n > 0).

№ 6. Упрости выражения:
► а) 5,45 + (5,55 + a)
Решение:
Скобки можно убрать: 5,45 + 5,55 + a
5,45 + 5,55 = 11
11 + a
✅ Ответ: 11 + a
► б) b + 3,2 + 0,8b
Решение: b + 0,8b = 1,8b
1,8b + 3,2
✅ Ответ: 1,8b + 3,2
► в) 15x • 0,03y • 4
Решение:
Перемножим числа: 15 • 0,03 • 4 = 15 • 0,12 = 1,8
Остаётся x и y: 1,8xy
✅ Ответ: 1,8xy
► г) 7x • 0,3x²
Решение: 7 • 0,3 = 2,1
x • x² = x³
2,1x³
✅ Ответ: 2,1x³

№ 7. Продолжи ряд: 0,2; 0,5; 1,1; 2,3; 4,7; 9,5;…
Решение: Найдём разности:
0,5 – 0,2 = 0,3
1,1 – 0,5 = 0,6
2,3 – 1,1 = 1,2
4,7 – 2,3 = 2,4
9,5 – 4,7 = 4,8
Видно, что разности удваиваются: 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; следующая 9,6.
Значит, следующее число:
9,5 + 9,6 = 19,1
✅ Ответ: 19,1

 

Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Вычисли:
► а) 42,9 + 8,172
Решение: Складываем по разрядам, записывая числа друг под другом с запятой под запятой:
42,900
+ 8,172
────────
51,072
✅ Ответ: 51,072
► б) 58,1 – 8,04
Решение:
58,10
─ 8,04
────────
50,06
✅ Ответ: 50,06
► в) 23 – 7,328
Решение:
23,000
─ 7,328
────────
15,672
✅ Ответ: 15,672
► г) 3,9 : 0,01
Решение:
Деление на 0,01 — это умножение на 100.
3,9 · 100 = 390.
✅ Ответ: 390
► д) 7,5 : 1000
Решение:
Деление на 1000 — сдвиг запятой на 3 знака влево.
7,5 : 1000 = 0,0075.
✅ Ответ: 0,0075
► е) 5,04 • 2,33
Решение:
Умножим 504 · 233, потом разделим на 10000 (так как 5,04 имеет 2 знака после запятой, 2,33 — 2 знака, всего 4 знака).
504 · 233 = 504 · 200 + 504 · 33 = 100800 + 16632 = 117432.
Теперь 117432 : 10000 = 11,7432.
✅ Ответ: 11,7432
► ж) 0,095 • 7100
Решение:
0,095 · 7100 = 0,095 · 71 · 100 = (0,095 · 71) · 100.
0,095 · 71 = 0,095 · 70 + 0,095 · 1 = 6,65 + 0,095 = 6,745.
6,745 · 100 = 674,5.
✅ Ответ: 674,5
► з) 8,446 : 0,41
Решение:
Умножим делимое и делитель на 100: 844,6 : 41.
41 · 20 = 820, остаток 24,6.
41 · 0,6 = 24,6, остаток 0.
Значит, 20 + 0,6 = 20,6.
✅ Ответ: 20,6
► и) 3,26462 : 3,02
Решение:
Умножим на 100: 326,462 : 302.
302 · 1 = 302, остаток 24,462.
302 · 0,081 = 302 · 0,08 = 24,16, 302 · 0,001 = 0,302, 24,16 + 0,302 = 24,462.
Значит, 1 + 0,081 = 1,081.
✅ Ответ: 1,081

№ 2. Реши уравнение: 1,18 – (0,03х – 0,6) · 0,2 = 1,12
Решение:
► 1) Перенесём 1,18 вправо:
– (0,03х – 0,6) · 0,2 = 1,12 – 1,18
– (0,03х – 0,6) · 0,2 = –0,06
► 2) Умножим обе части на (–1):
(0,03х – 0,6) · 0,2 = 0,06
► 3) Разделим обе части на 0,2:
0,03х – 0,6 = 0,06 : 0,2
0,03х – 0,6 = 0,3
► 4) Прибавим 0,6:
0,03х = 0,3 + 0,6
0,03х = 0,9
► 5) Разделим на 0,03:
х = 0,9 : 0,03
х = 30
Проверка:
0,03·30 = 0,9; 0,9 – 0,6 = 0,3; 0,3·0,2 = 0,06; 1,18 – 0,06 = 1,12 — верно.
✅ Ответ: х = 30

№ 3. Вырази в метрах и найди значение выражения:
3 м 1 дм 2 см – 1 м 9 см + 8 см – 1 м 8 дм + 79 см.
Решение:
Переведём всё в метры:
3 м 1 дм 2 см = 3 + 0,1 + 0,02 = 3,12 м
1 м 9 см = 1 + 0,09 = 1,09 м
8 см = 0,08 м
1 м 8 дм = 1 + 0,8 = 1,8 м
79 см = 0,79 м
Теперь подставим:
3,12 – 1,09 + 0,08 – 1,8 + 0,79
Посчитаем по порядку:
3,12 – 1,09 = 2,03
2,03 + 0,08 = 2,11
2,11 – 1,8 = 0,31
0,31 + 0,79 = 1,10
✅ Ответ: 1,1 м

№ 4. Из двух городов, расстояние между которыми 90 км, одновременно в одном направлении выехали автомобилист и мотоциклист. Автомобилист догоняет мотоциклиста со скоростью 75 км/ч, а скорость мотоциклиста составляет — скорости автомобилиста. Через сколько времени они встретятся? Какое расстояние будет между ними через 1 час после начала движения?
Дано: расстояние 90 км, автомобилист догоняет мотоциклиста.
Скорость автомобилиста = 75 км/ч.
Скорость мотоциклиста = ?/? скорости автомобилиста. В условии пропущено число, но обычно в таких задачах даётся дробь, например, 4/5. Предположим, что скорость мотоциклиста составляет 4/5 от скорости автомобилиста (иначе не решить).
Тогда: Скорость мотоциклиста = 75 • 4/5 = 60 км/ч.
► 1) Через сколько времени встретятся?
Скорость сближения = 75 – 60 = 15 км/ч.
Время = 90 : 15 = 6 часов.
► 2) Какое расстояние между ними через 1 час после начала движения?
За 1 час автомобилист сократит расстояние на 15 км.
Было 90 км, через 1 час останется 90 – 15 = 75 км.
✅ Ответ: встретятся через 6 ч; через 1 час расстояние будет 75 км.

№ 5. Сравни:
► а) а – 4,6 и а – 5,2
Решение:
Из большего числа вычитаем меньшее, если вычитаемое больше, то разность меньше.
4,6 < 5,2, значит, а – 4,6 > а – 5,2.
✅ Ответ: а – 4,6 > а – 5,2
► б) b + 7,31 и b + 7,29
Решение:
7,31 > 7,29, значит, b + 7,31 > b + 7,29.
✅ Ответ: b + 7,31 > b + 7,29
► в) 8,09 • с и 8,2 • с
Решение:
Если с > 0, то 8,09 < 8,2 ⇒ 8,09·с < 8,2·с.
Если с = 0, то равны.
Если с < 0, то знак неравенства меняется.
Обычно в 5 классе рассматривают с > 0.
✅ Ответ: 8,09·с < 8,2·с (при с > 0)
► г) 5,989 : d и 6,02 : d
Решение:
При d > 0: 5,989 < 6,02 ⇒ 5,989 : d < 6,02 : d.
При d < 0 — наоборот.
✅ Ответ: 5,989 : d < 6,02 : d(при d > 0)
► д) k : 8,1 и k : 5,8
Решение:
При k > 0: деление на большее число даёт меньший результат, 8,1 > 5,8 ⇒ k : 8,1 < k : 5,8.
✅ Ответ: k : 8,1 < k : 5,8 (при k > 0)
► е) 0,8n и n
Решение:
0,8n = 0,8·n.
Если n > 0, то 0,8n < n.
Если n = 0, то равны.
Если n < 0, то 0,8n > n.
✅ Ответ: 0,8n < n(при n > 0)

№ 6. Упрости выражения:
► а) 2,73 + (х + 6,27)
Решение:
Скобки можно убрать: 2,73 + х + 6,27.
Сложим числа: 2,73 + 6,27 = 9.
Получим: 9 + х.
✅ Ответ: 9 + х
► б) 1,2у + 7,8 + 2,5у
Решение:
Сложим подобные: 1,2у + 2,5у = 3,7у.
Остаётся 7,8.
✅ Ответ: 3,7у + 7,8
► в) 1,5а * 0,6у * 7
Решение:
Перемножим числа: 1,5 · 0,6 = 0,9; 0,9 · 7 = 6,3.
Буквенная часть: а·у.
✅ Ответ: 6,3ау
► г) 1,4а • 3а²
Решение:
Числа: 1,4 · 3 = 4,2.
а · а² = а³.
✅ Ответ: 4,2а³

№ 7. Продолжи ряд: 0,3; 0,5; 0,9; 1,7; 3,3; 6,5;…
Решение: Найдём разности:
0,5 – 0,3 = 0,2
0,9 – 0,5 = 0,4
1,7 – 0,9 = 0,8
3,3 – 1,7 = 1,6
6,5 – 3,3 = 3,2
Видно, что разности каждый раз удваиваются: 0,2; 0,4; 0,8; 1,6; 3,2; следующая разность = 3,2 · 2 = 6,4.
Тогда следующий член ряда: 6,5 + 6,4 = 12,9.
✅ Ответ: 12,9

 

---

Вы смотрели: контрольная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев КР-10.

Вернуться к Списку работ