Административная контрольная работа по алгебре в 9 классе за 1-е полугодие (варианты 1, 2) + ответы и решения. Код материалов: Алгебра. Мерзляк 9 Административная П1 с ответами на все задания.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (УМК Мерзляк)
Административная П1 (полугодовая)
Варианты 1-2 (задания)
[su_spoiler style=»fancy» title=»Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ»]
[/su_spoiler]
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Докажите неравенство (а – 8)(a + 7) > (a + 10)(a –11).
Решение. Раскроем скобки в обеих частях:
Левая часть: a² + 7a ─ 8a ─ 56 = a² ─ a ─ 56
Правая часть: a² ─ 11a + 10a ─ 110 = a² ─ a ─ 110
Неравенство принимает вид:
a² ─ a ─ 56 > a² ─ a ─ 110
Вычтем a² ─ a из обеих частей: ─56 > ─110
Это верное числовое неравенство, значит исходное неравенство верно для любого a.
Ответ: Неравенство верно при всех a ∈ R.
№ 2. Решите неравенство: 1) ─3x > 12; 2) 5 ─ 2(x ─ 1) > 4 ─ x; 3) 0,1x < ─5.
Решение:
► 1) ─3x > 12
Делим на ─3 (меняем знак неравенства): x < ─4
► 2) 5 ─ 2(x ─ 1) > 4 ─ x
5 ─ 2x + 2 > 4 ─ x
7 ─ 2x > 4 ─ x
7 ─ 4 > ─x + 2x
3 > x
x < 3
► 3) 0,1x < ─5
x < ─50
Ответ: 1) x ∈ (─∞; ─4); 2) x ∈ (─∞; 3); 3) x ∈ (─∞; ─50).
№ 3. При каких значениях x имеет смысл выражение √{7x ─ 8} ?
Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
7x ─ 8 ≥ 0
7x ≥ 8
x ≥ 8/7
Ответ: x ∈ [8/7; + ∞).
№ 4. Постройте график функции f(x) = x² + 2x ─ 3. Используя график, найдите:
1) Область значений данной функции;
2) Промежуток возрастания функции;
3) Множество решений неравенства fx > 0.
Решение: f(x) = x² + 2x ─ 3 = (x + 1)² ─ 4
Вершина параболы: (─1; ─4) , ветви вверх.
1) Область значений: E(f) = [─4; + ∞)
2) Функция возрастает при x > ─1 , т.е. [─1; + ∞)
3) f(x) > 0 :
Решим x² + 2x ─ 3 > 0
Корни: x₁ = ─3, x₂ = 1
Неравенство выполняется при x < ─3 или x > 1.
Ответ: 1) E(f) = [─4; + ∞); 2) [─1; + ∞); 3) x ∈ (─∞; ─3) ∪ (1; + ∞).
№ 5. Постройте график функции y = √x , используя этот график, постройте: 1) y = √x ─ 4; 2) y = √{x ─ 4}; 3) y = 3 + √{x + 1}.
Указание к построению:
График y = √x начинается в точке (0;0) , проходит через (1;1), (4;2).
1) y = √x ─ 4 — сдвиг исходного графика на 4 единицы вниз.
2) y = √{x ─ 4} — сдвиг исходного графика на 4 единицы вправо.
3) y = 3 + √{x + 1} — сдвиг исходного графика на 1 единицу влево и на 3 единицы вверх.
№ 6. Решить неравенство: 1) x² ─ 5x ─ 36 < 0; 2) x² + 7x ─ 30 > 0; 3) ─x² + 4,6x ─ 2,4 < 0.
Решение:
► 1) x² ─ 5x ─ 36 = 0
Корни: x₁ = 9, x₂ = ─4
Парабола ветвями вверх, значит x² ─ 5x ─ 36 < 0 при x ∈ (─4; 9).
► 2) x² + 7x ─ 30 = 0
Корни: x₁ = 3, x₂ = ─10
Парабола ветвями вверх, значит x² + 7x ─ 30 > 0 при x ∈ (─∞; ─10) ∪ (3; + ∞).
► 3) ─x² + 4,6x ─ 2,4 < 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
x² ─ 4,6x + 2,4 > 0
Корни: D = 21,16 ─ 9,6 = 11,56 , √D = 3,4
x₁ = (4,6 ─ 3,4)/2 = 0,6 , x₂ = (4,6 + 3,4)/2 = 4
Парабола ветвями вверх, значит x² ─ 4,6x + 2,4 > 0 при x ∈ (─∞; 0,6) ∪ (4; + ∞).
Ответ: 1) x ∈ (─4; 9); 2) x ∈ (─∞; ─10) ∪ (3; + ∞); 3) x ∈ (─∞; 0,6) ∪ (4; + ∞).
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Докажите неравенство (a + 6)(a – 9) > (a + 11)(a – 14).
Решение. Раскроем скобки в обеих частях:
Левая часть: a² ─ 9a + 6a ─ 54 = a² ─ 3a ─ 54
Правая часть: a² ─ 14a + 11a ─ 154 = a² ─ 3a ─ 154
Неравенство принимает вид:
a² ─ 3a ─ 54 > a² ─ 3a ─ 154
Вычтем a² ─ 3a из обеих частей:
─54 > ─154
Это верное числовое неравенство, значит исходное неравенство верно при любом a.
Ответ: Неравенство верно для всех a ∈ R.
№ 2. Решите неравенство: 1) ─4x < 16; 2) 4(x ─ 3) > x ─ 6; 3) ─0,2x < ─2.
Решение:
► 1) ─4x < 16
Делим на ─4 (меняем знак неравенства):
x > ─4
► 2) 4(x ─ 3) > x ─ 6
4x ─ 12 > x ─ 6
4x ─ x > ─6 + 12
3x > 6
x > 2
► 3) ─0,2x < ─2
Делим на ─0,2 (меняем знак):
x > 10
Ответ: 1) x > ─4; 2) x > 2; 3) x > 10.
№ 3. При каких значениях х имеет смысл выражение: √{3x ─ 10} ?
Решение. Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
3x ─ 10 ≥ 0
3x ≥ 10
x ≥ 10/3
Ответ: x ≥ 10/3.
№ 4. Постройте график функции f(x) = x² + 4x ─ 5. Используя график, найдите:
1) Область значений данной функции;
2) Промежуток возрастания функции;
3) Множество решений неравенства f(x) < 0.
Решение. Квадратичная функция f(x) = x² + 4x ─ 5.
Вершина: x₀ = ─ b/2a = ─ 4/2 = ─2
y₀ = (─2)² + 4•(─2) ─ 5 = 4 ─ 8 ─ 5 = ─9
Ветви вверх.
1) Область значений: E(f) = [─9; + ∞)
2) Функция возрастает при x > ─2 , т.е. (─2; + ∞)
3) Решим x² + 4x ─ 5 < 0 :
Корни: x² + 4x ─ 5 = 0 , D = 16 + 20 = 36 , x₁ = (─4 ─ 6)/2 = ─5 , x₂ = (─4 + 6)/2 = 1
Неравенство < 0 выполняется между корнями: x ∈ (─5; 1)
Ответ: 1) [─9; + ∞); 2) (─2; + ∞); 3) (─5; 1).
№ 5. Постройте график функции y = √x , используя этот график, постройте:
1) y = √x + 2
2) y = √{x + 3}
3) y = 2 + √{x ─ 1}
Указания к построению: График y = √x начинается в точке (0;0), проходит через (1;1), (4;2) и т.д.
1) y = √x + 2 — сдвиг исходного графика на 2 единицы вверх.
2) y = √{x + 3} — сдвиг графика y = √x на 3 единицы влево.
3) y = 2 + √{x ─ 1} — сдвиг графика y = √x на 1 вправо и на 2 вверх.
№ 6. Решить неравенство:
1) x² + x ─ 30 < 0
2) x² ─ 10x + 16 > 0
3) ─x² + 0,8x + 2,4 > 0
Решение:
► 1) x² + x ─ 30 = 0
D = 1 + 120 = 121 , x₁ = (─1 ─ 11)/2 = ─6 , x₂ = (─1 + 11)/2 = 5
Ветви вверх, значит < 0 между корнями: x ∈ (─6; 5)
► 2) x² ─ 10x + 16 = 0
D = 100 ─ 64 = 36 , x₁ = (10 ─ 6)/2 = 2 , x₂ = (10 + 6)/2 = 8
Ветви вверх, значит > 0 вне отрезка: x ∈ (─∞; 2) ∪ (8; + ∞)
► 3) ─x² + 0,8x + 2,4 > 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
x² ─ 0,8x ─ 2,4 < 0
D = 0,64 + 9,6 = 10,24 , √D = 3,2
x₁ = (0,8 ─ 3,2)/2 = ─1,2 , x₂ = (0,8 + 3,2)/2 = 2
Ветви вверх, значит < 0 между корнями: x ∈ (─1,2; 2)
Ответ: 1) (─6; 5); 2) (─∞; 2) ∪ (8; + ∞); 3) (─1,2; 2).
Вы смотрели: Административная контрольная работа по алгебре в 9 классе за 1-е полугодие (варианты 1, 2) + ответы и решения. Код материалов: Алгебра. Мерзляк 9 Административная П1 с ответами на все задания.
Вернуться к Списку контрольных работ
№ 77. Докажите тождество:
№ 77. Докажите тождество:
№ 77. Докажите тождество:
