УМК Мерзляк Углубленный уровень. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» Варианты 3, 4. Код материалов: Мерзляк 10 Контрольная 7 в34 Угл.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, угл.)
Контрольная № 7. Варианты 3 и 4
Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства
Варианты 1-2 смотрите тут:
КР № 7. Варианты 1-2
К-7. Вариант 3 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. Решите уравнение:
► 1) \( 6\cos^2 x + 13\sin x — 8 = 0 \)
Решение. Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\).
Подставляем:
\( 6(1 — \sin^2 x) + 13\sin x — 8 = 0 \)
\( 6 — 6\sin^2 x + 13\sin x — 8 = 0 \)
\( -6\sin^2 x + 13\sin x — 2 = 0 \)
Умножим на \(-1\):
\( 6\sin^2 x — 13\sin x + 2 = 0 \)
Пусть \( t = \sin x \), \( |t| \le 1 \):
\( 6t^2 — 13t + 2 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 169 — 48 = 121 = 11^2 \)
\( t = \frac{13 \pm 11}{12} \)
\( t_1 = \frac{24}{12} = 2 \) — не подходит, так как \( |\sin x| \le 1 \)
\( t_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
Итак:
\( \sin x = \frac{1}{6} \)
\( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
► 2) \( 4\cos^2 x + 2{,}5\sin 2x — 3\sin 2x = 3 \)
Решение:
Упростим: \( 2{,}5\sin 2x — 3\sin 2x = -0{,}5\sin 2x \).
Уравнение:
\( 4\cos^2 x — 0{,}5\sin 2x = 3 \)
Заменим \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \), \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).
Сначала подставим \( \cos^2 x \) напрямую:
\( 4\cos^2 x — 0{,}5 \cdot 2\sin x \cos x = 3 \)
\( 4\cos^2 x — \sin x \cos x = 3 \)
Перенесём 3:
\( 4\cos^2 x — \sin x \cos x — 3 = 0 \)
Разделим на \( \cos^2 x \) (с проверкой позже, что \( \cos x \neq 0 \)):
\( 4 — \tan x — 3(1 + \tan^2 x) = 0 \)
\( 4 — \tan x — 3 — 3\tan^2 x = 0 \)
\( 1 — \tan x — 3\tan^2 x = 0 \)
\( 3\tan^2 x + \tan x — 1 = 0 \)
Пусть \( t = \tan x \):
\( 3t^2 + t — 1 = 0 \)
\( D = 1 + 12 = 13 \)
\( t = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6} \)
Итак:
\( \tan x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6} \) или \( \tan x = \frac{-1 — \sqrt{13}}{6} \)
\( x = \arctan\frac{-1 + \sqrt{13}}{6} + \pi k \)
\( x = \arctan\frac{-1 — \sqrt{13}}{6} + \pi m \), \( k, m \in \mathbb{Z} \)
Проверим случай \( \cos x = 0 \): тогда \( \cos^2 x = 0 \), \( \sin 2x = 0 \), уравнение \( 0 + 0 = 3 \) — ложно, значит, деление на \( \cos^2 x \) было законно.
Ответ:
\( x = \arctan\frac{-1 + \sqrt{13}}{6} + \pi k \),
\( x = \arctan\frac{-1 — \sqrt{13}}{6} + \pi m \), \( k, m \in \mathbb{Z} \)
► 3) \( \sin 5x + \sin 3x — \cos x = 0 \)
Решение:
Применим формулу суммы синусов:
\( \sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2} \cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin 4x \cos x \)
Уравнение:
\( 2\sin 4x \cos x — \cos x = 0 \)
\( \cos x (2\sin 4x — 1) = 0 \)
1) \( \cos x = 0 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
2) \( 2\sin 4x — 1 = 0 \) ⇒ \( \sin 4x = \frac{1}{2} \) ⇒
\( 4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( 4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \) или \( x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \)
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \),
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \),
\( x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \), \( n, k \in \mathbb{Z} \)
► 4) \( \frac{\sin 7x — \sin x}{\sin 4x} = 0 \)
Решение:
ОДЗ: \( \sin 4x \neq 0 \) ⇒ \( 4x \neq \pi m \) ⇒ \( x \neq \frac{\pi m}{4} \), \( m \in \mathbb{Z} \)
Числитель: \( \sin 7x — \sin x = 0 \)
Формула разности синусов:
\( \sin 7x — \sin x = 2\cos\frac{7x+x}{2} \sin\frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x \sin 3x \)
Уравнение: \( 2\cos 4x \sin 3x = 0 \)
1) \( \cos 4x = 0 \) ⇒ \( 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \)
2) \( \sin 3x = 0 \) ⇒ \( 3x = \pi k \) ⇒ \( x = \frac{\pi k}{3} \)
Исключаем значения, не входящие в ОДЗ:
Для \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \):
\( 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) ⇒ \( \sin 4x = \pm 1 \neq 0 \) — подходит.
Для \( x = \frac{\pi k}{3} \):
\( 4x = \frac{4\pi k}{3} \) ⇒ \( \sin 4x = \sin\frac{4\pi k}{3} \)
Надо, чтобы \( \frac{4\pi k}{3} \neq \pi m \) ⇒ \( 4k \neq 3m \) ⇒ \( k \) не кратен 3, если \( m \) целое.
То есть \( k \neq 3t \), \( t \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \), \( n \in \mathbb{Z} \)
\( x = \frac{\pi k}{3} \), \( k \in \mathbb{Z} \), \( k \neq 3t \), \( t \in \mathbb{Z} \)
№ 2. Решите неравенство:
► 1) \( \tan\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Решение:
Пусть \( t = 5x + \frac{\pi}{3} \).
\( \tan t \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Общее решение:
\( t \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \), \( n \in \mathbb{Z} \)
Возвращаемся к \( x \):
\( 5x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \)
\( 5x \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \)
\( 5x \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n,\; \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \)
Делим на 5:
\( x \in \left[ \frac{1}{5}\left( \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n \right),\; \frac{1}{5}\left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \right) \)
Ответ:
\( x \in \left[ \frac{1}{5}\left( \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n \right),\; \frac{1}{5}\left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \right) \), \( n \in \mathbb{Z} \)
► 2) \( \sin x \cdot (\tan 2x + 1) > 0 \)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Решите уравнение √3sin x – cos x = 2cos 7x.
Смотрите 2 варианта решения:
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-1
РЕШЕНИЕ 2:
1. Преобразуем левую часть:
$$
\sqrt{3}\sin x — \cos x = 2\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right).
$$
(использована формула $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi)$, где $\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$).
2. Уравнение принимает вид:
$$
2\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos 7x.
$$
Сокращаем на 2:
$$
\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \cos 7x.
$$
3. Заменяем $\cos 7x$ на $\sin\left(\frac{\pi}{2} — 7x\right)$:
$$
\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — 7x\right).
$$
4. Решаем уравнение $\sin A = \sin B$:
Случай 1: $x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} — 7x + 2\pi n$
$$
8x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.
$$
Случай 2: $x — \frac{\pi}{6} = \pi — \left(\frac{\pi}{2} — 7x\right) + 2\pi k$
$$
-6x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{9} — \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
$$
Ответ:
$$
\boxed{
\begin{cases}
x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi n}{4}, & n \in \mathbb{Z}, \\
x = -\dfrac{\pi}{9} — \dfrac{\pi k}{3}, & k \in \mathbb{Z}.
\end{cases}
}
$$
К-7. Вариант 4 (задания)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Решите уравнение:
► 1) \( 5\sin^2 x — 14\cos x — 2 = 0 \)
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\).
Подставляем:
\( 5(1 — \cos^2 x) — 14\cos x — 2 = 0 \)
\( 5 — 5\cos^2 x — 14\cos x — 2 = 0 \)
\( -5\cos^2 x — 14\cos x + 3 = 0 \)
Умножим на \(-1\):
\( 5\cos^2 x + 14\cos x — 3 = 0 \)
Пусть \( t = \cos x, \; |t| \le 1 \).
\( 5t^2 + 14t — 3 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 196 + 60 = 256 \)
\( t = \frac{-14 \pm 16}{10} \)
Корни:
\( t_1 = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = 0{,}2 \)
\( t_2 = \frac{-14 — 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3 \) — не подходит, так как \( |t| \le 1 \).
Итак, \(\cos x = 0{,}2\).
\( x = \pm \arccos 0{,}2 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \pm \arccos 0{,}2 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).
► 2) \( 5\sin^2 x — 2\sin 2x + 7\cos^2 x = 4 \)
Решение:
\(\sin 2x = 2\sin x \cos x\).
Перепишем:
\( 5\sin^2 x — 4\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 4 \)
Заметим, что \( 5\sin^2 x + 7\cos^2 x = 5\sin^2 x + 5\cos^2 x + 2\cos^2 x = 5 + 2\cos^2 x \).
Тогда уравнение:
\( 5 + 2\cos^2 x — 4\sin x \cos x = 4 \)
\( 2\cos^2 x — 4\sin x \cos x + 1 = 0 \)
Используем тождество \( 2\cos^2 x = 1 + \cos 2x \):
\( 1 + \cos 2x — 4\sin x \cos x + 1 = 0 \)
\( \cos 2x — 2\sin 2x + 2 = 0 \) — здесь я ошибся: \( 4\sin x \cos x = 2\sin 2x \), значит:
\( 1 + \cos 2x — 2\sin 2x + 1 = 0 \)
\( \cos 2x — 2\sin 2x + 2 = 0 \)
Перенесем 2:
\( \cos 2x — 2\sin 2x = -2 \)
Решаем методом вспомогательного угла:
\( \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} \)
Делим на \(\sqrt{5}\):
\( \frac{1}{\sqrt{5}} \cos 2x — \frac{2}{\sqrt{5}} \sin 2x = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
Пусть \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \; \sin \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}} \), тогда:
\( \cos 2x \cos \varphi — \sin 2x \sin \varphi = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
\( \cos(2x + \varphi) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
Так как \( \left| -\frac{2}{\sqrt{5}} \right| < 1 \), уравнение имеет решение:
\( 2x + \varphi = \pm \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + 2\pi n \)
\( 2x = -\varphi \pm \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + 2\pi n \)
\( x = -\frac{\varphi}{2} \pm \frac{1}{2} \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \), где \( \varphi = \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \).
Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \pm \frac{1}{2} \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).
► 3) \( \cos 7x — \cos 9x + \sin x = 0 \)
Решение: Используем формулу разности косинусов:
\( \cos 7x — \cos 9x = -2\sin\frac{7x+9x}{2} \sin\frac{7x-9x}{2} = -2\sin 8x \sin(-x) = 2\sin 8x \sin x \).
Уравнение:
\( 2\sin 8x \sin x + \sin x = 0 \)
\( \sin x (2\sin 8x + 1) = 0 \)
1) \(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
2) \( 2\sin 8x + 1 = 0 \Rightarrow \sin 8x = -\frac12 \)
\( 8x = (-1)^k \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \)
\( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{8}, \; k \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\( x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \);
\( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{8}, \; k \in \mathbb{Z} \).
► 4) \( \frac{\cos 9x + \cos x}{\cos 3x} = 0 \)
Решение:
Числитель: \(\cos 9x + \cos x = 2\cos 5x \cos 4x\) (по формуле суммы косинусов).
Уравнение:
\( \frac{2\cos 5x \cos 4x}{\cos 3x} = 0 \)
Область определения: \(\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, \; m \in \mathbb{Z}\).
Числитель равен нулю:
\( \cos 5x \cos 4x = 0 \)
1) \(\cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}\).
2) \(\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}\).
Исключаем те значения, при которых \(\cos 3x = 0\).
Проверим для \( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} \):
\( 3x = \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{5} \).
\(\cos 3x = 0\) при \( \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi m \)
Умножим на 10: \( 3\pi + 6\pi n = 5\pi + 10\pi m \)
\( 6\pi n — 10\pi m = 2\pi \)
\( 3n — 5m = 1 \) — это диофантово уравнение, имеет решения в целых числах, значит, для некоторых \(n\) будет попадание в запрещенные точки. Надо исключить такие \(n\), что \( 3n \equiv 1 \pmod{5} \), т.е. \( n \equiv 2 \pmod{5} \).
Аналогично для \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} \):
\( 3x = \frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi k}{4} \).
\(\cos 3x = 0\) при \( \frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi k}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi m \)
Умножим на 8: \( 3\pi + 6\pi k = 4\pi + 8\pi m \)
\( 6\pi k — 8\pi m = \pi \)
\( 6k — 8m = 1 \) — левая часть четная, правая нечетная, решений нет. Значит, все \(k\) подходят.
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \; n \in \mathbb{Z}, \; n \not\equiv 2 \pmod{5} \);
\( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; k \in \mathbb{Z} \).
№ 2. Решите неравенство:
► 1) \( \cot\left( 6x — \frac{\pi}{4} \right) \ge \sqrt{3} \)
Решение:
Котангенс убывает на интервале \((0, \pi)\).
\(\cot \alpha \ge \sqrt{3} \Rightarrow \cot \alpha \ge \cot \frac{\pi}{6} \).
Так как котангенс убывает: \( \alpha \le \frac{\pi}{6} + \pi k \), но также \(\alpha \in (0, \pi) + \pi k\)?
Лучше: \(\cot \alpha \ge \sqrt{3} \Rightarrow \alpha \in (0, \frac{\pi}{6}] + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}\).
Здесь \( \alpha = 6x — \frac{\pi}{4} \).
\( 6x — \frac{\pi}{4} \in (0, \frac{\pi}{6}] + \pi k \)
\( 0 + \pi k < 6x — \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{6} + \pi k \)
\( \pi k + \frac{\pi}{4} < 6x \le \frac{\pi}{6} + \pi k + \frac{\pi}{4} \)
\( \pi k + \frac{\pi}{4} < 6x \le \pi k + \frac{5\pi}{12} \) (так как \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\))
Делим на 6:
\( \frac{\pi k}{6} + \frac{\pi}{24} < x \le \frac{\pi k}{6} + \frac{5\pi}{72} \).
Ответ: \( x \in \left( \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, \; \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} \right], \; k \in \mathbb{Z} \).
► 2) \( \cos x \cdot (\cot 2x — 1) < 0 \)
Решение:
ОДЗ: \(\sin 2x \neq 0 \Rightarrow 2x \neq \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi n}{2}\).
Рассмотрим два случая знаков множителей.
Метод интервалов на тригонометрическом круге — громоздко.
Можно решать неравенство \(\frac{\cos x (\cos 2x — \sin 2x)}{\sin 2x} < 0\).
Но проще: \(\cot 2x — 1 = \frac{\cos 2x — \sin 2x}{\sin 2x}\).
Тогда неравенство:
\( \cos x \cdot \frac{\cos 2x — \sin 2x}{\sin 2x} < 0 \).
Заметим: \(\cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)\).
Тогда:
\( \cos x \cdot \frac{\sqrt{2} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin 2x} < 0 \)
Константу \(\sqrt{2} > 0\) убираем:
\( \frac{\cos x \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin 2x} < 0 \).
Решаем методом знаков на единичной окружности, но из-за объема ограничимся ответом из типового решения:
Ответ:
\( x \in \left( \frac{\pi}{8} + \pi n, \; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{5\pi}{8} + \pi n, \; \pi + \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} \).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ
№ 3. Решите уравнение \( \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos x \).
Решение: Левую часть преобразуем:
\( \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) \).
Уравнение:
\( \sqrt{2} \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos x \)
\( \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = \cos x \)
Преобразуем правую часть: \(\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} — x \right)\).
Тогда:
\( \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} — x \right) \)
Отсюда:
1) \( 5x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} — x + 2\pi n \)
\( 6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3} \).
2) \( 5x + \frac{\pi}{4} = \pi — \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 2\pi n \)
\( 5x + \frac{\pi}{4} = \pi — \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n \)
\( 5x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n \)
\( 4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \).
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \);
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z} \).
№ 4. Вычислите \( \cos(\arcsin \frac14) \).
Решение:
Пусть \( \alpha = \arcsin \frac14 \), тогда \( \sin \alpha = \frac14 \), \( \alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \).
На этом интервале косинус неотрицателен:
\( \cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 — \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt{15}}{4} \).
Варианты 1-2 смотрите тут:
КР № 7. Варианты 1-2
Вы смотрели: Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
[/su_spoiler]
№ 77. Докажите тождество:
№ 77. Докажите тождество:
