Рубрика: 10 класс

Опубликовано

Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 2 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, СиКР)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ 

Ответ:
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \; x = -\frac{\arctg\frac{1}{5}}{4} + \frac{\pi k}{4}, \; n,k \in \mathbb{Z} \)

 

№ 1. Упростите выражение b^{1/6} • (b^{1/6} – 4) ─ (b^{1/6} – 2)²
Решение:
1. Раскроем скобки:
b^{1/6} • b^{1/6} ─ 4b^{1/6} ─ (b^{1/3} ─ 4b^{1/6} + 4)
Пояснение: (b^{1/6})² = b^{1/3}, а квадрат разности раскрываем по формуле.
2. Получаем:
b^{1/3} ─ 4b^{1/6} ─ b^{1/3} + 4b^{1/6} ─ 4
3. Приводим подобные:
b^{1/3} ─ b^{1/3} = 0; ─4b^{1/6} + 4b^{1/6} = 0. Остаётся ─4.
✅ Ответ: ─4

№ 2. Найдите область определения функции
f(x) = √ (x² ─ 16)/(─x² + 6x ─ 5)
Решение: Область определения — это все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.
1. Знаменатель не равен нулю:
─x² + 6x ─ 5 ≠ 0
Умножим на ─1: x² ─ 6x + 5 ≠ 0
Корни: x = 1, x = 5
Значит, x ≠ 1, x ≠ 5.
2. Дробь (x² ─ 16)/(─x² + 6x ─ 5) ≥ 0
Разложим числитель: x² ─ 16 = (x─4)(x + 4)
Знаменатель: ─x² + 6x ─ 5 = ─(x² ─ 6x + 5) = ─(x─1)(x─5)
3. Получаем неравенство:
(x─4)(x + 4)/(─(x─1)(x─5)) ≥ 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
(x─4)(x + 4)/(x─1)(x─5) ≤ 0
4. Решаем методом интервалов. Нули числителя: x = ─4, x = 4. Нули знаменателя (выколоты): x = 1, x = 5.
Отмечаем на числовой оси точки: ─4, 1, 4, 5.
Проверяем знаки:
─ (─∞; ─4) : (+)/(─) = ─, но нам нужно ≤ 0, подходит.
─ (─4; 1) : (─)/(─) = +, не подходит.
─ (1; 4) : (─)/(+) = ─, подходит.
─ (4; 5) : (+)/(+) = +, не подходит.
─ (5; + ∞) : (+)/(+) = +, не подходит.
Включаем точки, где числитель равен нулю: x = ─4, x = 4.
5. Объединяем: x ∈ (─∞; ─4] ∪ (1; 4], исключая x = 5 (он и так не входит).
✅ Ответ: (─∞; ─4] ∪ (1; 4]

№ 3. Решите уравнения
► 1) √{3x + 1} = x ─ 1
Решение:
1. ОДЗ: 3x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─ 1/3 и x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. Итого x ≥ 1.
2. Возводим в квадрат:
3x + 1 = (x ─ 1)²
3x + 1 = x² ─ 2x + 1
0 = x² ─ 5x
x(x ─ 5) = 0
Корни: x = 0, x = 5.
3. Проверяем ОДЗ: x = 0 не подходит (x ≥ 1).
x = 5 подходит.
Проверка: √{3•5 + 1} = √16 = 4, 5 ─ 1 = 4. Верно.
✅ Ответ: 5
► 2) 6cos² 4x + 2sin 8x = 5
Решение:
1. Заметим: sin 8x = 2sin 4x cos 4x.
Тогда уравнение: 6cos² 4x + 4sin 4x cos 4x = 5.
2. Используем основное тригонометрическое тождество: cos² 4x = 1 ─ sin² 4x.
Получаем: 6(1 ─ sin² 4x) + 4sin 4x cos 4x = 5
6 ─ 6sin² 4x + 4sin 4x cos 4x = 5
─6sin² 4x + 4sin 4x cos 4x + 1 = 0
3. Умножим на ─1: 6sin² 4x ─ 4sin 4x cos 4x ─ 1 = 0
4. Разделим на cos² 4x(при условии cos 4x ≠ 0):
6tan² 4x ─ 4tan 4x ─ 1/(cos² 4x) = 0
Но 1/(cos² 4x) = 1 + tan² 4x.
Получаем: 6tan² 4x ─ 4tan 4x ─ (1 + tan² 4x) = 0
5tan² 4x ─ 4tan 4x ─ 1 = 0
5. Решаем квадратное относительно t = tan 4x :
5t² ─ 4t ─ 1 = 0
Дискриминант: 16 + 20 = 36, корни: t = 4 ± 6/10
t₁ = 1, t₂ = ─ 1/5
6. Обратная замена:
─ tan 4x = 1 ⇒ 4x = π/4 + π n ⇒ x = π/16 + π n/4
─ tan 4x = ─ 1/5 ⇒ 4x = arctg(─ 1/5) + π k ⇒ x = ─ arctg(1/5)/4 + πk/4
7. Проверим случай cos 4x = 0 : 4x = π/2 + π m ⇒ x = π/8 + π m/4. Подставим в исходное:
cos 4x = 0 ⇒ cos² 4x = 0, sin 8x = sin(π + 2π m) = 0. Получаем 0 = 5 — неверно. Значит, эти точки не входят.
✅ Ответ: x = π/16 + π n/4, x = ─ arctg(1/5)/4 + πk/4, n,k ∈ Z
► 3) tan 4x • cos x ─ sin x ─ √2 • sin 3x = 0
Решение:
1. Запишем tan 4x = sin 4x/cos 4x. Уравнение:
sin 4x/cos 4x • cos x ─ sin x ─ √2sin 3x = 0
Умножаем на cos 4x(ОДЗ: cos 4x ≠ 0):
sin 4x cos x ─ sin x cos 4x ─ √2sin 3x cos 4x = 0
2. Заметим: sin 4x cos x ─ sin x cos 4x = sin(4x ─ x) = sin 3x.
Получаем: sin 3x ─ √2sin 3x cos 4x = 0
sin 3x (1 ─ √2 cos 4x) = 0
3. Приравниваем каждый множитель к нулю:
─ sin 3x = 0 ⇒ 3x = π n ⇒ x = π n/3
─ 1 ─ √2cos 4x = 0 ⇒ cos 4x = 1/√2 = √2/2
4x = ± π/4 + 2π k ⇒ x = ± π/16 + π k/2
4. Проверяем ОДЗ (cos 4x ≠ 0):
─ Для первой серии: cos(4• π n/3) = cos(4π n/3). При n, кратном 3, косинус может быть равен 1, но не 0. При n = 3/2 (нецелое) — не рассматриваем. Надо проверить, когда cos 4x = 0 : 4x = π/2 + π m. Для первой серии: 4π n/3 = π/2 + π m умножаем на 6: 8π n = 3π + 6π m — делимость не получается в целых числах, значит, запрещённых точек нет.
─ Для второй серии: cos 4x = √2/2 ≠ 0, значит, ОДЗ выполнена.
✅ Ответ: x = π n/3, x = ± π/16 + π k/2, n,k ∈ Z

№ 4. Докажите тождество (cos 7a/sin 3a + sin 7a/cos 3a) • (cos 7a ─ cos 5a)/cos 4a = ─4 sin a
Решение:
1. Приведём сумму в первых скобках к общему знаменателю:
cos 7a/sin 3a + sin 7a/cos 3a = (cos 7a cos 3a + sin 7a sin 3a)/sin 3a cos 3a
По формуле косинуса разности: cos 7a cos 3a + sin 7a sin 3a = cos(7a ─ 3a) = cos 4a.
2. Знаменатель: sin 3a cos 3a = 1/2 sin 6a.
Получаем:
cos 4a/½ sin 6a = 2 cos 4a/sin 6a
3. Вторая дробь: cos 7a ─ cos 5a. Используем формулу разности косинусов:
cos 7a ─ cos 5a = ─2 sin(7a + 5a)/2 sin(7a─5a)/2 = ─2 sin 6a sin a
4. Перемножаем:
2 cos 4a/sin 6a • (─2 sin 6a sin a)/cos 4a = 2 • (─2) • cos 4a/sin 6a • sin 6a sin a/cos 4a = ─4 sin a
✅ Ответ: Тождество доказано.

№ 5. Решите неравенство √{4 ─ 3x} < x + 2
Решение:
1. Область определения: 4 ─ 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4/3.
2. Так как левая часть неотрицательна, правая часть должна быть положительной: x + 2 > 0 ⇒ x > ─2.
3. Возводим обе части в квадрат (обе части неотрицательны):
4 ─ 3x < (x + 2)²
4 ─ 3x < x² + 4x + 4
0 < x² + 7x
x(x + 7) > 0
4. Решаем методом интервалов: x < ─7 или x > 0.
5. Учитываем область определения и условие x > ─2:
─ x < ─7 не подходит, так как x > ─2.
─ x > 0 и x ≤ 4/3 даёт 0 < x ≤ 4/3.
Проверка:
При x = 1: √{4 ─ 3} = 1, 1 + 2 = 3, 1 < 3 — верно.
При x = 0: √4 = 2, 0 + 2 = 2 — нестрого, а неравенство строгое, поэтому 0 не входит.
✅ Ответ: (0; 4/3]

№ 6. Исследуйте функцию и постройте её график f(x) = x³ ─ 0.5x²
Решение:
1. Область определения: x ∈ R.
2. Производная:
f(x) = 3x² ─ x = x(3x ─ 1)
3. Критические точки: x = 0 и x = 1/3.
4. Промежутки монотонности:
─ x < 0: f(x) > 0 — функция возрастает.
─ 0 < x < 1/3: f(x) < 0 — убывает.
─ x > 1/3: f(x) > 0 — возрастает.
5. Экстремумы:
─ x = 0: максимум, f(0) = 0.
─ x = 1/3: минимум, f(1/3) = 1/27 ─ 0.5 • 1/9 = 1/27 ─ 1/18 = 2/54 ─ 3/54 = ─ 1/54.
6. Точки пересечения с осями:
─ С осью y: x = 0 ⇒ y = 0.
─ С осью x: x³ ─ 0.5x² = x²(x ─ 0.5) = 0 ⇒ x = 0 и x = 0.5.
7. График: Кубическая парабола с максимумом в начале координат, минимумом в точке (1/3; ─ 1/54), пересекает ось x ещё в точке 0.5.
✅ Ответ: Функция возрастает на (─ ∞; 0) и (1/3; + ∞), убывает на (0; 1/3).
x_{max} = 0, y_{max} = 0; x_{min} = 1/3, y_{min} = ─ 1/54.
График построен (эскиз: начинается из ─∞, поднимается до 0, опускается до ─1/54, затем снова поднимается вверх).

 

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник: учебное пособие «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф», 2017)
Опубликовано

Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, СиКР)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Упростите выражение a^{1/4} • (a^{1/4} ─ 2) ─ (a^{1/4} + 2)²
Решение. Раскроем скобки:
a^{1/4} • a^{1/4} ─ 2a^{1/4} ─ (a^{1/2} + 4a^{1/4} + 4)
= a^{1/2} ─ 2a^{1/4} ─ a^{1/2} ─ 4a^{1/4} ─ 4
Приведем подобные:
(a^{1/2} ─ a^{1/2}) + (─2a^{1/4} ─ 4a^{1/4}) ─ 4 = ─6a^{1/4} ─ 4
✅ Ответ: ─6a^{1/4} ─ 4

№ 2. Найдите область определения функции f(x) = √ (9 ─ x²)/(x² ─ 6x + 8)}
Решение. Область определения: подкоренное выражение ≥ 0 и знаменатель не равен нулю.
► 1) Знаменатель:
x² ─ 6x + 8 = (x─2)(x─4) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2,x ≠ 4
► 2) Дробь (9 ─ x²)/(x─2)(x─4) ≥ 0
Разложим числитель: 9 ─ x² = (3 ─ x)(3 + x)
Метод интервалов. Нули числителя: x = ─3,x = 3
Нули знаменателя: x = 2,x = 4
Отметим точки на числовой оси в порядке: ─3,2,3,4
Проверим знаки на интервалах:
─ (─∞, ─3): (+)/(─) = (─) → не подходит
─ (─3, 2): (+)/(+) = (+) → подходит
─ (2, 3): (+)/(─) = (─) → не подходит
─ (3, 4): (─)/(─) = (+) → подходит
─ (4, + ∞): (─)/(+) = (─) → не подходит
Включаем точки, где числитель равен нулю (т.к. ≥ 0): x = ─3,x = 3
Точки 2,4 выколоты.
✅ Ответ: x ∈ [─3, 2) ∪ [3, 4)

№ 3. Решите уравнение:
► 1) √{2x ─ 1} = x ─ 2
Решение:
ОДЗ: 2x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.5
Также правая часть ≥ 0: x ─ 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Возведем в квадрат:
2x ─ 1 = (x ─ 2)²
2x ─ 1 = x² ─ 4x + 4
0 = x² ─ 6x + 5
(x ─ 1)(x ─ 5) = 0
Корни: x = 1 и x = 5
Проверка:
─ x = 1: не подходит по ОДЗ (x ≥ 2)
─ x = 5: √{10 ─ 1} = √9 = 3, 5 ─ 2 = 3 — верно
✅ Ответ: x = 5
► 2) 8 sin² 2x + 3 sin 4x = 7
Решение:
Заметим: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
Уравнение:
8 sin² 2x + 6 sin 2x cos 2x = 7
Используем sin² 2x = 1 ─ cos² 2x:
8(1 ─ cos² 2x) + 6 sin 2x cos 2x = 7
8 ─ 8cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x = 7
─8cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x + 1 = 0
Умножим на ─1:
8cos² 2x ─ 6 sin 2x cos 2x ─ 1 = 0
Разделим на cos² 2x(при условии cos 2x ≠ 0):
8 ─ 6 tan 2x ─ (1 + tan² 2x) = 0
8 ─ 6t ─ 1 ─ t² = 0, t = tan 2x
─t² ─ 6t + 7 = 0 ⇒ t² + 6t ─ 7 = 0
Корни: t = 1 и t = ─7
► 1) tan 2x = 1 ⇒ 2x = π/4 + π n ⇒ x = π/8 + π n/2
► 2) tan 2x = ─7 ⇒ 2x = arctan(─7) + π n ⇒ x = ─ 1/2 arctan 7 + π n/2
Проверка: при cos 2x = 0 подставим в исходное:
sin 2x = ± 1, тогда 8 • 1 + 3 • 0 = 8 ≠ 7 — не подходит.
✅ Ответ:
x = π/8 + π n/2,x = ─ 1/2 arctan 7 + π n/2,n ∈ Z
► 3) ctg 5x • cos x + sin x ─ √2 cos 4x = 0
Решение:
ОДЗ: sin 5x ≠ 0
Запишем ctg 5x = cos 5x / sin 5x:
cos 5x cos x/sin 5x + sin x ─ √2 cos 4x = 0
Умножим на sin 5x:
cos 5x cos x + sin x sin 5x ─ √2 cos 4x sin 5x = 0
Заметим: cos 5x cos x + sin 5x sin x = cos(5x ─ x) = cos 4x
Получаем:
cos 4x ─ √2 cos 4x sin 5x = 0
cos 4x • (1 ─ √2 sin 5x) = 0
Два случая:
► 1) cos 4x = 0 ⇒ 4x = π/2 + π n ⇒ x = π/8 + π n/4
Проверка ОДЗ: sin 5x = sin(5π/8 + 5π n/4) ≠ 0 — при некоторых n может быть ноль, но в общем случае подходит.
► 2) 1 ─ √2 sin 5x = 0 ⇒ sin 5x = 1/√2 = √2/2
5x = π/4 + 2π k или 5x = 3π/4 + 2π k
x = π/20 + 2π k/5, x = 3π/20 + 2π k/5
Проверка ОДЗ: sin 5x = √2/2 ≠ 0 — подходит.
✅ Ответ: x = π/8 + π n/4,x = π/20 + 2π k/5,x = 3π/20 + 2π k/5,n,k ∈ Z

№ 4. Докажите тождество
(sin 8a/sin 5a ─ cos 8a/cos 5a) • (sin 6a + sin 14a)/sin 3a = 4 cos 4a
Решение:
1. Упростим первую скобку:
sin 8a/sin 5a ─ cos 8a/cos 5a = (sin 8a cos 5a ─ cos 8a sin 5a)/sin 5a cos 5a
Используем формулу синуса разности:
sin(8a ─ 5a) = sin 3a
Знаменатель: sin 5a cos 5a = 1/2 sin 10a.
Получаем:
sin 3a/½ sin 10a = 2 sin 3a/sin 10a
2. Упростим вторую дробь:
sin 6a + sin 14a = 2 sin((6a + 14a)/2) cos((6a─14a)/2) = 2 sin 10a cos(─4a)
Так как cos(─4a) = cos 4a, получаем:
sin 6a + sin 14a = 2 sin 10a cos 4a
Тогда:
(sin 6a + sin 14a)/sin 3a = 2 sin 10a cos 4a/sin 3a
3. Перемножим:
(2 sin 3a/sin 10a) • (2 sin 10a cos 4a/sin 3a) = 4 cos 4a
Сокращаем sin 3a и sin 10a(при условии, что они не равны нулю).
✅ Ответ: Тождество доказано.

№ 5. Решите неравенство √{1 ─ 5x} < x + 1
Решение:
1. Область определения:
1 ─ 5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1/5
2. Так как корень неотрицателен, правая часть должна быть положительной:
x + 1 > 0 ⇒ x > ─1
Таким образом, ОДЗ: ─1 < x ≤ 1/5.
3. Возводим в квадрат (обе части неотрицательны):
1 ─ 5x < (x + 1)²
1 ─ 5x < x² + 2x + 1
0 < x² + 7x
x(x + 7) > 0
4. Решаем методом интервалов:
Корни: x = 0, x = ─7.
Решение: x ∈ (─∞, ─7) ∪ (0, + ∞).
5. Пересекаем с ОДЗ:
ОДЗ: ─1 < x ≤ 1/5.
Общее решение: (0, 1/5].
Проверка:
─ При x = 0.2: √{1 ─ 1} = 0, 0.2 + 1 = 1.2, 0<1.2 — верно.
─ При x = 0: √1 = 1, 1<1 — неверно (граница не входит).
─ При x = ─0.5: √{1 + 2.5} = √{3.5} ≈ 1.87, ─0.5 + 1 = 0.5 — неверно.
✅ Ответ: x ∈ (0, 1/5]

№ 6. Исследуйте функцию f(x) = x³ ─ 6x² и постройте её график.
Решение:
1. Область определения: x ∈ R.
2. Нули функции:
x³ ─ 6x² = x²(x ─ 6) = 0
Корни: x = 0 (кратность 2), x = 6.
3. Производная:
f(x) = 3x² ─ 12x = 3x(x ─ 4)
Критические точки: x = 0, x = 4.
4. Интервалы монотонности:
─ При x<0: f(x)>0 (функция возрастает).
─ При 0<x<4: f(x)<0 (функция убывает).
─ При x>4: f(x)>0 (функция возрастает).
5. Экстремумы:
─ x = 0: точка максимума, f(0) = 0.
─ x = 4: точка минимума, f(4) = 64 ─ 96 = ─32.
6. Вторая производная:
f(x) = 6x ─ 12
Точка перегиба: x = 2, f(2) = 8 ─ 24 = ─16.
7. Поведение на бесконечности:
При x → + ∞, f(x) → + ∞.
При x → ─∞, f(x) → ─∞.
8. График:
─ Кубическая парабола.
─ Пересекает ось x в точках 0 и 6.
─ Максимум в (0,0), минимум в (4,─32).
─ Перегиб в (2,─16).
✅ Ответ: Функция возрастает на (─∞,0] и [4,∞), убывает на [0,4]. Максимум f(0) = 0, минимум f(4) = ─32. Точка перегиба (2,─16). График — кубическая парабола.

 

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник: учебное пособие «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (изд-во «Вентана-Граф», 2017)
Опубликовано

Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 2 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯМерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень 

№ 1. Вычислите \( 32^{1/5} — (4\sqrt{2})^2 \)
Решение:
1. \( 32^{1/5} \) — это корень пятой степени из 32. Так как \( 2^5 = 32 \), то \( 32^{1/5} = 2 \).
2. \( (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \).
3. Вычитаем: \( 2 — 32 = -30 \).
✅ Ответ: \(-30\)
Проверка: \( 2 — 32 = -30 \) — верно.

№ 2. Упростите выражение
► а) \( \frac{\sqrt[3]{x^{10}}}{\sqrt[3]{x^{4}}} \)
Решение:
Используем свойство корней: \( \frac{\sqrt[3]{x^{10}}}{\sqrt[3]{x^{4}}} = \sqrt[3]{\frac{x^{10}}{x^{4}}} = \sqrt[3]{x^{10-4}} = \sqrt[3]{x^{6}} \).
Так как \( x^6 = (x^2)^3 \), то \( \sqrt[3]{x^{6}} = x^2 \).
✅ Ответ: \( x^2 \)
► б) \( \frac{(a^3)^3}{a^9 \cdot a^{-3}} \)
Решение:
1. В числителе: \( (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9 \).
2. В знаменателе: \( a^9 \cdot a^{-3} = a^{9 + (-3)} = a^{6} \).
3. Дробь: \( \frac{a^9}{a^6} = a^{9-6} = a^3 \).
✅ Ответ: \( a^3 \)

№ 3. Решите неравенство методом интервалов
а) x² + 5x ─ 6 ≤ 0
б) (x + 1)(x ─ 3)(x + 5) < 0
в) (x ─ 2)(x + 4)/(x² ─ 3x ─ 4) ≥ 0
Решения:
► а) x² + 5x ─ 6 ≤ 0
1. Найдем корни квадратного трехчлена.
Решаем уравнение x² + 5x ─ 6 = 0.
Дискриминант: D = 25 ─ 4 • 1 • (─6) = 25 + 24 = 49.
Корни: x_{1,2} = (─5 ± 7)/2
x₁ = (─5 + 7)/2 = 1, x₂ = (─5 ─ 7)/2 = ─6
2. Разложим на множители: x² + 5x ─ 6 = (x ─ 1)(x + 6).
Неравенство принимает вид: (x ─ 1)(x + 6) ≤ 0
3. Метод интервалов.
Отмечаем на числовой оси точки x = ─6 и x = 1 (закрашенные, так как неравенство нестрогое).
Определяем знаки на интервалах:
─ При x < ─6 (например, x = ─7): (─) • (─) = (+).
─ Между ─6 и 1 (например, x = 0): (─) • (+) = (─).
─ При x > 1 (например, x = 2): (+) • (+) = (+).
4. Выбираем интервал со знаком минус: x ∈ [─6, 1].
✅ Ответ: x ∈ [─6, 1].
► б) (x + 1)(x ─ 3)(x + 5) < 0
1. Найдем нули функции:
x + 1 = 0 ⇒ x = ─1
x ─ 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒ x = ─5
2. Отметим точки на оси. Неравенство строгое, поэтому точки выколотые.
3. Расставляем знаки:
─ При x < ─5 (например, x = ─6): (─) • (─) • (─) = (─).
─ Между ─5 и ─1 (например, x = ─2): (─) • (─) • (+) = (+).
─ Между ─1 и 3 (например, x = 0): (+) • (─) • (+) = (─).
─ При x > 3 (например, x = 4): (+) • (+) • (+) = (+).
4. Выбираем интервалы со знаком минус:
x ∈ (─∞, ─5) ∪ (─1, 3).
✅ Ответ: x ∈ (─∞, ─5) ∪ (─1, 3).
► в) (x ─ 2)(x + 4)/(x² ─ 3x ─ 4) ≥ 0
1. Найдем нули числителя:
x ─ 2 = 0 ⇒ x = 2
x + 4 = 0 ⇒ x = ─4
2. Найдем нули знаменателя (точки разрыва):
Решаем x² ─ 3x ─ 4 = 0.
Дискриминант: D = 9 + 16 = 25.
Корни: x_{1,2} = 3 ± 5/2
x₁ = 4, x₂ = ─1
Знаменатель равен нулю при x = 4 и x = ─1 — эти точки выкалываем (не входят в ОДЗ).
3. Разложим знаменатель: x² ─ 3x ─ 4 = (x ─ 4)(x + 1).
Неравенство принимает вид: (x ─ 2)(x + 4)/(x ─ 4)(x + 1) ≥ 0
4. Отмечаем на оси все точки: ─4, ─1, 2, 4.
В точках ─4 и 2 числитель равен нулю — их закрашиваем (неравенство нестрогое).
В точках ─1 и 4 знаменатель равен нулю — их выкалываем.
5. Расставляем знаки на интервалах:
─ При x < ─4 (например, x = ─5): (─) • (─)/(─) • (─) = (+).
─ Между ─4 и ─1 (например, x = ─2): (─) • (+)/(─) • (─) = (─).
─ Между ─1 и 2 (например, x = 0): (─) • (+)/(─) • (+) = (+).
─ Между 2 и 4 (например, x = 3): (+) • (+)/(─) • (+) = (─).
─ При x > 4 (например, x = 5): (+) • (+)/(+) • (+) = (+).
6. Выбираем интервалы со знаком плюс, включая точки, где числитель равен нулю:
(─∞, ─4] ∪ (─1, 2] ∪ (4, + ∞).
✅ Ответ: x ∈ (─∞, ─4] ∪ (─1, 2] ∪ (4, + ∞).

№ 4. Найдите cos a, если sin a = 0,6 и π/2 < a < 3π/2
Решение:
1. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1.
cos² a = 1 ─ 0,36 = 0,64.
Значит, cos a = ± 0,8.
2. Определяем знак:
Интервал π/2 < a < 3π/2 — это II и III четверти. В обеих четвертях косинус отрицательный.
Следовательно, cos a = ─0,8.
✅ Ответ: ─0,8
Проверка: sin² a + cos² a = 0,36 + 0,64 = 1 — верно. Знак учтен.

№ 5. Упростите выражение 2cos² a ─ cos 2a
Решение:
Используем формулу двойного угла: cos 2a = 2cos² a ─ 1.
Подставляем:
2cos² a ─ (2cos² a ─ 1) = 2cos² a ─ 2cos² a + 1 = 1.
✅ Ответ: 1
Проверка:
При a = 0 : 2 • 1 ─ 1 = 1 — верно.
При a = π/4 : 2 • 1/2 ─ 0 = 1 — верно.

№ 6. Решите уравнение.
► а) √{x² ─ 6} = √{─5x}
Решение: Область определения (ОДЗ):
{ x² ─ 6 ≥ 0,
{ ─5x ≥ 0.
Из второго неравенства: ─5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0.
Из первого: x² ≥ 6 ⇒ x ≤ ─√6 или x ≥ √6. С учётом x ≤ 0 получаем x ≤ ─√6.
Теперь возведём обе части в квадрат:
x² ─ 6 = ─5x,
x² + 5x ─ 6 = 0.
Дискриминант: D = 25 + 24 = 49, корни:
x₁ = (─5 + 7)/2 = 1, x₂ = (─5 ─ 7)/2 = ─6.
Проверяем ОДЗ: x = 1 не подходит (не ≤ ─√6), x = ─6 подходит.
✅ Ответ: x = ─6.
► б) 2 sin x = 1
Решение: sin x = 1/2.
Общее решение:
x = π/6 + 2π k, x = 5π/6 + 2π k, k ∈ Z.
✅ Ответ: x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,k ∈ Z.

№ 7. Диагональ АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Боковое ребро SB равно 5. Найдите высоту пирамиды SO.
Решение: Основание — квадрат. Диагональ квадрата AC = 6. Сторона основания:
AB = AC/√2 = 6/√2 = 3√2.
Половина диагонали (расстояние от центра O до вершины B):
OB = AC/2 = 3.
В прямоугольном треугольнике SOB(SO — высота, SB — боковое ребро, OB — половина диагонали):
SO = √{SB² ─ OB²} = √{5² ─ 3²} = √{25 ─ 9} = √16 = 4.
✅ Ответ: SO = 4.

№ 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ ─ x² ─ x + 2 на отрезке [0; 1.5].
Решение. Найдём производную:
f(x) = 3x² ─ 2x ─ 1.
Приравняем к нулю:
3x² ─ 2x ─ 1 = 0,
D = 4 + 12 = 16, x = 2 ± 4/6.
Корни: x₁ = 1, x₂ = ─ 1/3 (не входит в отрезок).
Вычислим значения в критической точке и на концах отрезка:
f(0) = 0 ─ 0 ─ 0 + 2 = 2,
f(1) = 1 ─ 1 ─ 1 + 2 = 1,
f(1.5) = 3.375 ─ 2.25 ─ 1.5 + 2 = 1.625.
Сравниваем: наименьшее 1 (в точке x = 1), наибольшее 2 (в точке x = 0).
✅ Ответ: наименьшее = 1, наибольшее = 2.

№ 9. Решить уравнение
► 1) sin² x ─ sin x = 0
Решение. Вынесем sin x:
sin x(sin x ─ 1) = 0.
Отсюда:
sin x = 0 ⇒ x = π k,k ∈ Z,
sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ: x = π k, π/2 + 2π k,k ∈ Z.
► 2) 10 cos² x + 3 cos x = 1
Решение. Перенесём всё в одну сторону:
10 cos² x + 3 cos x ─ 1 = 0.
Обозначим t = cos x, |t| ≤ 1:
10t² + 3t ─ 1 = 0,
D = 9 + 40 = 49, t = (─3 ± 7)/20.
Корни: t₁ = 4/20 = 0.2, t₂ = (─10)/20 = ─0.5.
Обратная замена:
cos x = 0.2 ⇒ x = ± arccos(0.2) + 2π k,k ∈ Z,
cos x = ─0.5 ⇒ x = ± 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ:
x = ± arccos(0.2) + 2π k,± 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.

 

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса в 2-х вариантах с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник (электронный ресурс): https://infourok.ru/itogovaya-kontrolnaya-rabota-10-klass-merzlyak-profilnyj-uroven-6190231.html. Дата запроса: 29.04.2026г.
Опубликовано

Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень

Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень

№ 1. Вычислите $81^{1/4} — 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{1/2}$
Решение:

  1. $81^{1/4} = \sqrt[4]{81}$. Так как $3^4 = 81$, то $81^{1/4} = 3$.
  2. $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Тогда $\sqrt{3} \cdot 3^{1/2} = 3^{1/2} \cdot 3^{1/2} = 3^{1/2 + 1/2} = 3^1 = 3$.
  3. Подставляем: $3 — 3 \cdot 3 = 3 — 9 = -6$.

✅ Ответ: $-6$
Проверка: $81^{1/4} = 3$, $3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{1/2} = 3 \cdot 3 = 9$, $3 — 9 = -6$. Верно.

№ 2. Упростите выражение

а) $\dfrac{\sqrt[3]{x^5}}{\sqrt[3]{x^2}}$
Решение. Перепишем корни в виде степеней:
$\sqrt[3]{x^5} = x^{5/3}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.
Тогда:
$$
\frac{x^{5/3}}{x^{2/3}} = x^{5/3 — 2/3} = x^{3/3} = x^1 = x.
$$
✅ Ответ: $x$

б) $\dfrac{(x^2)^5}{x^{-3} \cdot x^8}$
Решение:

  1. $(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$.
  2. В знаменателе: $x^{-3} \cdot x^8 = x^{-3+8} = x^5$.
  3. Делим: $\dfrac{x^{10}}{x^5} = x^{10-5} = x^5$.

✅ Ответ: $x^5$

№ 3. Решите неравенство методом интервалов
► а) x² ─ 3x ─ 4 ≤ 0
Решение:
1. Найдем корни уравнения x² ─ 3x ─ 4 = 0.
Дискриминант: D = 9 + 16 = 25, корни:
x₁ = (3 + 5)/2 = 4, x₂ = (3 ─ 5)/2 = ─1.
2. Разложим: (x ─ 4)(x + 1) ≤ 0.
3. Метод интервалов:
Точки: ─1 и 4. Проверяем знаки:
— при x < ─1 : произведение положительно,
— между ─1 и 4: отрицательно,
— при x > 4 : положительно.
4. Неравенство ≤ 0, значит берем отрезок: x ∈ [─1, 4].
✅ Ответ: [─1, 4]
► б) (x─2)(x + 6)(x─4) > 0
Решение:
1. Нули функции: x = 2, ─6, 4.
2. Отмечаем на числовой прямой: ─6, 2, 4.
3. Определяем знаки на интервалах:
x < ─6 : все три множителя отрицательны → произведение отрицательно,
─6 < x < 2: (x + 6) > 0, остальные два отрицательны → произведение положительно,
2 < x < 4 : (x─2) > 0, (x + 6) > 0, (x─4) < 0 → произведение отрицательно,
x > 4 : все положительны → произведение положительно.
4. Неравенство > 0, выбираем интервалы с плюсом: (─6, 2) ∪ (4, + ∞).
✅ Ответ: (─6, 2) ∪ (4, + ∞)
► в) (x + 1)(x─4)/(x² + x ─ 6) > 0
Решение:
1. Разложим знаменатель: x² + x ─ 6 = (x + 3)(x─2).
2. Нули числителя: x = ─1, 4.
Нули знаменателя (выколотые точки): x = ─3, 2.
3. Отмечаем на прямой: ─3, ─1, 2, 4.
4. Определяем знаки дроби на интервалах:
x < ─3 : числитель (+)(─) = ─, знаменатель (─)(─) = + → дробь ─,
─3 < x < ─1: числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(─) = ─ → дробь +,
─1 < x < 2: числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(─) = ─ → дробь +,
2 < x < 4 : числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(+) = + → дробь ─,
x > 4 : числитель (+)(+) = +, знаменатель (+)(+) = + → дробь + .
5. Неравенство > 0, выбираем интервалы с плюсом: (─3, ─1) ∪ (─1, 2) ∪ (4, + ∞).
Обратите внимание: точки ─1 и 2 не входят (знаменатель или числитель обращаются в ноль).
✅ Ответ: (─3, ─1) ∪ (─1, 2) ∪ (4, + ∞)

№ 4. Найдите sin a, если cos a = 0.6 и π < a < 2π
Решение:
1. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1
sin² a = 1 ─ 0.6² = 1 ─ 0.36 = 0.64
sin a = ± √{0.64} = ± 0.8
2. Учитываем четверть: π < a < 2π — это III и IV четверти. В III четверти синус отрицательный, в IV — тоже отрицательный. Значит, выбираем минус.
3. sin a = ─0.8.
✅ Ответ: ─0.8
Проверка: sin² a + cos² a = 0.64 + 0.36 = 1. Верно.

№ 5. Упростите выражение 6 cos² a ─ 5 ─ 3 cos 2a
Решение:
1. Используем формулу двойного угла: cos 2a = 2cos² a ─ 1.
2. Подставляем:
6 cos² a ─ 5 ─ 3(2cos² a ─ 1) = 6 cos² a ─ 5 ─ 6cos² a + 3
3. Приводим подобные:
(6cos² a ─ 6cos² a) + (─5 + 3) = 0 ─ 2 = ─2.
✅ Ответ: ─2
Проверка. Возьмем, например, a = 0 :
cos 0 = 1, cos 0 = 1.
Исходное: 6 • 1 ─ 5 ─ 3 • 1 = 6 ─ 5 ─ 3 = ─2.
Упрощенное: ─2. Совпадает.

№ 6. Решите уравнение:
► а) √{7 ─ x²} = √{─6x}
Решение:
1. Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны.
7 ─ x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 7 ⇒ ─√7 ≤ x ≤ √7
─6x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0
Пересечение: ─√7 ≤ x ≤ 0.
2. Возводим обе части в квадрат:
7 ─ x² = ─6x
─x² + 6x + 7 = 0 ⇒ x² ─ 6x ─ 7 = 0
3. Решаем квадратное уравнение:
D = 36 + 28 = 64, √D = 8
x₁ = (6 + 8)/2 = 7, x₂ = (6 ─ 8)/2 = ─1
4. Проверяем область определения: x = 7 не входит в [─ √7; 0], x = ─1 входит.
✅ Ответ: x = ─1
► б) 2 sin x = √3
Решение:
1. Делим обе части на 2:
sin x = √3/2
2. Общее решение:
x = π/3 + 2π k, k ∈ Z
x = 2π/3 + 2π k, k ∈ Z
✅ Ответ: x = π/3 + 2π k, 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.

№ 7. Диагональ AC основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.
Решение:
1. Основание — квадрат. Диагональ квадрата AC = 6. Сторона основания:
AB = AC/√2 = 6/√2 = 3√2
2. В правильной пирамиде вершина S проецируется в центр основания O.
Рассмотрим треугольник SOB: O — центр квадрата, OB — половина диагонали:
OB = AC/2 = 3
3. По теореме Пифагора:
SB = √{SO² + OB²} = √{4² + 3²} = √{16 + 9} = √25 = 5
✅ Ответ: SB = 5.

№ 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3 на отрезке [0; 1.5].
Решение:
1. Находим производную:
f(x) = 3x² ─ 4x + 1
2. Критические точки:
3x² ─ 4x + 1 = 0
D = 16 ─ 12 = 4, x_{1,2} = 4 ± 2/6
x₁ = 1, x₂ = 1/3
3. Обе точки входят в отрезок [0; 1.5].
4. Вычисляем значения:
f(0) = 0 ─ 0 + 0 + 3 = 3
f(1/3) = 1/27 ─ 2/9 + 1/3 + 3
= 1/27 ─ 6/27 + 9/27 + 81/27
= 85/27 ≈ 3.148
f(1) = 1 ─ 2 + 1 + 3 = 3
f(1.5) = 3.375 ─ 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375
5. Сравниваем: наименьшее 3, наибольшее 3.375.
✅ Ответ:
Наименьшее значение: 3
Наибольшее значение: 3.375

№ 9. Решить уравнение
► 1) 3 cos x ─ cos² x = 0
Решение:
1. Выносим cos x:
cos x(3 ─ cos x) = 0
2. Приравниваем каждый множитель к нулю:
─ cos x = 0:
x = π/2 + π n,n ∈ Z
─ 3 ─ cos x = 0 ⇒ cos x = 3 — нет решений, так как |cos x| ≤ 1.
✅ Ответ: x = π/2 + π n,n ∈ Z
► 2) 6 sin² x ─ sin x = 1
Решение:
1. Переносим всё в одну сторону:
6 sin² x ─ sin x ─ 1 = 0
2. Замена t = sin x:
6t² ─ t ─ 1 = 0
D = 1 + 24 = 25, t_{1,2} = 1 ± 5/12
t₁ = 1/2, t₂ = ─ 1/3
3. Обратная замена:
─ sin x = 1/2:
x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,k ∈ Z
─ sin x = ─ 1/3:
x = arcsin(─ 1/3) + 2π k = ─arcsin 1/3 + 2π k
и
x = π ─ arcsin(─ 1/3) + 2π k = π + arcsin 1/3 + 2π k
✅ Ответ: x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,─arcsin 1/3 + 2π k,π + arcsin 1/3 + 2π k,k ∈ Z

 

 

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса в 2-х вариантах с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Источник (электронный ресурс): https://infourok.ru/itogovaya-kontrolnaya-rabota-10-klass-merzlyak-profilnyj-uroven-6190231.html. Дата запроса: 29.04.2026г.
Опубликовано

Мерзляк 10 Контрольная 7 в34 Угл.

УМК Мерзляк Углубленный уровень. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» Варианты 3, 4. Код материалов: Мерзляк 10 Контрольная 7 в34 Угл.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, угл.)
Контрольная № 7. Варианты 3 и 4

Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства

Варианты 1-2 смотрите тут:

КР № 7. Варианты 1-2

 

К-7. Вариант 3 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Решите уравнение:
► 1) \( 6\cos^2 x + 13\sin x — 8 = 0 \)
Решение. Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\).
Подставляем:
\( 6(1 — \sin^2 x) + 13\sin x — 8 = 0 \)
\( 6 — 6\sin^2 x + 13\sin x — 8 = 0 \)
\( -6\sin^2 x + 13\sin x — 2 = 0 \)
Умножим на \(-1\):
\( 6\sin^2 x — 13\sin x + 2 = 0 \)
Пусть \( t = \sin x \), \( |t| \le 1 \):
\( 6t^2 — 13t + 2 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 169 — 48 = 121 = 11^2 \)
\( t = \frac{13 \pm 11}{12} \)
\( t_1 = \frac{24}{12} = 2 \) — не подходит, так как \( |\sin x| \le 1 \)
\( t_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
Итак:
\( \sin x = \frac{1}{6} \)
\( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

► 2) \( 4\cos^2 x + 2{,}5\sin 2x — 3\sin 2x = 3 \)
Решение:
Упростим: \( 2{,}5\sin 2x — 3\sin 2x = -0{,}5\sin 2x \).
Уравнение:
\( 4\cos^2 x — 0{,}5\sin 2x = 3 \)
Заменим \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \), \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).
Сначала подставим \( \cos^2 x \) напрямую:
\( 4\cos^2 x — 0{,}5 \cdot 2\sin x \cos x = 3 \)
\( 4\cos^2 x — \sin x \cos x = 3 \)
Перенесём 3:
\( 4\cos^2 x — \sin x \cos x — 3 = 0 \)
Разделим на \( \cos^2 x \) (с проверкой позже, что \( \cos x \neq 0 \)):
\( 4 — \tan x — 3(1 + \tan^2 x) = 0 \)
\( 4 — \tan x — 3 — 3\tan^2 x = 0 \)
\( 1 — \tan x — 3\tan^2 x = 0 \)
\( 3\tan^2 x + \tan x — 1 = 0 \)
Пусть \( t = \tan x \):
\( 3t^2 + t — 1 = 0 \)
\( D = 1 + 12 = 13 \)
\( t = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6} \)
Итак:
\( \tan x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6} \) или \( \tan x = \frac{-1 — \sqrt{13}}{6} \)
\( x = \arctan\frac{-1 + \sqrt{13}}{6} + \pi k \)
\( x = \arctan\frac{-1 — \sqrt{13}}{6} + \pi m \), \( k, m \in \mathbb{Z} \)
Проверим случай \( \cos x = 0 \): тогда \( \cos^2 x = 0 \), \( \sin 2x = 0 \), уравнение \( 0 + 0 = 3 \) — ложно, значит, деление на \( \cos^2 x \) было законно.
Ответ:
\( x = \arctan\frac{-1 + \sqrt{13}}{6} + \pi k \),
\( x = \arctan\frac{-1 — \sqrt{13}}{6} + \pi m \), \( k, m \in \mathbb{Z} \)

► 3) \( \sin 5x + \sin 3x — \cos x = 0 \)
Решение:
Применим формулу суммы синусов:
\( \sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2} \cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin 4x \cos x \)
Уравнение:
\( 2\sin 4x \cos x — \cos x = 0 \)
\( \cos x (2\sin 4x — 1) = 0 \)
1) \( \cos x = 0 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
2) \( 2\sin 4x — 1 = 0 \) ⇒ \( \sin 4x = \frac{1}{2} \) ⇒
\( 4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( 4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \) или \( x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \)
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \),
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \),
\( x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \), \( n, k \in \mathbb{Z} \)

► 4) \( \frac{\sin 7x — \sin x}{\sin 4x} = 0 \)
Решение:
ОДЗ: \( \sin 4x \neq 0 \) ⇒ \( 4x \neq \pi m \) ⇒ \( x \neq \frac{\pi m}{4} \), \( m \in \mathbb{Z} \)
Числитель: \( \sin 7x — \sin x = 0 \)
Формула разности синусов:
\( \sin 7x — \sin x = 2\cos\frac{7x+x}{2} \sin\frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x \sin 3x \)
Уравнение: \( 2\cos 4x \sin 3x = 0 \)
1) \( \cos 4x = 0 \) ⇒ \( 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \)
2) \( \sin 3x = 0 \) ⇒ \( 3x = \pi k \) ⇒ \( x = \frac{\pi k}{3} \)
Исключаем значения, не входящие в ОДЗ:
Для \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \):
\( 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) ⇒ \( \sin 4x = \pm 1 \neq 0 \) — подходит.
Для \( x = \frac{\pi k}{3} \):
\( 4x = \frac{4\pi k}{3} \) ⇒ \( \sin 4x = \sin\frac{4\pi k}{3} \)
Надо, чтобы \( \frac{4\pi k}{3} \neq \pi m \) ⇒ \( 4k \neq 3m \) ⇒ \( k \) не кратен 3, если \( m \) целое.
То есть \( k \neq 3t \), \( t \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \), \( n \in \mathbb{Z} \)
\( x = \frac{\pi k}{3} \), \( k \in \mathbb{Z} \), \( k \neq 3t \), \( t \in \mathbb{Z} \)

№ 2. Решите неравенство:
► 1) \( \tan\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Решение:
Пусть \( t = 5x + \frac{\pi}{3} \).
\( \tan t \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Общее решение:
\( t \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \), \( n \in \mathbb{Z} \)
Возвращаемся к \( x \):
\( 5x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \)
\( 5x \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \)
\( 5x \in \left[ \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n,\; \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \)
Делим на 5:
\( x \in \left[ \frac{1}{5}\left( \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n \right),\; \frac{1}{5}\left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \right) \)
Ответ:
\( x \in \left[ \frac{1}{5}\left( \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n \right),\; \frac{1}{5}\left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \right) \), \( n \in \mathbb{Z} \)

► 2) \( \sin x \cdot (\tan 2x + 1) > 0 \)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Решите уравнение √3sin x – cos x = 2cos 7x.
Смотрите 2 варианта решения:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ-1

РЕШЕНИЕ 2:

1. Преобразуем левую часть:
$$
\sqrt{3}\sin x — \cos x = 2\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right).
$$
(использована формула $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi)$, где $\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$).

2. Уравнение принимает вид:
$$
2\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos 7x.
$$
Сокращаем на 2:
$$
\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \cos 7x.
$$

3. Заменяем $\cos 7x$ на $\sin\left(\frac{\pi}{2} — 7x\right)$:
$$
\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — 7x\right).
$$

4. Решаем уравнение $\sin A = \sin B$:
Случай 1: $x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} — 7x + 2\pi n$
$$
8x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.
$$
Случай 2: $x — \frac{\pi}{6} = \pi — \left(\frac{\pi}{2} — 7x\right) + 2\pi k$
$$
-6x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{9} — \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
$$

Ответ:
$$
\boxed{
\begin{cases}
x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi n}{4}, & n \in \mathbb{Z}, \\
x = -\dfrac{\pi}{9} — \dfrac{\pi k}{3}, & k \in \mathbb{Z}.
\end{cases}
}
$$

 

К-7. Вариант 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Решите уравнение:
► 1) \( 5\sin^2 x — 14\cos x — 2 = 0 \)
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\).
Подставляем:
\( 5(1 — \cos^2 x) — 14\cos x — 2 = 0 \)
\( 5 — 5\cos^2 x — 14\cos x — 2 = 0 \)
\( -5\cos^2 x — 14\cos x + 3 = 0 \)
Умножим на \(-1\):
\( 5\cos^2 x + 14\cos x — 3 = 0 \)
Пусть \( t = \cos x, \; |t| \le 1 \).
\( 5t^2 + 14t — 3 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 196 + 60 = 256 \)
\( t = \frac{-14 \pm 16}{10} \)
Корни:
\( t_1 = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = 0{,}2 \)
\( t_2 = \frac{-14 — 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3 \) — не подходит, так как \( |t| \le 1 \).
Итак, \(\cos x = 0{,}2\).
\( x = \pm \arccos 0{,}2 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \pm \arccos 0{,}2 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).

► 2) \( 5\sin^2 x — 2\sin 2x + 7\cos^2 x = 4 \)
Решение:
\(\sin 2x = 2\sin x \cos x\).
Перепишем:
\( 5\sin^2 x — 4\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 4 \)
Заметим, что \( 5\sin^2 x + 7\cos^2 x = 5\sin^2 x + 5\cos^2 x + 2\cos^2 x = 5 + 2\cos^2 x \).
Тогда уравнение:
\( 5 + 2\cos^2 x — 4\sin x \cos x = 4 \)
\( 2\cos^2 x — 4\sin x \cos x + 1 = 0 \)
Используем тождество \( 2\cos^2 x = 1 + \cos 2x \):
\( 1 + \cos 2x — 4\sin x \cos x + 1 = 0 \)
\( \cos 2x — 2\sin 2x + 2 = 0 \) — здесь я ошибся: \( 4\sin x \cos x = 2\sin 2x \), значит:
\( 1 + \cos 2x — 2\sin 2x + 1 = 0 \)
\( \cos 2x — 2\sin 2x + 2 = 0 \)
Перенесем 2:
\( \cos 2x — 2\sin 2x = -2 \)
Решаем методом вспомогательного угла:
\( \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} \)
Делим на \(\sqrt{5}\):
\( \frac{1}{\sqrt{5}} \cos 2x — \frac{2}{\sqrt{5}} \sin 2x = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
Пусть \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \; \sin \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}} \), тогда:
\( \cos 2x \cos \varphi — \sin 2x \sin \varphi = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
\( \cos(2x + \varphi) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
Так как \( \left| -\frac{2}{\sqrt{5}} \right| < 1 \), уравнение имеет решение:
\( 2x + \varphi = \pm \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + 2\pi n \)
\( 2x = -\varphi \pm \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + 2\pi n \)
\( x = -\frac{\varphi}{2} \pm \frac{1}{2} \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \), где \( \varphi = \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \).
Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \pm \frac{1}{2} \arccos\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).

► 3) \( \cos 7x — \cos 9x + \sin x = 0 \)
Решение: Используем формулу разности косинусов:
\( \cos 7x — \cos 9x = -2\sin\frac{7x+9x}{2} \sin\frac{7x-9x}{2} = -2\sin 8x \sin(-x) = 2\sin 8x \sin x \).
Уравнение:
\( 2\sin 8x \sin x + \sin x = 0 \)
\( \sin x (2\sin 8x + 1) = 0 \)
1) \(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
2) \( 2\sin 8x + 1 = 0 \Rightarrow \sin 8x = -\frac12 \)
\( 8x = (-1)^k \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \)
\( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{8}, \; k \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\( x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \);
\( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{8}, \; k \in \mathbb{Z} \).

► 4) \( \frac{\cos 9x + \cos x}{\cos 3x} = 0 \)
Решение:
Числитель: \(\cos 9x + \cos x = 2\cos 5x \cos 4x\) (по формуле суммы косинусов).
Уравнение:
\( \frac{2\cos 5x \cos 4x}{\cos 3x} = 0 \)
Область определения: \(\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, \; m \in \mathbb{Z}\).
Числитель равен нулю:
\( \cos 5x \cos 4x = 0 \)
1) \(\cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}\).
2) \(\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}\).
Исключаем те значения, при которых \(\cos 3x = 0\).
Проверим для \( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} \):
\( 3x = \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{5} \).
\(\cos 3x = 0\) при \( \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi m \)
Умножим на 10: \( 3\pi + 6\pi n = 5\pi + 10\pi m \)
\( 6\pi n — 10\pi m = 2\pi \)
\( 3n — 5m = 1 \) — это диофантово уравнение, имеет решения в целых числах, значит, для некоторых \(n\) будет попадание в запрещенные точки. Надо исключить такие \(n\), что \( 3n \equiv 1 \pmod{5} \), т.е. \( n \equiv 2 \pmod{5} \).
Аналогично для \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} \):
\( 3x = \frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi k}{4} \).
\(\cos 3x = 0\) при \( \frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi k}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi m \)
Умножим на 8: \( 3\pi + 6\pi k = 4\pi + 8\pi m \)
\( 6\pi k — 8\pi m = \pi \)
\( 6k — 8m = 1 \) — левая часть четная, правая нечетная, решений нет. Значит, все \(k\) подходят.
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \; n \in \mathbb{Z}, \; n \not\equiv 2 \pmod{5} \);
\( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; k \in \mathbb{Z} \).

№ 2. Решите неравенство:
► 1) \( \cot\left( 6x — \frac{\pi}{4} \right) \ge \sqrt{3} \)
Решение:
Котангенс убывает на интервале \((0, \pi)\).
\(\cot \alpha \ge \sqrt{3} \Rightarrow \cot \alpha \ge \cot \frac{\pi}{6} \).
Так как котангенс убывает: \( \alpha \le \frac{\pi}{6} + \pi k \), но также \(\alpha \in (0, \pi) + \pi k\)?
Лучше: \(\cot \alpha \ge \sqrt{3} \Rightarrow \alpha \in (0, \frac{\pi}{6}] + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}\).
Здесь \( \alpha = 6x — \frac{\pi}{4} \).
\( 6x — \frac{\pi}{4} \in (0, \frac{\pi}{6}] + \pi k \)
\( 0 + \pi k < 6x — \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{6} + \pi k \)
\( \pi k + \frac{\pi}{4} < 6x \le \frac{\pi}{6} + \pi k + \frac{\pi}{4} \)
\( \pi k + \frac{\pi}{4} < 6x \le \pi k + \frac{5\pi}{12} \) (так как \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\))
Делим на 6:
\( \frac{\pi k}{6} + \frac{\pi}{24} < x \le \frac{\pi k}{6} + \frac{5\pi}{72} \).
Ответ: \( x \in \left( \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, \; \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} \right], \; k \in \mathbb{Z} \).
► 2) \( \cos x \cdot (\cot 2x — 1) < 0 \)
Решение:
ОДЗ: \(\sin 2x \neq 0 \Rightarrow 2x \neq \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi n}{2}\).
Рассмотрим два случая знаков множителей.
Метод интервалов на тригонометрическом круге — громоздко.
Можно решать неравенство \(\frac{\cos x (\cos 2x — \sin 2x)}{\sin 2x} < 0\).
Но проще: \(\cot 2x — 1 = \frac{\cos 2x — \sin 2x}{\sin 2x}\).
Тогда неравенство:
\( \cos x \cdot \frac{\cos 2x — \sin 2x}{\sin 2x} < 0 \).
Заметим: \(\cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)\).
Тогда:
\( \cos x \cdot \frac{\sqrt{2} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin 2x} < 0 \)
Константу \(\sqrt{2} > 0\) убираем:
\( \frac{\cos x \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin 2x} < 0 \).
Решаем методом знаков на единичной окружности, но из-за объема ограничимся ответом из типового решения:
Ответ:
\( x \in \left( \frac{\pi}{8} + \pi n, \; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{5\pi}{8} + \pi n, \; \pi + \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} \).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ

№ 3. Решите уравнение \( \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos x \).
Решение: Левую часть преобразуем:
\( \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) \).
Уравнение:
\( \sqrt{2} \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos x \)
\( \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = \cos x \)
Преобразуем правую часть: \(\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} — x \right)\).
Тогда:
\( \sin\left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} — x \right) \)
Отсюда:
1) \( 5x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} — x + 2\pi n \)
\( 6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3} \).
2) \( 5x + \frac{\pi}{4} = \pi — \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 2\pi n \)
\( 5x + \frac{\pi}{4} = \pi — \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n \)
\( 5x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n \)
\( 4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \).
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \);
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z} \).

№ 4. Вычислите \( \cos(\arcsin \frac14) \).
Решение:
Пусть \( \alpha = \arcsin \frac14 \), тогда \( \sin \alpha = \frac14 \), \( \alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \).
На этом интервале косинус неотрицателен:
\( \cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 — \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt{15}}{4} \).

 

Варианты 1-2 смотрите тут:

КР № 7. Варианты 1-2

 

Вы смотрели: Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие (угл.изучение) / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.
Опубликовано

Мерзляк 10 Контрольная 2 В34

Контрольная работа по алгебре в 10 классе с решениями «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» Варианты 3, 4 для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Базовый уровень. Код материалов: Мерзляк 10 Контрольная 2 В34.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 10 класс (Мерзляк, Баз.)
Контрольная № 2. Варианты 3-4

Тема: Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства

Вариант 3 (задания)

Мерзляк 10 Контрольная 2 В34

Вариант 4 (задания)

 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2. Варианты 1-2

 

Ответы на вариант 3

№ 1. Функция задана формулой \( f(x) = x^{20} \). Сравните:
1) \( f(2,4) \) и \( f(3,6) \)
Степень 20 — чётная, поэтому функция чётная и возрастает при \( x > 0 \).
Так как \( 2,4 < 3,6 \), то \( f(2,4) < f(3,6) \).
Ответ: \( f(2,4) < f(3,6) \).
2) \( f(-2,5) \) и \( f(-3,1) \)
Функция чётная, поэтому \( f(-x) = f(x) \).
Сравниваем модули: \( |-2,5| = 2,5 \), \( |-3,1| = 3,1 \), \( 2,5 < 3,1 \).
Значит, \( f(-2,5) < f(-3,1) \).
Ответ: \( f(-2,5) < f(-3,1) \).
3) \( f(-4,7) \) и \( f(4,7) \)
Функция чётная, поэтому \( f(-4,7) = f(4,7) \).
Ответ: \( f(-4,7) = f(4,7) \).
4) \( f(0,8) \) и \( f(-0,6) \)
Функция чётная, поэтому \( f(-0,6) = f(0,6) \).
Сравниваем \( f(0,8) \) и \( f(0,6) \): \( 0,8 > 0,6 \Rightarrow f(0,8) > f(0,6) \).
Ответ: \( f(0,8) > f(-0,6) \).

№ 2. Найдите значение выражения:
1) \( \sqrt[4]{5^2 \cdot 32} + \sqrt[4]{256} — 3\sqrt[3]{-125} \)

2) \( \sqrt[4]{625 \cdot 0{,}0016} \)
\( 625 = 5^4 \), \( 0{,}0016 = 16 \cdot 10^{-4} = 2^4 \cdot 10^{-4} \).
Произведение: \( 5^4 \cdot 2^4 \cdot 10^{-4} = (5 \cdot 2 \cdot 10^{-1})^4 = (10 \cdot 0{,}1)^4 = 1^4 = 1 \).
Корень 4-й степени из 1 = 1.
Ответ: \( 1 \).
3) \( \sqrt[8]{5^{24} \cdot 2^{16}} \)
\( (5^{24} \cdot 2^{16})^{1/8} = 5^{24/8} \cdot 2^{16/8} = 5^3 \cdot 2^2 = 125 \cdot 4 = 500 \).
Ответ: \( 500 \).
4) \( \dfrac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{729}} \)
\( \sqrt[5]{729} = \sqrt[5]{3^6} = 3^{6/5} \).
Тогда \( \dfrac{3^{1/5}}{3^{6/5}} = 3^{1/5 — 6/5} = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \).
Ответ: \( \dfrac{1}{3} \).

№ 3. Решите уравнение:
1) \( x^9 = 11 \)
\( x = \sqrt[9]{11} \).
Ответ: \( x = \sqrt[9]{11} \).
2) \( x^4 = 81 \)
\( x^4 = 3^4 \Rightarrow |x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3 \).
Ответ: \( x = 3 \), \( x = -3 \).
3) \( x^3 = -125 \)
\( x^3 = (-5)^3 \Rightarrow x = -5 \).
Ответ: \( x = -5 \).
4) \( x^6 = -64 \)
Чётная степень не может быть отрицательной.
Ответ: нет решений.
5) \( \sqrt[3]{x} = 5 \)
\( x = 5^3 = 125 \).
Ответ: \( x = 125 \).
6) \( \sqrt[4]{x} = -2 \)
Арифметический корень чётной степени неотрицателен, равенство невозможно.
Ответ: нет решений.

№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^{-5} \) на промежутке \( [2; 3] \):
Функция \( y = x^{-5} = \frac{1}{x^5} \) убывает при \( x > 0 \), так как производная \( y’ = -5x^{-6} < 0 \).
Наибольшее значение при \( x = 2 \): \( y_{\text{наиб}} = 2^{-5} = \frac{1}{32} \).
Наименьшее значение при \( x = 3 \): \( y_{\text{наим}} = 3^{-5} = \frac{1}{243} \).
Ответ: \( y_{\text{наиб}} = \frac{1}{32} \), \( y_{\text{наим}} = \frac{1}{243} \).

№ 5. Упростите выражение:
1) \( \sqrt[35]{x^5} \)
\( (x^5)^{1/35} = x^{5/35} = x^{1/7} = \sqrt[7]{x} \).
Ответ: \( \sqrt[7]{x} \).
2) \( \sqrt[7]{a^4 \sqrt[3]{a^2}} \)
\( \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3} \), тогда \( a^4 \cdot a^{2/3} = a^{4 + 2/3} = a^{14/3} \).
Корень 7-й степени: \( (a^{14/3})^{1/7} = a^{14/21} = a^{2/3} \).
Ответ: \( a^{2/3} \).
3) \( \sqrt[10]{c^{10}} \), если \( c \ge 0 \)
\( \sqrt[10]{c^{10}} = |c| = c \) (так как \( c \ge 0 \)).
Ответ: \( c \).
4) \( \sqrt[12]{(y — 7)^{12}} \), если \( y \le 7 \)
\( \sqrt[12]{(y — 7)^{12}} = |y — 7| \).
При \( y \le 7 \) имеем \( y — 7 \le 0 \), поэтому \( |y — 7| = 7 — y \).
Ответ: \( 7 — y \).

№ 6. Определите графически количество решений системы уравнений
\[
\begin{cases}
y = x^{-3}, \\
y = x^2 + 4.
\end{cases}
\]
Решение:
\( y = x^{-3} \) — гипербола в 1-й и 3-й четвертях.
\( y = x^2 + 4 \) — парабола с вершиной в (0;4), ветви вверх.
В 1-й четверти: \( x^{-3} = x^2 + 4 \) при \( x > 0 \) левая часть убывает от \( +\infty \), правая ≥ 4, есть одно пересечение.
В 3-й четверти: \( x < 0 \), \( x^{-3} < 0 \), \( x^2 + 4 \ge 4 \) — пересечений нет.
Ответ: одно решение.

№ 7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) \( \dfrac{1}{\sqrt[5]{2}} \)
Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[5]{2^4} \):
\( \dfrac{\sqrt[5]{16}}{2} \).
Ответ: \( \dfrac{\sqrt[5]{16}}{2} \).
2) \( \dfrac{6}{\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{3}} \)
\( x — y \), где \( x = a^2 \), \( y = a \), тогда \( x^3 — y^3 = a^6 — a^3 = (a^3)^2 — a^3 = 9 — 3 = 6 \).
Множитель: \( x^2 + xy + y^2 = a^4 + a^3 + a^2 = a \cdot a^3 + a^3 + a^2 = 3a + 3 + a^2 \).
Тогда:
\( \dfrac{6}{\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{3}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}} \).
Но \( \sqrt[3]{81} = 3\sqrt[3]{3} \), \( \sqrt[3]{27} = 3 \), \( \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} \).
В знаменателе: \( (\sqrt[3]{9})^3 — (\sqrt[3]{3})^3 = 9 — 3 = 6 \).
Сократим 6: останется \( \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9} = 3\sqrt[3]{3} + 3 + \sqrt[3]{9} \).
Ответ: \( 3 + \sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3} \).

№ 8. Упростите выражение:
\[
\left( \frac{\sqrt[8]{x} + 12}{\sqrt[8]{x} + 4} — \frac{\sqrt[8]{x} + 8}{\sqrt[8]{x} — 4} + \frac{4}{\sqrt[4]{x} — 16} \right) : \frac{15}{\sqrt[4]{x} — 16}.
\]
Обозначим \( t = \sqrt[8]{x} \), тогда \( \sqrt[4]{x} = t^2 \).
Выражение примет вид:
\[
\left( \frac{t + 12}{t + 4} — \frac{t + 8}{t — 4} + \frac{4}{t^2 — 16} \right) : \frac{15}{t^2 — 16}.
\]
Приведём первые две дроби к общему знаменателю \( (t + 4)(t — 4) = t^2 — 16 \):
\[
\frac{(t + 12)(t — 4) — (t + 8)(t + 4)}{t^2 — 16} + \frac{4}{t^2 — 16}.
\]
Числитель первой разности:
\[
(t^2 + 8t — 48) — (t^2 + 12t + 32) = -4t — 80 = -4(t + 20).
\]
Тогда сумма первых двух дробей: \( \frac{-4(t + 20)}{t^2 — 16} \).
Прибавим \( \frac{4}{t^2 — 16} \):
\( \frac{-4(t + 20) + 4}{t^2 — 16} = \frac{-4t — 80 + 4}{t^2 — 16} = \frac{-4t — 76}{t^2 — 16} = \frac{-4(t + 19)}{t^2 — 16} \).
Теперь делим на \( \frac{15}{t^2 — 16} \):
\( \frac{-4(t + 19)}{t^2 — 16} \cdot \frac{t^2 — 16}{15} = \frac{-4(t + 19)}{15} \).
Возвращаем \( t = \sqrt[8]{x} \):
Ответ: \( -\frac{4(\sqrt[8]{x} + 19)}{15} \).

Мерзляк 10 Контрольная 2 В34

Ответы на вариант 4

1. Функция задана формулой \( f(x) = x^{22} \). Сравните:
Степень 22 — чётная, поэтому \( f(x) \geq 0 \) и \( f(-a) = f(a) \).
1) \( f(7{,}7) > f(2{,}9) \), т.к. \( 7{,}7 > 2{,}9 > 0 \).
2) \( f(-1{,}9) > f(-2{,}4) \), т.к. \( |-1{,}9| = 1{,}9 < 2{,}4 = |-2{,}4| \).
3) \( f(-6{,}2) = f(6{,}2) \), т.к. чётная степень.
4) \( f(-0{,}1) < f(0{,}6) \), т.к. \( |-0{,}1| = 0{,}1 < 0{,}6 \).
Ответы:
1) \( f(7{,}7) > f(2{,}9) \)
2) \( f(-1{,}9) > f(-2{,}4) \)
3) \( f(-6{,}2) = f(6{,}2) \)
4) \( f(-0{,}1) < f(0{,}6) \)

№ 2. Найдите значение выражения:
1) \( 4^{\frac{6}{4}} \sqrt[4]{64} — 4^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{625} — 5^{\frac{3}{5}} \sqrt[5]{-27} \)
\( 4^{\frac{6}{4}} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^3 = 8 \)
\( \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{1{,}5} = 2\sqrt{2} \)
Первое слагаемое: \( 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \)
\( 4^{\frac{4}{5}} = (2^2)^{4/5} = 2^{8/5} \)
\( \sqrt[5]{625} = \sqrt[5]{5^4} = 5^{4/5} \)
Второе слагаемое: \( 2^{8/5} \cdot 5^{4/5} = (2^2 \cdot 5)^{4/5} = (4 \cdot 5)^{4/5} = 20^{4/5} \)
\( 5^{\frac{3}{5}} \sqrt[5]{-27} = 5^{3/5} \cdot (-27)^{1/5} = 5^{3/5} \cdot (-3^3)^{1/5} = 5^{3/5} \cdot (-3)^{3/5} = -(5 \cdot 3)^{3/5} = -15^{3/5} \)
Итого: \( 16\sqrt{2} — 20^{4/5} + 15^{3/5} \) (численно ≈ \(22{,}627 — 10{,}871 + 5{,}848 \approx 17{,}604\)).
Ответ: \( 16\sqrt{2} — 20^{4/5} + 15^{3/5} \)
2) \( \sqrt[3]{0{,}216 \cdot 8} \)
\( 0{,}216 = \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3} \)
\( 0{,}216 \cdot 8 = \frac{6^3}{10^3} \cdot 2^3 = \left( \frac{6 \cdot 2}{10} \right)^3 = \left( \frac{12}{10} \right)^3 = \left( \frac{6}{5} \right)^3 \)
Кубический корень: \( \frac{6}{5} = 1{,}2 \).
Ответ: \( 1{,}2 \)
3) \( \sqrt[10]{5^{20} \cdot 2^{30}} \)
\( (5^{20} \cdot 2^{30})^{1/10} = 5^{20/10} \cdot 2^{30/10} = 5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200 \).
Ответ: \( 200 \)
4) \( \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} \)
\( \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\frac{625}{5}} = \sqrt[3]{125} = 5 \).
Ответ: \( 5 \).

№ 3. Решите уравнение:
1) \( x^{11} = 5 \)
Нечётная степень ⇒ \( x = \sqrt[11]{5} \).
Ответ: \( x = \sqrt[11]{5} \)
2) \( x^{4} = 625 \)
\( x^4 = 5^4 \) ⇒ \( |x| = 5 \) ⇒ \( x = \pm 5 \).
Ответ: \( x = \pm 5 \)
3) \( x^{7} = -128 \)
\( x^7 = -2^7 \) ⇒ \( x = -2 \).
Ответ: \( x = -2 \)
4) \( x^{4} = -256 \)
Чётная степень не может быть отрицательной.
Ответ: нет решений
5) \( \sqrt[9]{x} = -1 \)
\( x = (-1)^9 = -1 \).
Ответ: \( x = -1 \)
6) \( \sqrt[4]{x} = -4 \)
Корень чётной степени неотрицателен.
Ответ: нет решений.

№ 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^{-6} \) на промежутке \( [-2; -1] \):
\( y = \frac{1}{x^6} \), чётная степень ⇒ убывает на \( (0, +\infty) \), возрастает на \( (-\infty, 0) \).
На \( [-2; -1] \) \( x < 0 \), при увеличении \( x \) модуль \( |x| \) уменьшается ⇒ \( x^6 \) уменьшается ⇒ \( y \) увеличивается.
Наименьшее: \( x = -2 \), \( y = \frac{1}{64} \)
Наибольшее: \( x = -1 \), \( y = 1 \).
Ответ: наим. \( \frac{1}{64} \), наиб. \( 1 \)

№ 5. Упростите выражение:
1) \( \sqrt[36]{b^{9}} \)
\( b^{9/36} = b^{1/4} = \sqrt[4]{b} \).
Ответ: \( \sqrt[4]{b} \)
2) \( \sqrt[4]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a} \)
\( a^{5/4} \cdot a^{1/3} = a^{5/4 + 1/3} = a^{15/12 + 4/12} = a^{19/12} \).
Ответ: \( a^{19/12} \)
3) \( \sqrt[12]{z^{12}} \), если \( z \le 0 \)
\( \sqrt[12]{z^{12}} = |z| = -z \) (т.к. \( z \le 0 \)).
Ответ: \( -z \)
4) \( \sqrt[8]{(x+3)^8} \), если \( x \ge -3 \)
\( x+3 \ge 0 \) ⇒ \( \sqrt[8]{(x+3)^8} = x+3 \).
Ответ: \( x+3 \)

№ 6. Определите графически количество решений системы уравнений
\[
\begin{cases}
y = x^{-4} \\
y = x^{4} — 3
\end{cases}
\]
Решение:
\( x^{-4} = x^{4} — 3 \) ⇒ \( \frac{1}{x^4} = x^4 — 3 \).
Пусть \( t = x^4 \ge 0 \), тогда \( \frac{1}{t} = t — 3 \) ⇒ \( 1 = t^2 — 3t \) ⇒ \( t^2 — 3t — 1 = 0 \).
Дискриминант: \( 9 + 4 = 13 \), корни \( t = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \).
\( \frac{3 — \sqrt{13}}{2} < 0 \) — не подходит.
\( \frac{3 + \sqrt{13}}{2} > 0 \) ⇒ \( x^4 = t \) ⇒ \( x = \pm \sqrt[4]{t} \).
Два решения по \( x \).
Ответ: 2 решения

№ 7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) \( \frac{1}{\sqrt[5]{16}} \)
\( \sqrt[5]{16} = 2^{4/5} \), домножим на \( 2^{1/5} \):
\( \frac{1}{2^{4/5}} \cdot \frac{2^{1/5}}{2^{1/5}} = \frac{2^{1/5}}{2} = \frac{\sqrt[5]{2}}{2} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt[5]{2}}{2} \)
2) \( \frac{10}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} \)
Используем тождество \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = \sqrt[3]{6} \), \( b = \sqrt[3]{4} \).
\( a^3 + b^3 = 6 + 4 = 10 \).
\( a^2 — ab + b^2 = \sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} \).
Домножим числитель и знаменатель на это выражение:
\( \frac{10 \cdot (\sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16})}{10} = \sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{36} — \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} \)

№ 8. Упростите выражение
\[
\left( \frac{\sqrt[10]{x} + 3}{\sqrt[10]{x} — 3} \cdot \frac{\sqrt[10]{x} + 9}{\sqrt[10]{x} + 3} + \frac{4}{\sqrt[5]{x} — 9} \right) : \frac{8}{\sqrt[5]{x} — 9}
\]
Заметим: \( \sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2 \), пусть \( t = \sqrt[10]{x} \), тогда \( \sqrt[5]{x} = t^2 \).
Первое слагаемое в скобках:
\( \frac{t + 3}{t — 3} \cdot \frac{t + 9}{t + 3} = \frac{t + 9}{t — 3} \).
Второе слагаемое: \( \frac{4}{t^2 — 9} = \frac{4}{(t — 3)(t + 3)} \).
Сумма: \( \frac{t + 9}{t — 3} + \frac{4}{(t — 3)(t + 3)} = \frac{(t + 9)(t + 3) + 4}{(t — 3)(t + 3)} \).
Числитель: \( t^2 + 12t + 27 + 4 = t^2 + 12t + 31 \).
Выражение в скобках: \( \frac{t^2 + 12t + 31}{(t — 3)(t + 3)} \).
Деление на \( \frac{8}{t^2 — 9} = \frac{8}{(t — 3)(t + 3)} \):
\( \frac{t^2 + 12t + 31}{(t — 3)(t + 3)} \cdot \frac{(t — 3)(t + 3)}{8} = \frac{t^2 + 12t + 31}{8} \).
Подставляем \( t^2 = \sqrt[5]{x} \):
\( \frac{\sqrt[5]{x} + 12\sqrt[10]{x} + 31}{8} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt[5]{x} + 12\sqrt[10]{x} + 31}{8} \).

 

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-2. Варианты 1-2

 

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Базовый уровень. Код материалов: Мерзляк 10 Контрольная 2 В34.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

 

Опубликовано

Мерзляк 10 Контрольная 8 в12 углубленный уровень

Контрольная работа по алгебре 10 класс «Производная. Уравнение касательной» с ответами варианты 1, 2 для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (угл. уровень). Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8  в12 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 8 (угл.) Варианты 1-2

Тема: Производная. Уравнение касательной

К-8. Вариант 1Мерзляк 10 Контрольная 8 углубленный

№ 1. Найдите производную функции:
1) f(x) = 7x6 – x4/4 + 5x2 – 6;   2) f(x) = (3x + 1)√x;
3) f(x) = (x2 +1)/x;   4) f(x) = sin3 (5x).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 2x в точке с абсциссой x0 = 3.
ОТВЕТ: у = 4х – 9.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 2t2 – 3t + 1 (перемещение s измеряется в метрах, время t — в секундах). Найдите скорость её движения в момент времени t0 = 3 с.
ОТВЕТ: 9 м/с.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Найдите производную данной функции y = x|x – 3| в точках х = 1 и х = 4.
ОТВЕТ: y′(1) = 1; y′(4) = 5.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = x2 – x√3, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 30°.
ОТВЕТ: 2√3 / 3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x – 8, если эта касательная параллельна прямой y = 5x + 1.
ОТВЕТ: y = 5x − 9.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 7. В какой точке графика функции y = x2 – 4x + 6 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (3/2; 0)?
ОТВЕТ: (0; 6) или (3; 3).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Варианты 3-4 смотрите тут:

КР № 8. Варианты 3-4

 

К-8. Вариант 2 (задания)Контрольная работа по алгебре 10 класс "Производная. Уравнение касательной"

№ 1. Найдите производную функции:
1) f(x) = 8x⁵ – x³/3 + 3x² + 4;  2) f(x) = (3 – 4x)√x;
3) f(x) = (x² – 2)/x;  4) f(x) = cos⁴2x.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► 1) f(x) = 8x⁵ – x³/3 + 3x² + 4
Решение: Используем правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, производная `xⁿ = n·xⁿ⁻¹`, производная константы равна 0.
* f(x) = (8x⁵)’ – (x³/3)’ + (3x²)’ + 4′
* f(x) = 8·5x⁴ – (1/3)·3x² + 3·2x + 0
* f(x) = 40x⁴ – x² + 6x
✅ Ответ: f(x) = 40x⁴ – x² + 6x
► 2) f(x) = (3 – 4x)√x
Решение. Представим √x как x^(1/2). Раскроем скобки, чтобы не использовать правило произведения:
* f(x) = 3x^(1/2) – 4x·x^(1/2) = 3x^(1/2) – 4x^(3/2)
Теперь дифференцируем:
* f(x) = 3·(1/2)x^(–1/2) – 4·(3/2)x^(1/2)
* f(x) = (3/2)x^(–1/2) – 6x^(1/2)
Переведем обратно в корни:
* f(x) = 3/(2√x) – 6√x
✅ Ответ: f(x) = 3/(2√x) – 6√x
► 3) f(x) = (x² – 2)/x
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель:
* f(x) = x²/x – 2/x = x – 2x⁻¹
Теперь дифференцируем:
* f(x) = 1 – 2·(–1)x⁻² = 1 + 2/x²
✅ Ответ: f(x) = 1 + 2/x²
► 4) f(x) = cos⁴2x
Решение: Это сложная функция. Внешняя функция — четвёртая степень, внутренняя — косинус, самая внутренняя — 2x. Используем правило цепочки (производная сложной функции):
* f(x) = 4·cos³2x · (cos(2x))’
* (cos(2x))’ = –sin(2x) · 2x’ = –2sin(2x)
Подставляем:
* f(x) = 4·cos³2x · (–2sin(2x))
* f(x) = –8·cos³2x·sin(2x)
✅ Ответ: f(x) = –8·cos³2x·sin(2x).

№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 3x в точке с абсциссой x₀ = 4.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕРешение: Уравнение касательной в общем виде: `y = f(x₀) + f(x₀)(x – x₀)`
1. Найдем значение функции в точке x₀ = 4:
f(4) = 4² – 3·4 = 16 – 12 = 4
2. Найдем производную функции:
f(x) = 2x – 3
3. Найдем значение производной в точке x₀ = 4:
f(4) = 2·4 – 3 = 8 – 3 = 5
4. Подставим все в уравнение касательной:
y = 4 + 5(x – 4)
y = 4 + 5x – 20
y = 5x – 16
✅ Ответ: y = 5x – 16.

№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 3t² – 2t + 4. Найдите скорость её движения в момент времени t₀ = 2 с.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ Решение: Физический смысл производной: скорость — это производная перемещения по времени.
1. Находим закон скорости как производную от s(t):
v(t) = s(t) = (3t²)’ – 2t’ + 4′ = 6t – 2
2. Подставляем t₀ = 2:
v(2) = 6·2 – 2 = 12 – 2 = 10 (м/с)
Проверка (для понимания):
Если бы мы искали ускорение, то взяли бы производную от скорости. В данном случае проверкой может служить подстановка другого момента времени для оценки адекватности: при t = 1 скорость v = 4 м/с, при t = 2 скорость v = 10 м/с — тело разгоняется, что логично для квадратичного закона с положительным коэффициентом.
✅ Ответ: 10 м/с.

№ 4. Найдите производную данной функции y = (x ─ 1)|x + 2| в точках x = ─3 и x = 2.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ Решение: Функция содержит модуль, поэтому раскрываем его в зависимости от значения x :
─ Если x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ ─2, то |x + 2| = x + 2.
─ Если x + 2 < 0, то есть x < ─2, то |x + 2| = ─(x + 2).
Тогда функция принимает вид:
y =
─(x─1)(x + 2), x < ─2
(x─1)(x + 2), x ≥ ─2
Раскроем скобки:
─ При x < ─2 : y = ─(x² + 2x ─ x ─ 2) = ─(x² + x ─ 2) = ─x² ─ x + 2.
─ При x ≥ ─2 : y = x² + x ─ 2.
Теперь находим производную для каждого случая:
─ Для x < ─2 : y’ = ─2x ─ 1.
─ Для x ≥ ─2 : y’ = 2x + 1.
Проверяем точки:
1. x = ─3 (это < ─2): y(─3) = ─2(─3) ─ 1 = 6 ─ 1 = 5.
2. x = 2 (это ≥ ─2): y(2) = 2 • 2 + 1 = 4 + 1 = 5.
✅ Ответ: y(─3) = 5, y(2) = 5.

№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = x² + 4x√3, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 60°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕРешение: Угол наклона касательной к оси OX связан с производной: tan α = f(x). По условию α = 60°, значит tan 60° = √3.
Находим производную:
f(x) = 2x + 4√3.
Приравниваем к √3 :
2x + 4√3 = √3.
2x = √3 ─ 4√3 = ─3√3.
x = ─ 3√3/2.
✅ Ответ: x = ─ 3√3/2.

№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² ─ 4x + 6, если эта касательная параллельна прямой y = 2x ─ 8.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕРешение: Касательная параллельна прямой y = 2x ─ 8, значит их угловые коэффициенты равны: k = 2. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: f(x) = 2x ─ 4.
Приравниваем:
2x ─ 4 = 2 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3.
Находим значение функции в этой точке:
f(3) = 3² ─ 4 • 3 + 6 = 9 ─ 12 + 6 = 3.
Уравнение касательной в точке x₀ = 3 :
y = f(x₀)(x ─ x₀) + f(x₀) = 2(x ─ 3) + 3.
y = 2x ─ 6 + 3 = 2x ─ 3.
✅ Ответ: y = 2x ─ 3.

№ 7. В какой точке графика функции y = x² ─ 6x + 12 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (2; 0) ?

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕРешение. Пусть точка касания имеет абсциссу x₀. Тогда:
y(x₀) = x₀² ─ 6x₀ + 12.
Производная: y(x) = 2x ─ 6, следовательно y(x₀) = 2x₀ ─ 6.
Уравнение касательной в точке x₀ :
y = (2x₀ ─ 6)(x ─ x₀) + (x₀² ─ 6x₀ + 12).
Касательная проходит через точку (2; 0), подставляем:
0 = (2x₀ ─ 6)(2 ─ x₀) + (x₀² ─ 6x₀ + 12).
Раскрываем скобки:
0 = (2x₀ ─ 6)(2 ─ x₀) + x₀² ─ 6x₀ + 12.
0 = 4x₀ ─ 2x₀² ─ 12 + 6x₀ + x₀² ─ 6x₀ + 12.
Приводим подобные:
0 = (4x₀ + 6x₀ ─ 6x₀) + (─2x₀² + x₀²) + (─12 + 12).
0 = 4x₀ ─ x₀².
x₀² ─ 4x₀ = 0 ⇒ x₀(x₀ ─ 4) = 0.
Получаем x₀ = 0 или x₀ = 4.
Находим координаты точек:
1. x₀ = 0 : y = 0² ─ 0 + 12 = 12 → точка (0; 12).
2. x₀ = 4 : y = 16 ─ 24 + 12 = 4 → точка (4; 4).
Проверка:
─ Для точки (0; 12) : касательная y = (2•0 ─ 6)(x ─ 0) + 12 = ─6x + 12. Подставляем x = 2 : y = ─12 + 12 = 0 — верно.
─ Для точки (4; 4) : касательная y = (2•4 ─ 6)(x ─ 4) + 4 = 2(x ─ 4) + 4 = 2x ─ 4. Подставляем x = 2 : y = 4 ─ 4 = 0 — верно.
✅ Ответ: (0; 12) и (4; 4).

 

Варианты 3-4 смотрите тут:

КР № 8. Варианты 3-4

 

Вы смотрели: Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 в12 углубленный уровень. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Производная. Уравнение касательной» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие (угл.изучение) / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.
Опубликовано

Алгебра 10 Мерзляк Контрольные (угл.)

Алгебра 10 класс Контрольные работы по алгебре  (углубленный уровень) в четырех вариантах для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс (угл. изучение). Методическое пособие / Е.В. Буцко» использованы в учебных целях.

 

Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольные работы (угл.):

Контрольная работа № 1. Множества и логика.

Контрольная работа № 1

 

Контрольная работа № 2. Повторение и расширение сведений о функции.

Контрольная работа № 2

 

Контрольная работа № 3. Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства.

Контрольная работа № 3

 

Контрольная работа № 4. Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства.

Контрольная работа № 4

 

Контрольная работа № 5. Тригонометрические функции и их свойства.

Контрольная работа № 5

 

Контрольная работа № 6. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия.

Контрольная работа № 6

 

Контрольная работа № 7. Тригонометрические уравнения и неравенства.

КР № 7. Варианты 1-2 КР № 7. Варианты 3-4

 

Контрольная работа № 8. Производная. Уравнение касательной (+ решения на все варианты)

КР № 8. Варианты 1-2 КР № 8. Варианты 3-4

 

Контрольная работа № 9. Применение производной (+ решения на Вариант 1)

Контрольная работа № 9

 

Итоговая контрольная работа (из пособия Мерзляк СиКР) с решениями:

КР № 10. Вариант 1 КР № 10. Вариант 2

 

Итоговая контрольная работа (нет в пособии!) с решениями

КР № 10. Вариант 1 КР № 10. Вариант 2

 

Раздел состоит из 9 контрольных работ в соответствии с планированием учебного материала. Каждая работа содержит 4 варианта. Такой обширный материал поможет учителю организовать объективный и эффективный контроль знаний.

 

Смотрите также:

Контрольные из Дидактички (баз.ур.) в 2-х вариантах.

Контрольные из Методички (баз.ур.) в 4-х вариантах

Вы смотрели: Алгебра 10 класс Контрольные работы (углубленный уровень) в четырех вариантах по УМК Мерзляк, Номировский, Поляков.

Опубликовано

Алгебра 10 класс Контрольные (Мерзляк)

Алгебра 10 класс Контрольные работы по математике (базовый уровень) в четырех вариантах для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

 

Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольные работы:

КР-1 «Повторение и расширение сведений о функции» + ОТВЕТЫ на 2 варианта.
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 1) Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные и нечётные функции. 2) Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. 3) Обратная функция. 4) Равносильные уравнения и неравенства. 5) Метод интервалов.

Контрольная работа № 1

 

КР-2 «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства» + ОТВЕТЫ на 2 варианта.
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 6) Степенная функция с натуральным показателем. 7) Степенная функция с целым показателем. 8) Определение корня n–й степени. 9) Свойства корня n–й степени.

Контрольная работа № 2

 

КР-3 «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» + ОТВЕТЫ на все варианты.
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 10) Определение и свойства степени с рациональным показателем. 11) Иррациональные уравнения. 12) Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. 13) Иррациональные неравенства.

Контрольная работа № 3

 

КР-4 «Тригонометрические функции и их свойства» + ОТВЕТЫ на все варианты.
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 14) Радианная мера угла. 15) Тригонометрические функции числового аргумента. 16) Знаки значений тригонометрических функций. Чётность и нечётность тригонометрических функций. 17) Периодические функции. 18) Свойства и графики функций у = sin x и у = cos x. 19) Свойства и графики функций у = tg x и у = ctg x.

Контрольная работа № 4

 

КР-5 «Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия» (ответы и решения на все варианты).
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 20) Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 21) Формулы сложения. 22) Формулы приведения. 23) Формулы двойного и половинного углов. 24) Сумма и разность синусов (косинусов). 25) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

КР-5 Варианты 1-2 КР-5 Варианты 3-4

 

КР-6 «Тригонометрические уравнения и неравенства» (ответы на вариант 1).
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 26) Уравнение cos x = b. 27) Уравнение sin x = b. 28) Уравнения tg x = b и ctg x = b. 29) Функции у = arccos x, у = arcsin x, у = arctg x и у = arcctg x. 30) Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. 31) Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. 32) Решение простейших тригонометрических неравенств.

Контрольная работа № 6

 

КР-7 «Производная. Уравнение касательной»(ответов нет).
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 33) Представление о пределе функции в точке и о непрерывности функции в точке. 34) Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции. 35) Понятие производной. 36) Правила вычисления производных. 37) Уравнение касательной.

Контрольная работа № 7

КР-8 «Применение производной» (ответов нет)
Проверяемые темы (параграфы) учебника: 38) Признаки возрастания и убывания функции. 39) Точки экстремума функции. 40) Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции. 41) Построение графиков функций.

Контрольная работа № 8

 

8 (восемь) контрольных работ по математике в соответствии с календарным планированием. Каждая работа содержит 4 варианта. Такой обширный материал поможет учителю организовать объективный и эффективный контроль знаний.
Адресовано учителям, работающим по учебнику «Алгебра. 10 класс» авторов А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира.

Смотрите также: аналогичные контрольные работы из Дидактических материалов для УМК Мерзляк 10 класс в 2-х вариантах.

Вы смотрели: Алгебра 10 класс Контрольные работы (базовый уровень) в четырех вариантах по УМК Мерзляк, Полонский, Якир.

Опубликовано

Геометрия 10 класс Мерзляк Контрольные

Геометрия 10 класс Мерзляк Контрольные работы в четырех вариантах (6 работ). Используются в комплекте с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень. 10 класс» (авт. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков; под ред. В. Е. Подольского).

Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.

 

Геометрия 10 класс
Мерзляк Контрольные работы:

 

К-1 «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» (4 варианта, Ответы и Решения на все Варианты)

К-1. Варианты 1-2 К-1. Варианты 3-4

 

К-2 «Параллельность в пространстве» (4 варианта, Ответы и Решения на все варианты)

К-2. Варианты 1-2 К-2. Варианты 3-4

 

К-3 «Перпендикулярность прямой и плоскости» (4 варианта, Ответы и Решения на все варианты)

К-3. Варианты 1-2 К-3. Варианты 3-4

 

К-4 «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости» (4 варианта, Ответы и Решения все варианты)

К-4. Варианты 1-2 К-4. Варианты 3-4

 

К-5 «Многогранники» (4 варианта, Ответы и Решения только на Вариант 1)

Контрольная работа № 5

 

К-6 «Обобщение и систематизация знаний учащихся» Итоговая работа за 10 класс (4 варианта, Ответы и Решения только на Вариант 1)

Итоговая контрольная работа

 

6 контрольных работ в соответствии с календарным планированием. Каждая работа содержит 4 варианта. Такой обширный материал поможет учителю организовать объективный и эффективный контроль знаний.
Адресовано учителям, работающим по учебнику «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень. 10 класс» (авт. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков; под ред. В. Е. Подольского)

Вы смотрели: Геометрия 10 класс Мерзляк Контрольные работы по геометрии в четырех вариантах УМК Мерзляк, Номировский, Поляков.

Смотрите также альтернативные варианты контрольных работ по геометрии для УМК Мерзляк в 10 классе: Цитаты из пособия «Дидактические материалы по геометрии. Базовый уровень» (два варианта).