Алгебра 9 Дорофеев К-1

Контрольная работа 1 по алгебре
9 класс (УМК Дорофеев).

Алгебра 9 Дорофеев К-1. Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Неравенства» с ОТВЕТАМИ. В учебных целях использованы цитаты из пособия «Алгебра. Контрольные работы 9 класс» (авт. Л.В. Кузнецова и др.), которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 9 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». При постоянном использовании контрольных необходимо купить указанное пособие.

В контрольной работе проверяются умения:

• сравнивать и упорядочивать действительные числа;
• использовать обозначения числовых множеств и символьную запись принадлежности числа числовому множеству;
• применять свойства числовых неравенств;
• решать неравенства с одной переменной, системы неравенств;
• использовать выражение «с точностью до…» для обозначения погрешности измерения и его символьные записи;
• доказывать неравенства;
• применять неравенства для решения математических задач.

Контрольная К-1. Вариант 1

№ 1. Сравните числа 0,143 и 1/7.
Решение:
1/7 = 0,142857… (периодическая дробь).
0,143 = 0,143000…
Сравниваем поразрядно:
0,142857… < 0,143000…
Ответ: 0,143 > 1/7.

№ 2. Приведите пример какого‑либо рационального числа с четырьмя знаками после запятой, удовлетворяющего неравенству 1/3 < х < 1/2.
Решение:
1/3 ≈ 0,3333, 1/2 = 0,5.
Нужно число между ними, например, 0,3750 (это 3/8).
Ответ: 0,3750.

№ 3. Запишите с помощью символов следующие утверждения:
–15 – целое число;
√2 не является рациональным числом;
0,4 – действительное число.
Решение:
–15 ∈ Z;
√2 ∉ Q;
0,4 ∈ R.

№ 4. Известно, что для некоторых чисел а и b верно неравенство а – 1 ≥ b – 1. Какие из следующих неравенств, связывающих эти числа, являются верными, какие – неверными: а ≥ b; 3a ≥ 3b; 1 – а ≥ 1 – b?
Решение:
► Из а – 1 ≥ b – 1 ⇒ а ≥ b (верно).
► Умножим обе части неравенства a ≥ b на 3: 3a ≥ 3b
Таким образом, из неравенства a ≥ b следует, что 3a ≥ 3b (верно).
► 1 – а ≥ 1 – b ⇒ –а ≥ –b ⇒ а ≤ b – противоречит а ≥ b, если а > b, а если а = b, то верно. Но в общем случае неверно.
Ответ: а ≥ b – верно; 3a ≥ 3b – верно; 1 – а ≥ 1 – b – неверно.

№ 5. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) 4 – 5х > 9;
б) 2х – 19 ≥ 1 – 2(4 + х).
Решение:
а) 4 – 5х > 9 ⇒ –5х > 5 ⇒ х < –1.
Ответ: х ∈ (–∞; –1).
б) 2х – 19 ≥ 1 – 8 – 2х ⇒ 2х – 19 ≥ –7 – 2х ⇒ 4х ≥ 12 ⇒ х ≥ 3.
Ответ: х ∈ [3; + ∞).

№ 6. Решите систему неравенств
{ 4х – 3 ≥ х,
{ 12 – 3x ≥ х – 8.
Решение:
Первое: 4х – х ≥ 3 ⇒ 3х ≥ 3 ⇒ х ≥ 1.
Второе: 12 + 8 ≥ х + 3х ⇒ 20 ≥ 4х ⇒ х ≤ 5.
Система: 1 ≤ х ≤ 5.
Ответ: [1; 5].

№ 7. В соответствии с техническими требованиями фабрики длина l рулона ткани должна быть равна 60 м с точностью до 0,05 м. Запишите эту информацию с помощью знака ± и двойного неравенства. Удовлетворяет ли этим требованиям рулон, длина которого 59,98 м?
Решение:
±: l = 60 ± 0,05 м.
Двойное неравенство: 59,95 ≤ l ≤ 60,05.
59,98 м лежит в этом промежутке.
Ответ: l = 60 ± 0,05 м; 59,95 ≤ l ≤ 60,05; да, удовлетворяет.

№ 8. Найдите наибольшее целое значение х, при котором верно неравенство (16 – 3x)/3 > (3x + 7)/4.
Решение:
Умножим на 12: 4(16 – 3x) > 3(3x + 7) ⇒ 64 – 12x > 9x + 21 ⇒ 64 – 21 > 21x ⇒ 43 > 21x ⇒ x < 43/21 ≈ 2,0476…
Наибольшее целое: 2.
Ответ: 2.

№ 9. Оцените площадь прямоугольника, стороны которого равны 2 см и √З см. Границы площади дайте с одним знаком после запятой (1,7 < √3 < 1,8).
Решение:
S = 2·√3.
1,7 < √3 < 1,8 ⇒ 3,4 < 2√3 < 3,6.
Ответ: 3,4 < S < 3,6 (см²).

№ 10. Докажите неравенство (а³ – b³)(а – b) ≥ 3ab(a – b)².
Решение:
(а³ – b³)(а – b) = (а – b)(а² + ab + b²)(а – b) = (а – b)²(а² + ab + b²).
Правая часть: 3ab(a – b)².
Сократим (a – b)² (оно ≥ 0, случай a = b даёт равенство).
Остаётся: а² + ab + b² ≥ 3ab ⇒ а² – 2ab + b² ≥ 0 ⇒ (a – b)² ≥ 0 – верно.
Значит, исходное неравенство верно. Доказано.

№ 11. * Определите, при каких значениях а выражение √[а + 2] + √[2a + 1] имеет смысл. Укажите три значения переменной а, при которых это выражение имеет смысл, и три значения, при которых оно не имеет смысла.
Решение:
Нужно: а + 2 ≥ 0 и 2а + 1 ≥ 0 ⇒ а ≥ –2 и а ≥ –0,5 ⇒ а ≥ –0,5.
Три значения, при которых имеет смысл: 0, 1, 10.
Три значения, при которых не имеет смысла: –1, –2, –10 (например, –1 не подходит, т.к. –1 < –0,5).
Ответ: а ≥ –0,5;
имеет смысл: 0, 1, 10;
не имеет смысла: –1, –2, –10.

 

Контрольная К-1. Вариант 2

№ 1. Сравните числа 5/9 и 0,551.
Решение:
5/9 = 5 : 9 = 0,5 ≈ 0,555…
Сравним: 0,555… и 0,551.
0,555… > 0,551.
Ответ: 5/9 > 0,551.

№ 2. Приведите пример какого–либо рационального числа с четырьмя знаками после запятой, удовлетворяющего неравенству 1/8 < x < 1/7.
Решение:
1/8 = 0,125 , 1/7 ≈ 0,142857…
Нужно число между ними с 4 знаками после запятой.
Например, 0,1300 — проверим: 0,125 < 0,1300 < 0,142857… — верно.
Ответ: 0,1300.

№ 3. Запишите с помощью символов следующие утверждения:
1) –103 не является натуральным числом;
2) √0,16 – рациональное число;
3) –5/16 – действительное число.
Решение:
1) ─103 ∉ N
2) √{0,16} ∈ Q (т.к. √{0,16} = 0,4)
3) ─ 5/16 ∈ R.

№ 4. Известно, что для некоторых чисел а и b верно неравенство 0,5a ≥ 0,5b. Какие из следующих неравенств, связывающих эти числа, являются верными, какие – неверными: 1) a ≤ b; 2) 1/3a + 1 ≥ 1/3b + 1; 3) a + 5 ≥ b + 5
Решение:
Из 0,5a ≥ 0,5b делим обе части на 0,5 > 0 , получаем a ≥ b.
► 1) a ≤ b — неверно, если a ≥ b и a ≠ b (если a = b , то верно, но в общем случае не обязательно равенство, поэтому утверждение «является верным» — нет, т.к. оно может быть ложным).
► 2) 1/3a + 1 ≥ 1/3b + 1 — вычтем 1: 1/3a ≥ 1/3b , умножим на 3: a ≥ b — верно.
► 3) a + 5 ≥ b + 5 — вычтем 5: a ≥ b — верно.
Ответ: 1) неверно; 2) верно; 3) верно.

№ 5. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) 7 – 2x ≥ 21
б) x – 4(x – 3) < 3 – 6x
Решение:
а) 7 – 2x ≥ 21
─2x ≥ 21 – 7
─2x ≥ 14
x ≤ ─7
б) x – 4(x – 3) < 3 – 6x
x – 4x + 12 < 3 – 6x
─3x + 12 < 3 – 6x
─3x + 6x < 3 – 12
3x < ─9
x < ─3
Ответ: а) x ≤ ─7; б) x < ─3.
(Рисунок на прямой: а) закрашенный кружок на –7 и стрелка влево; б) пустой кружок на –3 и стрелка влево.)

№ 6. Решите систему неравенств
{ 4x – 5 < 1,
{ x + 4 < 3x + 2.
Решение:
Первое: 4x – 5 < 1 → 4x < 6 → x < 1,5.
Второе: x + 4 < 3x + 2 → 4 – 2 < 3x – x → 2 < 2x → x > 1.
Система: 1 < x < 1,5.
Ответ: 1 < x < 1,5.

№ 7. В соответствии с техническими требованиями завода масса т краски в банке должна быть равна 5 кг с точностью до 0,03 кг. Запишите эту информацию с помощью знака ± и двойного неравенства. Удовлетворяет ли этим требованиям банка, масса краски в которой 4,9 кг?
Решение:
m = 5 ± 0,03 кг.
Двойное неравенство: 5 – 0,03 ≤ m ≤ 5 + 0,03 → 4,97 ≤ m ≤ 5,03.
Масса 4,9 кг: 4,9 < 4,97 → не удовлетворяет.
Ответ: 5 ± 0,03 кг, 4,97 ≤ m ≤ 5,03 , 4,9 кг — не удовлетворяет.

№ 8. Найдите наименьшее целое значение х, при котором верно неравенство 16 – 3x/3 + (3x + 7)/4 < 0.
Решение:
Приведём к общему знаменателю 12:
(4(16 – 3x) + 3(3x + 7))/12 < 0
(64 – 12x + 9x + 21)/12 < 0
85 – 3x/12 < 0
Домножим на 12 > 0: 85 – 3x < 0 → –3x < –85 → x > 85/3 → x > 28 1/3.
Наименьшее целое: x = 29.
Ответ: 29.

№ 9. Оцените площадь квадрата, сторона которого равна √5 см. Границы дайте с одним знаком после запятой (2,2 < √5 < 2,3).
Решение:
Площадь S = (√5)² = 5 см².
Но если использовать данные границы: 2,2 < √5 < 2,3 → (2,2)² < S < (2,3)² → 4,84 < S < 5,29.
С одним знаком после запятой: 4,8 < S < 5,3.
Ответ: 4,8 < S < 5,3 (см²).

№ 10. Докажите, что верно неравенство √37 + √35 < 12.
Решение:
Оценим: √36 = 6 , √37 < √49 = 7 , точнее √37 ≈ 6,08 , √35 ≈ 5,92.
Сумма ≈ 12,00, но надо строго доказать.
Возведём в квадрат предположение √37 + √35 < 12 :
37 + 35 + 2√{37 • 35} < 144
72 + 2√1295 < 144
2√1295 < 72
√1295 < 36
Проверим: 36² = 1296 , 1295 < 1296 — верно.
Так как все числа положительны, из √1295 < 36 следует обратно √37 + √35 < 12. Доказано.

№ 11. * Определите, при каких значениях а система неравенств
{ 4x + a < 0,
{ 7 – 2x > 0
имеет решение и при каких значениях не имеет решения.
Решим каждое:
1) 4x + a < 0 → x < ─ a/4.
2) 7 – 2x > 0 → –2x > –7 → x < 3,5.
Система: x < ─ a/4 и x < 3,5.
Решение системы — x < min(─a/4, 3,5).
Всегда есть хотя бы одно x , меньшее обоих чисел, если оба неравенства вида x < что─то. Проверим: пусть ─ a/4 = 2 , тогда x < 2 и x < 3,5 → x < 2 , решение есть. Пусть ─ a/4 = 4 , тогда x < 4 и x < 3,5 → x < 3,5 , решение есть.Так как оба неравенства на x ограничивают сверху, пересечение всегда непусто (можно взять x = min(3,4, ─ a/4) ─ 1).Значит, при любом a система имеет решение.
Ответ: имеет решение при любом a.

 

Контрольная К-1. Варианты 3-4

 

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 9 класс (УМК Дорофеев)

---

Алгебра 9 Дорофеев К-1. Контрольная работа по алгебре «Неравенства» в 9 классе с ответами. Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра. Контрольные работы» (авт. Л.В. Кузнецова и др.) использованы в учебных целях.