Геометрия 8 Контрольная 2 (Мерзляк)

Геометрия 8 Контрольная 2 (Мерзляк) с ответами. Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Решения на 1-й и 2-й варианты.

Геометрия 8 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2

Тема: Средняя линия треугольника. Трапеция.
Вписанные и описанные четырёхугольники

К-2 Вариант 1 (задания)

К-2 Вариант 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

К-2 Вариант 3 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

К-2 Вариант 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Ответы на контрольную работу № 2

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Точки M и K – середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно. Найдите периметр треугольника AMK, если AB = 12 см, BC = 8 см, AC = 14 см.
ОТВЕТ: Р_АМК = 6 + 7 + 4 = 17 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. Найдите основания трапеции.

Решение: Пусть в трапеции ABCD меньшее основание ВС будет х см, тогда большее основание AD = x+6 см. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Составим уравнение: (х+х+6)/2=9
х+х+6=18
х+х=12 => х=6 (см) — меньшее основание,
6+6=12 (см) — большее основание.
ОТВЕТ: 6 см, 12 см.

№ 3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 9 см и 16 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?

Решение: Пусть дан четырёхугольник ABCD, у которого две противолежащие стороны АВ = 9 см и CD = 16 см. Из условия задачи известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. По свойству сторон описанного четырёхугольника АВ + CD = ВС + DА, тогда ВС + DА = 9 см + 16 см = 25 см.
Периметр четырехугольника равен сумме длин его сторон, то есть: Р_АBCD = АВ + CD + ВС + DА = 9 см + 16 см + 25 см = 50 см.
ОТВЕТ: периметр четырёхугольника = 50 см.

№ 4. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона – 6 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам.

Решение: Построим равнобокую трапецию ABCD, основание будет AD (10 см), а боковая сторона AB будет равна стороне CD (обе по 6 см). Тогда:
∠ADB = ∠CBD — как накрест лежащие
∠ADB = ∠BDA, значит ∠CBD = ∠BDC => ∆BDC — равнобедренный и BC = CD = 6 см.
Р_АBCD = 6см + 6см + 6см + 10см = 28см.
ОТВЕТ: периметр трапеции = 28 см.

№ 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 36°, ∠ABD = 48°, ∠BAC = 85°.

Решение:

1) △ABC: ∠B = 180° – ∠BAC — ∠ACB = 180° – 85° – 36° = 59°.
2) Вписанные углы окружности, опирающиеся на одну дугу окружности равны. Следовательно:
∠ABD = ∠ACD = 48°; ∠ACB = ∠ADB = 36°; ∠BAC = ∠BDC = 85°.
3) ∠С = ∠ACB + ∠ACD = 36° + 48° = 84°.
4) У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов = 180°. Следовательно,
∠D = 180° – ∠B = 180° – 59° = 121°.
∠A = 180° – ∠C = 180° – 84° = 96°.
ОТВЕТ: ∠B = 59°, ∠D = 121°, ∠A = 96°, ∠C = 84°.

№ 6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр – 30 см. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение: Так как диагонали трапеции ABCD пересекаются под прямым углом — трапеция симметрична и высота KL делит этот прямой угол ровно пополам.

Поэтому: ∠KOC = ∠OCK = 45°, значит треугольник ОКС — равносторонний, значит |ВК| = |КС| = |КО|.
Аналогично, |AL| = |LD| = |OL|.
|BC| = 2 * |KO|, |AD| = 2 * |OL|.
Сумма длин оснований :
|AD| + |BC| = 2 * |KO| + 2 * |OL| = 2(|KO| + |OL|) = 2 * 7 = 14 (см).
Тогда, |AB| + |CD| = 30 — 14 = 16 (см).
|AB| = |CD| = 16 / 2 = 8 (см).
ОТВЕТ: 8 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Точки F и E – середины сторон BC и BA треугольника ABC соответственно. Найдите периметр треугольника ABC, если BE = 10 см, BF = 16 см, EF = 14 см.
ОТВЕТ: Р_АВС = 80 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Точки F и E – середины сторон BC и BA треугольника ABC. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией,  равен половине третьей стороны и параллелен ей.
АЕ = ВЕ = 10  =>  АВ = 10 • 2 = 20 (см)
CF = BF  =>  ВС = 16 • 2 = 32 (см)
АС = EF • 2 = 14 • 2 = 28 (см).
Периметр треугольника – сумма длин его сторон.
Р_АВС = 20 + 32 + 28 = 80 (см).

№ 2. Одно из оснований трапеции в 2 раза больше другого, а её средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.
ОТВЕТ: 4 см, 8 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Примем меньшее основание трапеции равным а, тогда большее – 2а. Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
6 = (а + 2а) : 2
а + 2а = 12  =>  3а = 12
а = 12 : 3 = 4 (см)
Меньшее основание трапеции = 4 см, а большее 4 • 2 = 8 см.

№ 3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 10 см и 14 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?
Решение: Чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, суммы противоположных сторон должны быть равны между собой. Так как сумма двух противоположных сторон равна 10 см + 14 см = 24 см, то сумма двух других противоположных сторон также равна 24 см. Тогда периметр, сумма четырёх сторон: P = 24 + 24 = 48 (см).
ОТВЕТ: 48 см.

№ 4. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 4 см, а её боковая сторона – 5 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол трапеции пополам.
Решение: ABCD — трапеция, AB = CD = 5 (см), BC = 4 (см), ∠BCA = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие, при BC||AD и секущей AC  =>  ∠CAD = ∠ACD, следовательно  треугольник CDA равнобедренный, AD = CD = 5 (см).
P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 5 + 4 + 5 + 5 = 19 (см).
ОТВЕТ: 19 см.

№ 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 62°, ∠ACD = 54°, ∠CBD = 27°.
ОТВЕТ: ∠B = 81°, ∠D = 99°, ∠A = 64°, ∠C = 116°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Дуга СD = 2 * ∠СBD = 2 * 27 = 54°
Дуга AD = 2 * ∠ACD = 2 * 54 = 108°
Дуга AB = 2 * ∠ADB = 2 * 62 = 124°
Дуга BC = 360 — (54 + 108 + 124) = 74°
∠АВС опирается на дугу ADC.
Дуга АDС = дуга АD + дуга СD = 108 + 54 = 162°
∠АВС = 162/2 = 81°.
∠ВСD опирается на дугу ВAD.
Дуга ВАD = дуга АВ + дуга АD = 124 + 108 = 232°
∠ВСD = 232/2 = 116°.
∠АDС опирается на дугу АВС.
Дуга АВС = дуга АВ + дуга ВС = 124 + 74 = 198°
∠АDС = 198/2 = 99°.
Сумма углов четырехугольника = 360°, отсюда:
∠DАВ = 360 — (81 + 116 + 99) = 64°.

№ 6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её боковая сторона равна 12 см, а периметр – 42 см. Найдите высоту трапеции.
Решение: В трапеции ABCD AD = CD = 12 (см), P = 42 (см)
BC + AD = 42 – 12*2 = 18 (см)
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то её высота равна средней линии.
BH = (BC+AD)/2 = 18/2 = 9 (см)
ОТВЕТ: 9 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Точки A и B – середины сторон MN и MK треугольника MNK соответственно. Найдите периметр треугольника AMB, если MN = 14 см, MK = 12 см, NK = 20 см.
ОТВЕТ: Р_АМВ = 7 + 6 + 10 = 23 см.

№ 2. Одно из оснований трапеции на 10 см меньше другого, а её средняя линия равна 13 см. Найдите основания трапеции.
ОТВЕТ: 8 см, 18 см.

№ 3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 7 см и 13 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?
ОТВЕТ: 40 см.

№ 4. Найдите периметр равнобокой трапеции, если её основания равны 9 см и 14 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам.
ОТВЕТ: 41 см.

№ 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ABD = 34°, ∠BDC = 73°, ∠CAD = 24°.
ОТВЕТ: ∠B = 58°, ∠D = 122°, ∠A = 97°, ∠C = 83°.

№ 6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 12 см, а боковая сторона – 15 см. Найдите периметр трапеции.
ОТВЕТ: 54 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Точки C и D – середины сторон FA и FN треугольника FAN соответственно. Найдите периметр треугольника FAN, если FC = 20 см, FD = 22 см, CD = 10 см.
ОТВЕТ: P_FAN = 40 + 44 + 20 = 104 см.

№ 2. Одно из оснований трапеции в 3 раза меньше другого, а её средняя линия равна 18 см. Найдите основания трапеции.
ОТВЕТ: 9 см, 27 см.

№ 3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 11 см и 19 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?
ОТВЕТ: 60 см.

№ 4. Найдите периметр равнобокой трапеции, если её основания равны 12 см и 18 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам.
ОТВЕТ: 66 см.

№ 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 58°, ∠ABD = 16°, ∠BAC = 44°.
ОТВЕТ: ∠B = 78°, ∠D = 102°, ∠A = 106°, ∠C = 74°.

№ 6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её периметр равен 50 см, а боковая сторона – 14 см. Найдите высоту трапеции.
ОТВЕТ: 11 см.

Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 2 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир из 4-х вариантов.

Смотреть аналогичную контрольную № 2 с решениями (2 варианта)

Вернуться к Списку контрольных работ из Методички (по 4 варианта)

Цитаты из пособия «Геометрия 8 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.