Ответы на вопросы и задачи №№ 205 — 209 из учебника по вероятности и статистике 7-9 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 8 Задачи 205-209.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и Статистика 8 класс
ОТВЕТЫ на вопросы и задачи § 33.
Задача № 205 (стр. 128)
Задача 205. Изобразите на диаграмме Эйлера множества $X$ и $Y$, для которых выполняются соотношения:
а) $X \cap Y = X$.
Вспомним, что $X \cap Y$ — это элементы, общие для $X$ и $Y$.
Если $X \cap Y = X$, значит, все элементы $X$ лежат в $Y$.
Это означает, что $X \subset Y$.
На диаграмме Эйлера нужно изобразить круг $X$ целиком внутри круга $Y$.
б) $X \cup Y = X$.
$X \cup Y$ — все элементы, которые есть в $X$ или в $Y$ (или в обоих).
Если объединение равно $X$, значит, все элементы $Y$ уже содержатся в $X$.
То есть $Y \subset X$.
На диаграмме круг $Y$ нужно изобразить целиком внутри круга $X$.
в) $X \cap Y = \varnothing$.
Пересечение пусто — значит, у множеств $X$ и $Y$ нет общих элементов.
На диаграмме круги $X$ и $Y$ не должны пересекаться (не имеют общей области).
Задача № 206 (стр. 128)
Задача 206. Перерисуйте в тетрадь диаграмму Эйлера (рис. 54) и укажите на ней множество: а) $A \cup (B \cap C)$; б) $A \cap (B \cup C)$.
а) $A \cup (B \cap C)$.
Сначала найдём $B \cap C$ — это область пересечения кругов $B$ и $C$.
Затем объединим её с $A$ — то есть возьмём весь круг $A$ и добавим к нему пересечение $B$ и $C$.
На диаграмме нужно заштриховать: весь круг $A$ плюс ту часть, где $B$ и $C$ пересекаются (даже если она вне $A$).
б) $A \cap (B \cup C)$.
Найдём $B \cup C$ — это вся область внутри $B$ или внутри $C$ (вместе).
Теперь найдём пересечение этого объединения с $A$: то есть те части $A$, которые попадают в $B$ или в $C$.
На диаграмме заштрихуем: часть $A$, которая пересекается с $B$, и часть $A$, которая пересекается с $C$ (включая пересечение всех трёх, если есть).
Задача № 207 (стр. 128)
Задача 207. Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство: а) $A \cup (B \cap A) = B$; б) $A \cap (B \cup A) = A$.
а) $A \cup (B \cap A) = B$.
Заметим, что $B \cap A$ — это часть $B$, которая лежит в $A$.
Тогда $A \cup (B \cap A)$ — это просто $A$ (потому что $B \cap A \subset A$, и объединение с подмножеством ничего не добавляет).
Получается: $A \cup (B \cap A) = A$.
Равенство $A = B$ не обязано выполняться. Например, если $A$ и $B$ разные, равенство неверно.
Вывод: утверждение неверно.
б) $A \cap (B \cup A) = A$.
$B \cup A$ — все элементы из $A$ и из $B$.
Пересекаем это с $A$: берём только те элементы, которые одновременно в $A$ и в $(B \cup A)$.
Поскольку $A \subset (B \cup A)$, пересечение $A \cap (B \cup A)$ равно $A$.
Вывод: утверждение верно.
Задача № 208 (стр. 128)
Задача 208. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?
РЕШЕНИЕ. Пусть $M$ — число математиков, $F$ — число философов.
«Среди математиков каждый седьмой — философ» означает, что число людей, которые и математики, и философы, равно $\frac{M}{7}$.
«Среди философов каждый девятый — математик» означает, что это же пересечение равно $\frac{F}{9}$.
Приравниваем: $\frac{M}{7} = \frac{F}{9}$.
Выразим $M$: $M = \frac{7}{9}F$.
Так как $\frac{7}{9} < 1$, то $M < F$.
Вывод: философов больше.
Задача № 209 (стр. 128)
Задача 209. Двенадцать малышей вышли во двор играть в песочнице. Каждый, кто принёс ведёрко, принёс и совочек. Забыли дома ведёрко девять малышей, совочек забыли двое. На сколько меньше тех, кто принёс ведёрко, чем тех, кто забыл дома ведёрко, но принёс совочек?
РЕШЕНИЕ. Всего малышей: 12. Забыли ведёрко: 9 малышей. Значит, принесли ведёрко: $12 \mathbin{-} 9 = 3$ малыша.
По условию: если принёс ведёрко — то обязательно принёс и совочек. Значит, эти 3 малыша принесли и ведёрко, и совочек.
Забыли совочек: 2 малыша. Значит, совочек принесли: $12 \mathbin{-} 2 = 10$ малышей.
Из 10 малышей, принёсших совочек, 3 — это те, кто принёс и ведёрко. Значит, тех, кто принёс только совочек (забыл ведёрко, но совочек взял): $10 \mathbin{-} 3 = 7$ малышей.
Нужно сравнить: «кто принёс ведёрко» (их 3) и «кто забыл ведёрко, но принёс совочек» (их 7).
Разница: $7 \mathbin{-} 3 = 4$.
Ответ: тех, кто принёс ведёрко, на 4 меньше.
Короткий ответ: на 4.
Вы смотрели: Ответы на вопросы и задачи из учебника по вероятности и статистике 7-9 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 8 Задачи 205-209.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
