Ответы на вопросы и задачи №№ 194 — 196 из учебника по вероятности и статистике 7-9 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 8 Задачи 194-196.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и Статистика 8 класс
ОТВЕТЫ на вопросы и задачи § 32.
Вопросы (страница 124)
❓ Вопрос 1. Какие способы задания множеств вам известны? Приведите примеры.
РЕШЕНИЕ. Перечислим основные способы задания множеств.
• Перечисление элементов — множество задаётся прямым указанием всех его элементов в фигурных скобках.
Пример: $A = \{1, 2, 3\}$ — множество, состоящее из чисел 1, 2 и 3.
• Описание характеристического свойства — множество определяется через условие, которому удовлетворяют все его элементы.
Пример: $B = \{x \mid x \text{ — натуральное число и } x < 5\}$ — это то же самое, что $B = \{1, 2, 3, 4\}$.
• Рекурсивное задание — элементы множества определяются через базовые элементы и правила построения новых элементов из уже имеющихся.
Пример: множество натуральных чисел можно задать так: $1$ принадлежит множеству; если $n$ принадлежит множеству, то и $n+1$ тоже принадлежит.
• Задание с помощью операций над множествами — множество строится из других множеств с использованием операций (объединение, пересечение, разность и др.).
Пример: $C = A \cup B$ — множество $C$ состоит из всех элементов, принадлежащих $A$ или $B$.
Убедимся, что примеры соответствуют способам.
Каждый пример демонстрирует конкретный способ и позволяет однозначно определить элементы множества.
❓ Вопрос 2. Пусть $O$ — множество нечётных, а $E$ — множество чётных натуральных чисел. Известно, что $X \subset O$ и $X \subset E$. Что можно сказать о множестве $X$?
РЕШЕНИЕ. Проанализируем условие.
$X \subset O$ означает, что каждый элемент $X$ — нечётное натуральное число.
$X \subset E$ означает, что каждый элемент $X$ — чётное натуральное число.
Рассмотрим пересечение множеств $O$ и $E$.
Не существует натурального числа, которое одновременно является и чётным, и нечётным. Следовательно, $O \cap E = \varnothing$ (пустое множество).
Сделаем вывод о множестве $X$.
Если $X$ содержится одновременно в $O$ и в $E$, то $X$ должно содержаться в их пересечении: $X \subset (O \cap E)$.
Поскольку $O \cap E = \varnothing$, то $X \subset \varnothing$.
Единственное подмножество пустого множества — это само пустое множество.
Итоговый ответ. Множество $X$ — пустое: $X = \varnothing$.
❓ Вопрос 3. Известно, что $B \subset A$. Верно ли, что в множестве $B$ меньше элементов, чем в множестве $A$?
РЕШЕНИЕ. Вспомним определение подмножества.
$B \subset A$ означает, что каждый элемент $B$ является элементом $A$. При этом $B$ может совпадать с $A$ (если это нестрогое подмножество) или быть его частью.
Рассмотрим случай, когда $B = A$.
Если $B$ и $A$ — одно и то же множество, то количество элементов в них одинаково. Например, $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{1, 2, 3\}$: здесь $B \subset A$, но $|B| = |A|$.
Рассмотрим случай, когда $B$ — собственное подмножество $A$.
Если $B \subsetneq A$ (строгое подмножество), то в $B$ действительно меньше элементов, чем в $A$. Например, $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{1, 2\}$: здесь $|B| < |A|$.
Учтём бесконечные множества.
Для бесконечных множеств понятие «меньше элементов» требует осторожности. Например, множество чётных чисел — подмножество натуральных чисел, но их мощности равны (оба счётны).
Сформулируем итоговый ответ. Утверждение «в множестве $B$ меньше элементов, чем в множестве $A$» не всегда верно. Оно верно только если $B$ — собственное подмножество $A$ и множества конечны. В общем случае (включая бесконечные множества или случай $B = A$) это неверно.
Задача № 194 (стр. 124)
Задача 194. Перечислите все элементы множества:
а) различных остатков при делении на 5;
Вспомним, какие остатки возможны при делении целого числа на 5.
При делении на 5 остаток всегда — целое число от 0 до 4 включительно.
Перечислим все возможные различные остатки.
Это числа: 0, 1, 2, 3, 4.
Запишем итоговое множество.
Множество остатков: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
б) простых чисел, которые больше 10 и меньше 20;
Выпишем все целые числа в диапазоне от 11 до 19.
Это: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
Определим, какие из них являются простыми (делятся только на 1 и на себя).
• 11 — простое;
• 12 — составное (делится на 2, 3 и др.);
• 13 — простое;
• 14 — составное (делится на 2, 7);
• 15 — составное (делится на 3, 5);
• 16 — составное (делится на 2, 4, 8);
• 17 — простое;
• 18 — составное (делится на 2, 3, 6, 9);
• 19 — простое.
Соберём простые числа в множество.
Множество простых чисел: $\{11, 13, 17, 19\}$.
в) названий месяцев, заканчивающихся на «ябрь».
Перечислим все месяцы года.
Январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.
Выберем те, которые заканчиваются на «ябрь».
Это: сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.
Запишем итоговое множество.
Множество месяцев: $\{\text{сентябрь}, \text{октябрь}, \text{ноябрь}, \text{декабрь}\}$.
Задача № 195 (стр. 124)
Задача 195. Какие из следующих множеств пустые?
а) Множество $\{0\}$.
Проанализируем состав множества.
Множество $\{0\}$ содержит один элемент — число 0.
Сделаем вывод.
Множество не является пустым, так как содержит элемент.
б) Множество простых чисел, которые делятся на 10.
Вспомним определение простого числа.
Простое число имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.
Рассмотрим условие делимости на 10.
Если число делится на 10, то оно делится и на 2, и на 5. Значит, у него как минимум три делителя: 1, 2, 5 (и само число, если оно больше 10).
Проверим, может ли такое число быть простым.
Нет, так как у простого числа не может быть более двух делителей.
Сделаем вывод.
Таких простых чисел не существует, значит, множество пустое.
в) Множество квадратов, имеющих острый угол.
Вспомним свойства квадрата.
У квадрата все углы прямые (равны $90^\circ$).
Определим, может ли у квадрата быть острый угол.
Нет, по определению квадрата.
Сделаем вывод.
Таких квадратов не существует, значит, множество пустое.
Запишем итоговый ответ. Пустые множества: б) и в).
Задача № 196 (стр. 124)
Задача 196. Пусть множество $C$ состоит из результатов броска монеты. Его элементы — орёл и решка: $C = \{О, Р\}$. Выпишите все подмножества множества $C$.
Вспомним, что подмножество — это любое множество, все элементы которого принадлежат исходному множеству.
Включая пустое множество и само множество.
Перечислим подмножества по количеству элементов.
• Подмножества из 0 элементов: $\varnothing$ (пустое множество).
• Подмножества из 1 элемента: $\{О\}$, $\{Р\}$.
• Подмножество из 2 элементов: $\{О, Р\}$ (само множество $C$).
Проверим количество подмножеств.
Для множества из $n$ элементов число подмножеств равно $2^n$. Здесь $n = 2$, значит, должно быть $2^2 = 4$ подмножества. Мы перечислили ровно 4.
Запишем итоговый ответ.
Все подмножества множества $C$: $\varnothing$, $\{О\}$, $\{Р\}$, $\{О, Р\}$.
Вы смотрели: Ответы на вопросы и задачи из учебника по вероятности и статистике 7-9 класс УМК п/р Ященко Базовый уровень. Код материалов: Вероятность и Статистика 8 Задачи 194-196.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
