Контрольная работа по алгебре 10 класс «Производная. Уравнение касательной» с ответами варианты 1, 2 для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (угл. уровень). Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 в12 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 8 (угл.) Варианты 1-2
Тема: Производная. Уравнение касательной
К-8. Вариант 1
№ 1. Найдите производную функции:
1) f(x) = 7x6 – x4/4 + 5x2 – 6; 2) f(x) = (3x + 1)√x;
3) f(x) = (x2 +1)/x; 4) f(x) = sin3 (5x).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 2x в точке с абсциссой x0 = 3.
ОТВЕТ: у = 4х – 9.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 2t2 – 3t + 1 (перемещение s измеряется в метрах, время t — в секундах). Найдите скорость её движения в момент времени t0 = 3 с.
ОТВЕТ: 9 м/с.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Найдите производную данной функции y = x|x – 3| в точках х = 1 и х = 4.
ОТВЕТ: y′(1) = 1; y′(4) = 5.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = x2 – x√3, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 30°.
ОТВЕТ: 2√3 / 3.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x – 8, если эта касательная параллельна прямой y = 5x + 1.
ОТВЕТ: y = 5x − 9.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 7. В какой точке графика функции y = x2 – 4x + 6 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (3/2; 0)?
ОТВЕТ: (0; 6) или (3; 3).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Варианты 3-4 смотрите тут:
КР № 8. Варианты 3-4
К-8. Вариант 2 (задания)
№ 1. Найдите производную функции:
1) f(x) = 8x⁵ – x³/3 + 3x² + 4; 2) f(x) = (3 – 4x)√x;
3) f(x) = (x² – 2)/x; 4) f(x) = cos⁴2x.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► 1) f(x) = 8x⁵ – x³/3 + 3x² + 4
Решение: Используем правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, производная `xⁿ = n·xⁿ⁻¹`, производная константы равна 0.
* f(x) = (8x⁵)’ – (x³/3)’ + (3x²)’ + 4′
* f(x) = 8·5x⁴ – (1/3)·3x² + 3·2x + 0
* f(x) = 40x⁴ – x² + 6x
✅ Ответ: f(x) = 40x⁴ – x² + 6x
► 2) f(x) = (3 – 4x)√x
Решение. Представим √x как x^(1/2). Раскроем скобки, чтобы не использовать правило произведения:
* f(x) = 3x^(1/2) – 4x·x^(1/2) = 3x^(1/2) – 4x^(3/2)
Теперь дифференцируем:
* f(x) = 3·(1/2)x^(–1/2) – 4·(3/2)x^(1/2)
* f(x) = (3/2)x^(–1/2) – 6x^(1/2)
Переведем обратно в корни:
* f(x) = 3/(2√x) – 6√x
✅ Ответ: f(x) = 3/(2√x) – 6√x
► 3) f(x) = (x² – 2)/x
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель:
* f(x) = x²/x – 2/x = x – 2x⁻¹
Теперь дифференцируем:
* f(x) = 1 – 2·(–1)x⁻² = 1 + 2/x²
✅ Ответ: f(x) = 1 + 2/x²
► 4) f(x) = cos⁴2x
Решение: Это сложная функция. Внешняя функция — четвёртая степень, внутренняя — косинус, самая внутренняя — 2x. Используем правило цепочки (производная сложной функции):
* f(x) = 4·cos³2x · (cos(2x))’
* (cos(2x))’ = –sin(2x) · 2x’ = –2sin(2x)
Подставляем:
* f(x) = 4·cos³2x · (–2sin(2x))
* f(x) = –8·cos³2x·sin(2x)
✅ Ответ: f(x) = –8·cos³2x·sin(2x).
№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 3x в точке с абсциссой x₀ = 4.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Уравнение касательной в общем виде: `y = f(x₀) + f(x₀)(x – x₀)`1. Найдем значение функции в точке x₀ = 4:
f(4) = 4² – 3·4 = 16 – 12 = 4
2. Найдем производную функции:
f(x) = 2x – 3
3. Найдем значение производной в точке x₀ = 4:
f(4) = 2·4 – 3 = 8 – 3 = 5
4. Подставим все в уравнение касательной:
y = 4 + 5(x – 4)
y = 4 + 5x – 20
y = 5x – 16
✅ Ответ: y = 5x – 16.
№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 3t² – 2t + 4. Найдите скорость её движения в момент времени t₀ = 2 с.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Физический смысл производной: скорость — это производная перемещения по времени.1. Находим закон скорости как производную от s(t):
v(t) = s(t) = (3t²)’ – 2t’ + 4′ = 6t – 2
2. Подставляем t₀ = 2:
v(2) = 6·2 – 2 = 12 – 2 = 10 (м/с)
Проверка (для понимания):
Если бы мы искали ускорение, то взяли бы производную от скорости. В данном случае проверкой может служить подстановка другого момента времени для оценки адекватности: при t = 1 скорость v = 4 м/с, при t = 2 скорость v = 10 м/с — тело разгоняется, что логично для квадратичного закона с положительным коэффициентом.
✅ Ответ: 10 м/с.
№ 4. Найдите производную данной функции y = (x ─ 1)|x + 2| в точках x = ─3 и x = 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Функция содержит модуль, поэтому раскрываем его в зависимости от значения x :─ Если x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ ─2, то |x + 2| = x + 2.
─ Если x + 2 < 0, то есть x < ─2, то |x + 2| = ─(x + 2).
Тогда функция принимает вид:
y =
─(x─1)(x + 2), x < ─2
(x─1)(x + 2), x ≥ ─2
Раскроем скобки:
─ При x < ─2 : y = ─(x² + 2x ─ x ─ 2) = ─(x² + x ─ 2) = ─x² ─ x + 2.
─ При x ≥ ─2 : y = x² + x ─ 2.
Теперь находим производную для каждого случая:
─ Для x < ─2 : y’ = ─2x ─ 1.
─ Для x ≥ ─2 : y’ = 2x + 1.
Проверяем точки:
1. x = ─3 (это < ─2): y(─3) = ─2(─3) ─ 1 = 6 ─ 1 = 5.
2. x = 2 (это ≥ ─2): y(2) = 2 • 2 + 1 = 4 + 1 = 5.
✅ Ответ: y(─3) = 5, y(2) = 5.
№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = x² + 4x√3, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 60°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Угол наклона касательной к оси OX связан с производной: tan α = f(x). По условию α = 60°, значит tan 60° = √3.Находим производную:
f(x) = 2x + 4√3.
Приравниваем к √3 :
2x + 4√3 = √3.
2x = √3 ─ 4√3 = ─3√3.
x = ─ 3√3/2.
✅ Ответ: x = ─ 3√3/2.
№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² ─ 4x + 6, если эта касательная параллельна прямой y = 2x ─ 8.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Касательная параллельна прямой y = 2x ─ 8, значит их угловые коэффициенты равны: k = 2. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: f(x) = 2x ─ 4.Приравниваем:
2x ─ 4 = 2 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3.
Находим значение функции в этой точке:
f(3) = 3² ─ 4 • 3 + 6 = 9 ─ 12 + 6 = 3.
Уравнение касательной в точке x₀ = 3 :
y = f(x₀)(x ─ x₀) + f(x₀) = 2(x ─ 3) + 3.
y = 2x ─ 6 + 3 = 2x ─ 3.
✅ Ответ: y = 2x ─ 3.
№ 7. В какой точке графика функции y = x² ─ 6x + 12 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (2; 0) ?
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Пусть точка касания имеет абсциссу x₀. Тогда:y(x₀) = x₀² ─ 6x₀ + 12.
Производная: y(x) = 2x ─ 6, следовательно y(x₀) = 2x₀ ─ 6.
Уравнение касательной в точке x₀ :
y = (2x₀ ─ 6)(x ─ x₀) + (x₀² ─ 6x₀ + 12).
Касательная проходит через точку (2; 0), подставляем:
0 = (2x₀ ─ 6)(2 ─ x₀) + (x₀² ─ 6x₀ + 12).
Раскрываем скобки:
0 = (2x₀ ─ 6)(2 ─ x₀) + x₀² ─ 6x₀ + 12.
0 = 4x₀ ─ 2x₀² ─ 12 + 6x₀ + x₀² ─ 6x₀ + 12.
Приводим подобные:
0 = (4x₀ + 6x₀ ─ 6x₀) + (─2x₀² + x₀²) + (─12 + 12).
0 = 4x₀ ─ x₀².
x₀² ─ 4x₀ = 0 ⇒ x₀(x₀ ─ 4) = 0.
Получаем x₀ = 0 или x₀ = 4.
Находим координаты точек:
1. x₀ = 0 : y = 0² ─ 0 + 12 = 12 → точка (0; 12).
2. x₀ = 4 : y = 16 ─ 24 + 12 = 4 → точка (4; 4).
Проверка:
─ Для точки (0; 12) : касательная y = (2•0 ─ 6)(x ─ 0) + 12 = ─6x + 12. Подставляем x = 2 : y = ─12 + 12 = 0 — верно.
─ Для точки (4; 4) : касательная y = (2•4 ─ 6)(x ─ 4) + 4 = 2(x ─ 4) + 4 = 2x ─ 4. Подставляем x = 2 : y = 4 ─ 4 = 0 — верно.
✅ Ответ: (0; 12) и (4; 4).
Варианты 3-4 смотрите тут:
КР № 8. Варианты 3-4
Вы смотрели: Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 в12 углубленный уровень. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Производная. Уравнение касательной» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Здравствуйте, когда появятся решения на остальные варианты этой контрольной?
Добавили решения ко всем вариантам.