Контрольная работа по алгебре 10 класс «Производная. Уравнение касательной» с ответами Варианты 3, 4 для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 в34 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная № 8 (угл.) Варианты 3, 4
Тема: Производная. Уравнение касательной
СОДЕРЖАНИЕ (быстрый переход)
Скрыть
К-8. Вариант 3
№ 1. Найдите производную функции:
1) f(x) = 6x⁴ – x²/2 – 7x + 10; 2) f(x) = (5x – 1)√x;
3) f(x) = (x² + 3)/x; 4) f(x) = tg⁵ 3x.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► 1) f(x) = 6x⁴ – x²/2 – 7x + 10
Решение: Используем правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, производная xⁿ равна n*xⁿ⁻¹, производная константы равна 0.
* Производная от 6x⁴: 6 * 4 * x³ = 24x³
* Производная от –x²/2 (или –1/2 * x²): –1/2 * 2 * x = –x
* Производная от –7x: –7
* Производная от 10: 0
Складываем: f(x) = 24x³ – x – 7
✅ Ответ: f(x) = 24x³ – x – 7
► 2) f(x) = (5x – 1)√x
Решение: Сначала упростим функцию, представив √x как x^(1/2) и раскрыв скобки:
f(x) = 5x * x^(1/2) – 1 * x^(1/2) = 5x^(3/2) – x^(1/2)
Теперь находим производную:
* Производная от 5x^(3/2): 5 * (3/2) * x^(1/2) = (15/2)√x
* Производная от –x^(1/2): –(1/2) * x^(–1/2) = –1/(2√x)
Складываем:
f(x) = (15/2)√x – 1/(2√x)
Можно привести к общему знаменателю 2√x:
f(x) = (15x – 1) / (2√x)
✅ Ответ: f(x) = (15/2)√x – 1/(2√x) или f(x) = (15x – 1)/(2√x)
► 3) f(x) = (x² + 3)/x
Решение: Упростим, разделив почленно числитель на знаменатель:
f(x) = x²/x + 3/x = x + 3x⁻¹
Находим производную:
* Производная от x: 1
* Производная от 3x⁻¹: 3 * (–1) * x⁻² = –3/x²
Складываем:
f(x) = 1 – 3/x²
✅ Ответ: f(x) = 1 – 3/x²
► 4) f(x) = tg⁵ 3x
Решение: Это сложная функция. Внешняя функция — u⁵, где u = tg(3x). Внутренняя функция — tg(3x), где v = 3x.
Используем правило цепочки: f(x) = 5 * (tg(3x))⁴ * (производная от tg(3x)).
Производная от tg(3x) равна 1/cos²3x * 3 = 3/cos²3x.
Подставляем:
f(x) = 5 * tg⁴3x * (3 / cos²3x) = 15 * tg⁴3x / cos²3x
✅ Ответ: f(x) = 15 * tg⁴3x / cos²3x.
№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 4x в точке с абсциссой x₀ = 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Уравнение касательной в общем виде: y = f(x₀) + f(x₀)(x – x₀).1. Находим значение функции в точке x₀ = 2:
f(2) = 2² + 4*2 = 4 + 8 = 12
2. Находим производную функции:
f(x) = 2x + 4
3. Находим значение производной в точке x₀ = 2 (это угловой коэффициент касательной):
f(2) = 2*2 + 4 = 4 + 4 = 8
4. Подставляем всё в уравнение касательной:
y = 12 + 8(x – 2)
y = 12 + 8x – 16
y = 8x – 4
✅ Ответ: Уравнение касательной: y = 8x – 4.
№ 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = t² + 3t – 1. Найдите скорость её движения в момент времени t₀ = 5 с.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Физический смысл производной: скорость — это производная от перемещения по времени.v(t) = s(t)
1. Находим производную закона движения:
s(t) = 2t + 3
2. Находим скорость в момент времени t₀ = 5:
v(5) = 2*5 + 3 = 10 + 3 = 13
Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).
Проверка (необязательно, но для понимания):
Если бы мы искали перемещение за первую секунду после момента t = 5, то s(6) – s(5) = (36 + 18 ─ 1) – (25 + 15 ─ 1) = 53 – 39 = 14. Средняя скорость на этом отрезке 14 м/с, а мгновенная в начале отрезка должна быть чуть меньше, что и подтверждается (13 м/с).
✅ Ответ: Скорость точки в момент t₀ = 5 с равна 13 м/с.
№ 4. Найдите производную данной функции y = (x + 4) |x – 6| в точках x = 2 и x = 7.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение:1. Раскрытие модуля. Функция содержит модуль |x─6|. По определению:
* Если x ≥ 6, то |x─6| = x─6.
* Если x < 6, то |x─6| = ─(x─6) = 6 ─ x.
2. Запись функции кусочно:
* Для x < 6 : y₁ = (x + 4)(6 ─ x) = ─x² + 2x + 24.
* Для x ≥ 6 : y₂ = (x + 4)(x─6) = x² ─ 2x ─ 24.
3. Нахождение производной для каждого участка:
* y₁’ = (─x² + 2x + 24)’ = ─2x + 2.
* y₂’ = (x² ─ 2x ─ 24)’ = 2x ─ 2.
4. Вычисление в заданных точках:
* Точка x = 2 попадает в интервал x < 6, поэтому используем y₁’ :
y(2) = ─2 • 2 + 2 = ─4 + 2 = ─2.
* Точка x = 7 попадает в интервал x ≥ 6, поэтому используем y₂’ :
y(7) = 2 • 7 ─ 2 = 14 ─ 2 = 12.
✅ Ответ: y(2) = ─2, y(7) = 12.
№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = 3x² + 7x, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение:1. Геометрический смысл производной. Значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: f(x₀) = k.
2. Связь углового коэффициента с углом наклона. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ox: k = tan{α}.
3. Вычисление тангенса. По условию α = 45°, следовательно tan{45°} = 1.
4. Нахождение производной функции:
f(x) = (3x² + 7x)’ = 6x + 7.
5. Составление уравнения. Приравниваем производную к угловому коэффициенту:
6x₀ + 7 = 1.
6. Решение уравнения:
6x₀ = 1 ─ 7
6x₀ = ─6
x₀ = ─1.
✅ Ответ: x₀ = ─1.
№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 3x + 5, если эта касательная параллельна прямой y = 3x + 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение:1. Условие параллельности. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. У прямой y = 3x + 2 угловой коэффициент k = 3. Значит, угловой коэффициент искомой касательной k_{кас} = 3.
2. Нахождение точки касания. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x₀ : f(x₀) = k_{кас}.
* Находим производную: f(x) = (x² ─ 3x + 5)’ = 2x ─ 3.
* Приравниваем: 2x₀ ─ 3 = 3.
* Решаем: 2x₀ = 6, x₀ = 3.
3. Нахождение y₀. Вычисляем значение функции в точке касания:
y₀ = f(3) = 3² ─ 3 • 3 + 5 = 9 ─ 9 + 5 = 5.
4. Составление уравнения касательной. Используем формулу: y = f(x₀) + f(x₀)(x ─ x₀).
Подставляем x₀ = 3, y₀ = 5, f(3) = 3 :
y = 5 + 3 • (x ─ 3)
y = 5 + 3x ─ 9
y = 3x ─ 4.
✅ Ответ: Уравнение касательной: y = 3x ─ 4.
№ 7. В какой точке графика функции y = x² + 2x + 8 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами A(─1, 4) ?
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение:1. Обозначение точки касания. Пусть точка касания имеет абсциссу x₀. Тогда её ордината y₀ = x₀² + 2x₀ + 8. Точка касания M(x₀, x₀² + 2x₀ + 8).
2. Нахождение производной в точке касания:
y’ = (x² + 2x + 8)’ = 2x + 2.
y(x₀) = 2x₀ + 2.
3. Составление уравнения касательной:
y_{кас} = y₀ + y(x₀)(x ─ x₀)
y_{кас} = (x₀² + 2x₀ + 8) + (2x₀ + 2)(x ─ x₀).
4. Использование условия прохождения через точку A. Подставляем координаты точки A(─1, 4) в уравнение касательной (так как касательная должна проходить через A, координаты A удовлетворяют её уравнению):
4 = (x₀² + 2x₀ + 8) + (2x₀ + 2)(─1 ─ x₀).
5. Решение уравнения относительно x₀ :
* Раскрываем скобки:
4 = x₀² + 2x₀ + 8 + (2x₀ + 2)(─1 ─ x₀)
4 = x₀² + 2x₀ + 8 ─ (2x₀ + 2)(1 + x₀)
4 = x₀² + 2x₀ + 8 ─ (2x₀(1 + x₀) + 2(1 + x₀))
4 = x₀² + 2x₀ + 8 ─ (2x₀ + 2x₀² + 2 + 2x₀)
4 = x₀² + 2x₀ + 8 ─ (2x₀² + 4x₀ + 2)
* Раскрываем скобки и приводим подобные:
4 = x₀² + 2x₀ + 8 ─ 2x₀² ─ 4x₀ ─ 2
4 = ─x₀² ─ 2x₀ + 6
* Переносим всё в одну сторону:
x₀² + 2x₀ ─ 6 + 4 = 0
x₀² + 2x₀ ─ 2 = 0
6. Нахождение корней квадратного уравнения:
D = 2² ─ 4 • 1 • (─2) = 4 + 8 = 12
√D = √12 = 2√3
x₀ = (─2 ± 2√3)/2 = ─1 ± √3.
7. Нахождение ординат точек касания:
* Для x₀ = ─1 + √3 :
y₀ = (─1 + √3)² + 2(─1 + √3) + 8
y₀ = 1 ─ 2√3 + 3 ─ 2 + 2√3 + 8 = (1 + 3 ─ 2 + 8) + (─2√3 + 2√3) = 10.
Точка M₁(─1 + √3, 10).
* Для x₀ = ─1 ─ √3 :
y₀ = (─1 ─ √3)² + 2(─1 ─ √3) + 8
y₀ = 1 + 2√3 + 3 ─ 2 ─ 2√3 + 8 = (1 + 3 ─ 2 + 8) + (2√3─2√3) = 10.
Точка M₂(─1 ─ √3, 10).
✅ Ответ: Существуют две такие точки: (─1 + √3, 10) и (─1 ─ √3, 10).
Варианты 1-2 смотрите тут:
КР № 8. Варианты 1-2
К-8. Вариант 4 (задания)
№ 1. Найдите производную функции:
1) f(x) = 4x⁸ ─ (x⁵)/5 + 2x² ─ 3; 2) f(x) = (5 ─ 3x) √x;
3) f(x) = (x² ─ 7)/x; 4) f(x) = ctg⁵7x.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► 1) f(x) = 4x⁸ ─ (x⁵)/5 + 2x² ─ 3Решение: Используем правило дифференцирования степенной функции: (x^n)’ = n x^{n─1}.
Производная константы равна 0.
f(x) = 4 • 8x⁷ ─ 1/5 • 5x⁴ + 2 • 2x^1 ─ 0
f(x) = 32x⁷ ─ x⁴ + 4x
✅ Ответ: f(x) = 32x⁷ ─ x⁴ + 4x
► 2) f(x) = (5 ─ 3x) √x
Решение: Сначала упростим, представив √x как x^{1/2} и раскрыв скобки:
f(x) = 5x^{1/2} ─ 3x • x^{1/2} = 5x^{1/2} ─ 3x^{3/2}
Теперь находим производную:
f(x) = 5 • 1/2 x^{─1/2} ─ 3 • 3/2 x^{1/2}
f(x) = 5/2√x ─ 9/2√x
✅ Ответ: f(x) = 5/2√x ─ 9/2√x
► 3) f(x) = (x² ─ 7)/x
Решение. Разделим почленно:
f(x) = (x²)/x ─ 7/x = x ─ 7x^{─1}
Производная:
f(x) = 1 ─ 7 • (─1) x^{─2} = 1 + 7/(x²)
✅ Ответ: f(x) = 1 + 7/(x²)
► 4) f(x) = ctg⁵7x
Решение. Это сложная функция. Внешняя функция — u⁵, внутренняя — ctg(7x). Используем правило цепочки:
f(x) = 5 • ctg⁴7x • (ctg(7x))’
Производная котангенса: (ctg u)’ = ─ 1/(sin² u) • u’.
В нашем случае u = 7x, u’ = 7.
(ctg(7x))’ = ─ 1/(sin²7x) • 7 = ─ 7/(sin²7x)
Подставляем:
f(x) = 5 ctg⁴7x • (─ 7/(sin²7x)) = ─ (35 ctg⁴7x)/(sin²7x)
✅ Ответ: f(x) = ─ (35 ctg⁴7x)/(sin²7x).
№ 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 2x в точке с абсциссой x₀ = 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Уравнение касательной в общем виде:y = f(x₀) + f(x₀)(x ─ x₀)
1. Находим значение функции в точке:
f(1) = 1² + 2• 1 = 1 + 2 = 3
2. Находим производную:
f(x) = 2x + 2
3. Находим значение производной в точке:
f(1) = 2• 1 + 2 = 4
4. Подставляем в уравнение:
y = 3 + 4(x ─ 1)
y = 3 + 4x ─ 4
y = 4x ─ 1
✅ Ответ: y = 4x ─ 1.
№ 3. Материальная точка движется по закону s(t) = 4t² ─ 2t + 1. Найдите скорость в момент t₀ = 4 с.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Физический смысл производной: скорость — это производная перемещения по времени.v(t) = s(t) = 8t ─ 2
Подставляем t₀ = 4 :
v(4) = 8 • 4 ─ 2 = 32 ─ 2 = 30 м/с
Проверка: Проверим на соседнем моменте времени для правдоподобия. Найдем s(4) и s(4.01) :
* s(4) = 4• 16 ─ 8 + 1 = 64 ─ 8 + 1 = 57 м.
* s(4.01) = 4• (16.0801) ─ 8.02 + 1 = 64.3204 ─ 8.02 + 1 = 57.3004 м.
Средняя скорость на промежутке 0.01 с: (57.3004 ─ 57) / 0.01 = 0.3004 / 0.01 = 30.04 м/с.
Это значение близко к 30 м/с, что подтверждает правильность вычисления мгновенной скорости.
✅ Ответ: v = 30 м/с.
№ 4. Найдите производную данной функции y = (x + 4)|x – 5| в точках x = –1 и x = 6.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Функция содержит модуль, поэтому её нужно раскрыть в зависимости от значения x. Модуль |x─5| раскрывается так:* Если x ≥ 5, то |x─5| = x─5.
* Если x < 5, то |x─5| = ─(x─5) = 5 ─ x.
Значит, наша функция кусочно─заданная:
1. При x < 5 : y = (x + 4)(5 ─ x).
2. При x ≥ 5 : y = (x + 4)(x─5).
Точка x = ─1 :
Она меньше 5, значит, используем первый случай.
y = (x + 4)(5 ─ x).
Раскроем скобки: y = 5x ─ x² + 20 ─ 4x = ─x² + x + 20.
Находим производную: y’ = ─2x + 1.
Подставляем x = ─1 :
y(─1) = ─2 • (─1) + 1 = 2 + 1 = 3.
Точка x = 6 :
Она больше 5, значит, используем второй случай.
y = (x + 4)(x─5).
Раскроем скобки: y = x² ─ 5x + 4x ─ 20 = x² ─ x ─ 20.
Находим производную: y’ = 2x ─ 1.
Подставляем x = 6 :
y(6) = 2 • 6 ─ 1 = 12 ─ 1 = 11.
✅ Ответ: y(─1) = 3, y(6) = 11.
№ 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = 5x² – 5x, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Геометрический смысл производной: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox.f(x₀) = tan α.
По условию, α = 135°.
Находим тангенс: tan 135° = tan(180° ─ 45°) = ─tan 45° = ─1.
Значит, f(x₀) = ─1.
Находим производную функции:
f(x) = 5 • 2x ─ 5 = 10x ─ 5.
Приравниваем производную к ─1:
10x₀ ─ 5 = ─1.
10x₀ = 4.
x₀ = 0.4.
✅ Ответ: x₀ = 0.4.
№ 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 5x + 3, если эта касательная параллельна прямой y = 3x – 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение. Уравнение касательной в точке x₀ имеет вид:y = f(x₀) + f(x₀)(x ─ x₀).
Условие параллельности: у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой y = 3x ─ 1 равен k = 3.
Угловой коэффициент касательной равен f(x₀).
Значит, f(x₀) = 3.
Находим производную:
f(x) = 2x ─ 5.
Приравниваем к 3:
2x₀ ─ 5 = 3.
2x₀ = 8.
x₀ = 4.
Теперь находим f(x₀) :
f(4) = 4² ─ 5 • 4 + 3 = 16 ─ 20 + 3 = ─1.
Подставляем в уравнение касательной:
y = ─1 + 3 • (x ─ 4).
y = ─1 + 3x ─ 12.
y = 3x ─ 13.
Проверка: Полученная прямая y = 3x ─ 13 имеет угловой коэффициент 3, как и прямая y = 3x ─ 1. Значит, они параллельны.
✅ Ответ: y = 3x ─ 13.
№ 7. В какой точке графика функции y = x² + 4x + 14 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами A(0, 8) ?
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Пусть точка касания имеет абсциссу x₀. Тогда её ордината y₀ = x₀² + 4x₀ + 14. Уравнение касательной в общем виде:y = f(x₀) + f(x₀)(x ─ x₀).
Находим производную:
f(x) = 2x + 4.
Значит, f(x₀) = 2x₀ + 4.
Подставляем в уравнение касательной:
y = (x₀² + 4x₀ + 14) + (2x₀ + 4)(x ─ x₀).
Нам известно, что эта прямая проходит через точку A(0, 8). Подставим её координаты (x = 0, y = 8) в уравнение:
8 = (x₀² + 4x₀ + 14) + (2x₀ + 4)(0 ─ x₀).
8 = x₀² + 4x₀ + 14 + (2x₀ + 4)(─x₀).
8 = x₀² + 4x₀ + 14 ─ 2x₀² ─ 4x₀.
Приводим подобные слагаемые:
8 = (x₀² ─ 2x₀²) + (4x₀ ─ 4x₀) + 14.
8 = ─x₀² + 14.
Переносим неизвестное влево:
x₀² = 14 ─ 8.
x₀² = 6.
x₀ = ± √6.
Находим ординаты этих точек:
y₀ = x₀² + 4x₀ + 14 = 6 + 4x₀ + 14 = 20 + 4x₀.
Для x₀ = √6 : y₀ = 20 + 4√6.
Для x₀ = ─√6 : y₀ = 20 ─ 4√6.
Проверка (для x₀ = √6):
Уравнение касательной: y = (6 + 4√6 + 14) + (2√6 + 4)(x ─ √6).
Подставим x = 0 :
y = 20 + 4√6 + (2√6 + 4)(─√6) = 20 + 4√6 ─ 2 • 6 ─ 4√6 = 20 ─ 12 = 8.
Всё верно.
✅ Ответ: Существует две такие точки: (√6; 20 + 4√6) и (─√6; 20 ─ 4√6).
Варианты 1-2 смотрите тут:
Вы смотрели: Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 8 в34 углубленный уровень. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Производная. Уравнение касательной» для УМК Мерзляк (углубл. уровень).
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
