Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.)

Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубленный уровень). Ответов нет.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 7 (угл.)

Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства

К-7. Вариант 1 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Решите уравнение:
1) 3cos² x + 7sin x – 5 = 0;
2) 2sin² x + 1,5sin (2x) – 3cos² x = 1;
3) sin (8x) + sin (10x) + cos x = 0;
4) (cos x – cos (5x)) / cos (3x) = 0.

№ 2. Решите неравенство:
1) tg (5x – π/3) ≥ –√3/3;
2) sin x • tg (2x) > 0.

№ 3. Решите уравнение sin (2x) + √3 cos (2x) = 2cos (6x).

№ 4. Вычислите sin (arccos (2/3)).

 

К-7. Вариант 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Решите уравнение:
1) 4sin^2 x – 11cos x – 1 = 0;
2) 3sin^2 x – sin^2 x – cos^2 x = 2;
3) cos 5x – cos 7x + sin x = 0;
4) (sin 2x + sin 6x)/(sin 2x) = 0

№ 2. Решите неравенство:
1) ctg (6x + π/6) ≥ – √3;
2) cos x • tg 2x < 0.

№ 3. Решите уравнение sin 3x – cos 3x = √2sin x.

№ 4. Вычислите cos (arcsin 1/5).

 

Варианты 3-4 смотрите тут:

КР № 7. Варианты 3-4

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1.1) Решите уравнение: 3cos² x + 7sin x – 5 = 0.
ОТВЕТ: x = arcsin(1/3) ​+ 2πn, x = π − arcsin(1/3) ​+ 2πn, n ∈ Z

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 1.2) Решите уравнение: 2sin² x + 1,5sin (2x) – 3cos² x = 1.
ОТВЕТ: x = π/4 ​+ πn, x = –arctan4 + πn, n ∈ Z

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 1.3) Решите уравнение: sin (8x) + sin (10x) + cos x = 0.
ОТВЕТ: 1) x = π/2 + πn, n ∈ Z, 2) x = –π/54 + 2πk/9, x = 7π/54 + 2πk/9, k ∈ Z 

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 1.4) Решите уравнение: (cos x – cos (5x)) / cos (3x) = 0.
ОТВЕТ: х = πk/3​ , k ∈ Z.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2.1) Решите неравенство: tg (5x – π/3) ≥ –√3/3.
ОТВЕТ:  x ∈ [π/30 ​+πn/5​ , π/6​   + πn/5​), n ∈ Z

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2.2) Решите неравенство: sin x • tg (2x) > 0.
ОТВЕТ: x ∈ (πn, π/4 ​ + πn) ∪ (π/2 ​  + πn, 5π/4 ​+ πn), n ∈ Z.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Решите уравнение sin (2x) + √3 cos (2x) = 2cos (6x).
ОТВЕТ: x = π/48 ​+ πn/4​, x = −π/24 – πn/2, n ∈ Z

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Вычислите sin (arccos (2/3)).
ОТВЕТ: √5 / 3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1.1). Решите уравнение: 4sin^2 x – 11cos x – 1 = 0.

Решение:
Заменим \( \sin^2 x = 1 — \cos^2 x \):
\[
4(1 — \cos^2 x) — 11\cos x — 1 = 0
\]
\[
4 — 4\cos^2 x — 11\cos x — 1 = 0
\]
\[
-4\cos^2 x — 11\cos x + 3 = 0
\]
\[
4\cos^2 x + 11\cos x — 3 = 0
\]
Пусть \( t = \cos x \), \( |t| \le 1 \):
\[
4t^2 + 11t — 3 = 0
\]
\[
D = 121 + 48 = 169
\]
\[
t = \frac{-11 \pm 13}{8}
\]
\[
t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac14, \quad t_2 = \frac{-11 — 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3
\]
\( t_2 = -3 \) не подходит, так как \( |\cos x| \le 1 \).
Остаётся \( \cos x = \frac14 \).
\[
x = \pm \arccos\frac14 + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \( x = \pm \arccos\frac14 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 1.2). Решите уравнение: 3sin^2 x – sin^2 x – cos^2 x = 2.

Решение:
Упростим левую часть:
\[
3\sin^2 x — \sin^2 x = 2\sin^2 x
\]
\[
2\sin^2 x — \cos^2 x = 2
\]
Заменим \( \cos^2 x = 1 — \sin^2 x \):
\[
2\sin^2 x — (1 — \sin^2 x) = 2
\]
\[
2\sin^2 x — 1 + \sin^2 x = 2
\]
\[
3\sin^2 x — 1 = 2
\]
\[
3\sin^2 x = 3
\]
\[
\sin^2 x = 1
\]
\[
\sin x = \pm 1
\]
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Проверка: подставим \( \sin^2 x = 1 \), \( \cos^2 x = 0 \):
\( 3\cdot 1 — 1 — 0 = 3 — 1 = 2 \) — верно.
Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).

№ 1.3). Решите уравнение: cos 5x – cos 7x + sin x = 0.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 1.4). Решите уравнение: (sin 2x + sin 6x)/(sin 2x) = 0.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2.1). Решите неравенство: ctg (6x + π/6) ≥ – √3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2.2). Решите неравенство: cos x • tg 2x < 0.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Решите уравнение sin 3x – cos 3x = √2sin x.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Вычислите cos (arcsin 1/5).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

Варианты 3-4 смотрите тут:

КР № 7. Варианты 3-4

 

---

Вы смотрели: Алгебра 10 класс Мерзляк 10 Контрольная 7 (угл.) в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Тригонометрические уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков (углубл. уровень).

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

 

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие (угл.изучение) / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.