Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 2 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 2
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Вычислите \( 32^{1/5} — (4\sqrt{2})^2 \)
Решение:
1. \( 32^{1/5} \) — это корень пятой степени из 32. Так как \( 2^5 = 32 \), то \( 32^{1/5} = 2 \).
2. \( (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \).
3. Вычитаем: \( 2 — 32 = -30 \).
✅ Ответ: \(-30\)
Проверка: \( 2 — 32 = -30 \) — верно.
№ 2. Упростите выражение
► а) \( \frac{\sqrt[3]{x^{10}}}{\sqrt[3]{x^{4}}} \)
Решение:
Используем свойство корней: \( \frac{\sqrt[3]{x^{10}}}{\sqrt[3]{x^{4}}} = \sqrt[3]{\frac{x^{10}}{x^{4}}} = \sqrt[3]{x^{10-4}} = \sqrt[3]{x^{6}} \).
Так как \( x^6 = (x^2)^3 \), то \( \sqrt[3]{x^{6}} = x^2 \).
✅ Ответ: \( x^2 \)
► б) \( \frac{(a^3)^3}{a^9 \cdot a^{-3}} \)
Решение:
1. В числителе: \( (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9 \).
2. В знаменателе: \( a^9 \cdot a^{-3} = a^{9 + (-3)} = a^{6} \).
3. Дробь: \( \frac{a^9}{a^6} = a^{9-6} = a^3 \).
✅ Ответ: \( a^3 \)
№ 3. Решите неравенство методом интервалов
а) x² + 5x ─ 6 ≤ 0
б) (x + 1)(x ─ 3)(x + 5) < 0
в) (x ─ 2)(x + 4)/(x² ─ 3x ─ 4) ≥ 0
Решения:
► а) x² + 5x ─ 6 ≤ 0
1. Найдем корни квадратного трехчлена.
Решаем уравнение x² + 5x ─ 6 = 0.
Дискриминант: D = 25 ─ 4 • 1 • (─6) = 25 + 24 = 49.
Корни: x_{1,2} = (─5 ± 7)/2
x₁ = (─5 + 7)/2 = 1, x₂ = (─5 ─ 7)/2 = ─6
2. Разложим на множители: x² + 5x ─ 6 = (x ─ 1)(x + 6).
Неравенство принимает вид: (x ─ 1)(x + 6) ≤ 0
3. Метод интервалов.
Отмечаем на числовой оси точки x = ─6 и x = 1 (закрашенные, так как неравенство нестрогое).
Определяем знаки на интервалах:
─ При x < ─6 (например, x = ─7): (─) • (─) = (+).
─ Между ─6 и 1 (например, x = 0): (─) • (+) = (─).
─ При x > 1 (например, x = 2): (+) • (+) = (+).
4. Выбираем интервал со знаком минус: x ∈ [─6, 1].
✅ Ответ: x ∈ [─6, 1].
► б) (x + 1)(x ─ 3)(x + 5) < 0
1. Найдем нули функции:
x + 1 = 0 ⇒ x = ─1
x ─ 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒ x = ─5
2. Отметим точки на оси. Неравенство строгое, поэтому точки выколотые.
3. Расставляем знаки:
─ При x < ─5 (например, x = ─6): (─) • (─) • (─) = (─).
─ Между ─5 и ─1 (например, x = ─2): (─) • (─) • (+) = (+).
─ Между ─1 и 3 (например, x = 0): (+) • (─) • (+) = (─).
─ При x > 3 (например, x = 4): (+) • (+) • (+) = (+).
4. Выбираем интервалы со знаком минус:
x ∈ (─∞, ─5) ∪ (─1, 3).
✅ Ответ: x ∈ (─∞, ─5) ∪ (─1, 3).
► в) (x ─ 2)(x + 4)/(x² ─ 3x ─ 4) ≥ 0
1. Найдем нули числителя:
x ─ 2 = 0 ⇒ x = 2
x + 4 = 0 ⇒ x = ─4
2. Найдем нули знаменателя (точки разрыва):
Решаем x² ─ 3x ─ 4 = 0.
Дискриминант: D = 9 + 16 = 25.
Корни: x_{1,2} = 3 ± 5/2
x₁ = 4, x₂ = ─1
Знаменатель равен нулю при x = 4 и x = ─1 — эти точки выкалываем (не входят в ОДЗ).
3. Разложим знаменатель: x² ─ 3x ─ 4 = (x ─ 4)(x + 1).
Неравенство принимает вид: (x ─ 2)(x + 4)/(x ─ 4)(x + 1) ≥ 0
4. Отмечаем на оси все точки: ─4, ─1, 2, 4.
В точках ─4 и 2 числитель равен нулю — их закрашиваем (неравенство нестрогое).
В точках ─1 и 4 знаменатель равен нулю — их выкалываем.
5. Расставляем знаки на интервалах:
─ При x < ─4 (например, x = ─5): (─) • (─)/(─) • (─) = (+).
─ Между ─4 и ─1 (например, x = ─2): (─) • (+)/(─) • (─) = (─).
─ Между ─1 и 2 (например, x = 0): (─) • (+)/(─) • (+) = (+).
─ Между 2 и 4 (например, x = 3): (+) • (+)/(─) • (+) = (─).
─ При x > 4 (например, x = 5): (+) • (+)/(+) • (+) = (+).
6. Выбираем интервалы со знаком плюс, включая точки, где числитель равен нулю:
(─∞, ─4] ∪ (─1, 2] ∪ (4, + ∞).
✅ Ответ: x ∈ (─∞, ─4] ∪ (─1, 2] ∪ (4, + ∞).
№ 4. Найдите cos a, если sin a = 0,6 и π/2 < a < 3π/2
Решение:
1. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1.
cos² a = 1 ─ 0,36 = 0,64.
Значит, cos a = ± 0,8.
2. Определяем знак:
Интервал π/2 < a < 3π/2 — это II и III четверти. В обеих четвертях косинус отрицательный.
Следовательно, cos a = ─0,8.
✅ Ответ: ─0,8
Проверка: sin² a + cos² a = 0,36 + 0,64 = 1 — верно. Знак учтен.
№ 5. Упростите выражение 2cos² a ─ cos 2a
Решение:
Используем формулу двойного угла: cos 2a = 2cos² a ─ 1.
Подставляем:
2cos² a ─ (2cos² a ─ 1) = 2cos² a ─ 2cos² a + 1 = 1.
✅ Ответ: 1
Проверка:
При a = 0 : 2 • 1 ─ 1 = 1 — верно.
При a = π/4 : 2 • 1/2 ─ 0 = 1 — верно.
№ 6. Решите уравнение.
► а) √{x² ─ 6} = √{─5x}
Решение: Область определения (ОДЗ):
{ x² ─ 6 ≥ 0,
{ ─5x ≥ 0.
Из второго неравенства: ─5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0.
Из первого: x² ≥ 6 ⇒ x ≤ ─√6 или x ≥ √6. С учётом x ≤ 0 получаем x ≤ ─√6.
Теперь возведём обе части в квадрат:
x² ─ 6 = ─5x,
x² + 5x ─ 6 = 0.
Дискриминант: D = 25 + 24 = 49, корни:
x₁ = (─5 + 7)/2 = 1, x₂ = (─5 ─ 7)/2 = ─6.
Проверяем ОДЗ: x = 1 не подходит (не ≤ ─√6), x = ─6 подходит.
✅ Ответ: x = ─6.
► б) 2 sin x = 1
Решение: sin x = 1/2.
Общее решение:
x = π/6 + 2π k, x = 5π/6 + 2π k, k ∈ Z.
✅ Ответ: x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,k ∈ Z.
№ 7. Диагональ АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Боковое ребро SB равно 5. Найдите высоту пирамиды SO.
Решение: Основание — квадрат. Диагональ квадрата AC = 6. Сторона основания:
AB = AC/√2 = 6/√2 = 3√2.
Половина диагонали (расстояние от центра O до вершины B):
OB = AC/2 = 3.
В прямоугольном треугольнике SOB(SO — высота, SB — боковое ребро, OB — половина диагонали):
SO = √{SB² ─ OB²} = √{5² ─ 3²} = √{25 ─ 9} = √16 = 4.
✅ Ответ: SO = 4.
№ 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ ─ x² ─ x + 2 на отрезке [0; 1.5].
Решение. Найдём производную:
f(x) = 3x² ─ 2x ─ 1.
Приравняем к нулю:
3x² ─ 2x ─ 1 = 0,
D = 4 + 12 = 16, x = 2 ± 4/6.
Корни: x₁ = 1, x₂ = ─ 1/3 (не входит в отрезок).
Вычислим значения в критической точке и на концах отрезка:
f(0) = 0 ─ 0 ─ 0 + 2 = 2,
f(1) = 1 ─ 1 ─ 1 + 2 = 1,
f(1.5) = 3.375 ─ 2.25 ─ 1.5 + 2 = 1.625.
Сравниваем: наименьшее 1 (в точке x = 1), наибольшее 2 (в точке x = 0).
✅ Ответ: наименьшее = 1, наибольшее = 2.
№ 9. Решить уравнение
► 1) sin² x ─ sin x = 0
Решение. Вынесем sin x:
sin x(sin x ─ 1) = 0.
Отсюда:
sin x = 0 ⇒ x = π k,k ∈ Z,
sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ: x = π k, π/2 + 2π k,k ∈ Z.
► 2) 10 cos² x + 3 cos x = 1
Решение. Перенесём всё в одну сторону:
10 cos² x + 3 cos x ─ 1 = 0.
Обозначим t = cos x, |t| ≤ 1:
10t² + 3t ─ 1 = 0,
D = 9 + 40 = 49, t = (─3 ± 7)/20.
Корни: t₁ = 4/20 = 0.2, t₂ = (─10)/20 = ─0.5.
Обратная замена:
cos x = 0.2 ⇒ x = ± arccos(0.2) + 2π k,k ∈ Z,
cos x = ─0.5 ⇒ x = ± 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ:
x = ± arccos(0.2) + 2π k,± 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.
Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса в 2-х вариантах с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в2 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
