Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Вычислите $81^{1/4} — 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{1/2}$
Решение:
- $81^{1/4} = \sqrt[4]{81}$. Так как $3^4 = 81$, то $81^{1/4} = 3$.
- $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Тогда $\sqrt{3} \cdot 3^{1/2} = 3^{1/2} \cdot 3^{1/2} = 3^{1/2 + 1/2} = 3^1 = 3$.
- Подставляем: $3 — 3 \cdot 3 = 3 — 9 = -6$.
✅ Ответ: $-6$
Проверка: $81^{1/4} = 3$, $3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{1/2} = 3 \cdot 3 = 9$, $3 — 9 = -6$. Верно.
№ 2. Упростите выражение
а) $\dfrac{\sqrt[3]{x^5}}{\sqrt[3]{x^2}}$
Решение. Перепишем корни в виде степеней:
$\sqrt[3]{x^5} = x^{5/3}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.
Тогда:
$$
\frac{x^{5/3}}{x^{2/3}} = x^{5/3 — 2/3} = x^{3/3} = x^1 = x.
$$
✅ Ответ: $x$
б) $\dfrac{(x^2)^5}{x^{-3} \cdot x^8}$
Решение:
- $(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$.
- В знаменателе: $x^{-3} \cdot x^8 = x^{-3+8} = x^5$.
- Делим: $\dfrac{x^{10}}{x^5} = x^{10-5} = x^5$.
✅ Ответ: $x^5$
№ 3. Решите неравенство методом интервалов
► а) x² ─ 3x ─ 4 ≤ 0
Решение:
1. Найдем корни уравнения x² ─ 3x ─ 4 = 0.
Дискриминант: D = 9 + 16 = 25, корни:
x₁ = (3 + 5)/2 = 4, x₂ = (3 ─ 5)/2 = ─1.
2. Разложим: (x ─ 4)(x + 1) ≤ 0.
3. Метод интервалов:
Точки: ─1 и 4. Проверяем знаки:
— при x < ─1 : произведение положительно,
— между ─1 и 4: отрицательно,
— при x > 4 : положительно.
4. Неравенство ≤ 0, значит берем отрезок: x ∈ [─1, 4].
✅ Ответ: [─1, 4]
► б) (x─2)(x + 6)(x─4) > 0
Решение:
1. Нули функции: x = 2, ─6, 4.
2. Отмечаем на числовой прямой: ─6, 2, 4.
3. Определяем знаки на интервалах:
x < ─6 : все три множителя отрицательны → произведение отрицательно,
─6 < x < 2: (x + 6) > 0, остальные два отрицательны → произведение положительно,
2 < x < 4 : (x─2) > 0, (x + 6) > 0, (x─4) < 0 → произведение отрицательно,
x > 4 : все положительны → произведение положительно.
4. Неравенство > 0, выбираем интервалы с плюсом: (─6, 2) ∪ (4, + ∞).
✅ Ответ: (─6, 2) ∪ (4, + ∞)
► в) (x + 1)(x─4)/(x² + x ─ 6) > 0
Решение:
1. Разложим знаменатель: x² + x ─ 6 = (x + 3)(x─2).
2. Нули числителя: x = ─1, 4.
Нули знаменателя (выколотые точки): x = ─3, 2.
3. Отмечаем на прямой: ─3, ─1, 2, 4.
4. Определяем знаки дроби на интервалах:
x < ─3 : числитель (+)(─) = ─, знаменатель (─)(─) = + → дробь ─,
─3 < x < ─1: числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(─) = ─ → дробь +,
─1 < x < 2: числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(─) = ─ → дробь +,
2 < x < 4 : числитель (+)(─) = ─, знаменатель (+)(+) = + → дробь ─,
x > 4 : числитель (+)(+) = +, знаменатель (+)(+) = + → дробь + .
5. Неравенство > 0, выбираем интервалы с плюсом: (─3, ─1) ∪ (─1, 2) ∪ (4, + ∞).
Обратите внимание: точки ─1 и 2 не входят (знаменатель или числитель обращаются в ноль).
✅ Ответ: (─3, ─1) ∪ (─1, 2) ∪ (4, + ∞)
№ 4. Найдите sin a, если cos a = 0.6 и π < a < 2π
Решение:
1. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1
sin² a = 1 ─ 0.6² = 1 ─ 0.36 = 0.64
sin a = ± √{0.64} = ± 0.8
2. Учитываем четверть: π < a < 2π — это III и IV четверти. В III четверти синус отрицательный, в IV — тоже отрицательный. Значит, выбираем минус.
3. sin a = ─0.8.
✅ Ответ: ─0.8
Проверка: sin² a + cos² a = 0.64 + 0.36 = 1. Верно.
№ 5. Упростите выражение 6 cos² a ─ 5 ─ 3 cos 2a
Решение:
1. Используем формулу двойного угла: cos 2a = 2cos² a ─ 1.
2. Подставляем:
6 cos² a ─ 5 ─ 3(2cos² a ─ 1) = 6 cos² a ─ 5 ─ 6cos² a + 3
3. Приводим подобные:
(6cos² a ─ 6cos² a) + (─5 + 3) = 0 ─ 2 = ─2.
✅ Ответ: ─2
Проверка. Возьмем, например, a = 0 :
cos 0 = 1, cos 0 = 1.
Исходное: 6 • 1 ─ 5 ─ 3 • 1 = 6 ─ 5 ─ 3 = ─2.
Упрощенное: ─2. Совпадает.
№ 6. Решите уравнение:
► а) √{7 ─ x²} = √{─6x}
Решение:
1. Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны.
7 ─ x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 7 ⇒ ─√7 ≤ x ≤ √7
─6x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0
Пересечение: ─√7 ≤ x ≤ 0.
2. Возводим обе части в квадрат:
7 ─ x² = ─6x
─x² + 6x + 7 = 0 ⇒ x² ─ 6x ─ 7 = 0
3. Решаем квадратное уравнение:
D = 36 + 28 = 64, √D = 8
x₁ = (6 + 8)/2 = 7, x₂ = (6 ─ 8)/2 = ─1
4. Проверяем область определения: x = 7 не входит в [─ √7; 0], x = ─1 входит.
✅ Ответ: x = ─1
► б) 2 sin x = √3
Решение:
1. Делим обе части на 2:
sin x = √3/2
2. Общее решение:
x = π/3 + 2π k, k ∈ Z
x = 2π/3 + 2π k, k ∈ Z
✅ Ответ: x = π/3 + 2π k, 2π/3 + 2π k,k ∈ Z.
№ 7. Диагональ AC основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.
Решение:
1. Основание — квадрат. Диагональ квадрата AC = 6. Сторона основания:
AB = AC/√2 = 6/√2 = 3√2
2. В правильной пирамиде вершина S проецируется в центр основания O.
Рассмотрим треугольник SOB: O — центр квадрата, OB — половина диагонали:
OB = AC/2 = 3
3. По теореме Пифагора:
SB = √{SO² + OB²} = √{4² + 3²} = √{16 + 9} = √25 = 5
✅ Ответ: SB = 5.
№ 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3 на отрезке [0; 1.5].
Решение:
1. Находим производную:
f(x) = 3x² ─ 4x + 1
2. Критические точки:
3x² ─ 4x + 1 = 0
D = 16 ─ 12 = 4, x_{1,2} = 4 ± 2/6
x₁ = 1, x₂ = 1/3
3. Обе точки входят в отрезок [0; 1.5].
4. Вычисляем значения:
f(0) = 0 ─ 0 + 0 + 3 = 3
f(1/3) = 1/27 ─ 2/9 + 1/3 + 3
= 1/27 ─ 6/27 + 9/27 + 81/27
= 85/27 ≈ 3.148
f(1) = 1 ─ 2 + 1 + 3 = 3
f(1.5) = 3.375 ─ 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375
5. Сравниваем: наименьшее 3, наибольшее 3.375.
✅ Ответ:
Наименьшее значение: 3
Наибольшее значение: 3.375
№ 9. Решить уравнение
► 1) 3 cos x ─ cos² x = 0
Решение:
1. Выносим cos x:
cos x(3 ─ cos x) = 0
2. Приравниваем каждый множитель к нулю:
─ cos x = 0:
x = π/2 + π n,n ∈ Z
─ 3 ─ cos x = 0 ⇒ cos x = 3 — нет решений, так как |cos x| ≤ 1.
✅ Ответ: x = π/2 + π n,n ∈ Z
► 2) 6 sin² x ─ sin x = 1
Решение:
1. Переносим всё в одну сторону:
6 sin² x ─ sin x ─ 1 = 0
2. Замена t = sin x:
6t² ─ t ─ 1 = 0
D = 1 + 24 = 25, t_{1,2} = 1 ± 5/12
t₁ = 1/2, t₂ = ─ 1/3
3. Обратная замена:
─ sin x = 1/2:
x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,k ∈ Z
─ sin x = ─ 1/3:
x = arcsin(─ 1/3) + 2π k = ─arcsin 1/3 + 2π k
и
x = π ─ arcsin(─ 1/3) + 2π k = π + arcsin 1/3 + 2π k
✅ Ответ: x = π/6 + 2π k, 5π/6 + 2π k,─arcsin 1/3 + 2π k,π + arcsin 1/3 + 2π k,k ∈ Z
Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса в 2-х вариантах с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 Контрольная 10в1 углубленный уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
