Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 2 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы» (изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, СиКР)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 2
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
Ответ:
\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \; x = -\frac{\arctg\frac{1}{5}}{4} + \frac{\pi k}{4}, \; n,k \in \mathbb{Z} \)
№ 1. Упростите выражение b^{1/6} • (b^{1/6} – 4) ─ (b^{1/6} – 2)²
Решение:
1. Раскроем скобки:
b^{1/6} • b^{1/6} ─ 4b^{1/6} ─ (b^{1/3} ─ 4b^{1/6} + 4)
Пояснение: (b^{1/6})² = b^{1/3}, а квадрат разности раскрываем по формуле.
2. Получаем:
b^{1/3} ─ 4b^{1/6} ─ b^{1/3} + 4b^{1/6} ─ 4
3. Приводим подобные:
b^{1/3} ─ b^{1/3} = 0; ─4b^{1/6} + 4b^{1/6} = 0. Остаётся ─4.
✅ Ответ: ─4
№ 2. Найдите область определения функции
f(x) = √ (x² ─ 16)/(─x² + 6x ─ 5)
Решение: Область определения — это все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.
1. Знаменатель не равен нулю:
─x² + 6x ─ 5 ≠ 0
Умножим на ─1: x² ─ 6x + 5 ≠ 0
Корни: x = 1, x = 5
Значит, x ≠ 1, x ≠ 5.
2. Дробь (x² ─ 16)/(─x² + 6x ─ 5) ≥ 0
Разложим числитель: x² ─ 16 = (x─4)(x + 4)
Знаменатель: ─x² + 6x ─ 5 = ─(x² ─ 6x + 5) = ─(x─1)(x─5)
3. Получаем неравенство:
(x─4)(x + 4)/(─(x─1)(x─5)) ≥ 0
Умножим на ─1 (меняем знак неравенства):
(x─4)(x + 4)/(x─1)(x─5) ≤ 0
4. Решаем методом интервалов. Нули числителя: x = ─4, x = 4. Нули знаменателя (выколоты): x = 1, x = 5.
Отмечаем на числовой оси точки: ─4, 1, 4, 5.
Проверяем знаки:
─ (─∞; ─4) : (+)/(─) = ─, но нам нужно ≤ 0, подходит.
─ (─4; 1) : (─)/(─) = +, не подходит.
─ (1; 4) : (─)/(+) = ─, подходит.
─ (4; 5) : (+)/(+) = +, не подходит.
─ (5; + ∞) : (+)/(+) = +, не подходит.
Включаем точки, где числитель равен нулю: x = ─4, x = 4.
5. Объединяем: x ∈ (─∞; ─4] ∪ (1; 4], исключая x = 5 (он и так не входит).
✅ Ответ: (─∞; ─4] ∪ (1; 4]
№ 3. Решите уравнения
► 1) √{3x + 1} = x ─ 1
Решение:
1. ОДЗ: 3x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─ 1/3 и x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. Итого x ≥ 1.
2. Возводим в квадрат:
3x + 1 = (x ─ 1)²
3x + 1 = x² ─ 2x + 1
0 = x² ─ 5x
x(x ─ 5) = 0
Корни: x = 0, x = 5.
3. Проверяем ОДЗ: x = 0 не подходит (x ≥ 1).
x = 5 подходит.
Проверка: √{3•5 + 1} = √16 = 4, 5 ─ 1 = 4. Верно.
✅ Ответ: 5
► 2) 6cos² 4x + 2sin 8x = 5
Решение:
1. Заметим: sin 8x = 2sin 4x cos 4x.
Тогда уравнение: 6cos² 4x + 4sin 4x cos 4x = 5.
2. Используем основное тригонометрическое тождество: cos² 4x = 1 ─ sin² 4x.
Получаем: 6(1 ─ sin² 4x) + 4sin 4x cos 4x = 5
6 ─ 6sin² 4x + 4sin 4x cos 4x = 5
─6sin² 4x + 4sin 4x cos 4x + 1 = 0
3. Умножим на ─1: 6sin² 4x ─ 4sin 4x cos 4x ─ 1 = 0
4. Разделим на cos² 4x(при условии cos 4x ≠ 0):
6tan² 4x ─ 4tan 4x ─ 1/(cos² 4x) = 0
Но 1/(cos² 4x) = 1 + tan² 4x.
Получаем: 6tan² 4x ─ 4tan 4x ─ (1 + tan² 4x) = 0
5tan² 4x ─ 4tan 4x ─ 1 = 0
5. Решаем квадратное относительно t = tan 4x :
5t² ─ 4t ─ 1 = 0
Дискриминант: 16 + 20 = 36, корни: t = 4 ± 6/10
t₁ = 1, t₂ = ─ 1/5
6. Обратная замена:
─ tan 4x = 1 ⇒ 4x = π/4 + π n ⇒ x = π/16 + π n/4
─ tan 4x = ─ 1/5 ⇒ 4x = arctg(─ 1/5) + π k ⇒ x = ─ arctg(1/5)/4 + πk/4
7. Проверим случай cos 4x = 0 : 4x = π/2 + π m ⇒ x = π/8 + π m/4. Подставим в исходное:
cos 4x = 0 ⇒ cos² 4x = 0, sin 8x = sin(π + 2π m) = 0. Получаем 0 = 5 — неверно. Значит, эти точки не входят.
✅ Ответ: x = π/16 + π n/4, x = ─ arctg(1/5)/4 + πk/4, n,k ∈ Z
► 3) tan 4x • cos x ─ sin x ─ √2 • sin 3x = 0
Решение:
1. Запишем tan 4x = sin 4x/cos 4x. Уравнение:
sin 4x/cos 4x • cos x ─ sin x ─ √2sin 3x = 0
Умножаем на cos 4x(ОДЗ: cos 4x ≠ 0):
sin 4x cos x ─ sin x cos 4x ─ √2sin 3x cos 4x = 0
2. Заметим: sin 4x cos x ─ sin x cos 4x = sin(4x ─ x) = sin 3x.
Получаем: sin 3x ─ √2sin 3x cos 4x = 0
sin 3x (1 ─ √2 cos 4x) = 0
3. Приравниваем каждый множитель к нулю:
─ sin 3x = 0 ⇒ 3x = π n ⇒ x = π n/3
─ 1 ─ √2cos 4x = 0 ⇒ cos 4x = 1/√2 = √2/2
4x = ± π/4 + 2π k ⇒ x = ± π/16 + π k/2
4. Проверяем ОДЗ (cos 4x ≠ 0):
─ Для первой серии: cos(4• π n/3) = cos(4π n/3). При n, кратном 3, косинус может быть равен 1, но не 0. При n = 3/2 (нецелое) — не рассматриваем. Надо проверить, когда cos 4x = 0 : 4x = π/2 + π m. Для первой серии: 4π n/3 = π/2 + π m умножаем на 6: 8π n = 3π + 6π m — делимость не получается в целых числах, значит, запрещённых точек нет.
─ Для второй серии: cos 4x = √2/2 ≠ 0, значит, ОДЗ выполнена.
✅ Ответ: x = π n/3, x = ± π/16 + π k/2, n,k ∈ Z
№ 4. Докажите тождество (cos 7a/sin 3a + sin 7a/cos 3a) • (cos 7a ─ cos 5a)/cos 4a = ─4 sin a
Решение:
1. Приведём сумму в первых скобках к общему знаменателю:
cos 7a/sin 3a + sin 7a/cos 3a = (cos 7a cos 3a + sin 7a sin 3a)/sin 3a cos 3a
По формуле косинуса разности: cos 7a cos 3a + sin 7a sin 3a = cos(7a ─ 3a) = cos 4a.
2. Знаменатель: sin 3a cos 3a = 1/2 sin 6a.
Получаем:
cos 4a/½ sin 6a = 2 cos 4a/sin 6a
3. Вторая дробь: cos 7a ─ cos 5a. Используем формулу разности косинусов:
cos 7a ─ cos 5a = ─2 sin(7a + 5a)/2 sin(7a─5a)/2 = ─2 sin 6a sin a
4. Перемножаем:
2 cos 4a/sin 6a • (─2 sin 6a sin a)/cos 4a = 2 • (─2) • cos 4a/sin 6a • sin 6a sin a/cos 4a = ─4 sin a
✅ Ответ: Тождество доказано.
№ 5. Решите неравенство √{4 ─ 3x} < x + 2
Решение:
1. Область определения: 4 ─ 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4/3.
2. Так как левая часть неотрицательна, правая часть должна быть положительной: x + 2 > 0 ⇒ x > ─2.
3. Возводим обе части в квадрат (обе части неотрицательны):
4 ─ 3x < (x + 2)²
4 ─ 3x < x² + 4x + 4
0 < x² + 7x
x(x + 7) > 0
4. Решаем методом интервалов: x < ─7 или x > 0.
5. Учитываем область определения и условие x > ─2:
─ x < ─7 не подходит, так как x > ─2.
─ x > 0 и x ≤ 4/3 даёт 0 < x ≤ 4/3.
Проверка:
При x = 1: √{4 ─ 3} = 1, 1 + 2 = 3, 1 < 3 — верно.
При x = 0: √4 = 2, 0 + 2 = 2 — нестрого, а неравенство строгое, поэтому 0 не входит.
✅ Ответ: (0; 4/3]
№ 6. Исследуйте функцию и постройте её график f(x) = x³ ─ 0.5x²
Решение:
1. Область определения: x ∈ R.
2. Производная:
f(x) = 3x² ─ x = x(3x ─ 1)
3. Критические точки: x = 0 и x = 1/3.
4. Промежутки монотонности:
─ x < 0: f(x) > 0 — функция возрастает.
─ 0 < x < 1/3: f(x) < 0 — убывает.
─ x > 1/3: f(x) > 0 — возрастает.
5. Экстремумы:
─ x = 0: максимум, f(0) = 0.
─ x = 1/3: минимум, f(1/3) = 1/27 ─ 0.5 • 1/9 = 1/27 ─ 1/18 = 2/54 ─ 3/54 = ─ 1/54.
6. Точки пересечения с осями:
─ С осью y: x = 0 ⇒ y = 0.
─ С осью x: x³ ─ 0.5x² = x²(x ─ 0.5) = 0 ⇒ x = 0 и x = 0.5.
7. График: Кубическая парабола с максимумом в начале координат, минимумом в точке (1/3; ─ 1/54), пересекает ось x ещё в точке 0.5.
✅ Ответ: Функция возрастает на (─ ∞; 0) и (1/3; + ∞), убывает на (0; 1/3).
x_{max} = 0, y_{max} = 0; x_{min} = 1/3, y_{min} = ─ 1/54.
График построен (эскиз: начинается из ─∞, поднимается до 0, опускается до ─1/54, затем снова поднимается вверх).
Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В2 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
