Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы» (изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк, СиКР)
Итоговая контрольная (угл.) Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Упростите выражение a^{1/4} • (a^{1/4} ─ 2) ─ (a^{1/4} + 2)²
Решение. Раскроем скобки:
a^{1/4} • a^{1/4} ─ 2a^{1/4} ─ (a^{1/2} + 4a^{1/4} + 4)
= a^{1/2} ─ 2a^{1/4} ─ a^{1/2} ─ 4a^{1/4} ─ 4
Приведем подобные:
(a^{1/2} ─ a^{1/2}) + (─2a^{1/4} ─ 4a^{1/4}) ─ 4 = ─6a^{1/4} ─ 4
✅ Ответ: ─6a^{1/4} ─ 4
№ 2. Найдите область определения функции f(x) = √ (9 ─ x²)/(x² ─ 6x + 8)}
Решение. Область определения: подкоренное выражение ≥ 0 и знаменатель не равен нулю.
► 1) Знаменатель:
x² ─ 6x + 8 = (x─2)(x─4) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2,x ≠ 4
► 2) Дробь (9 ─ x²)/(x─2)(x─4) ≥ 0
Разложим числитель: 9 ─ x² = (3 ─ x)(3 + x)
Метод интервалов. Нули числителя: x = ─3,x = 3
Нули знаменателя: x = 2,x = 4
Отметим точки на числовой оси в порядке: ─3,2,3,4
Проверим знаки на интервалах:
─ (─∞, ─3): (+)/(─) = (─) → не подходит
─ (─3, 2): (+)/(+) = (+) → подходит
─ (2, 3): (+)/(─) = (─) → не подходит
─ (3, 4): (─)/(─) = (+) → подходит
─ (4, + ∞): (─)/(+) = (─) → не подходит
Включаем точки, где числитель равен нулю (т.к. ≥ 0): x = ─3,x = 3
Точки 2,4 выколоты.
✅ Ответ: x ∈ [─3, 2) ∪ [3, 4)
№ 3. Решите уравнение:
► 1) √{2x ─ 1} = x ─ 2
Решение:
ОДЗ: 2x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.5
Также правая часть ≥ 0: x ─ 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Возведем в квадрат:
2x ─ 1 = (x ─ 2)²
2x ─ 1 = x² ─ 4x + 4
0 = x² ─ 6x + 5
(x ─ 1)(x ─ 5) = 0
Корни: x = 1 и x = 5
Проверка:
─ x = 1: не подходит по ОДЗ (x ≥ 2)
─ x = 5: √{10 ─ 1} = √9 = 3, 5 ─ 2 = 3 — верно
✅ Ответ: x = 5
► 2) 8 sin² 2x + 3 sin 4x = 7
Решение:
Заметим: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
Уравнение:
8 sin² 2x + 6 sin 2x cos 2x = 7
Используем sin² 2x = 1 ─ cos² 2x:
8(1 ─ cos² 2x) + 6 sin 2x cos 2x = 7
8 ─ 8cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x = 7
─8cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x + 1 = 0
Умножим на ─1:
8cos² 2x ─ 6 sin 2x cos 2x ─ 1 = 0
Разделим на cos² 2x(при условии cos 2x ≠ 0):
8 ─ 6 tan 2x ─ (1 + tan² 2x) = 0
8 ─ 6t ─ 1 ─ t² = 0, t = tan 2x
─t² ─ 6t + 7 = 0 ⇒ t² + 6t ─ 7 = 0
Корни: t = 1 и t = ─7
► 1) tan 2x = 1 ⇒ 2x = π/4 + π n ⇒ x = π/8 + π n/2
► 2) tan 2x = ─7 ⇒ 2x = arctan(─7) + π n ⇒ x = ─ 1/2 arctan 7 + π n/2
Проверка: при cos 2x = 0 подставим в исходное:
sin 2x = ± 1, тогда 8 • 1 + 3 • 0 = 8 ≠ 7 — не подходит.
✅ Ответ:
x = π/8 + π n/2,x = ─ 1/2 arctan 7 + π n/2,n ∈ Z
► 3) ctg 5x • cos x + sin x ─ √2 cos 4x = 0
Решение:
ОДЗ: sin 5x ≠ 0
Запишем ctg 5x = cos 5x / sin 5x:
cos 5x cos x/sin 5x + sin x ─ √2 cos 4x = 0
Умножим на sin 5x:
cos 5x cos x + sin x sin 5x ─ √2 cos 4x sin 5x = 0
Заметим: cos 5x cos x + sin 5x sin x = cos(5x ─ x) = cos 4x
Получаем:
cos 4x ─ √2 cos 4x sin 5x = 0
cos 4x • (1 ─ √2 sin 5x) = 0
Два случая:
► 1) cos 4x = 0 ⇒ 4x = π/2 + π n ⇒ x = π/8 + π n/4
Проверка ОДЗ: sin 5x = sin(5π/8 + 5π n/4) ≠ 0 — при некоторых n может быть ноль, но в общем случае подходит.
► 2) 1 ─ √2 sin 5x = 0 ⇒ sin 5x = 1/√2 = √2/2
5x = π/4 + 2π k или 5x = 3π/4 + 2π k
x = π/20 + 2π k/5, x = 3π/20 + 2π k/5
Проверка ОДЗ: sin 5x = √2/2 ≠ 0 — подходит.
✅ Ответ: x = π/8 + π n/4,x = π/20 + 2π k/5,x = 3π/20 + 2π k/5,n,k ∈ Z
№ 4. Докажите тождество
(sin 8a/sin 5a ─ cos 8a/cos 5a) • (sin 6a + sin 14a)/sin 3a = 4 cos 4a
Решение:
1. Упростим первую скобку:
sin 8a/sin 5a ─ cos 8a/cos 5a = (sin 8a cos 5a ─ cos 8a sin 5a)/sin 5a cos 5a
Используем формулу синуса разности:
sin(8a ─ 5a) = sin 3a
Знаменатель: sin 5a cos 5a = 1/2 sin 10a.
Получаем:
sin 3a/½ sin 10a = 2 sin 3a/sin 10a
2. Упростим вторую дробь:
sin 6a + sin 14a = 2 sin((6a + 14a)/2) cos((6a─14a)/2) = 2 sin 10a cos(─4a)
Так как cos(─4a) = cos 4a, получаем:
sin 6a + sin 14a = 2 sin 10a cos 4a
Тогда:
(sin 6a + sin 14a)/sin 3a = 2 sin 10a cos 4a/sin 3a
3. Перемножим:
(2 sin 3a/sin 10a) • (2 sin 10a cos 4a/sin 3a) = 4 cos 4a
Сокращаем sin 3a и sin 10a(при условии, что они не равны нулю).
✅ Ответ: Тождество доказано.
№ 5. Решите неравенство √{1 ─ 5x} < x + 1
Решение:
1. Область определения:
1 ─ 5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1/5
2. Так как корень неотрицателен, правая часть должна быть положительной:
x + 1 > 0 ⇒ x > ─1
Таким образом, ОДЗ: ─1 < x ≤ 1/5.
3. Возводим в квадрат (обе части неотрицательны):
1 ─ 5x < (x + 1)²
1 ─ 5x < x² + 2x + 1
0 < x² + 7x
x(x + 7) > 0
4. Решаем методом интервалов:
Корни: x = 0, x = ─7.
Решение: x ∈ (─∞, ─7) ∪ (0, + ∞).
5. Пересекаем с ОДЗ:
ОДЗ: ─1 < x ≤ 1/5.
Общее решение: (0, 1/5].
Проверка:
─ При x = 0.2: √{1 ─ 1} = 0, 0.2 + 1 = 1.2, 0<1.2 — верно.
─ При x = 0: √1 = 1, 1<1 — неверно (граница не входит).
─ При x = ─0.5: √{1 + 2.5} = √{3.5} ≈ 1.87, ─0.5 + 1 = 0.5 — неверно.
✅ Ответ: x ∈ (0, 1/5]
№ 6. Исследуйте функцию f(x) = x³ ─ 6x² и постройте её график.
Решение:
1. Область определения: x ∈ R.
2. Нули функции:
x³ ─ 6x² = x²(x ─ 6) = 0
Корни: x = 0 (кратность 2), x = 6.
3. Производная:
f(x) = 3x² ─ 12x = 3x(x ─ 4)
Критические точки: x = 0, x = 4.
4. Интервалы монотонности:
─ При x<0: f(x)>0 (функция возрастает).
─ При 0<x<4: f(x)<0 (функция убывает).
─ При x>4: f(x)>0 (функция возрастает).
5. Экстремумы:
─ x = 0: точка максимума, f(0) = 0.
─ x = 4: точка минимума, f(4) = 64 ─ 96 = ─32.
6. Вторая производная:
f(x) = 6x ─ 12
Точка перегиба: x = 2, f(2) = 8 ─ 24 = ─16.
7. Поведение на бесконечности:
При x → + ∞, f(x) → + ∞.
При x → ─∞, f(x) → ─∞.
8. График:
─ Кубическая парабола.
─ Пересекает ось x в точках 0 и 6.
─ Максимум в (0,0), минимум в (4,─32).
─ Перегиб в (2,─16).
✅ Ответ: Функция возрастает на (─∞,0] и [4,∞), убывает на [0,4]. Максимум f(0) = 0, минимум f(4) = ─32. Точка перегиба (2,─16). График — кубическая парабола.
Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 10 класса Вариант 1 с ответами и решениями для УМК Мерзляк Угл. уровень. Код материалов: Алгебра Мерзляк 10 класс КР10-В1 угл. уровень.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
