Самостоятельная работа № 36 по математике 6 класс (Глава 4, §4) по теме «Красота и симметрия. Правильные многоугольники» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-36.
Вернуться к Списку работ
Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 36
Проверяемая тема: Глава 4, §4 – Красота и симметрия. Правильные многоугольники.
Вариант 1
№ 1. Нарисуй равносторонний треугольник и отметь все его оси симметрии.
Решение: Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.
Как нарисовать лучше всего:
1. Начерти равносторонний треугольник (например, со стороной 6 см).
2. Проведи отрезок из вершины A к середине стороны BC — это первая ось симметрии.
3. Проведи отрезок из вершины B к середине стороны AC — вторая ось.
4. Проведи отрезок из вершины C к середине стороны AB — третья ось.
Все три оси пересекаются в одной точке (центре треугольника).
✅ Ответ: У равностороннего треугольника 3 оси симметрии — это медианы (они же высоты и биссектрисы).
№ 2. Вычисли периметр правильного восьмиугольника со стороной 3,8 см.
Решение: Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон.
Периметр P = 8 × a, где a — длина стороны.
P = 8 × 3,8 = 30,4 (см).
✅ Ответ: 30,4 см.
№ 3. Периметр правильного семиугольника равен 12 дм. Чему равна длина его стороны?
Решение: Правильный семиугольник имеет 7 равных сторон.
Периметр P = 7 × a, значит a = P : 7.
a = 12 : 7 = 12/7 = 1 5/7 (дм).
✅ Ответ: 1 5/7 дм.
№ 4. Величина угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: a = (180(n – 2))/n. Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного десятиугольника.
Решение: Для десятиугольника n = 10.
a = (180 × (10 ─ 2))/10 = 180 × 8/10 = 1440/10 = 144 (градуса).
✅ Ответ: 144°.
№ 5*. Начерти произвольный треугольник ABC. Построй треугольник, симметричный треугольнику ABC:
а) относительно прямой АВ;
б) относительно произвольной точки М;
в) относительно прямой ВМ.
Решение. Как построить лучше всего:
1. Начерти треугольник ABC(например, разносторонний) и отметь точку M где─нибудь рядом с ним.
2. ► а) Симметрия относительно прямой AB:
─ Прямая AB — ось симметрии.
─ Точка C симметрична сама себе? Нет, только если она лежит на AB, но она не лежит (треугольник произвольный).
─ Чтобы построить точку C₁, симметричную C относительно AB:
Проведи из C перпендикуляр к AB, продли его за AB на такое же расстояние.
─ Точки A и B останутся на месте, потому что лежат на оси.
─ Искомый треугольник — ABC₁, но это вырожденный? Нет, это треугольник AB и новая вершина C₁, но так как A и B неподвижны, то треугольник ABC₁ совпадает с ABC только если C на оси, иначе C₁ — новая точка.
На самом деле: при осевой симметрии относительно AB точка A переходит в A, B в B, C в C₁.
Искомый треугольник — A B C₁, но он будет совпадать с исходным? Нет, он будет зеркальным относительно AB.
3. ► б) Симметрия относительно точки M(центральная симметрия):
─ Для каждой вершины A, B, C: проведи луч из вершины через M и отложи за M отрезок, равный расстоянию от вершины до M.
─ Получишь точки A₂, B₂, C₂.
─ Соедини их — получится треугольник A₂B₂C₂, центрально─симметричный исходному относительно M.
4. ► в) Симметрия относительно прямой BM:
─ Прямая BM — ось симметрии.
─ Точка B останется на месте (лежит на оси).
─ Точка M не является вершиной треугольника, но ось проходит через B и M.
─ Строим симметричные точки для A и C относительно прямой BM.
─ Получаем точки A₃ и C₃.
─ Треугольник B A₃ C₃ симметричен ABC относительно прямой BM.
✅ Ответ:
Построения выполняются с помощью циркуля и линейки:
► а) треугольник ABC₁ (где C₁ симметрична C относительно AB);
► б) треугольник A₂B₂C₂ (симметрия относительно точки M);
► в) треугольник BA₃C₃ (симметрия относительно прямой BM).
Вариант 2
№ 1. Нарисуй квадрат и отметь все его оси симметрии.
Решение: Квадрат имеет 4 оси симметрии:
► 1) две прямые, проходящие через середины противоположных сторон (вертикальная и горизонтальная оси);
► 2) две прямые, проходящие через противоположные вершины (диагонали квадрата).
Как нарисовать лучше всего:
1. Начерти квадрат (например, со стороной 4 клетки в тетради).
2. Проведи вертикальную линию через середины левой и правой сторон.
3. Проведи горизонтальную линию через середины верхней и нижней сторон.
4. Проведи прямую из левого верхнего угла в правый нижний угол (первая диагональ).
5. Проведи прямую из правого верхнего угла в левый нижний угол (вторая диагональ).
Все эти линии — оси симметрии квадрата.
№ 2. Вычисли периметр правильного семиугольника со стороной 4,3 дм.
Решение:
Правильный семиугольник — это многоугольник с 7 равными сторонами.
Периметр P = 7 × a, где a — длина стороны.
a = 4,3 дм.
P = 7 × 4,3 = 30,1 дм.
✅ Ответ: 30,1 дм.
№ 3. Периметр правильного шестиугольника равен 15 см. Чему равна длина его стороны?
Решение: Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон.
Периметр P = 6 × a, где a — длина стороны.
6a = 15
a = 15 : 6 = 2,5 см.
✅ Ответ: 2,5 см.
№ 4. Величина угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: a = (180(n – 2))/n. Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного восьмиугольника.
Решение: У восьмиугольника n = 8.
Подставляем в формулу:
a = (180 × (8 ─ 2))/8 = 180 × 6/8 = 1080/8 = 135.
✅ Ответ: 135°.
№ 5*. Начерти произвольный треугольник ABC. Построй треугольник, симметричный треугольнику ABC:
а) относительно прямой АВ;
б) относительно произвольной точки М;
в) относительно прямой ВМ.
Указание к выполнению:
► а) Относительно прямой АВ:
Прямая АВ — ось симметрии.
Точки А и В лежат на оси, поэтому они остаются на месте.
Точка С отражается относительно прямой АВ:
1) Провести из С перпендикуляр к прямой АВ.
2) Продлить перпендикуляр за прямую АВ на такое же расстояние.
3) Полученная точка C₁ — образ точки С.
Треугольник ABC₁ (или BAC₁) симметричен треугольнику ABC относительно АВ (на самом деле, если А и В на оси, то треугольник ABC₁ будет совпадать с отражением, но вершины А и В те же, третья — C₁).
► б) Относительно произвольной точки М:
Это центральная симметрия относительно точки М.
Для каждой вершины A, B, C:
1) Провести прямую через вершину и точку М.
2) На продолжении прямой за точку М отложить отрезок, равный расстоянию от вершины до М.
3) Получить точки A₁, B₁, C₁.
Треугольник A₁B₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно точки М.
► в) Относительно прямой ВМ:
Прямая ВМ — ось симметрии.
Точка В лежит на оси, остаётся на месте.
Точка М лежит на оси, остаётся на месте (но М не вершина треугольника, а внешняя точка).
Вершины А и С отражаем относительно прямой ВМ:
1) Провести перпендикуляры из А и С к прямой ВМ.
2) На продолжении перпендикуляров за ось отложить равные расстояния.
3) Получить точки A₁ и C₁.
Треугольник A₁ B C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой ВМ.
Как лучше начертить:
1. Нарисуй треугольник ABC(например, разносторонний).
2. Отметь точку М где─нибудь вне треугольника.
3. Для каждого пункта используй циркуль и линейку для точного построения симметричных точек.
4. Подпиши полученные треугольники.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-36.
