Самостоятельная работа № 31 по математике 6 класс (Глава 3, § 5) по теме «Логическое следование» УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-31.
Вернуться к Списку работ
Математика 6 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 31
Проверяемая тема: Глава 3, § 5 – Логическое следование.
Вариант 1
№ 1. Запиши высказывания на математическом языке. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их.
а) Если целое число меньше 1, то оно меньше или равно 0.
б) Если первое число на 4 больше второго, то второе на 4 меньше первого..
в) Если сумма двух чисел равна натуральному числу, то каждое из этих чисел является натуральным числом.
Решение:
► а) Математическая запись:
Пусть x ∈ Z.
Высказывание: x < 1 ⇒ x ≤ 0.
Проверим истинность:
Если x — целое и x < 1, то возможные целые числа: 0, ─1, ─2,…
Все они действительно ≤ 0.
Значит, высказывание истинно.
Отрицание строить не нужно, так как оно не ложное.
✅ Ответ для (а): Высказывание истинно, отрицание не требуется.
► б) Математическая запись:
Пусть a — первое число, b — второе число.
Высказывание: a = b + 4 ⇒ b = a ─ 4.
Проверим истинность:
Если a = b + 4, то, вычитая 4 из обеих частей, получим b = a ─ 4.
Это всегда верно для любых чисел a, b.
Значит, высказывание истинно.
Отрицание не требуется.
✅ Ответ для (б): Высказывание истинно, отрицание не требуется.
► в) Математическая запись:
Пусть x, y — числа (не обязательно натуральные).
Высказывание: x + y ∈ N ⇒ x ∈ N и y ∈ N.
Проверим истинность:
Контрпример: x = 2.5, y = 0.5, тогда x + y = 3 (натуральное), но x и y не натуральные (не целые положительные).
Значит, высказывание ложно.
Отрицание ложного высказывания:
Отрицаем импликацию A ⇒ B, где
A : «сумма двух чисел — натуральное число»,
B : «каждое из этих чисел — натуральное число».
Отрицание импликации: A и не B.
То есть: «Сумма двух чисел является натуральным числом, и при этом хотя бы одно из этих чисел не является натуральным числом».
Обоснование:
Мы привели пример (2.5; 0.5), для которого A истинно, а B ложно, значит исходное высказывание ложно, а его отрицание истинно.
✅ Ответ для (в): Высказывание ложно.
Отрицание: «Сумма двух чисел является натуральным числом, и хотя бы одно из этих чисел не является натуральным числом».
Обоснование: пример 2.5 + 0.5 = 3.
№ 2. Запиши высказывания на математическом языке. Найди взаимно обратные высказывания и определи, являются ли они равносильными.
а) Из равенства двух чисел следует равенство их модулей.
б) Если произведение двух чисел делится на 7, то хотя бы одно из этих чисел делится на 7.
в) Если модули двух чисел равны, то эти числа равны.
Решение:
► а)
Исходное: a = b ⇒ |a| = |b|.
Обратное: |a| = |b| ⇒ a = b.
Проверим равносильность:
Исходное истинно (если числа равны, модули равны).
Обратное ложно (пример: a = 2, b = ─2, модули равны, но числа не равны).
Значит, не равносильны.
✅ Ответ для (а): Исходное истинно, обратное ложно, не равносильны.
► б)
Исходное: 7 | (a • b) ⇒ (7 | a) (7 | b)
Расшифровка символов:
— «7 делит без остатка», то есть кратно 7;
— произведение чисел и ;
— импликация («если …, то …»);
— дизъюнкция («ИЛИ»).
Полная формулировка исходного: «Если произведение делится на 7, то хотя бы одно из чисел или делится на 7».
Обратное: (7 | a) или (7 | b) ⇒ 7 | (a • b).
Формулировка обратного: «Если хотя бы одно из чисел или делится на 7, то их произведение делится на 7».
Проверим: Исходное истинно для целых чисел (свойство простого числа 7).
Обратное тоже истинно: если хотя бы один множитель делится на 7, то произведение делится на 7.
Значит, равносильны (оба истинны, но вообще равносильность означает одинаковую истинность при всех значениях переменных — здесь это так).
✅ Ответ для (б): Исходное и обратное истинны, равносильны.
► в)
Исходное: |a| = |b| ⇒ a = b.
Обратное: a = b ⇒ |a| = |b|.
Проверим:
Исходное ложно (пример a = 5, b = ─5).
Обратное истинно. Не равносильны.
✅ Ответ для (в): Исходное ложно, обратное истинно, не равносильны.
№ 3*. Запиши, используя знак Df, определение:
а) неправильной дроби; б) прямого угла.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Вариант 2
№ 1. Запиши высказывания на математическом языке. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их.
а) Если каждое из двух чисел является натуральным числом, то их разность является целым числом.
б) Если рациональное число больше 1, то оно больше или равно 2.
в) Если первое число в 7 раз больше второго, то второе в 7 раз меньше первого.
Решение:
► а) Если каждое из двух чисел является натуральным числом, то их разность является целым числом.
На математическом языке:
Пусть a ∈ N, b ∈ N, тогда a ─ b ∈ Z.
Это высказывание истинно, потому что натуральные числа — это целые положительные числа, разность любых двух целых чисел — целое число (даже если результат отрицательный или ноль).
Отрицание строить не нужно, так как высказывание истинно.
► б) Если рациональное число больше 1, то оно больше или равно 2.
На математическом языке:
Пусть r ∈ Q, если r > 1, то r ≥ 2.
Это высказывание ложно, потому что можно привести контрпример: r = 1,5 — рациональное число, больше 1, но не больше или равно 2.
Отрицание:
«Существует рациональное число, большее 1, но меньшее 2».
Обоснование: действительно, 1,5 удовлетворяет этому условию, поэтому исходное утверждение ложно, а отрицание истинно.
► в) Если первое число в 7 раз больше второго, то второе в 7 раз меньше первого.
На математическом языке:
Пусть a, b ∈ R, если a = 7b, то b = a/7.
Это высказывание истинно, так как «в 7 раз больше» означает a = 7b, отсюда b = a / 7, что и означает «в 7 раз меньше».
Отрицание строить не нужно.
✅ Ответы:
а) Истинно, отрицание не строим.
б) Ложно, отрицание: «Существует рациональное число r > 1 и r < 2 ».
в) Истинно, отрицание не строим.
№ 2. Запиши высказывания на математическом языке. Найди взаимно обратные высказывания и определи, являются ли они равносильными.
а) Если квадраты двух чисел равны, то их модули равны.
б) Если разность двух чисел кратна 5, то каждое из этих чисел кратно 5.
в) Из равенства модулей двух чисел следует равенство квадратов этих чисел.
Решение:
► а) Если квадраты двух чисел равны, то их модули равны.
На математическом языке:
Если a² = b², то |a| = |b|.
Обратное высказывание:
Если |a| = |b|, то a² = b².
Проверим равносильность:
Прямое: a² = b² ⇒ |a| = |b| — истинно.
Обратное: |a| = |b| ⇒ a² = |a|² = |b|² = b² — истинно.
Значит, они равносильны.
► б) Если разность двух чисел кратна 5, то каждое из этих чисел кратно 5.
На математическом языке:
Если a ─ b ⋮ 5, то a ⋮ 5 и b ⋮ 5.
Обратное высказывание:
Если a ⋮ 5 и b ⋮ 5, то a ─ b ⋮ 5.
Проверим равносильность:
Прямое — ложно (пример: a = 7, b = 2, разность 5 кратна 5, но сами числа не кратны 5).
Обратное — истинно (если оба кратны 5, их разность кратна 5).
Значит, не равносильны.
► в) Из равенства модулей двух чисел следует равенство квадратов этих чисел.
На математическом языке:
Если |a| = |b|, то a² = b².
Обратное высказывание:
Если a² = b², то |a| = |b|.
Проверим равносильность:
Прямое — истинно (возведём в квадрат: |a|² = a², |b|² = b², из |a| = |b| следует a² = b²).
Обратное — истинно (из a² = b² следует |a| = |b|, так как модуль — корень из квадрата).
Значит, равносильны.
✅ Ответы:
а) Прямое: a² = b² ⇒ |a| = |b|, обратное: |a| = |b| ⇒ a² = b², равносильны.
б) Прямое: a ─ b ⋮ 5 ⇒ a ⋮ 5 и b ⋮ 5 (ложно), обратное: a ⋮ 5 и b ⋮ 5 ⇒ a ─ b ⋮ 5 (истинно), не равносильны.
в) Прямое: |a| = |b| ⇒ a² = b², обратное: a² = b² ⇒ |a| = |b|, равносильны.
№ 3*. Запиши, используя знак Df, определение:
а) взаимно простых чисел; б) острого угла.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 6 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев СР-31.
