Итоговая контрольная работа по математике за курс 6 класса УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-10.
Вернуться к Списку работ
Математика 6 класс (Угл. ур.)
Итоговая контрольная работа
Вариант 1
№ 1. Найди значения выражений:
► а) 2,4 • (─1 1/3)
Решение:
1 1/3 = 4/3
2,4 = 24/10 = 12/5
Умножаем:
12/5 • (─ 4/3) = ─ 12 • 4/5 • 3 = ─ 48/15 = ─ 16/5 = ─3,2
✅ Ответ: ─3,2
► б) (4,75 ─ 8,2) : (─0,01)
Решение:
4,75 ─ 8,2 = ─3,45
Делим на ─0,01:
─3,45 : (─0,01) = 3,45 • 100 = 345
✅ Ответ: 345
► в) 2,56 • (─40,5) ─ 6,38
Решение:
Сначала умножение:
2,56 • 40,5 = 2,56 • 40 + 2,56 • 0,5 = 102,4 + 1,28 = 103,68
С учётом знака: ─103,68
Теперь вычитаем 6,38:
─103,68 ─ 6,38 = ─110,06
✅ Ответ: ─110,06
► г) 14,07 : 3,5 + [(3,36 + 3/8 ─ 3,36 ─ 0,125) : 1/4 • 0,8 ─ 0,072] • (5,8 + 4 1/2)
Решение по шагам:
1). 14,07 : 3,5 = 4,02
2). В скобках (3,36 + 3/8 ─ 3,36 ─ 0,125) :
3,36 ─ 3,36 = 0
Остаётся 3/8 ─ 0,125
3/8 = 0,375, 0,375 ─ 0,125 = 0,25
3). Делим на 1/4 : 0,25 : 1/4 = 0,25 • 4 = 1
4). Умножаем на 0,8: 1 • 0,8 = 0,8
5). Вычитаем 0,072: 0,8 ─ 0,072 = 0,728
6). Вторая скобка: 5,8 + 4 1/2 = 5,8 + 4,5 = 10,3
7). Умножаем: 0,728 • 10,3 = 7,4984
8). Прибавляем к 4,02: 4,02 + 7,4984 = 11,5184
✅ Ответ: 11,5184
№ 2. Реши уравнения:
► а) 2,4 + 3/5x = 1 1/15x + 1,56
Решение:
3/5 = 0,6, 1 1/15 = 16/15 ≈ 1,0666…
Переведём всё в десятичные дроби:
2,4 + 0,6x = 16/15x + 1,56
Умножим всё на 15, чтобы избавиться от дроби:
36 + 9x = 16x + 23,4
36 ─ 23,4 = 16x ─ 9x
12,6 = 7x
x = 1,8
✅ Ответ: x = 1,8
► б) 5(y + 2) = 9y ─ 6(y ─ 1)
Решение:
Раскрываем скобки:
5y + 10 = 9y ─ 6y + 6
5y + 10 = 3y + 6
5y ─ 3y = 6 ─ 10
2y = ─4
y = ─2
✅ Ответ: y = ─2
№ 3. Сумма трех чисел равна 80. Первое число составляет 15% всей суммы, но 40% второго числа. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.
Решение. Сумма трёх чисел: S = 80
Первое число: a = 15 % от 80 = 0,15 • 80 = 12
По условию a = 40 % от второго числа b :
12 = 0,4b ⇒ b = 12 : 0,4 = 30
Третье число: c = 80 ─ a ─ b = 80 ─ 12 ─ 30 = 38
Среднее арифметическое a и c :
(a + c)/2 = (12 + 38)/2 = 50/2 = 25
✅ Ответ: 25
№ 4. Когда велосипедист выехал из деревни на станцию, пешеход уже находился на расстоянии 2 км 400 м от деревни. На станцию они прибыли одновременно через 15 мин после выезда велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист, если скорость пешехода была 6 км/ч?
Решение:
Пусть расстояние от деревни до станции S км.
Пешеход был в момент выезда велосипедиста на расстоянии 2,4 км от деревни, значит ему осталось пройти S ─ 2,4 км.
Скорость пешехода v_p = 6 км/ч.
Время движения пешехода от момента выезда велосипедиста до станции: t = 15 мин = 0,25 ч.
Уравнение для пешехода:
S ─ 2,4 = 6 • 0,25 = 1,5
Отсюда S = 1,5 + 2,4 = 3,9 км.
Велосипедист проехал S = 3,9 км за 0,25 ч.
Его скорость:
v_b = 3,9/0,25 = 15,6 км/ч
✅ Ответ: 15,6 км/ч.
№ 5. Одна сторона прямоугольника a м, а другая в 9 раз больше. Меньшую сторону увеличили в 2 раза, а большую уменьшили в 3 раза. Увеличился или уменьшился периметр прямоугольника и во сколько раз?
Решение. Исходные стороны: a и 9a
Периметр: P₁ = 2(a + 9a) = 2 • 10a = 20a
После изменений:
Меньшая сторона a → 2a
Большая сторона 9a → 9a : 3 = 3a
Новый периметр: P₂ = 2(2a + 3a) = 2 • 5a = 10a
Сравниваем: P₂ = 10a, P₁ = 20a
P₂ меньше P₁ в 20a/10a = 2 раза.
✅ Ответ: Периметр уменьшился в 2 раза.
№ 6. Определи, истинны или ложны данные высказывания. Построй отрицания ложных высказываний:
► а) ∃ n ∈ N: 3n ─ 7 = 19
Решение:
3n ─ 7 = 19 ⇒ 3n = 26 ⇒ n = 26/3 ∉ N
Высказывание ложно.
Отрицание: ∀ n ∈ N: 3n ─ 7 ≠ 19
► б) ∀ a, b ∈ R: a + b = b + a
Решение:
Это переместительный закон сложения, верный для всех действительных чисел.
Высказывание истинно.
► в) ∃ c, d ∈ N: c² + d² = 5
Решение:
Натуральные числа c, d ≥ 1.
Проверим: 1² + 1² = 2, 1² + 2² = 5 — подходит c = 1, d = 2 или c = 2, d = 1.
Высказывание истинно.
► г) ∀ x, y ∈ N: x + 1 > y ─ 1
Решение:
Это неверно. Контрпример: x = 1, y = 100
1 + 1 = 2, 100 ─ 1 = 99, 2 > 99 — ложно.
Высказывание ложно.
Отрицание: ∃ x, y ∈ N: x + 1 ≤ y ─ 1
✅ Ответ:
а) Ложно, отрицание: ∀ n ∈ N: 3n ─ 7 ≠ 19
б) Истинно
в) Истинно
г) Ложно, отрицание: ∃ x, y ∈ N: x + 1 ≤ y ─ 1
Вариант 2
№ 1. Найди значения выражений:
► а) (─2 1/7) • (─3,5)
Решение:
1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
─2 1/7 = ─ 15/7.
2. ─3,5 = ─ 7/2.
3. Умножаем:
(─ 15/7) • (─ 7/2) = 15 • 7/7 • 2 = 15/2 = 7,5.
✅ Ответ: 7,5.
► б) (─9,8 + 25,06) : (─0,1)
Решение:
1. Сначала сложим:
─9,8 + 25,06 = 15,26.
2. Делим на ─0,1:
15,26 : (─0,1) = ─152,6.
✅ Ответ: ─152,6.
► в) (─3,45) • 8,06 ─ 22,83
Решение:
1. Умножение:
─3,45 • 8,06 = ─27,807.
2. Вычитаем:
─27,807 ─ 22,83 = ─50,637.
✅ Ответ: ─50,637.
► г) 75,6 : 1,5 ─ [(2,48 + 1/8 ─ 2,48 + 0,125) : 1/4 ─ 4/7] • 23 1/3 • (1/2 ─ 0,026)
Решение:
1. 75,6 : 1,5 = 50,4.
2. В скобках: 2,48 + 1/8 ─ 2,48 + 0,125.
1/8 = 0,125, значит:
2,48 ─ 2,48 = 0, остаётся 0,125 + 0,125 = 0,25.
3. Делим на 1/4: 0,25 : 1/4 = 0,25 • 4 = 1.
4. Вычитаем 4/7: 1 ─ 4/7 = 3/7.
5. 23 1/3 = 70/3.
6. 1/2 ─ 0,026 = 0,5 ─ 0,026 = 0,474.
7. Умножаем: 3/7 • 70/3 • 0,474.
3/7 • 70/3 = 10.
10 • 0,474 = 4,74.
8. Вычитаем из 50,4: 50,4 ─ 4,74 = 45,66.
✅ Ответ: 45,66.
№ 2. Реши уравнения:
► а) 16/21 • x ─ 2,48 = 3/7 • x ─ 1,18
Решение:
1. Переносим x влево, числа вправо:
16/21x ─ 3/7x = 2,48 ─ 1,18.
2. 3/7 = 9/21, значит:
16/21x ─ 9/21x = 7/21x = 1/3x.
3. 2,48 ─ 1,18 = 1,3.
4. Уравнение: 1/3x = 1,3.
5. x = 1,3 • 3 = 3,9.
✅ Ответ: x = 3,9.
► б) 5(1 ─ 2y) = 7 ─ 4(3y + 1)
Решение:
1. Раскрываем скобки:
5 ─ 10y = 7 ─ 12y ─ 4.
2. Упрощаем правую часть: 7 ─ 4 = 3, значит:
5 ─ 10y = 3 ─ 12y.
3. Переносим:
─10y + 12y = 3 ─ 5.
2y = ─2.
4. y = ─1.
✅ Ответ: y = ─1.
№ 3. Сумма трех чисел равна 120. Первое число составляет 25% всей суммы, но 60% второго числа. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.
Решение:
1). Первое число: 25 % от 120:
0,25 • 120 = 30.
2). Первое число равно 60 % второго:
30 = 0,6 • b ⇒ b = 30 : 0,6 = 50.
3). Третье число: 120 ─ 30 ─ 50 = 40.
4). Среднее арифметическое первого и третьего:
(30 + 40) : 2 = 35.
✅ Ответ: 35.
№ 4. По шоссе в одном направлении едут мотоциклист и автобус. Скорость автобуса 80 км/ч. Когда мотоциклист подъехал к мосту, автобус еще не доехал до моста 4 км 800 м, а через 12 мин автобус догнал мотоциклиста. С какой скоростью ехал мотоциклист?
Решение:
1). 4,8 км = 4800 м.
2). 12 мин = 0,2 часа.
3). Пусть скорость мотоциклиста v км/ч.
Когда мотоциклист у моста, расстояние между ним и автобусом 4,8 км.
Через 0,2 ч автобус догнал мотоциклиста, значит за это время автобус проехал на 4,8 км больше, чем мотоциклист.
4). Уравнение:
80 • 0,2 ─ v • 0,2 = 4,8.
16 ─ 0,2v = 4,8.
─0,2v = 4,8 ─ 16 = ─11,2.
v = 56 км/ч.
✅ Ответ: 56 км/ч.
№ 5. Одна сторона прямоугольника a м, а другая в 6 раз больше. Меньшую сторону увеличили в 3 раза, а большую уменьшили в 2 раза. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и во сколько раз?
Решение:
1). Исходные стороны: a и 6a.
Площадь S₁ = a • 6a = 6a².
2). После изменений: меньшая 3a, большая 6a : 2 = 3a.
Получился квадрат со стороной 3a.
Площадь S₂ = 3a • 3a = 9a².
3). Сравниваем: 9a² / 6a² = 1,5.
✅ Ответ: площадь увеличилась в 1,5 раза.
№ 6. Определи, истинны или ложны данные высказывания. Построй отрицания ложных высказываний:
► а) ∀ x ∈ N: x² = 2x
Решение:
Проверим:
x = 1: 1² = 1, 2• 1 = 2 — не равно.
Значит, не для всех x верно.
✅ Ответ: Ложное.
Отрицание: ∃ x ∈ N: x² ≠ 2x.
► б) ∃ m ∈ N: 5m + 1 = 16
Решение:
5m + 1 = 16 ⇒ 5m = 15 ⇒ m = 3 ∈ N.
✅ Ответ: Истинное.
► в) ∀ a, b ∈ R: ab = ba
Решение:
Умножение чисел коммутативно, всегда ab = ba.
✅ Ответ: Истинное.
► г) ∃ c, d ∈ R: c + d < 2
Решение:
Например, c = 0, d = 0: 0 + 0 < 2 — верно.
✅ Ответ: Истинное.
Для учителя:
Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по математике за курс 6 класса Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 6 Дорофеев КР-10.
