Самостоятельная работа № 5 по математике 5 класс Глава 1, §3 Язык и логика. п.4. О доказательстве общих утверждений. п.5. Введение обозначений. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-7.
Вернуться к Списку работ
Математика 5 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 7
Проверяемая тема: Глава 1. § 3. Язык и логика.
п.4. О доказательстве общих утверждений.
п.5. Введение обозначений.
Вариант 1
№ 1. Докажи, что:
а) если каждое из двух чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7;
б) если одно из чисел делится на 3, а другое делится на 2, то их произведение делится на 6.
РЕШЕНИЕ.
а) Если каждое из двух чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.
Доказательство:
1. Пусть первое число a делится на 7. Это значит, что a = 7 k, где k — какое – то натуральное число (или целое).
2. Пусть второе число b делится на 7. Это значит, что b = 7 m, где m — какое – то натуральное число.
3. Найдем их сумму: a + b = 7k + 7m.
4. Вынесем общий множитель 7 за скобки: a + b = 7 (k + m).
5. Так как k и m — целые числа, то (k + m) тоже целое число.
6. Мы представили сумму a + b в виде произведения числа 7 и целого числа (k + m). Это по определению означает, что сумма a + b делится на 7.
Что и требовалось доказать.
б) Если одно из чисел делится на 3, а другое делится на 2, то их произведение делится на 6.
Доказательство:
1. Число 6 = 2 3. Если число делится и на 2, и на 3, то оно делится на 6.
2. Пусть первое число a делится на 3 (a = 3 k), а второе число b делится на 2 (b = 2 m).
3. Найдем их произведение: a b = 3k 2m = 3 2 k m = 6 (k m).
4. Мы представили произведение a b в виде произведения числа 6 и целого числа (k m).
5. Это означает, что произведение a b делится на 6.
Что и требовалось доказать.
№ 2. Докажи, что существует такое натуральное число х, что:
а) 16x ≥ 64; б) 57х – 89 = 82; в) 5х – х = 128.
РЕШЕНИЕ. Нужно не решить уравнение, а просто подобрать хотя бы одно натуральное x, которое ему удовлетворяет, тем самым доказав, что такое число существует.
а) 16x ≥ 64
1. Упростим неравенство: разделим обе части на 16. Получим x ≥ 4.
2. Существует ли натуральное x, такое что x ≥ 4? Да, например, x = 4.
3. Доказано: при x = 4: 16 4 = 64, 64 ≥ 64 — верно.
б) 57х – 89 = 82
1. Перенесем числа: 57х = 82 + 89; 57х = 171.
2. Найдем х: х = 171 / 57; х = 3.
3. Число 3 — натуральное.
4. Доказано: при x = 3: 573 – 89 = 171 – 89 = 82 — верно.
в) 5х – х = 128
1. Упростим уравнение: 4х = 128.
2. Найдем х: х = 128 / 4; х = 32.
3. Число 32 — натуральное.
4. Доказано: при x = 32: 532 – 32 = 160 – 32 = 128 — верно.
№ 3.Задумано число. Если его увеличить в 7 раз, то получится число, на 73 меньшее произведения чисел 17 и 50. Найди задуманное число.
РЕШЕНИЕ. Шаг 1: Составим уравнение.
Пусть задуманное число — y.
Увеличим его в 7 раз: 7y.
Произведение чисел 17 и 50: 17 50 = 850.
«Получится число, на 73 меньшее, чем 850» — значит, 7y на 73 меньше 850. Запишем: 7y = 850 – 73
Шаг 2: Решим уравнение.
7y = 777
y = 777 / 7
y = 111
Ответ: Задуманное число — 111.
№ 4. * Докажи, что все числа из множества {72, 216, 1080} кратны 2 и 9.
РЕШЕНИЕ. Нужно доказать, что все числа из множества {72, 216, 1080} делятся (кратны) и на 2, и на 9.
Признак делимости на 2: число оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8).
Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.
Проверим для каждого числа:
1. Число 72:
Оканчивается на 2 → делится на 2.
Сумма цифр: 7 + 2 = 9. 9 делится на 9 → делится на 9.
2. Число 216:
Оканчивается на 6 → делится на 2.
Сумма цифр: 2 + 1 + 6 = 9. 9 делится на 9 → делится на 9.
3. Число 1080:
Оканчивается на 0 → делится на 2.
Сумма цифр: 1 + 0 + 8 + 0 = 9. 9 делится на 9 → делится на 9.
Вывод: Поскольку каждое число из данного множества удовлетворяет обоим признакам делимости, мы доказали, что все они кратны и 2, и 9.
Математика 5 Дорофеев СР-7
Вариант 2
№ 1. Докажи, что:
а) если каждое из двух чисел делится на 19, то и их разность делится на 19;
б) если одно из двух чисел делится на 8, то и их произведение делится на 8.
РЕШЕНИЕ.
а) Если каждое из двух чисел делится на 19, то и их разность делится на 19.
Доказательство:
1. Пусть первое число a делится на 19. Значит, a = 19 k, где k — целое число.
2. Пусть второе число b делится на 19. Значит, b = 19 m, где m — целое число.
3. Найдем их разность: a – b = 19k – 19m.
4. Вынесем общий множитель 19 за скобки: a – b = 19 (k – m).
5. Так как k и m — целые числа, то (k – m) тоже целое число.
6. Мы представили разность a – b в виде произведения числа 19 и целого числа. Это означает, что разность делится на 19.
Что и требовалось доказать.
б) Если одно из двух чисел делится на 8, то и их произведение делится на 8.
Доказательство:
1. Пусть число a делится на 8. Значит, a = 8 k, где k — целое число. Второе число — b.
2. Найдем их произведение: a b = 8k b = 8 (k b).
3. Мы представили произведение a b в виде произведения числа 8 и целого числа (k b).
4. Это означает, что произведение a b делится на 8.
Что и требовалось доказать.
№ 2. Докажи, что существует такое натуральное число х, что:
а)12х ≤ 24; б) 68х + 29 = 301; в) 7х – 2х = 70.
РЕШЕНИЕ. Нужно подобрать хотя бы одно натуральное x, удовлетворяющее условию.
а) 12х ≤ 24
1. Разделим обе части на 12: x ≤ 2.
2. Существует ли натуральное x, такое что x ≤ 2? Да, например, x = 1 или x = 2.
3. Доказано: при x = 1: 12 1 = 12, 12 ≤ 24 — верно.
б) 68х + 29 = 301
1. Перенесем числа: 68х = 301 – 29; 68х = 272.
2. Найдем х: х = 272 / 68; х = 4.
3. Число 4 — натуральное.
4. Доказано: при x = 4: 684 + 29 = 272 + 29 = 301 — верно.
в) 7х – 2х = 70
1. Упростим уравнение: 5х = 70.
2. Найдем х: х = 70 / 5; х = 14.
3. Число 14 — натуральное.
4. Доказано: при x = 14: 714 – 214 = 98 – 28 = 70 — верно.
№ 3. Задумано число. Если его уменьшить на 28, то получится число, на 14 большее частного чисел 306 и 3. Найди задуманное число.
РЕШЕНИЕ.
Шаг 1: Составим уравнение.
Пусть задуманное число — y.
Уменьшим его на 28: y – 28.
Частное чисел 306 и 3: 306 / 3 = 102.
«Получится число, на 14 большее, чем 102» — значит, y – 28 на 14 больше 102. Запишем: y – 28 = 102 + 14
Шаг 2: Решим уравнение.
y – 28 = 116
y = 116 + 28
y = 144
Ответ: Задуманное число — 144.
№ 4. * Докажи, что все числа из множества {90, 225, 1170} кратны 5 и 9.
РЕШЕНИЕ. Нужно доказать, что все числа из множества {90, 225, 1170} делятся на 5 и на 9.
Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.
Проверим для каждого числа:
1. Число 90:
Оканчивается на 0 → делится на 5.
Сумма цифр: 9 + 0 = 9. 9 делится на 9 → делится на 9.
2. Число 225:
Оканчивается на 5 → делится на 5.
Сумма цифр: 2 + 2 + 5 = 9. 9 делится на 9 → делится на 9.
3. Число 1170:
Оканчивается на 0 → делится на 5.
Сумма цифр: 1 + 1 + 7 + 0 = 9. 9 делится на 9 → делится на 9.
Вывод: Поскольку каждое число из данного множества удовлетворяет обоим признакам делимости, мы доказали, что все они кратны и 5, и 9.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-7.
