Математика 5 Дорофеев СР-5

Шаг 1: Построим математическую модель.
Пусть задуманное двузначное число записывается цифрами a (десятки) и b (единицы). Тогда само число равно 10a + b. По условию, это число на 34 больше произведения своих цифр (a * b). Запишем это в виде уравнения:
10a + b = a * b + 34
Теперь выразим разность между числом и произведением его цифр:
10a + b — a * b = 34
Это и есть наша математическая модель.

Шаг 2: Решим методом перебора.
Цифра a (десятки) не может быть 0, иначе число не будет двузначным. Значит, a может быть от 1 до 9.
Цифра b (единицы) может быть от 0 до 9.
Будем подставлять возможные значения a и смотреть, получается ли целое и правильное значение b из уравнения.

• Проверяем a = 1: Уравнение: 10*1 + b — 1*b = 34 → 10 + b — b = 34 → 10 = 34. Это неверно.

• Проверяем a = 2: Уравнение: 10*2 + b — 2*b = 34 → 20 + b — 2b = 34 → 20 — b = 34 → -b = 34 — 20 → -b = 14 → b = -14. Не подходит, цифра не может быть отрицательной.

• Проверяем a = 3: Уравнение: 30 + b — 3b = 34 → 30 — 2b = 34 → -2b = 4 → b = -2. Не подходит.

• Проверяем a = 4: Уравнение: 40 + b — 4b = 34 → 40 — 3b = 34 → -3b = 34 — 40 → -3b = -6 → b = 2. Подходит! Цифра 2 допустима. Получается число 42.

  • Проверка: 42 — (4 * 2) = 42 — 8 = 34. Всё верно!

• Проверяем a = 5: Уравнение: 50 + b — 5b = 34 → 50 — 4b = 34 → -4b = -16 → b = 4. Подходит! Получается число 54.

  • Проверка: 54 — (5 * 4) = 54 — 20 = 34. Тоже верно!

• Проверяем a = 6: Уравнение: 60 + b — 6b = 34 → 60 — 5b = 34 → -5b = -26 → b = 5,2. Не подходит, цифра должна быть целой.

• Проверяем a = 7: Уравнение: 70 + b — 7b = 34 → 70 — 6b = 34 → -6b = -36 → b = 6. Подходит! Получается число 76.

  • Проверка: 76 — (7 * 6) = 76 — 42 = 34. Верно.

• Проверяем a = 8: Уравнение: 80 + b — 8b = 34 → 80 — 7b = 34 → -7b = -46 → b ≈ 6,57. Не подходит.

• Проверяем a = 9: Уравнение: 90 + b — 9b = 34 → 90 — 8b = 34 → -8b = -56 → b = 7. Подходит! Получается число 97.

  • Проверка: 97 — (9 * 7) = 97 — 63 = 34. Верно.

Ответ для задачи № 1: Задуманы числа 42, 54, 76, 97.

№ 2. * Сколько различных чисел можно составить из цифр 8, 0, 2, 6, если цифры в записи числа не повторяются?
Решение: Здесь важно, что цифры в записи числа не повторяются.
Рассмотрим два случая: когда число однозначное и когда двузначное (так как у нас всего 4 цифры, трехзначных и четырехзначных чисел будет мало, но мы их тоже посчитаем).

Способ 1: Перебор с системой
Будем составлять числа по порядку, начиная с меньших разрядов.

• Однозначные числа: Можно использовать любую из 4 цифр: 0, 2, 6, 8.
  Но число 0 однозначным не считается. Значит, однозначные числа: 2, 6, 8.
  Итого: 3 числа.

• Двузначные числа: На первом месте (десятки) не может стоять 0.

  1. Если первая цифра 2: тогда вторую можно выбрать из {0, 6, 8}. Получаем: 20, 26, 28. (3 числа)

  2. Если первая цифра 6: тогда вторую можно выбрать из {0, 2, 8}. Получаем: 60, 62, 68. (3 числа)

  3. Если первая цифра 8: тогда вторую можно выбрать из {0, 2, 6}. Получаем: 80, 82, 86. (3 числа)
     Итого для двузначных: 3 + 3 + 3 = 9 чисел.

• Трехзначные числа: На первом месте не может быть 0. Будем последовательно выбирать цифры.

  1. Первая цифра 2: остались цифры {0, 6, 8}.

     • Вторая цифра 0: третья может быть 6 или 8 (206, 208)

     • Вторая цифра 6: третья может быть 0 или 8 (260, 268)

     • Вторая цифра 8: третья может быть 0 или 6 (280, 286)
       Получили 6 чисел с первой цифрой 2.

  2. Первая цифра 6: остались {0, 2, 8}. Аналогично: 602, 608, 620, 628, 680, 682. Еще 6 чисел.

  3. Первая цифра 8: остались {0, 2, 6}. Аналогично: 802, 806, 820, 826, 860, 862. Еще 6 чисел.
     Итого для трехзначных: 6 + 6 + 6 = 18 чисел.

• Четырехзначные числа: На первом месте не может быть 0. Будем последовательно выбирать цифры.

  1. Первая цифра 2: остались {0, 6, 8}. Теперь нужно расставить эти 3 цифры на оставшиеся три места. Сделаем также по порядку:

     • Вторая цифра может быть любой из трех оставшихся.

     • Для каждого выбора второй цифры, третья может быть любой из двух оставшихся.

     • Для каждого выбора второй и третьей, четвертая займет последнюю оставшуюся цифру.

     • Значит, для первой цифры 2 можно составить 3 * 2 * 1 = 6 чисел.
       Это: 2068, 2086, 2608, 2680, 2806, 2860.

  2. Первая цифра 6: остались {0, 2, 8}. Точно так же получим еще 6 чисел: 6028, 6082, 6208, 6280, 6802, 6820.

  3. Первая цифра 8: остались {0, 2, 6}. И еще 6 чисел: 8026, 8062, 8206, 8260, 8602, 8620.
     Итого для четырехзначных: 6 + 6 + 6 = 18 чисел.

Теперь сложим все возможные числа:
Однозначные: 3
Двузначные: 9
Трехзначные: 18
Четырехзначные: 18
Общее количество чисел: 3 + 9 + 18 + 18 = 48.

Ответ для задачи № 2: Можно составить 48 различных чисел.