Самостоятельная работа № 13 по математике 5 класс варианты 1-2. Разложение чисел на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. УМК Дорофеев, Петерсон Углубленный уровень. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-13. Вернуться к Списку работ
Математика 5 класс (Угл. ур.)
Самостоятельная работа № 13
Проверяемая тема: Глава 2. § 4. Простые числа и делимость. п.1. Разложение чисел на простые множители. п.2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
№ 2. Найди наибольший общий делитель чисел:
а) 23 и 58; б) 36 и 84; в) 6; 14 и 42; г) 294 и 700.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 23 и 58
23 — простое число. Проверим, делится ли 58 на 23: 58 / 23 ≈ 2.52 (не делится).
НОД(23, 58) = 1 б) 36 и 84
36 = 2² * 3²
84 = 2² * 3 * 7
Общие множители: 2² и 3.
НОД(36, 84) = 2² * 3 = 12 в) 6, 14 и 42
6 = 2 * 3
14 = 2 * 7
42 = 2 * 3 * 7
Общий множитель для всех трёх чисел — 2.
НОД(6, 14, 42) = 2 г) 294 и 700
294 = 2 * 3 * 7²
700 = 2² * 5² * 7
Общие множители: 2 и 7.
НОД(294, 700) = 2 * 7 = 14
№ 3. Даны разложения чисел на простые множители. Найди их НОД. Делится ли число а на число b? Если делится, найди их частное:
а) а = 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5 • 19, b = 3 • 3 • 5 • 11;
б) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 7 • 7 • 17, b = 2 • 2 • 7 • 17.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) а = 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5 • 19, b = 3 • 3 • 5 • 11
1. НОД: Общие простые множители — 3, 3, 5. НОД(а, b) = 3 * 3 * 5 = 45.
2. Делимость: Чтобы а делилось на b, все простые множители b должны входить в а с не меньшей степенью. В b есть множитель 11, которого нет в а. Значит, а не делится на b.
б) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 7 • 7 • 17, b = 2 • 2 • 7 • 17
1. НОД: Общие простые множители — 2, 2, 7, 17. НОД(а, b) = 2 * 2 * 7 * 17 = 476.
2. Делимость: Все множители b (2, 2, 7, 17) присутствуют в а. Значит, а делится на b.
3. Частное: Чтобы найти частное a/b, вычеркнем из разложения а все множители b.
Остается: 2 * 7 * 3 = 42.
Проверка: НОД * Частное = 476 * 42 = 19992. а = 2*2*2*3*7*7*17 = 8*3*49*17 = 24*833 = 19992. Верно.
№ 2. Найди наибольший общий делитель чисел:
а) 48 и 80; б) 31 и 59; в) 10; 25 и 135; г) 198 и 600.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 48 и 80
48 = 2⁴ * 3
80 = 2⁴ * 5
НОД(48, 80) = 2⁴ = 16
б) 31 и 59
31 и 59 — простые числа.
НОД(31, 59) = 1
в) 10, 25 и 135
10 = 2 * 5
25 = 5²
135 = 3³ * 5
Общий множитель для всех трёх чисел — 5.
НОД(10, 25, 135) = 5
г) 198 и 600
198 = 2 * 99 = 2 * 3² * 11
600 = 2³ * 3 * 5²
Общие множители: 2 и 3.
НОД(198, 600) = 2 * 3 = 6
№ 3. Даны разложения чисел на простые множители. Найди их НОД. Делится ли число а на число b? Если делится, найди их частное:
а) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 23, b = 2 • 5 • 7 • 23;
б) а = 5 • 7 • 7 • 7 • 13 • 17 • 19, b = 2 • 5 • 7 • 7.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 23, b = 2 • 5 • 7 • 23
1. НОД: Общие простые множители — 2, 5, 7, 23. НОД(а, b) = 2 * 5 * 7 * 23 = 1610.
2. Делимость: Все множители b (2, 5, 7, 23) присутствуют в а. Значит, а делится на b.
3. Частное: Вычеркнем из разложения а все множители b. Остается: 2 * 2 * 3 = 12.
Проверка: НОД * Частное = 1610 * 12 = 19320. а = 8*3*5*7*23 = 24*805 = 19320. Верно.
б) а = 5 • 7 • 7 • 7 • 13 • 17 • 19, b = 2 • 5 • 7 • 7
1. НОД: Общие простые множители — 5, 7, 7. НОД(а, b) = 5 * 7 * 7 = 245.
2. Делимость: В b есть множитель 2, которого нет в а. Значит, а не делится на b.
Найдем разности между соседними членами:
1 = 1
1 = 1 * 1
2 = 1 * 2
6 = 2 * 3
24 = 6 * 4
Закономерность: каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на увеличивающееся на 1 натуральное число.
Следующий множитель: 5.
24 * 5 = 120.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по математике 5 класс Углубленный уровень УМК Дорофеев, Петерсон ФГОС 2021. Код материалов: Математика 5 Дорофеев СР-13.
