Самостоятельная работа № 6 по геометрии в 9 классе «Правильные многоугольники и их свойства» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 71-90). Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 6 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 6. Вариант 1
№ 71. Найдите углы правильного пятиугольника.
Решение: Сумма углов выпуклого n─угольника равна 180°(n─2).
Для правильного пятиугольника (n=5):
Сумма углов: 180° × (5─2) = 540°.
Каждый угол: 540°/5 = 108°.
Ответ: Углы правильного пятиугольника равны 108°.
№ 72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:
1) его угол равен 168°;
2) угол, смежный с углом многоугольника, равен 18°.
Решение:
1) Угол правильного n─угольника: (180°(n─2))/n = 168°.
Умножаем на n: 180n ─ 360 = 168n
12n = 360
n = 30.
2) Угол многоугольника и смежный с ним в сумме дают 180°.
Если смежный угол равен 18°, то угол многоугольника: 180° ─ 18° = 162°.
Решаем: (180(n─2))/n = 162
180n ─ 360 = 162n
18n = 360
n = 20.
Ответ: 1) n = 30; 2) n = 20.
№ 73. На рисунке 4 изображён правильный шестиугольник ABCDEF, К — точка пересечения прямых DE и AF. Найдите угол AKD.
Решение: В правильном шестиугольнике внутренние углы равны: (180(6─2))/6 = 120°.
Рассмотрим треугольник AKD.
Угол FAB шестиугольника равен 120°, но нам нужен угол между сторонами AF и AB.
Лучше рассмотреть треугольник AKD:
A и D — вершины шестиугольника, K — пересечение продолжений сторон DE и AF.
Угол AKD — внешний к шестиугольнику.
Из геометрии: угол между прямыми AF и DE равен углу между сторонами шестиугольника, смещённым на одну сторону, то есть 60° (так как центральный угол шестиугольника 60°, а угол между AF и DE соответствует разности углов).
Более строго:
Продолжим стороны, получим равнобедренный треугольник с углом при вершине K, равным 60°.
Ответ: ∠AKD = 60°.
№ 74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет 2/3 угла многоугольника.
Решение: Пусть угол многоугольника равен α, смежный с ним угол равен β.
α + β = 180°, и β = 2/3α.
Подставляем: α + 2/3α = 180°
5/3α = 180°
α = 108°.
Теперь используем формулу для угла правильного n─угольника:
(180(n─2))/n = 108
180n ─ 360 = 108n
72n = 360
n = 5.
Ответ: n = 5.
№ 75. Найдите центральный угол правильного тридцатиугольника.
Решение:
Центральный угол правильного n─угольника равен 360°/n.
Для n=30: 360°/30 = 12°.
Ответ: Центральный угол правильного тридцатиугольника равен 12°.
№ 76. Центральный угол правильного многоугольника равен 15°. Найдите количество сторон многоугольника.
Решение: Центральный угол правильного n─угольника вычисляется по формуле: α = 360°/n
Подставляем известное значение: 15° = 360°/n
Решаем уравнение относительно n: n = 360°/15° = 24
Ответ: Количество сторон многоугольника равно 24.
№ 77. Пусть a_3 — сторона правильного треугольника, R и r — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).
Решение: Для правильного треугольника справедливы формулы:
R = a_3/√3, r = a_3/2√3, a_3 = R√3, a_3 = 2r√3
Также: R = 2r, r = R/2
Заполним таблицу, используя эти соотношения:
| a3 | R | r |
| 6 | 6/√3 = 2√3 | 6/2√3 = √3 |
| 8 | 8/√3 | 8/2√3 = 4/√3 |
| 4√3 | 4√3/√3 = 4 | 4√3/2√3 = 2 |
| 10 | 10/√3 | 10/2√3 = 5/√3 |
| 5√3 | 5√3/√3 = 5 | 5√3/2√3 = 2.5 |
| 2√3 | 2√3/√3 = 2 | 2√3/2√3 = 1 |
| 3√3 | 3√3/√3 = 3 | 3√3/2√3 = 1.5 |
Ответ: Таблица заполнена.
№ 78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 8 см.
Решение: Для правильного треугольника: R = 2r.
Разность: R ─ r = 8.
Подставляем R = 2r:
2r ─ r = 8 ⇒ r = 8
Тогда: R = 2r = 16
Ответ: Радиус описанной окружности R = 16 см, радиус вписанной окружности r = 8 см.
№ 79. Найдите отношение площадей правильных треугольника и четырехугольника, стороны которых равны.
Решение: Пусть сторона фигур равна a.
Площадь правильного треугольника: S_3 = (a^2 √3)/4
Площадь квадрата (правильного четырехугольника): S_4 = a^2
Отношение площадей:
S_3/S_4 = \frac{(a^2 √3)/4}{a^2} = √3/4
Ответ: S_3/S_4 = √3/4.
№ 80. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 4 см.
Решение: Площадь правильного n─угольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле: S = n/2 R^2 sin(2π/n)
Для n = 12, R = 4:
S = 12/2 • 4^2 • sin(2π/12) = 6 • 16 • sin(π/6)
Так как sin(π/6) = 1/2:
S = 6 • 16 • 1/2 = 48
Ответ: Площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 4 см, равна 48 см².
№ 81. Отрезки АВ, ВС и CD — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон АВ и CD пересекаются в точке М, ∠BMC = 140°. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.
Решение: Пусть n — количество сторон многоугольника. Угол между продолжениями сторон AB и CD соответствует внешнему углу при вершине B (или C). Угол BMC является внешним углом треугольника BCM. Рассмотрим углы:
Внешний угол многоугольника равен 360°/n.
Угол BMC = 140° — это угол между хордами, опирающийся на дугу BC. Дуга BC соответствует центральному углу 360°/n. Угол между касательными (или продолжениями сторон) равен половине разности дуг:
∠BMC = 1/2 (360° ─ 2 • 360°/n) = 180° ─ 360°/n.
Подставляем: 180° ─ 360°/n = 140°
360°/n = 40°
n = 9.
Ответ: Количество сторон многоугольника равно 9.
№ 82. Высота правильного треугольника равна 12 см. Чему равен радиус: 1) описанной около него окружности; 2) вписанной в него окружности?
Решение: Высота правильного треугольника: h = a√3/2.
1) Радиус описанной окружности: R = a/√3 = 2h/3 = 2 • 12/3 = 8 см.
2) Радиус вписанной окружности: r = h/3 = 12/3 = 4 см.
Ответ: 1) Радиус описанной окружности равен 8 см. 2) Радиус вписанной окружности равен 4 см.
№ 83. Около квадрата со стороной 5√2 см описана окружность. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.
Решение: Диагональ квадрата: d = a√2 = 5√2 • √2 = 10 см.
Радиус описанной окружности (для квадрата): R = d/2 = 5 см.
Эта окружность вписана в правильный шестиугольник. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности: r = a√3/2 , где a — сторона шестиугольника.
Приравниваем: a√3/2 = 5
a = 10/√3 = 10√3/3 см.
Ответ: Сторона правильного шестиугольника равна 10√3/3 см.
№ 84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см, а радиус окружности, вписанной в него, — 4√3 см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.
Решение: Для правильного n-угольника:
\( R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})} \), \( r = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})} \).
Дано: \( R = 8 \), \( r = 4\sqrt{3} \).
Отношение: \( \frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}}{\frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})}} = \frac{\tan(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})} \).
Подставляем: \( \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})} \)
\( \cos(\frac{\pi}{n}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6} \)
n = 6.
Сторона: a = 2R sin(π/n) = 2 • 8 • sin(π/6) = 16 • 1/2 = 8 см.
Ответ: Сторона многоугольника равна 8 см, количество сторон равно 6.
№ 85. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, а в окружность — квадрат. Найдите сторону квадрата.
Решение:
1) Радиус описанной окружности для правильного треугольника: R = a/√3.
Дано R = 6 , значит a = 6√3 см.
2) Радиус вписанной окружности в треугольник: r = a√3/6 = 6√3 • √3/6 = 18/6 = 3 см.
Эта окружность описана около квадрата. Для квадрата, вписанного в окружность радиуса r , сторона: a_{кв} = r√2 = 3√2 см.
Ответ: Сторона квадрата равна 3√2 см.
№ 86. Около квадрата со стороной a описана окружность, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около шестиугольника.
Решение: Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной \(a\), равен половине диагонали:
\[
R_{\text{кв}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.
\]
Эта окружность является вписанной для правильного шестиугольника. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника связан с радиусом описанной окружности формулой:
\[
r = R_{\text{шест}} \cdot \cos\frac{\pi}{6} = R_{\text{шест}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Отсюда:
\[
R_{\text{шест}} = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}.
\]
Подставляем \(r = R_{\text{кв}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\):
\[
R_{\text{шест}} = \frac{2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}.
\]
Ответ: Радиус окружности, описанной около шестиугольника, равен a√{2/3}.
№ 87. В окружность радиуса 4√3 см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
Решение:
1. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R=4√3, сторона равна:
a = R√3 = 4√3 • √3 = 12 см}.
Высота треугольника:
h = a√3/2 = 12√3/2 = 6√3 см}.
2. Сторона второго правильного треугольника равна h = 6√3. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной b:
r = b√3/6 = 6√3 • √3/6 = 6 • 3/6 = 3 см}.
Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см.
№ 88. Сторона правильного восьмиугольника A1A2A3A4A5A6A7A8 равна 6 см. Найдите диагонали A1A3, A1A4 и A1A5.
Дано:
Правильный восьмиугольник A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8
Сторона a = 6 см
Найти диагонали A_1A_3, A_1A_4, A_1A_5
Решение:
1. В правильном восьмиугольнике диагонали можно найти через сторону по следующим формулам:
Диагональ через одну вершину: d_1 = (1 + √2)a
Диагональ через две вершины: d_2 = √{4 + 2√2}a
Диагональ через три вершины (наибольшая): d_3 = 2a
2. Подставляем значение стороны a = 6 см:
Для диагонали A_1A_3 (через одну вершину):
A_1A_3 = (1 + √2) • 6 ≈ (1 + 1,414) • 6 ≈ 14,48 см
Для диагонали A_1A_4 (через две вершины):
A_1A_4 = √{4 + 2\√2} • 6 ≈ √6,828 • 6 ≈ 16,1 см
Для диагонали A_1A_5 (через три вершины):
A_1A_5 = 2 • 6 = 12 см.
Ответ: Диагональ A1A3 ≈ 14,48 см, Диагональ A1A4 ≈ 16,1 см, Диагональ A1A5 = 12 см.
№ 89. Найдите сторону правильного шестиугольника ABCDEF, если его диагональ AC равна 12 см.
Решение: В правильном шестиугольнике диагональ AC соединяет вершины через одну. Угол между радиусами к этим вершинам: 2 • 60° = 120°.
Сторона шестиугольника a равна радиусу описанной окружности R.
Диагональ:
AC = 2R sin120°/2 = 2R sin 60° = 2R • √3/2 = R√3.
Так как a = R, то AC = a√3.
Подставляем AC = 12:
a√3 = 12 ⇒ a = 12/√3 = 4√3 см}.
Ответ: Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 4√3 см.
№ 90. Сторона правильного двенадцатиугольника равна 6 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника.
Решение:
1. Для правильного двенадцатиугольника со стороной \(a_{12}=6\) радиус описанной окружности:
\[
R = \frac{a_{12}}{2\sin\frac{180^\circ}{12}} = \frac{6}{2\sin 15^\circ} = \frac{3}{\sin 15^\circ}.
\]
\(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}\).
2. При продлении сторон через одну получается шестиугольник, вершины которого лежат на окружности, описанной около двенадцатиугольника (так как углы при основании равны). Таким образом, сторона шестиугольника равна стороне правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность радиуса \(R\).
Сторона правильного шестиугольника: \(a_6 = R\).
Подставляем \(R = \frac{3}{\sin 15^\circ}\):
\[
a_6 = \frac{3}{\sin 15^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{6} — \sqrt{2}}.
\]
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\):
\[
a_6 = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 — 2} = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}.
\]
Ответ: Сторона шестиугольника равна 3(√6 + √2) см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 6 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
