Самостоятельная работа № 5 по геометрии в 9 классе «Формулы для нахождения площади треугольника» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 51-70). Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 5 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 5. Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 см и 7 см, а угол между ними равен: 1) 30°; 2) 120°.
Решение: Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
S = 1/2 ab sin γ , где a = 4 см, b = 7 см.
1) γ = 30° , sin 30° = 0.5 :
S = 1/2 • 4 • 7 • 0.5 = 7 см².
2) γ = 120° , sin 120° = sin(180° ─ 60°) = sin 60° = √3/2 :
S = 1/2 • 4 • 7 • √3/2 = 7√3 см².
Ответ: 1) Площадь треугольника со сторонами 4 см и 7 см и углом между ними 30° = 7 см². 2) Площадь треугольника со сторонами 4 см и 7 см и углом между ними 120° = 7√3 см².
№ 52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 14 см, а угол между ними — 150°.
Решение: Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
S = ab sin α , где a = 8 см, b = 14 см, α = 150°.
sin 150° = sin(180° ─ 30°) = sin 30° = 0.5.
S = 8 • 14 • 0.5 = 56 см².
Ответ: Площадь параллелограмма со сторонами 8 см и 14 см и углом между ними 150° = 56 см².
№ 53. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной 49 см²?
Решение: Площадь параллелограмма: S = ab sin α , где a = 6 см, b = 8 см.
Максимальная площадь при sin α = 1 (α = 90°):
S_{max} = 6 • 8 • 1 = 48 см².
Так как 49 > 48 , площадь не может быть 49 см².
Ответ: Площадь параллелограмма со сторонами 6 см и 8 см не может быть равной 49 см².
№ 54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 7√2 см, а один из углов — 135°.
Решение: Ромб — параллелограмм с равными сторонами.
Площадь: S = a^2 sin α , где a = 7√2 см, α = 135°.
sin 135° = sin(180° ─ 45°) = sin 45° = √2/2.
S = (7√2)^2 • √2/2 = 98 • √2/2 = 49√2 см².
Ответ: Площадь ромба со стороной 7√2 см и углом 135° = 49√2 см².
№ 55. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной: 1) 12 см²; 2) 18 см²?
Решение: Площадь треугольника: S = 1/2 ab sin γ , где a = 4 см, b = 8 см.
Максимальная площадь при sin γ = 1 :
S_{max} = 1/2 • 4 • 8 • 1 = 16 см².
1) 12 ≤ 16 — возможно (например, sin γ = 0.75).
2) 18 > 16 — невозможно.
Ответ: 1) Площадь треугольника со сторонами 4 см и 8 см может быть равной 12 см². 2) Площадь треугольника со сторонами 4 см и 8 см не может быть равной 18 см².
№ 56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а его площадь — 150√3 см². Найдите боковую сторону треугольника.
Решение: Пусть боковая сторона a, основание b. Угол при вершине 120°, углы при основании по 30°.
Площадь: S = 1/2 a^2 sin 120° = 1/2 a^2 • √3/2 = (a^2 √3)/4.
Приравниваем: (a^2 √3)/4 = 150√3 ⇒ a^2 = 600 ⇒ a = 10√6.
Ответ: Боковая сторона треугольника = 10√6 см.
№ 57. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, AO = OB, CO = 3 см, OD = 5 см. Найдите отношение площадей треугольников AOC и DOB.
Решение: Треугольники AOC и DOB: углы при вершине O равны как вертикальные.
Площадь треугольника: S = 1/2 ab sin α.
Отношение: S_{AOC} / S_{DOB} = (1/2 • AO • CO • sin ∠AOC) / (1/2 • OB • OD • sin ∠DOB) = (AO • CO) / (OB • OD).
Так как AO = OB, то S_{AOC} / S_{DOB} = CO/OD = 3/5.
Ответ: Отношение площадей треугольников AOC и DOB = 3/5.
№ 58. На сторонах угла A отложены отрезки AB = 4 см, BC = 5 см, AD = 6 см и DE = 2 см (рис. 3). Найдите отношение площадей треугольника ABD и четырёхугольника BCED.
Решение: Треугольники ABD и ACE имеют общий угол A.
Отношение площадей: S_{ABD} / S_{ACE} = AB • AD / (AC • AE).
AC = AB + BC = 4 + 5 = 9 см, AE = AD + DE = 6 + 2 = 8 см.
S_{ABD}/S_{ACE} = 4 • 6 / (9 • 8) = 24/72 = 1/3.
Четырёхугольник BCED — это S_{ACE} ─ S_{ABD}.
Пусть S_{ABD} = x, тогда S_{ACE} = 3x, S_{BCED} = 3x ─ x = 2x.
Искомое отношение: S_{ABD} / S_{BCED} = x/2x = 1/2.
Ответ: Отношение площадей треугольника ABD и четырёхугольника BCED = 1/2.
№ 59. Задание: Найдите площадь треугольника со сторонами 3 см, 25 см и 26 см.
Решение: Полупериметр: p = (3 + 25 + 26)/2 = 27.
Формула Герона: S = √{p(p─a)(p─b)(p─c)} = √{27 • (27─3) • (27─25) • (27─26)} = √{27 • 24 • 2 • 1}.
27 • 24 = 648, 648 • 2 = 1296, √1296 = 36.
Ответ: Площадь треугольника со сторонами 3 см, 25 см и 26 см = 36 см².
№ 60. Три окружности, радиусы которых равны 12 см, 14 см и 16 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.
Решение: Стороны треугольника: суммы радиусов:
a = 12 + 14 = 26 см,
b = 12 + 16 = 28 см,
c = 14 + 16 = 30 см.
Полупериметр: p = (26 + 28 + 30)/2 = 42.
Формула Герона: S = √{42 • (42─26) • (42─28) • (42─30)} = √{42 • 16 • 14 • 12}.
Упростим: 42 • 16 = 672, 14 • 12 = 168, 672 • 168 = 112896.
√112896 = √{16 • 7056} = 4 • 84 = 336.
Ответ: Площадь треугольника с вершинами в центрах окружностей = 336 см².
№ 61. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.
Решение:
1. Проверим, является ли треугольник остроугольным:
9^2 + 10^2 = 81 + 100 = 181 , 17^2 = 289. Так как 181 < 289 , треугольник тупоугольный. Наименьшая высота опущена на наибольшую сторону c = 17 см.
2. Площадь найдём по формуле Герона:
p = (9 + 10 + 17)/2 = 18 см,
S = √{18 • (18─9) • (18─10) • (18─17)} = √{18 • 9 • 8 • 1} = √1296 = 36 см².
3. Наименьшая высота: h_{min} = 2S/c = 2 • 36/17 = 72/17 см.
4. Радиус вписанной окружности: r = S/p = 36/18 = 2 см.
5. Радиус описанной окружности: R = abc/4S = 9 • 10 • 17/4 • 36 = 1530/144 = 85/8 = 10.625 см.
Ответ: Наименьшая высота = 72/17 см, r = 2 см, R = 85/8 см.
№ 62. В треугольник со сторонами 26 см, 15 см и 37 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.
Решение:
1. Проверим существование треугольника:
15 + 26 = 41 > 37 , 15 + 37 = 52 > 26 , 26 + 37 = 63 > 15 — треугольник существует.
2. Полупериметр: p = (15 + 26 + 37)/2 = 39 см.
3. Площадь треугольника по формуле Герона:
S = √{39 • (39─15) • (39─26) • (39─37)} = √{39 • 24 • 13 • 2}.
Заметим: 39 • 13 = 507 , 24 • 2 = 48 , 507 • 48 = 24336 , √24336 = 156 см².
4. Радиус вписанной окружности: r = S/p = 156/39 = 4 см.
5. Площади маленьких треугольников:
S_1 = 1/2 • 15 • 4 = 30 см²,
S_2 = 1/2 • 26 • 4 = 52 см²,
S_3 = 1/2 • 37 • 4 = 74 см².
Проверка: 30 + 52 + 74 = 156 см².
Ответ: Площади треугольников: 30 см², 52 см², 74 см².
№ 63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 5 см и 6 см. Меньшая из двух других сторон равна 15 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
1. Пусть биссектриса проведена к стороне a , которая разделена на отрезки m = 5 , n = 6 , тогда a = m + n = 11 см.
2. По свойству биссектрисы: b/c = m/n = 5/6.
Так как меньшая сторона равна 15 см, то b = 15 см (меньшая), c = 6/5 • 15 = 18 см.
3. Найдём площадь по формуле Герона:
p = (11 + 15 + 18)/2 = 22 см,
S = √{22 • (22─11) • (22─15) • (22─18)} = √{22 • 11 • 7 • 4}.
22 • 11 = 242 , 7 • 4 = 28 , 242 • 28 = 6776 , √6776 = √{4 • 1694} = 2√1694.
Упростим: 1694 = 121 • 14 , √1694 = 11√14 , тогда S = 2 • 11 √14 = 22√14 см².
Ответ: S = 22√14 см².
№ 64. Углы ромба относятся как 1 : 3, а его сторона равна 8 см. Найдите площадь ромба.
Решение:
1. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне: α + β = 180°.
По условию α : β = 1 : 3 , значит α = 1/4 • 180° = 45° , β = 135°.
2. Площадь ромба: S = a^2 • sin α = 8^2 • sin 45° = 64 • √2/2 = 32√2 см².
Ответ: S = 32√2 см².
№ 65. Площадь прямоугольника равна 16√3 см², а угол между его диагоналями — 60°. Найдите стороны прямоугольника.
Решение:
1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Угол между ними φ = 60°.
2. Площадь через диагонали: S = 1/2 d^2 sin φ.
Подставим: 16√3 = 1/2 d^2 • sin 60° = 1/2 d^2 • √3/2 = (d^2 √3)/4.
Отсюда d^2 = 16√3 • 4/√3 = 64 , d = 8 см.
3. Стороны a и b связаны: a^2 + b^2 = d^2 = 64 , ab = S = 16√3.
4. Решим систему:
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 64 + 32√3 ,
(a ─ b)^2 = a^2 + b^2 ─ 2ab = 64 ─ 32√3.
Заметим: 64 ─ 32√3 = 16(4 ─ 2√3) = 16(√3 ─ 1)^2 , так как (√3 ─ 1)^2 = 3 ─ 2√3 + 1 = 4 ─ 2√3.
Тогда a ─ b = 4(√3 ─ 1) (берём положительный корень, т.к. a > b).
5. Решаем:
a + b = √{64 + 32√3}. Упростим: 64 + 32√3 = 16(4 + 2√3) = 16(√3 + 1)^2 ,
значит a + b = 4(√3 + 1).
Тогда a = (4(√3+1) + 4(√3─1))/2 = 8√3/2 = 4√3 см,
b = (4(√3+1) ─ 4(√3─1))/2 = 8/2 = 4 см.
Ответ: Стороны прямоугольника: 4√3 см и 4 см.
№ 66. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь четырёхугольника.
Решение:
Площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого d_1 и d_2, а угол между ними φ, вычисляется по формуле:
S = 1/2 d_1 d_2 sin φ
Подставляем значения: d_1 = 4, d_2 = 8, φ = 30°, sin 30° = 0.5.
S = 1/2 • 4 • 8 • 0.5 = 8
Ответ: Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь четырёхугольника = 8 см².
№ 67. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 8 см, а его площадь — 10√3 см². Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
Решение:
Формула площади:
S = 1/2 d_1 d_2 sin φ
Подставляем известные значения:
10√3 = 1/2 • 5 • 8 • sin φ
10√3 = 20 sin φ
sin φ = 10√3/20 = √3/2
Значит, φ = 60° или 120°.
Ответ: Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 8 см, а его площадь — 10√3 см². Найдите угол между диагоналями четырёхугольника = 60° или 120°.
№ 68. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.
Решение:
Пусть треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный с катетами AB = AC = 4. Тогда гипотенуза BC = 4√2.
На сторонах построены квадраты внешним образом. Шестиугольник образован внешними вершинами квадратов (не совпадающими с вершинами треугольника).
Площадь шестиугольника можно найти как сумму площадей трёх квадратов и площади треугольника, но затем вычесть площади трёх маленьких треугольников, примыкающих к исходному. Альтернативно, проще заметить, что шестиугольник состоит из исходного треугольника и трёх прямоугольных треугольников, равных исходному, и трёх квадратов.
Однако, известен факт: площадь шестиугольника равна сумме площадей трёх квадратов:
S_{квAB}} = 4^2 = 16, S_{квAC}} = 16, S_{квBC}} = (4√2)^2 = 32
Сумма: 16 + 16 + 32 = 64.
Но это площадь всех трёх квадратов, а шестиугольник — это часть их. На самом деле, шестиугольник получается, если из суммы площадей трёх квадратов вычесть удвоенную площадь исходного треугольника (так как каждая вершина исходного треугольника принадлежит двум квадратам, и при сложении квадратов треугольник учитывается лишний раз).
Площадь исходного треугольника:
S_{△ABC} = 1/2 • 4 • 4 = 8
Тогда площадь шестиугольника:
S = 64 ─ 2 • 8 = 48
Ответ: Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику = 48 см².
№ 69. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М. Площади треугольников АМВ, ВМС и CMD соответственно равны 6 см², 4 см² и 8 см². Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Решение. Обозначим:
S_{AMB} = 6, S_{BMC} = 4, S_{CMD} = 8
Треугольники AMB и CMD подобны? Нет, но есть отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту из вершин B и D к диагонали AC.
Пусть AM = x, MC = y. Тогда:
S_{AMB}/S_{BMC} = AM/MC = 6/4 = 3/2 ⇒ x/y = 3/2
Аналогично, из треугольников AMD и CMD (они имеют общую высоту из A и C к диагонали BD):
Но у нас нет S_{AMD}. Заметим, что S_{AMB} / S_{BMC} = AM/MC, и S_{AMD} / S_{CMD} = AM/MC (так как эти пары треугольников имеют одинаковое отношение оснований AM и MC при вершинах на BD).
Значит:
S_{AMD}/S_{CMD} = AM/MC = 3/2
S_{AMD}/8 = 3/2 ⇒ S_{AMD} = 12
Теперь площадь четырёхугольника:
S = S_{AMB} + S_{BMC} + S_{CMD} + S_{AMD} = 6 + 4 + 8 + 12 = 30
Ответ: Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М. Площади треугольников АМВ, ВМС и CMD соответственно равны 6 см², 4 см² и 8 см². Найдите площадь четырёхугольника ABCD = 30 см².
№ 70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найдите площадь четырёхугольника.
Решение:
Для вписанного четырёхугольника применима формула Брахмагупты:
S = √{(p─a)(p─b)(p─c)(p─d)}, p = (a+b+c+d)/2
Здесь a=3, b=5, c=8, d=10.
p = (3+5+8+10)/2 = 13
S = √{(13─3)(13─5)(13─8)(13─10)} = √{10 • 8 • 5 • 3}
S = √1200 = √{400 • 3} = 20√3
Ответ: В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найдите площадь четырёхугольника = 20√3 см².
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 5 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
