Самостоятельная работа № 4 по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 46-50). Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 4 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 4. Вариант 1
№ 46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника АВС, если:
1) АС = 8 см, ∠B = 48°, ∠C = 56°;
2) АВ = 4 см, ВС = 5 см, ∠B = 110°;
3) АВ – 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см;
4) АВ = 4 см, ВС = 6 см, ∠A – 100°;
5) АВ = 8 см, ВС = 9 см, ∠A = 40°;
6) АВ – 6 см, ВС = 5 см, ∠A = 20°;
7) АВ = 6 см, ВС = 3 см, ∠A = 40°.
РЕШЕНИЯ:
► 1) АС = 8 см, ∠B = 48°, ∠C = 56°
1. Найдем угол A: ∠A = 180° — (48° + 56°) = 76°.
2. По теореме синусов: AC / sin(B) = AB / sin(C) = BC / sin(A).
Используем известную сторону AC = 8, противолежащую углу B = 48°.
Находим общую сторону: AB / sin(56°) = 8 / sin(48°) => AB = (8 * sin(56°)) / sin(48°) ≈ (8 * 0.8290) / 0.7431 ≈ 6.632 / 0.7431 ≈ 8.92 см.
BC / sin(76°) = 8 / sin(48°) => BC = (8 * sin(76°)) / sin(48°) ≈ (8 * 0.9709) / 0.7431 ≈ 7.7672 / 0.7431 ≈ 10.45 см.
Ответ: ∠A = 76°, AB ≈ 8.92 см, BC ≈ 10.45 см.
► 2) АВ = 4 см, ВС = 5 см, ∠B = 110°
1. По теореме косинусов находим сторону AC (сторону, противолежащую углу B):
AC² = AB² + BC² — 2 * AB * BC * cos(B) = 4² + 5² — 2 * 4 * 5 * cos(110°) = 16 + 25 — 40 * (-0.3420) = 41 + 13.68 = 54.68.
AC = √54.68 ≈ 7.39 см.
2. По теореме синусов находим угол A: BC / sin(A) = AC / sin(B) => sin(A) = (BC * sin(B)) / AC = (5 * sin(110°)) / 7.39 ≈ (5 * 0.9397) / 7.39 ≈ 4.6985 / 7.39 ≈ 0.6358.
∠A ≈ arcsin(0.6358) ≈ 39.5°.
3. Находим угол C: ∠C = 180° — 110° — 39.5° = 30.5°.
Ответ: AC ≈ 7.39 см, ∠A ≈ 39.5°, ∠C ≈ 30.5°.
► 3) АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см
1. Находим углы по теореме косинусов.
* Угол B (между сторонами AB и BC, противолежит AC):
cos(B) = (AB² + BC² — AC²) / (2 * AB * BC) = (3² + 4² — 6²) / (2 * 3 * 4) = (9 + 16 — 36) / 24 = (-11) / 24 ≈ -0.4583.
∠B ≈ arccos(-0.4583) ≈ 117.3°.
* Угол A (между AB и AC, противолежит BC):
cos(A) = (AB² + AC² — BC²) / (2 * AB * AC) = (9 + 36 — 16) / (2 * 3 * 6) = 29 / 36 ≈ 0.8056.
∠A ≈ arccos(0.8056) ≈ 36.0°.
* Угол C: ∠C = 180° — 117.3° — 36.0° = 26.7°.
Ответ: ∠A ≈ 36.0°, ∠B ≈ 117.3°, ∠C ≈ 26.7°.
► 4) АВ = 4 см, ВС = 6 см, ∠A = 100°
1. Сторона BC = a = 6 см (против ∠A), сторона AC = b (против ∠B), сторона AB = c = 4 см (против ∠C).
2. По теореме синусов: a / sin(A) = c / sin(C) => 6 / sin(100°) = 4 / sin(C) => sin(C) = (4 * sin(100°)) / 6 ≈ (4 * 0.9848) / 6 ≈ 3.9392 / 6 ≈ 0.6565.
∠C ≈ arcsin(0.6565) ≈ 41.0°.
3. Находим угол B: ∠B = 180° — 100° — 41.0° = 39.0°.
4. Находим сторону b (AC): b / sin(B) = a / sin(A) => b = (a * sin(B)) / sin(A) = (6 * sin(39°)) / sin(100°) ≈ (6 * 0.6293) / 0.9848 ≈ 3.7758 / 0.9848 ≈ 3.83 см.
Ответ: ∠B ≈ 39.0°, ∠C ≈ 41.0°, AC ≈ 3.83 см.
► 5) АВ = 8 см, ВС = 9 см, ∠A = 40°
1. Сторона BC = a = 9 см (против ∠A), сторона AC = b (против ∠B), сторона AB = c = 8 см (против ∠C).
2. По теореме синусов: a / sin(A) = c / sin(C) => 9 / sin(40°) = 8 / sin(C) => sin(C) = (8 * sin(40°)) / 9 ≈ (8 * 0.6428) / 9 ≈ 5.1424 / 9 ≈ 0.5714.
Возможны два угла: ∠C₁ ≈ arcsin(0.5714) ≈ 34.8° и ∠C₂ ≈ 180° — 34.8° = 145.2°.
Проверим возможность ∠C₂: если ∠C₂ = 145.2°, то ∠B = 180° — 40° — 145.2° = -5.2° — невозможно. Оставляем один вариант.
∠C ≈ 34.8°.
3. Находим угол B: ∠B = 180° — 40° — 34.8° = 105.2°.
4. Находим сторону b (AC): b / sin(B) = a / sin(A) => b = (a * sin(B)) / sin(A) = (9 * sin(105.2°)) / sin(40°) ≈ (9 * 0.966) / 0.6428 ≈ 8.694 / 0.6428 ≈ 13.53 см.
Ответ: ∠B ≈ 105.2°, ∠C ≈ 34.8°, AC ≈ 13.53 см.
► 6) АВ = 6 см, ВС = 5 см, ∠A = 20°
1. Сторона BC = a = 5 см (против ∠A), сторона AC = b (против ∠B), сторона AB = c = 6 см (против ∠C).
2. По теореме синусов: a / sin(A) = c / sin(C) => 5 / sin(20°) = 6 / sin(C) => sin(C) = (6 * sin(20°)) / 5 ≈ (6 * 0.3420) / 5 ≈ 2.052 / 5 = 0.4104.
∠C ≈ arcsin(0.4104) ≈ 24.2°.
3. Находим угол B: ∠B = 180° — 20° — 24.2° = 135.8°.
4. Находим сторону b (AC): b / sin(B) = a / sin(A) => b = (a * sin(B)) / sin(A) = (5 * sin(135.8°)) / sin(20°) ≈ (5 * 0.695) / 0.3420 ≈ 3.475 / 0.3420 ≈ 10.16 см.
Ответ: ∠B ≈ 135.8°, ∠C ≈ 24.2°, AC ≈ 10.16 см.
► 7) АВ = 6 см, ВС = 3 см, ∠A = 40°
1. Сторона BC = a = 3 см (против ∠A), сторона AC = b (против ∠B), сторона AB = c = 6 см (против ∠C).
2. По теореме синусов: a / sin(A) = c / sin(C) => 3 / sin(40°) = 6 / sin(C) => sin(C) = (6 * sin(40°)) / 3 = 2 * sin(40°) ≈ 2 * 0.6428 = 1.2856.
Так как sin(C) > 1, треугольника с такими данными не существует.
Ответ: Треугольник не существует.
№ 47. В треугольнике АВС АВ = ВС = 6 см, ∠B = 40°. Найдите: 1) сторону АС; 2) высоту AD; 3) медиану AM; 4) биссектрису ВК; 5) радиус описанной окружности треугольника АВС; б) радиус вписанной окружности треугольника АВС.
РЕШЕНИЕ:
1. Сторона АС: Углы при основании A и C равны: (180° — 40°) / 2 = 70°.
По теореме синусов: AC / sin(40°) = 6 / sin(70°) => AC = (6 * sin(40°)) / sin(70°) ≈ (6 * 0.6428) / 0.9397 ≈ 3.8568 / 0.9397 ≈ 4.10 см.
2. Высота AD: В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (∠D=90°). AD = AB * sin(∠ABD). Угол ABD = 40°/2 = 20° (т.к. BD — биссектриса). AD = 6 * sin(20°) ≈ 6 * 0.3420 ≈ 2.05 см.
3. Медиана AM: В равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой. AM = AD ≈ 2.05 см.
4. Биссектриса ВК: Биссектриса угла при вершине B. Формула биссектрисы: BK = (2 * AB * BC * cos(B/2)) / (AB + BC) = (2 * 6 * 6 * cos(20°)) / (6+6) = (72 * cos(20°)) / 12 = 6 * cos(20°) ≈ 6 * 0.9397 ≈ 5.64 см.
5. Радиус описанной окружности R: R = a / (2 * sin(α)), где a — сторона, α — противолежащий угол. AC = 4.10 см, противолежащий угол B=40°. R = AC / (2 * sin(40°)) ≈ 4.10 / (2 * 0.6428) ≈ 4.10 / 1.2856 ≈ 3.19 см. (Можно проверить через AB: R = AB / (2 * sin(C)) = 6 / (2 * sin(70°)) ≈ 6 / (2 * 0.9397) ≈ 3.19 см).
6. Радиус вписанной окружности r: r = (2S) / P. Площадь S = (1/2) * AB * BC * sin(B) = 0.5 * 6 * 6 * sin(40°) ≈ 0.5 * 36 * 0.6428 ≈ 11.57 см². Периметр P = 6 + 6 + 4.10 = 16.10 см. r = (2 * 11.57) / 16.10 ≈ 23.14 / 16.10 ≈ 1.44 см.
Ответ: 1) AC ≈ 4.10 см; 2) AD ≈ 2.05 см; 3) AM ≈ 2.05 см; 4) BK ≈ 5.64 см; 5) R ≈ 3.19 см; 6) r ≈ 1.44 см.
№ 48. Диагональ равнобокой трапеции ABCD {ВС || AD) равна 4 см, ∠CDB = 36°, ∠BDA = 48°. Найдите: 1) стороны трапеции; 2) радиус окружности, описанной около треугольника BCD.
РЕШЕНИЕ:
1. Рассмотрим треугольник BCD. В равнобокой трапеции диагонали равны: BD = AC = 4 см. Углы при основании равны. Угол CBD = углу BDA = 48° (как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD).
2. В треугольнике BCD известны: сторона BD = 4 см, ∠CBD = 48°, ∠CDB = 36°. Найдем ∠BCD = 180° — 48° — 36° = 96°.
3. Стороны треугольника BCD (это же стороны трапеции BC и CD):
* Сторона BC (против угла 36°): BC / sin(36°) = BD / sin(96°) => BC = (4 * sin(36°)) / sin(96°) ≈ (4 * 0.5878) / 0.9945 ≈ 2.3512 / 0.9945 ≈ 2.36 см.
* Сторона CD (против угла 48°): CD / sin(48°) = BD / sin(96°) => CD = (4 * sin(48°)) / sin(96°) ≈ (4 * 0.7431) / 0.9945 ≈ 2.9724 / 0.9945 ≈ 2.99 см.
4. В равнобокой трапеции AB = CD ≈ 2.99 см. Рассмотрим треугольник ACD. В нем AC = 4 см, CD ≈ 2.99 см. Угол ACD = угол BCD — угол BCA. Угол BCA = угол CAD = 36° (накрест лежащие). Значит, ∠ACD = 96° — 36° = 60°.
По теореме косинусов в ΔACD: AD² = AC² + CD² — 2 * AC * CD * cos(60°) = 4² + (2.99)² — 2 * 4 * 2.99 * 0.5 = 16 + 8.9401 — 11.96 ≈ 12.9801. AD ≈ √12.98 ≈ 3.60 см.
5. Стороны трапеции: AB = CD ≈ 2.99 см, BC ≈ 2.36 см, AD ≈ 3.60 см.
6. Радиус описанной окружности треугольника BCD: R = a / (2 sin α). Лучше через сторону и противолежащий угол: R = BC / (2 * sin(∠BDC)) = 2.36 / (2 * sin(36°)) ≈ 2.36 / (2 * 0.5878) ≈ 2.36 / 1.1756 ≈ 2.01 см.
Ответ: 1) AB ≈ 2.99 см, BC ≈ 2.36 см, CD ≈ 2.99 см, AD ≈ 3.60 см; 2) R ≈ 2.01 см.
№ 49. Большая сторона треугольника равна 6 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:4:7. Найдите неизвестные стороны треугольника.
Дано: Большая сторона треугольника c = 6 см. Дуги окружности относятся как 1:4:7.
Решение:
1. Найдем градусные меры дуг:
Пусть x — коэффициент пропорциональности
Тогда дуги равны x, 4x и 7x
Сумма дуг равна 360°: x + 4x + 7x = 360°
12x = 360°
x = 30°
Дуги равны: 30°, 120° и 210°
2. Углы треугольника равны половине градусных мер дуг:
α = (30°)/2 = 15°
β = (120°)/2 = 60°
γ = (210°)/2 = 105°
3. По теореме синусов:
a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ)
a/(sin 15°) = b/(sin 60°) = 6/(sin 105°)
4. Найдем стороны:
a = (6 • sin 15°) / (sin 105°) ≈ (6 • 0,2588) / (0,9659) ≈ 1,6 см
b = (6 • sin 60°) / (sin 105°) ≈ (6 • 0,8660) / (0,9659) ≈ 5,3 см
Ответ: Неизвестные стороны треугольника: a ≈ 1,6 см, b ≈ 5,3 см.
№ 50. Меньшая сторона треугольника равна 4 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как 3:8:9. Найдите неизвестные стороны треугольника.
Решение:
Дано: Меньшая сторона треугольника a = 4 см. Дуги окружности, на которые делятся точки касания, относятся как 3:8:9
Решение:
1. Сумма градусных мер дуг окружности равна 360°.
2. Найдём градусные меры дуг:
Пусть x — коэффициент пропорциональности
Тогда дуги равны 3x, 8x и 9x
3x + 8x + 9x = 360°
20x = 360°
x = 18°
Дуги равны: 54°, 144° и 162°
3. Углы треугольника пропорциональны дугам, на которые они опираются:
α = (54°)/2 = 27°
β = (144°)/2 = 72°
γ = (162°)/2 = 81°
4. По теореме синусов:
a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ)
5. Найдём стороны:
4/(sin 27°) = b/(sin 72°)
b = (4 • sin 72°) / (sin 27°) ≈ 8.2 см
4/(sin 27°) = c/(sin 81°)
c = (4 • sin 81°) / (sin 27°) ≈ 8.7 см
Ответ: неизвестные стороны треугольника равны примерно 8,2 см и 8,7 см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 4 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
