Самостоятельная работа № 3 по геометрии в 9 классе «Теорема синусов» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 28-45). Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 3 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 3. Вариант 1
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 28. В треугольнике АВС ВС = 5√3 см, ∠А = 60°, ∠В = 45°. Найдите сторону АС.
Решение:
1. Найдём ∠C: ∠C = 180° − (60° + 45°) = 75°.
2. По теореме синусов: BC / sin A = AC / sin B
Подставляем: 5√3 / sin 60° = AC / sin 45°
5√3 / √3/2 = AC / √2/2
10 = AC / √2/2 ⇒ AC = 10 • √2/2 = 5√2
Ответ: AC = 5√2 см.
№ 29. В треугольнике АВС АВ = 3√2 см, ∠А = 15°, ∠С = 135°. Найдите сторону АС.
Решение:
1. Найдём ∠B: ∠B = 180° − (15° + 135°) = 30°.
2. По теореме синусов: AB / sin C = AC / sin B
3√2 / sin 135° = AC / sin 30°
3√2 / √2/2 = AC / (1/2)
6 = AC/(1/2) ⇒ AC = 3
Ответ: AC = 3 см.
№ 30. Найдите угол С треугольника АВС, если:
1) АС = 6 см, АВ = 3√2 см, ∠В = 45°
Решение. По теореме синусов:
AC / sin B = AB / sin C
6 / sin 45° = 3√2 / sin C
6 / √2/2 = 3√2 / sin C
12 / √2 = 3√2 / sin C
12/√2 • sin C = 3√2
sin C = 3√2 • √2/12 = 6/12 = 1/2
C = 30° или C = 150°
Проверим возможность C = 150°:
∠A = 180° − (45° + 150°) = −15° — невозможно.
Значит, только одно решение.
Ответ: ∠C = 30°; задача имеет одно решение
2) АВ = 4√6 см, ВС = 8 см, ∠А = 45°
Решение. По теореме синусов:
BC / sin A = AB / sin C
8 / sin 45° = 4√6 / sin C
8 / √2/2 = 4√6/sin C
16 / √2 = 4√6 / sin C
sin C = 4√6 • √2/16 = 4√12/16 = 8√3/16 = √3/2
C = 60° или C = 120°
Оба значения возможны, так как в обоих случаях ∠B = 180° − (45° + C) будет положительным.
Ответ: ∠C = 60° или 120°; задача имеет два решения
№ 31. В треугольнике АВС АВ = 13 см, ВС = 8 см. Может ли sin А быть равным 2/3?
Решение. По теореме синусов:
BC / sin A = AB / sin C
8 / (2/3) = 13 / sin C
12 = 13 / sin C ⇒ sin C = 13/12 > 1
Невозможно.
Ответ: Нет
№ 32. В треугольнике АВС АВ = 6 см, ∠С = 30°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Решение. По теореме синусов: 2R = AB/sin C
2R = 6/sin 30° = 6/0.5 = 12 ⇒ R = 6
Ответ: R = 6 см.
№ 33. Сторона треугольника равна 16 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — 8√2 см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?
Решение. По теореме синусов: a / sin α = 2R
16/sin α = 2 • 8√2 = 16√2
sin α = 16/16√2 = 1/√2 = √2/2
α = 45° или 135°
Оба значения возможны в треугольнике.
Ответ: 45° или 135°.
№ 34. Две стороны треугольника равны 3√2 см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как √2 : 1.
Решение:
1. Пусть третья сторона равна x. По условию, x : R = √2 : 1, значит x = R√2, откуда R = x/√2.
2. Используем расширенную теорему синусов для треугольника со сторонами a = 3√2, b = 4, c = x и противолежащими им углами A, B, C соответственно:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Подставим известные значения:
2R = x/sin C
Но из п.1 мы знаем, что 2R = 2 • x/√2 = x√2. Подставим это:
x√2 = x/sin C
Так как x ≠ 0, сокращаем на x :
√2 = 1/sin C ⇒ sin C = 1/√2 = √2/2
Значит, ∠C = 45° или ∠C = 135°.
3. Теперь применим теорему косинусов для стороны c=x, которая лежит против угла C :
c^2 = a^2 + b^2 ─ 2abcos C
* Случай 1: ∠C = 45°, cos 45° = √2/2.
x^2 = (3√2)^2 + 4^2 ─ 2 • 3√2 • 4 • √2/2 = 18 + 16 ─ 2 • 3 • 4 • 2/2 = 34 ─ 24 = 10
x = √10 см.
* Случай 2: ∠C = 135°, cos 135° = ─√2/2.
x^2 = 18 + 16 ─ 2 • 3√2 • 4 • (─√2/2) = 34 + 24 = 58
x = √58 см.
ОТВЕТ: √10 см или √58 см.
№ 35. В треугольнике ABC ∠А = 54°, ∠В = 66°, отрезок АК — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 4√3 см.
Решение:
1. Найдем угол C в треугольнике ABC :
∠C = 180° ─ 54° ─ 66° = 60°
2. Найдем сторону AB, лежащую против угла C=60°, используя теорему синусов для △ABC :
AB/sin C = 2R_{ABC}
AB/sin 60° = 2 • 4√3 ⇒ AB / √3/2 = 8√3
AB = 8√3 • √3/2 = 8 • 3/2 = 12 см.
3. Рассмотрим треугольник ABK. AK — высота, значит ∠AKB = 90°. Следовательно, сторона AB является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ABK, а также диаметром описанной около него окружности (так как угол, опирающийся на диаметр, прямой).
2R_{ABK} = AB ⇒ R_{ABK} = AB/2 = 12/2 = 6 см.
ОТВЕТ: 6 см.
№ 36. В треугольнике АВС ∠С = α, ∠В = β, ∠C = γ. Найдите стороны АС и АВ.
Дано: Сторона BC = a. Угол ∠B = β. Угол ∠C = γ.
Найти стороны AC и AB.
Решение:
1. Найдём третий угол треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180°
∠A = 180° – β – γ
2. По теореме синусов:
a/(sin A) = b/(sin B) = c/(sin C)
В нашем случае: (BC) / (sin A) = (AC) / (sin B) = (AB) / (sin C)
3. Выразим стороны AC и AB:
AC = (a • sin β) / (sin(180° – β – γ))
AB = (a • sin γ) / (sin(180° – β – γ))
4. Упростим выражения:
Так как sin(180° – x) = sin x, то:
AC = (a • sin β) / (sin(β + γ))
AB = (a • sin γ) / (sin(β + γ))
Ответ: Сторона AC = (a • sin β) / (sin(β + γ)).
Сторона AB = (a • sin γ) / (sin(β + γ))
Проверка: Полученные формулы соответствуют теореме синусов. При подстановке известных значений углов и стороны BC можно вычислить длины сторон AC и AB.
№ 37. На рисунке 1 АВ = с, ∠В = 90°, ∠BAC = α, ∠CAD = β, ∠D = γ. Найдите отрезок AD.
Дано: AB = c, ∠B = 90°, ∠BAC = α, ∠CAD = β, ∠D = γ.
Найти: AD — ?
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC:
Так как ∠B = 90°, то треугольник ABC — прямоугольный
В прямоугольном треугольнике ABC:
AC = (AB) / (cos α) = c/(cos α)
BC = AB • tan α = c • tan α
2. Рассмотрим треугольник ACD:
По теореме синусов:
(AD) / (sin(α + β)) = (AC) / (sin γ)
Подставляем известные значения:
AD = (AC • sin(α + β)) / (sin γ)
AD = (c / cos α • sin(α + β)) / (sin γ)
3. Упростим выражение:
AD = (c • sin(α + β)) / (cos α • sin γ)
Ответ: AD = (c • sin(α + β)) / (cos α • sin γ)
Проверка:
При α = 0 (когда точки B, A и C лежат на одной прямой) формула даёт AD = c/(sin γ), что соответствует теореме синусов
При β = 0 (когда точки C, A и D лежат на одной прямой) формула даёт AD = (c • sin α) / (cos α • sin γ) = (c • tan α) / (sin γ), что также соответствует теореме синусов
№ 38. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α, а биссектриса угла при основании равна m. Найдите стороны треугольника.
Дано:
* Равнобедренный треугольник
* Угол при вершине $\alpha$
* Биссектриса угла при основании $m$
* Найти: стороны треугольника
Решение:
1. Обозначим:
* Боковые стороны: $AB = AC = x$
* Основание: $BC = a$
* Угол при основании: $\beta = \frac{180^\circ — \alpha}{2}$
2. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой:
* Биссектриса делит угол при основании пополам: $\frac{\beta}{2} = \frac{180^\circ — \alpha}{4}$
* В полученном треугольнике известны: биссектриса $m$ и два угла
3. По теореме синусов для малого треугольника:
$\frac{m}{\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{x}{\sin(90^\circ — \frac{\alpha}{2})}$
4. Упростим выражение:
* $\sin(90^\circ — \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\alpha}{2})$
* $\sin(\frac{\beta}{2}) = \sin(\frac{180^\circ — \alpha}{4})$
5. Выразим боковую сторону:
$x = \frac{m \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{180^\circ — \alpha}{4})}$
6. Найдем основание через боковую сторону:
$a = 2x \cdot \sin(\beta) = 2x \cdot \sin(\frac{180^\circ — \alpha}{2})$
Ответ:
* Боковые стороны: $AB = AC = \frac{m \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{180^\circ — \alpha}{4})}$
* Основание: $BC = 2 \cdot \frac{m \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{180^\circ — \alpha}{4})} \cdot \sin(\frac{180^\circ — \alpha}{2})$
Проверка:
* При $\alpha = 60^\circ$ (равносторонний треугольник) формулы дают равные стороны
* При $\alpha \to 0^\circ$ основание стремится к удвоенной боковой стороне
№ 39. В треугольнике АВС провели биссектрису BD. Найдите стороны треугольника АВС, если BD = m, ∠А = α, ∠С = γ.
№ 40. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АНВ, равен 9 см.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABC и AHB. Угол AHB и угол ACB связаны соотношением: ∠AHB = 180° — ∠ACB, так как в четырехугольнике, образованном двумя высотами, углы дополняют друг друга до 180°.
2. Воспользуемся расширенной теоремой синусов для обоих треугольников.
* Для треугольника AHB: \( AB = 2R_{AHB} \cdot \sin(\angle AHB) = 2 \cdot 9 \cdot \sin(180^\circ — \angle C) = 18 \cdot \sin(\angle C) \).
* Для треугольника ABC: \( AB = 2R_{ABC} \cdot \sin(\angle C) \).
3. Приравняем выражения для стороны AB:
\( 2R_{ABC} \cdot \sin(\angle C) = 18 \cdot \sin(\angle C) \).
Сократив на \( 2\sin(\angle C) \) (синус угла в треугольнике не равен нулю), получаем:
\( R_{ABC} = 9 \).
ОТВЕТ: 9 см.
№ 41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 12 см и боковой стороной 10 см.
Решение:
1. Треугольник ABC (AB = BC = 10 см, AC = 12 см). Найдем угол B, противолежащий основанию AC.
2. По теореме косинусов для стороны AC:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \)
\( 12^2 = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(B) \)
\( 144 = 100 + 100 — 200\cos(B) \)
\( 144 = 200 — 200\cos(B) \)
\( 200\cos(B) = 200 — 144 = 56 \)
\( \cos(B) = \frac{56}{200} = 0.28 \).
3. По расширенной теореме синусов:
\( R = \frac{AC}{2\sin(\angle B)} \). Нам нужен \( \sin(B) \).
\( \sin(B) = \sqrt{1 — (0.28)^2} = \sqrt{1 — 0.0784} = \sqrt{0.9216} = 0.96 \).
4. Подставляем: \( R = \frac{12}{2 \cdot 0.96} = \frac{12}{1.92} = 6.25 \).
ОТВЕТ: 6.25 см.
№ 42. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 21 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
№ 43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна 5√2 см.
ОТВЕТ: 5 см
№ 44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 11. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.
№ 45. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку D. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, если радиус окружности, описанной около треугольника BDC, равен 12 см, АС = 6 см, ВС = 8 см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 3 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
